練習問題解答例 < 第 章強制対流熱伝達 >. 式 (.9) を導出せよ (.6) を変換する 最初に の微分値を整理しておく (.A) (.A) これを用いて の微分値を求める (.A) (.A)
(.A) (.A6) (.A7) これらの微分値を式 (.6) に代入する (.A8) (.A9)
(.A) (.A) (.A) (.9). 薄い平板が温度 で常圧の水の一様な流れの中に平行に置かれている 流速は. /s であり 平板の寸法は流れ方向 直角方向ともに c である このときの板の中 心における速度境界層の厚さと 板全面に働く摩擦力を求めよ 解 ) 式 (.) を用いる 関係する数値を SI 単位の基本単位とその組み立て単位で表してお く バルク流速. /s 平板の流れ方向の寸法. 平板の流れに直角な方向の寸法. 境界層の厚みを計算する位置.. 6 の水の動粘性係数. /s. /s の水の粘性係数. Pa s. Pa s よって 求める速度境界層の厚みは 6... また 剪断応力は式 (.6) を用いて..
.. / 板全体での摩擦力は剪断力を板の面積に関して積分すればよいので F... /. / 66 /....... 66 8 N 8. N 6. の空気が 温度 長さ の平板に沿って流速 /s で流れている 層流から乱流への遷移レイノルズ数は. とする このとき 平板単位幅あたりの空気へ伝わる熱量を求めよ ただし 乱流部は以下の式を用いて計算せよ N.8.96 e 解 ) バルク温度は 壁面温度は 膜温度は 6 関連する物性値を SI 単位の基本単位で示しておく バルク流速 /s 板の長さ 6 の空気の動粘性係数 6 7.6 (.9 7.6) 9.9 /s.99 6 の空気のプラントル数 6.78 (.78.78).78 7.8 6 の空気の熱伝導率 /s
6 7.8 (. 7.8) 8.79 W/( K).879 乱流に遷移する位置を板の先端から [] とすれば 式 (.) より..99 これを解いて 6. W/( K) 層流部分の平均熱伝達率を求める 式 (.) より N /.e h. / /. / / / h h.. / / / / / / / / /. /.66 / / よって層流部分の伝熱量は Q / / l.66 6..66.879.99 6. / / 7.8
67.7 W 乱流部分の平均熱伝達率を求める 問題の与式より N /.96e h.96 / /.96 / / / h h.96 / / /.96 / / /.96 / / / / / / /.7 / よって乱流部分の伝熱量は Q / / ( ).7.7 / /.7.879 / /.99 7.8 / / 6. / / / /
W 69 よって求める伝熱量は kw. W 69.7 67 l Q Q. 式 (.) を導出せよ 解 ) 無次元温度の定義は次の通り (.9) ここで も のみの関数であることを仮定する についての微分値を整理する 式 (.9) より (..A8) なので (..A9) (..A) (..A) これらと式 (.), (.) を式 (.) に代入して
(..A) (..A) 両辺を で割って (..A) (..A) ここで式 (.7) を第 項に代入 (..A6) (..A7) (..A8) (..A9) (.) ここで (.). 式 (.) を導出せよ
解 ) までの平均熱伝達率は平均の定義から h h (.) これに式 (.8) を代入して h / / /.. / / / /.. 66 /. /. 6 6 / (.a) 式 (.9) で とおけば / h. なので 式 (.a) と比較して (..A) / / h. 66. h (.b).6 式 (.) を導出せよ 解 ) 8. 69. 6. 6 e e / (.). 6 これを式 (.) に代入. 6. 6
ここで式 (.7) を導入して. 6. 6. 7. (.).7 式 (.6) から式 (.7) までを導出せよ 解 ) 境界条件 ( 式 (.6)) を満たし得る最も簡単な多項式である 次式を用いて a b c (.6) と置く に関する境界条件は 壁面温度が より (.6a) 式 (.) に壁面上での速度ゼロである条件, v (.6b) を代入して に関する境界条件は バルク温度が より (.6c) 境界の外では温度一定より (.6) 式 (.6) より b c
c 6 これらを境界条件に代入して a c b a c c 6 c b a c b 上 式より a c これを下 式に代入して b b 下側の式を 倍して上式から引くと これを下式に代入 b b これより温度分布は
よって 温度境界層の厚み がわかれば温度分布がわかる また これを変形して (.6) なお 教科書ではここで無次元温度 を導入しているが 実際には何にも使っておらず 不要 式 (.6) に 式 (.) と式 (.6) を代入する 式 (.) より 今 より
よって
ここで (.66) を導入する を代入して 積分の中を整理する 6 9 6 9 よって 積分の部分は
6 9 7 8 8 7 8 8 7 8 8 8 8 8 ここで を用いている 最終的に式 (.67) は 8 となる ここで を仮定すれば より とおけ (.68) が得られる 速度境界層の厚み と との関係は式 (.) で求められている 式 (.) を変形して 8
としてから代入して 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ここで に注意して (.69) これは線形微分方程式である 境界条件は から伝熱が始まるとして
: すなわち (.7) : 公式を用いるために微分方程式の両辺を 9 6 線形微分方程式 ここで P P で割って Q ep P Q ep P の一般解は C Q 9 6 ep とおいて 9 ep C 6 ep 9 6 ep C 9 ep ln ep ln C 6 ep ln / 9 epln / C 6 9 / 6 / 9 / 6 / 9 / / 6 C C C / 9 / 9 / 6 9 C / 6 境界条件を代入して C 6
C 9 6 / 9 C / 6 C よって / / 9 / 6 / / / / / / / / / / / / / / / /. / (.7).8 壁温 内径 c の円管内に入口温度 の水をで c /s で流す 入口か ら c の部分でのバルク温度はいくらか ただし 熱伝達率の計算にはハウゼンの式を 用いよ 解 ) 関係する数値を SI 単位系の基本単位およびその組み合わせによる単位で表しておく
壁温 7. K. K 内径. 入口温度 b 7. K 9. K 温度測定位置. 体積流量 v / s のプラントル数 6. 99 の動粘性係数 の熱伝導率. 6. 99 W K s の密度 998. kg の定圧比熱 平均流速を求める c. 8 J kg K v. / s /. / グレッツ数を求める Gz これより N N h e / /. 6. 668 Gz /. Gz.. 99.. 6.. 6. 99 6... 668. /.. 9 W 伝わった熱が温度変化分に相当するので h h h ln c c ln b b K b c b 9..
h ln c h ln c ln ln ep ln ln ln h c b ep ln h c h c h h h b ep ln ep ep c c c... 9. ep... 998.. 8 K なお ここでは の物性値を用いて計算したが 出口温度が比較的高いので とこ の温度の平均を用いて計算し直すことを繰り返す方が真の値に近づく.9 内径 c の円管内を の水が平均流速 c/s で流れているとき 入口から c における局所熱伝達率はいくらか 流れが十分に発達している場合の局所ヌッセルト 数分布に関する図.8 を用いよ 解 ) 関係する数値を SI 単位系の基本単位およびその組み合わせによる単位で表しておく 内径. 平均流速. / s 熱伝達率決定位置. のプラントル数 6. 99. 9 / 6. 6 7 の動粘性係数.. 88 / 9. s の熱伝導率. 99. 6/. 67 W K
グレッツ数を求める Gz e / /.. 6. 7 9... 7 Gz. 8 N 壁の条件が与えられていないので伝熱面温度一定を仮定して 図.8 より, よって局所熱伝達率は h N,. 67. W K. 式 (.6) より 平均のヌッセルト数を求めよ 解 ) 平板の始まる部分においては層流であるはずなので 位置 で乱流に遷移したとして 位置 までの範囲の乱流部分の平均熱伝達率を求める 式 (.6) より N /.96e h.96 / /.96 / / / h h.96 / / /.96 / / /.96 / / / /.7 / / / /
. 半径 の円管内のある断面での速度分布 温度分布が次式で与えられる場合 そこでの平均流速 と混合平均温度 b を求めよ, 解 ) より また より 定義より 平均流速 は 混合平均温度 b は
b 6 7 6 7 6 7 7
7 6 6 6 8 8 6 8. 表面温度 の直径 c の球の周りを c/s で の水を流した場合の伝熱 量はいくらか 解 ) 式 (.66), (.67) を用いる バルク温度 球表面温度 膜温度 計算に必要な値を SI 単位系の基本単位で表しておく 球の直径. 水の流速. /s の水の動粘性係数 6 7.88.68 の水の熱伝導率.6.686 の水のプラントル数.9..88 レイノルズ数は /s.79 W/( K).68 /s 7.9 W/( K) /s
e.. 7.9 7 68. よって 式 (.67) を用いて N.6e / /.6 68. /.88 / 8. 6 熱伝達率は h N 熱流束は.68. 8.6.78 W/( K).78. W/ q h 伝熱量は Q qa q..6. 6.8 W. 壁温 内径 c の円管内に入口温度 の水を /s で流す 入口か ら c におけるバルク温度はいくらか ただし 熱伝達率の計算にはディッタス ベル ターの式を用いよ 解 ) 代表温度として 壁温と入口温度の平均値を用いる 壁温度 入口温度 代表温度 計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく 管内径. 問題とする位置の入口からの距離. 体積流量 v /s /s. /s
平均流速 v..6..6 /s の水の動粘性係数 6 7.88.68 の水の熱伝導率.6.686 の水のプラントル数.9..88 の水の密度 99.6 99. 99. の水の比熱容量 c.8.79 /s.79 W/( K).68 kg/ レイノルズ数は kj/(kg K).8 /s 7.9 W/( K) J/(kg K) /s e.6..7 7 7.9 6 よって ディッタス ベルターの式 ( 式 (.68)) を用い 加熱の場合なので指数に. を用 いて N 6. /.88.7 /..e..7 熱伝達率は h N.68..7. W/( K) 求める温度を とすれば 伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏まえて 温度差には対数平均温度差を用いる必要がある (p79 参照 ) ので 伝熱量は Q ln h h ln
この伝熱量だけ温度が上昇するので Q vc これらが等しいことを使って ln h vc ln h vc ln h vc h ep vc h ep vc h ep vc.6... 99...8 ep. この結果からは 代表温度は の方が妥当ではある より正確な値を得るには ここで得られた温度での物性値を用いて計算を繰り返す. 内径 c 長さ の管内に常圧で入口温度 の水を流す 水の平均流速 は /s であり 管壁は 7 に加熱されている 加熱部出口における平均温度はいくら になるか ただし 熱伝達率の計算にはディッタス ベルターの式を用いよ 解 ) 代表温度として 壁温と入口温度の平均値を用いる 壁温度 7 入口温度 代表温度 7 6
計算に必要な値を SI 単位系の基本単位で表しておく 管内径. 管の長さ 平均流速 /s /s. /s 6 の水の動粘性係数.7 /s.7 6 の水の熱伝導率.68 W/(K) 6 の水のプラントル数.998 6 の水の密度 98. kg/ 6 の水の比熱容量 c.8 kj/(kg K).8 レイノルズ数は 6 /s.7 J/(kg K) 7 /s e.6.. 7 7.9 よって ディッタス ベルターの式 ( 式 (.68)) を用い 加熱の場合なので指数に. を用 いて N.e /.... /.998 8. 98 熱伝達率は h N.68. 8.98 8.9 W/( K) 求める温度を とすれば 伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏まえて 温度差には対数平均温度差を用いる必要がある (p79 参照 ) ので 伝熱量は Q ln h この伝熱量だけ温度が上昇するので h ln
Q c これらが等しいことを使って ln h c ln h c ln h c h ep c h ep c h ep c 8.9 7 7ep 98....8 6. より正確な値を得るには ここで得られた温度での物性値を用いて計算を繰り返す. 内径 の円管内に. MPa の水を流す 水の流速は /s であり 円管の内面温度は 8 である このときの平均熱伝達係数をディタス ベルターの式とジ ーター テイトの式を用いて求めると それぞれ いくらになるか 解 ) 代表温度として 壁温と入口温度の平均値を用いる 壁温度 8 入口温度
8 6 代表温度 計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく 管内径. 平均流速 c/s /s 6 の水の動粘性係数 6 7.7. 6 の水の熱伝導率.68.696 6 の水のプラントル数.998.6.78 7 の水の粘性係数 /s.8 W/( K).6 /s.8 W/( K) /s.9 Pa s.9 Pa s 6 の水の動粘性係数 レイノルズ数は.66.9 Pa s. Pa s. Pa s e...7 7.8 本来は 両式とも適用範囲外なので望ましくないが 乱流領域でもあり 題意であるので このまま計算 < ディッタス ベルターの式 > ディッタス ベルターの式 ( 式 (.68)) を用い 加熱の場合なので指数に. を用いて N.e /...7. /.78 9. 熱伝達率は h N.6. 9. 9. W/( K)
< ジーター テイトの式 > ディッタス ベルターの式 ( 式 (.68)) を用い 加熱の場合なので指数を. として N.7e / /. / /..78..7.7.9 熱伝達率は h N.6.. W/( K).6 内径 内壁温度 の円管内に圧力. MPa の水を毎時, kg で流 す 管入口で あった水温を管出口で 8 に上昇させるためには 管長はいくら必要で あるか 解 ) 代表温度として 壁温 と入口出口温度の平均値の中間である 6 の平均値を用 いる 壁温度 入口温度 出口温度 8 6 8 代表温度 計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく 管内径. 質量流量, kg/h 6 kg/s.778 kg/s 8 の水の密度 97.8 kg/
平均流速 /.778 9.99 /s /.6. 97.8 6 7 8 の水の動粘性係数.67 /s.67 /s.67 /s 8 の水の熱伝導率.667 W/(K) 8 の水のプラントル数. 9 6 の水の比熱容量 c.96 kj/(kg K).96 J/(kg K) レイノルズ数は e 9.99..67 7.99 よって ディッタス ベルターの式 ( 式 (.68)) を用い 加熱の場合なので指数に. を用いて N.e /...99. /.9 8. 7 熱伝達率は h N.667. 8.7 6.6 W/( K) 伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏まえて 温度差には対数平均温度差を用いる必要がある (p79 参照 ) ので 伝熱量は 求める管の長さを [] として Q ln h (8 ) (8 ) ln ( ) h ln.6.6.6.86 [W] 一方 伝熱量は kg/h の水を から 8 まで加熱するのに必要な熱量でもあるで Q c よって.96.778 8.66 W.86.66
を解いて 求める長さは.6.7 の水が平均流速 = /s で直径 = 長さ l = の滑らかな円管内 を流れている このときの圧力損失と熱伝達率を求めよ ただし 圧力損失の計算には以下 の式を用い 熱伝達率の計算にはディッタス ベルターの式 ( n =. の場合 ) を用いよ p C l ここで l は管路長さ は管直径 は流体密度 C は平均流速 は摩擦抵抗係数である 解 ) 計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく 管内径. 管の長さ l 平均流速 /s の水の密度 998. kg/ 6 の水の動粘性係数. /s. /s の水の熱伝導率.99 W/(K) の水のプラントル数 6. 99 レイノルズ数は. e.99 6. 摩擦係数は教科書の式 (.8) を用いて C.6e...6.99 6. よって圧力損失は p C l.9 Pa.9 kpa 998. 6.. また ディッタス ベルターの式 ( 式 (.68)) を用い 加熱の場合なので指数を. とし て
N.e /.. / 6.99 7. 7..99 熱伝達率は h N.99. 7.7.9 W/( K).9 kw/( K).8 直径 の円管内をスピンドル油が平均流速 /s で流れている この温度 を入口の 8 から まで冷却したい 冷却部では壁温を に保つとすれば 冷却部 の長さはどれだけ必要か ただし ジーター テイトの整理式を用いよ 解 ) 代表温度として 壁温 と入口出口温度の平均値の中間である 6 の平均値を用い る 壁温度 入口温度 出口温度 6 代表温度 計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく 管内径. 平均流速 /s 伝熱工学資料第 版 P6 より.8 /s K のスピンドル油の動粘性係数 6.6 /s K のスピンドル油の動粘性係数 これより = K のスピンドル油の動粘性係数は.8 6.6.8 8. /s 8. K のスピンドル油のプラントル数 K のスピンドル油のプラントル数 78. これより = K のスピンドル油のプラントル数は 78. 96. K のスピンドル油の熱伝導率. W/( K) K のスピンドル油の熱伝導率. W/( K) これより = K のスピンドル油の熱伝導率は 6 /s
.... W/( K) K のスピンドル油の密度 867 kg/ K のスピンドル油の密度 8 kg/ これより = K のスピンドル油の密度は 867 8 867 88.6 kg/ c.88 kj/(kg K).88 J/(kg K) K のスピンドル油の比熱容量 c.96 kj/(kg K).96 J/(kg K) K のスピンドル油の比熱容量 これより = K のスピンドル油の比熱容量は c.88.96.88 J/(kg K).9 J/(kg K).6. 88.6 kg/s.697 kg/s 質量流量 レイノルズ数は e..66 6 8. 乱流への遷移が起きるかどうかぎりぎりのところだが 題意に従ってディッタス ベルターの式 ( 式 (.68)) を用い 冷却の場合なので指数に. を用いて N.e /...66. /.96. 熱伝達率は h N....7 W/( K) 伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏まえて 温度差には対数平均温度差を用いる必要がある (p79 参照 ) ので 伝熱量は 求める管の長さを [] として Q ln h (8 ) (8 ) ln ( ) h ln.6..7 7.8 [W] 一方 伝熱量は.697 kg/s の水を 8 から まで冷却するのに必要な熱量でも
あるで Q c よって.9.697 8.87 W 7.8.87 を解いて 求める長さは 8.