微分方程式による現象記述と解きかた 土木工学 : 公共諸施設 構造物の有用目的にむけた合理的な実現をはかる方法 ( 技術 ) に関する学 橋梁 トンネル ダム 道路 港湾 治水利水施設 安全化 利便化 快適化 合法則的 経済的 自然および人口素材によって作られた 質量保存則 構造物の自然的な性質 作用 ( 外力による応答 ) エネルギー則 の解明 社会的諸現象のうち マスとしての移動 流通 運動量則 諸施設 構造物の周辺への機能 影響 ( 環境影響も含む ) 最適化 一章 階常微分方程式 線形流出タンクを例にとった現象記述 ( 質量保存則 ) I は流入量 ( 単位時間内に入り込む水の体積 ) で時間的に一定 Q は流出量 ( 単位時間内に出て行く水の体積 ) で Q の関係にあるものとする は係数で一定 は水深 S はタンクの平面面積 I S が知られているときに と Q の時間変化を知りたい この現象を微分方程式として記述する () 現象に関係する変数は何かを明らかにする 差量 = 必ずしも座標軸を設けなくともよいこのうち時空間に関する変数には 基準量 = 座標軸を決定して明確に定義
時間的変化を知りたいのであるから 時間 ( 刻 ) を変数として導入する は 他から一切の影響を受けない変数である = 独立変数 流入開始の時間を原点として を定義する = 基準量 変化を見たいのは 水深 と流出量 Q であり こちらは時間 ( 刻 ) の関数となるような変 数である = 従属変数 における水深を 流出量をQ 水深はタンク底面高と水面高の差 = 差量 と表す () 現象の成り立ち ( ある時間中に入ってくる水の量 )-( その時間中に出て行く水の量 ) = タンク内の水の増加量 ( または減少量 ) () (3) 短い時間 というのを考え この時間内で式 () の関係を表す この時間内に入ってくる水の量 = I この時間内に出て行く水の量 = Q Q Q は とともに変化するので = = 流出量は台形の面積とみなすことができ 上の式になる この時間中におけるタンク水量の変化 タンクの水量 =S タンクの水量増加分 =S -S =S これらより I =S ()
(4)Talor 展開を利用して微分方程式を導く Talor 展開 f f x が x 軸上で定義された滑らかな関数 ( 何回でも微分できる ) で a を変数 n を 整数としたとき x f a f ' ax a f '' ax a! a x a,! + f n! n! n n n ax a f x a R n n lim R n ここで x x x, f! a x の置き換えを行うと x x f x f ' xx f '' x n この展開式を使って! f! を表すと x f n! n n n n x x x ' ''!! n! n! ここで は微少量なので ' n n n n である! 3! 3 '' ''' そこで 以上の項 ( 高次項 ) が の項と比較して微小のため無視できるものと考えると d である d これを式 () に代入すると I d d d S d 両辺に がかかっているので 両辺をδ で割ると d I- S d d この中で d d d の項は の一次の項であるが の 次に相当する他の項に比較
するとオーダー小さい項であり のもとで無視することができる こうすると 最終的な式は I S 水深変化を表す微分方程式 d d S I S 式の意味 d d これを整理すると 概念的な式 () をより正確な定量的表現にしたのが式 (3) である 左辺 d d S d d は外部信号に対する応答 S 右辺はこの系に働く外部信号 ( 外力 ) 未知数 の微係数を含むこのような式を 微分方程式という 式 (3) は 階の常微分から成り 微分係数にかかる係数 A が定数なので 定係数 階常微分方程式という
重要 微分方程式をたてる上で必ず用いる方法として d の近似法がある これは が小さい場合には 問題なく成立する d 今の問題のように 時刻 から の間の の変化を表すには (5) 初期条件 がどう変化するかは 最初の状態 ( ) で どれくらいの水深があったかによって 違ってくる できない における水深 が分からなければ その後の水深の変化を知ることが 時間変化問題における初めの状態を表す条件を 初期条件という 今回の線形タンクの問題では の時, 水深 注 ) 初期条件は 必ずしも 問題ごとに十分考慮する必要がある についてだけでなく ' について与える場合もあり (6) 成立条件式 (3) は どんな場合にでも成立するわけではない 水深 がタンク深さ D を越えては成り立たない すなわち 式 (3) の成立条件は D ( 水深 がタンク深さ D を越えない ) これを越えると別な現象が生じる 微分方程式が成り立つ範囲 ( 適用限界 ) を明確化することが重要
線形 階定係数常微分方程式の解法 d A B() () B () : 任意の連続関数 A : 定数 d 初期条件 にて () : 定数 線形流出タンクの時間変化問題に出てきた微分方程式は 上式のような形をしている 微分方程式の解法 右辺の値で場合分けを行う B( ) の場合 : という 式 () は d d A の形で表現され 変数分離による積分を実行できる B ( ) の場合 : という この場合 式 () は d d A とすることができ 変数分離による積分を実行できる 式の意味 これは の時間変化率 ( 速度 ) が に比例していることを意味する が大きいと d d も大きくなる d Ad ln A C (3) e A C A e C e A Ce (3)' C は 未知の定数 C を含む解を式 () のという ここで 初期条件 () を入れると 以下のように C が決まる ln C したがって 式 (3) は
ln A ln ln e A A A e (4) 未知の定数 C に既知の特定値を与えた解を という A のとき は単調減少 ( 指数減少 ) A のとき は単調増加 ( 指数増加 ) B( ) の場合をという この場合には 単純に変数分離することができない d A B() () d どうするか? 式 () の解が斉次方程式の一般解 ( 斉次解 ) に () を加えたものと仮定 B( ) のときの解 ( 斉次解 ) は A Ce (a) であった そこで A Ce () (b) このとき () がうまく見つかればよい 式 (b) を式 () に代入すると
ACe A d A Ce d d A( ) B( ) d A ( ) B( ) (c) この式は 式 () と同じ形をしていて やはり変数分離ができない 式 () の解が斉次方程式の一般解 ( 斉次解 ) に () を乗じたものと仮定 A Ce () (d) ここで C() を () に置換して ) A ( e (d ) これを式 () に代入すると d e d A d e d A A Ae A( ) e B( ) ( ) A B() (e) この式は積分することができる A ( ) e B ( d ) (f) よって解は (d ) に (f) を代入して A A e B() d e (g) 表現の仕方を変えると ( 変数変換すると ) A A e B d C e ( ) (h) a x f ( ) d F( x) F( a) より A A ' e B( ) d e B( ') d ' F() F( ) F() A F( ) e B( ) d F()
重要 一般に 非斉次形方程式の解を求めるには 斉次形方程式の一般解を求める Ce A その中の未知定数 C が () のように時間的に 変化するものと考え ( ) e A とおいて原式に代入する 3 () の方程式ができるので これを解く d e d d e d A A d e d A A A Ae A( ) e B( ) ( ) B() B() A ( ) e B( ) dc ただし C は定数 4 仮定した式形 にもどすと解が得られる A A A e B( ) d e C e A( ) e B( ) d C e A 以上を という A 上式中 C e は斉次解そのものであるが 非斉次形方程式の解の一部にもなっている これをということがある つまり 非斉次形方程式の解に含まれる斉次形方程式の解の部分を という e B( ) d e は 外部からの入力 B() に斉次解の逆数をかけて A A 一方 積分し さらに斉次解を乗じた形をしている この項のみでも式 () を満足する これをという 非斉次形方程式の一般解 = + A A e B d C e ( ) (h)
初期条件 にて を適用する A( ) e B) ( dc (i) A ただし e ゆえに C よって 初期条件を満たす解は A( ) A e B( ) d e (j) A A e B ) d e ( (j)' = < 例題 > 線形流出タンクの微分方程式 d d I S S にて のもとに解くこと を 初期条件 斉次解を求める 定数変化法により () を導入 とおく 3 原式に代入して
4 これを にもどして 5 初期条件から ゆえに 6 図示すると
重要 微分方程式 d A K d において A K が定数の場合には K A が特解となる したがって このような場合については ポイント によって 非斉次解をすぐに求めることができる 非斉次形方程式の一般解 = 特解 + 余関数 ( 斉次形方程式の一般解 ) K A Ce A この性質は 高階微分方程式においても成り立つ = 特解 + 余関数 ( 斉次方程式の一般解 )