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第 1 章 構 造 力 学 基 礎 の 復 習 1.1 はりに 作 用 する 外 力 のつり 合 い ( 方 針 ) 右 図 の 単 純 ばりの 力 の 釣 り 合 いを 考 えてみよ う 我 々が 使 う 道 具 は 次 の 次 元 問 題 における 力 の 釣 り 合 い 式 である V i i M i = = = (1.1) 力 が 釣 り 合 い 状 態 にあるときは 水 平 分 力 鉛 直 分 力 の 総 和 及 び 任 意 の 点 回 りのモーメントの 総 和 は ゼロとなる 例 題 を 解 きながらつり 合 い 式 の 利 用 法 を 考 えてみよう R 8 構 造 力 学 では 左 の 釣 り 合 い 式 を 嫌 と 言 うほど 使 用 する このことの 意 味 と 使 い 方 は 徹 底 的 にトレーニングしておきなさい 右 上 の 例 題 では, 単 純 ばりに4 個 の 外 力 が 作 用 している 8 は 荷 重 と 呼 ばれ 当 然 既 知 である それに 対 して 残 りの 外 力 は 反 力 と 呼 ばれる 未 知 外 力 である 未 知 外 力 個, 使 用 でき るつり 合 い 式 個,どうやら 解 けそうである 6m 4m R ( 解 答 ) i = より = (1) V i = ( 下 向 きを 正 とする)より R + 8 R = () M i = ( 点 回 り, 時 計 回 りを 正 とする) R + 8 6 R 1 = () R = 48 (4) 上 の 値 を 式 ()に 代 入 して = (5) R 左 の 計 算 では 点 回 りのモーメントのつり 合 いを 考 えた それは R のモーメントがゼロとな る 点 を 選 ぶことにより 連 立 方 程 式 になることを 避 けただけで, 点 に 回 りにこだわる 必 要 はない ちなみに 点 回 りのモーメントのつり 合 いを 考 えてみよう M i = ( 点 回 り) R 6 R 4= (6) ( ) 6+ ( 6) より R = 48 と, 同 じ 答 えが 得 られる どちらを 選 んだ 方 がよいかは 一 目 瞭 然 です このように 力 のつり 合 い 式 を 操 って, 未 知 外 力 である 反 力 が 求 まる 構 造 物 を 外 的 静 定 構 造 物 とよぶ 力 のつり 合 い 式 は 構 造 力 学 の 一 番 の 基 本 なので, 利 用 法 を 徹 底 的 にマスターしておかな ければならない 任 意 の 点 回 りのモーメントのつり 合 い がうまく 使 えるようになれば 少 しだ け 構 造 力 学 に 自 信 がつきますよ 頑 張 って 下 さい 1

はりの 断 面 力 安 全 な 構 造 物 を 作 る 第 一 段 階 は, 構 造 物 の 内 部 に 生 じる 応 力 が, 使 用 する 材 料 の 強 度 を 越 え ないことを 確 認 することである 構 造 物 の 内 部 に 生 じている 力 を 推 測 しよう はりの 内 部 には 相 当 複 雑 な 応 力 が 分 布 している ので, 直 接 求 めないで, 少 し 迂 回 (うかい) 作 戦 をとることにしよう 断 面 力 と 呼 ばれる 部 材 の 中 に 生 じているに 違 いない 力 を 推 測 する ここで 用 いる 道 具 は 切 断 の 考 え 方 と 力 のつり 合 い 式 である 先 ほど 求 めた 単 純 ばりの 断 面 力 を 求 めてみよう R 切 断 8 R = R = 48 8 = 6m 6m 4m R = 48 切 断 した 左 側 の 力 のつり 合 いを 考 えてみる 切 断 しただけ では R = だけしか 作 用 していないので 明 らかに 鉛 直 方 向 の 力 のつり 合 いを 満 足 していない 全 体 では 力 のつり 合 いを 満 足 していたのに, 部 分 でつり 合 わなくなったのは 切 断 したことによる 部 分 でも 力 のつり 合 い 条 件 は 満 足 すべきである のという 考 え 方 が 正 しければ, 切 断 面 に 下 向 きに の 力 が 作 用 しているはずである R = この 力 をせん 断 力 (shear force)と 呼 ぶ これで 左 側 部 分 は 力 の 釣 り 合 いがとれただろうか 向 きが 反 対 で 大 きさが 同 じなので 鉛 直 方 向 にはつり 合 っているが, 作 用 位 置 が 直 線 上 にないため,つの 力 は 偶 力 を 発 生 して, 回 転 方 向 につり 合 っていないことになる この 原 因 も 切 断 したことにあるはずだから, 切 断 面 に 何 ら かの 回 転 力 が 作 用 しているはずだと 考 えて 良 い 切 断 面 に 棒 を 出 し,それにハンドルをつけた 図 を 想 像 してみてほしい つの 力 は 時 計 方 向 に 偶 力 を 発 生 しているので, 回 転 方 向 に つり 合 うためにはハンドルに 反 時 計 回 りの 回 転 力 を 与 える 必 要 がある 偶 力 の 大 きさは R R = = 8 m m 力 つの 力 の 距 離 = ( m) で 与 えられるので,ハンドルに 反 時 計 回 り 方 向 に ( m) の 回 転 力 を 与 えれば 回 転 方 向 にも つり 合 い 条 件 を 満 足 する m R = 48

この 段 面 に 作 用 する 回 転 力 を 曲 げモーメント(bending moment)と 呼 んでいる わざわざ 曲 げ を 強 調 しているのは 通 常 用 いるモーメントと 区 別 するためである 断 面 に 作 用 する 内 力 は 絶 対 に 曲 げモーメント と 呼 んでほしい 次 に 右 半 分 の 力 のつり 合 いを 考 える 右 図 のように 左 側 に 作 用 している 力 と 反 対 向 きの 力 と 回 転 力 が 左 側 から 右 側 に 作 用 しているものと 考 えてみよう ニュートンの 第 法 則 作 用 反 作 用 の 法 則 を 期 待 しているのである m 8 6 1 R = 48 下 向 きを 正 として 鉛 直 方 向 の 力 の 和 をとると, + 8 48 = となり, 明 らかに V i = を 満 足 している 次 に 回 転 方 向 のつり 合 いが 成 立 してるか 確 かめてみ よう 切 断 面 を の 和 を 求 めてみる 点 と 呼 び,その 点 回 りのモーメント + + 8 (6 ) 48 (1 ) = + 48 8 48+ 48 = となり, 同 様 に M i = 以 上 のことから, 切 断 し たつの 部 分 には 右 図 のよ うな 力 が 作 用 しているはず であると 考 えておく 断 面 に 作 用 する 力 を 内 力 あるいは 断 面 力 (inner force)とよぶ R = を 満 足 している m 8 R = 48 内 力 の 正 負 の 定 義 内 力 をいちいち 考 察 で 求 めていたのでは 大 変 なので 数 学 の 助 けを 借 りよう そのためにはせん 断 力 と 曲 げモーメントの 正 負 と 定 義 しておかなければならない 関 数 を 考 える 際, 最 初 に 座 標 軸 を 描 かなければ 何 も 始 まらないのと 同 じことである θ 構 造 力 学 では 右 図 のような 右 手 系 の 座 標 系 を 使 うのが 普 通 である 自 重 も 荷 重 も 下 向 きが 多 いのでこの 座 標 系 を 使 用 す るのだろう その 座 標 系 でせん 断 力 と 曲 げモーメントは 次 のような 一 組 の 力 を 正 としている せん 断 力 正

せん 断 力 正 左 面 から 右 面 に 上 向 きに, 右 面 から 左 面 に 下 向 きに ( 上 の 表 現 では 絶 対 に 覚 えきれないので, 真 ん 中 の 要 素 を 時 計 回 りに 回 す 向 きのせん 断 力 を 正 と 記 憶 しておくと 良 い) 曲 げモーメント 正 曲 げモーメント 正 下 側 のせんいがが 引 っ 張 られるように 作 用 する1 組 の 曲 げモーメントを 正 と 定 義 する 力 のつり 合 いより 曲 げモーメントとせん 断 力 を 求 める [ 区 間 で 切 断 ] 最 初 にで 切 断 してみる 切 断 した 面 にせん 断 力 と 曲 げモーメン トと 軸 力 を 正 の 向 きに 描 き, Q と 名 前 を 付 ける ただし 軸 力, M, N N は 部 材 に 引 っ 張 り 力 が 生 じる 向 きが 正 です N (つの 内 力 の 正 の 定 義 をよく 覚 えておいて, 矢 印 を 正 の 方 向 に 描 くのがコツです それをいい 加 減 にやると 後 で 何 がな りやら 分 からなくなります もう 一 度 言 います 正 の 方 向 に 矢 印 を 描 くことです ) i = より N = V i = より + Q = Q = [ 区 間 で 切 断 ] R = M i = ( 点 回 り)より M = M = m ( 直 線 式 ) 8 M Q = で = M =6 で =19. M i = より N = M V i = より N + 8 + Q = Q = 48 M i = ( 点 回 り)より 8 ( 6) M = M 48 ( m) = 48 ( 直 線 式 ) 以 上 の 計 算 結 果 を 図 にしたのが 右 のせん 断 力 図 と 曲 げモーメント 図 である =6 で M =19. =1で M = M = R = せん 断 力 図 + 6m 6 Q はりの 場 合,せん 断 力 の 正 を 上 側 に, 曲 げ モーメントの 正 を 下 側 に 描 くのが 普 通 である 曲 げモーメントは 繊 維 が 引 っ 張 られる 側 に 描 くと 考 えておけばどんな 場 合 でも 統 一 的 に 描 けるが,せん 断 力 のどういう 約 束 で 描 くか は 必 ずしもはっきりしていない 曲 げモーメント 図 19 m + 48 4

はりの 曲 げ 応 力 木 製 のはりが 下 側 に 曲 がっている 状 態 を 想 像 してみよ う 下 側 の 繊 維 は 引 っ 張 られて, 上 側 では 圧 縮 されてい ることが 理 解 できるだろうか 最 初 は 何 となくそうかなと 思 うことが 大 事 ですよ ま だ 想 像 できない 人 は 自 分 の 定 規 ででもやってみて 下 さい じゃ 真 ん 中 辺 に 引 っ 張 りも 圧 縮 も 受 けない 平 面 がある かもしれないとついでに 想 像 してみて 下 さい ついでに その 近 くは 引 っ 張 る 力, 押 す 力 が 小 さく 外 側 に 行 くほど 大 きくなるかもしれないと 思 って 下 さい ( 最 初 は 何 で も 想 像 力 です) 上 に 述 べた 事 柄 を 図 にしたのが 右 図 である 上 側 圧 縮, 下 側 ひっぱりを 大 きく 見 ると, 概 略 ()のよう に 考 えることができる この 向 きが 反 対 で 平 行 な 力 は 断 面 に 回 転 力 を 与 えている この 回 転 力 が 前 に 求 めた 曲 げモーメントと 密 接 な 関 係 がありそうなことは 容 易 に 想 像 がつく 先 に 述 べた 曲 げモーメントと 実 際 の 分 布 応 力 の 関 係 を 調 べてみよう 曲 げ 応 力 を 求 める 際 には,ベルヌーイ オイラー の 仮 定 と 呼 ばれる 世 界 的 に 有 名 な 仮 定 を 用 いる ベルヌーイ オイラーの 仮 定 変 形 前 に 平 面 であったはりの 断 面 は, 変 形 後 も 平 面 が 保 たれる 相 当 大 胆 な 仮 定 のようだが,この 仮 定 を 覆 す 決 定 的 な 事 実 が 示 されていないので,この 仮 説 はほ ぼ 正 しいと 考 えて 良 い Δ の 伸 びを 考 えてみよう ベルヌーイ オイ ラーの 仮 定 を 用 いると, 右 図 のように 変 形 してい る 中 立 軸 からの 距 離 における 伸 び は 直 dδ 線 的 に 変 化 しているので,ひずみも 直 線 的 に 変 化 して 次 の 式 で 表 される d Δ Δ + dδ

弾 性 を 仮 定 しているのでフックの 法 則 を 用 いて, 応 力 を 面 積 全 体 で 積 分 すると 軸 力 断 力 だけが 生 じているとすると σ = Eε = Ek= () σd = d = ε = k (1) G = d N に 等 しくなるはずである 今, 曲 げモーメントとせん () (4) は 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントと 呼 ばれる 物 理 量 で, 断 面 の 形 と 軸 を 与 えると 決 まる 断 面 1 次 モーメントがゼロの 条 件 式 は, 中 立 軸 の 条 件 である 今 まで 中 立 軸 の 条 件 を 決 めてい なかったが, 中 立 軸 は 断 面 1 次 モーメントがゼロとなる 軸 であると 定 義 すればよい 次 に 応 力 の 中 立 軸 回 りのモーメントの 総 和 を 考 えてみよう モーメントの 総 和 は 曲 げモー メントに 等 しくなるはずなので 次 式 が 成 立 する M = σd = d= I (5) = M I σ = M I ただし,I = d (6) σ : 曲 げ 応 力 M : 考 えている 点 での 曲 げモーメント I : 中 立 軸 回 りの 断 面 次 モーメント : 中 立 軸 からの 距 離 ( 下 側 正 ) この 式 は 構 造 力 学 で 最 も 基 本 的 な 式 である 少 なくとも 構 造 力 学 を 勉 強 したと 言 いたけれ ばこの 式 を 十 分 に 使 える 程 度 にはなってほしい 我 々が 橋 を 架 けるとき,この 式 を 中 心 に 議 論 していると 考 えて 良 い それくらい 大 事 な 式 なのです 多 くの 演 習 問 題 に 当 たって 完 璧 に 理 解 できたと 言 うところまで 自 分 を 鍛 え 上 げて 下 さい この 式 のキーワードは 断 面 1 次 モーメント, 中 立 軸, 断 面 次 モーメントのつのようで す これらを 理 解 するには 次 節 の 断 面 の 性 質 を 十 分 に 理 解 していなければならない

例 題 11 長 方 形 断 面 の 中 立 軸 は 断 面 の 図 心 ( 重 心 )で 与 えられる 曲 げ 応 力 について 以 下 の 問 いに 答 えよ 1) 定 義 式 より 中 立 軸 軸 周 りの 断 面 次 モーメント を 求 めよ ) 幅 = 1( cm) 高 さ = 4( cm) の 断 面 において 最 大 引 っ 張 り 応 力 と 最 大 圧 縮 応 力 の 大 きさを 求 めよ ただし 曲 げモーメントは M = 1( m) とする d = dd ( 解 答 ) 1) 軸 周 りの 断 面 次 モーメントは 定 義 式 より 次 のように 得 られる I = = d= dd = d = = 1 [] d σ c = 14. 16MPa ma ) 上 式 に 数 値 を 代 入 して I = 1 1 4 = 1 N 4 ( ) = 184 cm cm 曲 げモーメントの 単 位 を と で 表 しておく M = 1( m) = 1( N cm) σ = 868 公 式 より 曲 げ 応 力 は 次 のように 得 られる M 1 σ = = = 868 I 184 N cm σ =14. t 16MPa ma 曲 げ 応 力 の 分 布 図 は 右 図 のような 直 線 となる 曲 げ 応 力 が 最 大 となるのは 上 下 端 なので 最 大 引 っ 張 り 応 力 最 大 圧 縮 応 力 M N N σ t = = 868 1 = 1416 = 1416 ma I cm m N = 1416 = Pa = 14.16 = MPa m mm σ c ma M = = 868 I ( 1) = 1416 cm = Pa 7

せん 断 応 力 鋼 製 のはりではせん 断 力 はそれ 程 の 重 要 性 を 持 たないが, コンクリートはりではせん 断 応 力 の 影 響 は 無 視 できない コンクリートはりの 重 要 な 破 壊 因 子 である 斜 引 張 力 はせん 断 応 力 によって 発 生 するので,せん 断 応 力 についても 十 分 に 学 習 しておかなければならない 面 面 面 と 向 きの 定 義 せん 断 応 力 は 作 用 する 面 と 向 きのつで 定 義 する 右 図 に 示 すように 軸 に 垂 直 な 面 を 面, 軸 に 垂 直 な 面 を 面 と 呼 ぶ せん 断 応 力 を 次 のように,せん 断 応 力 の 作 用 する 面 と 作 用 する 向 きのつの 添 字 で 表 す Δ Δ 第 1 添 字 はせん 断 応 力 の 作 用 する 面 を, 第 添 字 は 向 きを 表 す せん 断 応 力 の 共 役 性 Δ と Δ で 囲 まれる 微 小 要 素 の 力 のつり 合 いを 考 えてみよう 直 応 力 は 引 っ 張 りが 正 とし,せん 断 応 力 は 図 のように 作 用 していると 仮 定 しておく 中 心 点 の 回 転 力 のつり 合 いに 直 応 力 は 寄 与 しないので,せん 断 応 力 に 関 する 次 のつり 合 い 式 を 得 る Δ M i = ( 時 計 回 り 正 )より Δ Δ Δ Δ b + b b b = Δ = (7) 上 記 の 性 質 をせん 断 応 力 の 共 役 性 と 呼 ぶ せん 断 応 力 の 分 布 はりの 切 断 面,すなわち 面 に 作 用 するせん 断 応 力 の 分 布 を 求 めるのに,せん 断 応 力 の 共 役 性 を 利 用 して, 面 に 作 用 するせん 断 応 力 を 求 める 作 戦 をとる η Δ 面 より 外 側 の 作 用 する 水 平 力 のつり 合 いを 考 える { } ση ( ) d + ση ( ) + Δση ( ) d b Δ = Δση ( )d bδ = 8 (8) σ( η) σ( η) + Δσ ( η)

面 積 に 関 する 積 分 は, 考 えている 点 より 外 側 について 行 うことに 注 意 してほしい 任 意 の 点 η における 曲 げモーメントは 次 式 で 与 えられる ση ( )= M I η 上 式 を 式 (8)に 代 入 して ΔM Δ ΔM η d b Δ = I 1 ΔM = η d bi Δ Δ Δση ( )= M I は を 限 りなくゼロに 近 づけると, 曲 げモーメントの 微 分 を 表 す 曲 げモーメントせん 断 力 の 関 係 は 次 式 で 与 えられている dm d = Q 面 積 積 分 の 項 は, 考 えている 点 G Δ = η d η (9) (1) (11) (1) より 外 側 の 断 面 の 断 面 1 次 モーメントを 示 している (1) とおくと, 点 におけるせん 断 応 力 は 次 式 で 与 えられる G = bi Q (14) 例 題 1 長 方 形 断 面 のせん 断 力 の 分 布 を 求 めよ ( 解 答 ) より 外 側 の 断 面 1 次 モーメントを 求 める G = d= d = η η η η = ( ) 8 断 面 次 モーメントは ( ) = 8 Q 1 I = 1 (a) η Q = 1 4 (b) 式 ()は =± でゼロ で 最 大 となる 放 物 線 である 最 大 値 はせん 断 力 を 面 積 で 除 し た 平 均 せん 断 応 力 の1.5 倍 の 値 を 持 つ = 9

断 面 の 性 質 曲 げモーメントによる 応 力 すなわち 曲 げ 応 力 が 次 式 で 示 されることが 誘 導 された σ = M I (1) σ M I : 曲 げ 応 力 : 点 の 曲 げモーメント : 中 立 軸 周 りの 断 面 次 モーメント : 中 立 軸 からの 距 離 曲 げモーメントは 切 断 と 力 の 釣 り 合 い から 求 めることができる 断 面 に 作 用 する 回 転 力 である 上 式 は 構 造 力 学 を 学 ぶ 上 で 最 も 重 要 な 式 である コンサル タントにいるある 先 輩 は 荒 牧 構 造 力 学 を 教 えているな ら 曲 げ 応 力 の 式 ぐらい 使 えるようにして 出 してくれよ と 文 句 を 言 っていましたよ 大 学 の 土 木 工 学 科 を 出 て 曲 げ 応 力 も 使 えない 卒 業 生 などいらないと 言 った 口 振 りでした たぶ ん 今 もそのことは 変 わってないと 思 います これを 使 えるよ うになるのは 結 構 大 変 なんですよ 学 生 諸 君 せめてこの 式 だけは 使 えるようになって 下 さい 意 味 が 分 からず 使 えない 人 は 佐 賀 大 学 で 構 造 力 学 を 習 ったとは 言 わないで 下 さい ここでは 中 立 軸 を 定 義 する 断 面 1 次 モーメントと 曲 げ 応 力 を 求 めるのに 必 要 な 断 面 次 モーメントを 徹 底 的 に 学 習 しておこう 1. 断 面 1 次 モーメント 中 立 軸 位 置 は 断 面 1 次 モーメントがゼロとなる 軸 と して 定 義 された すなわち G = d= () 長 方 形 の 板 紙 を 中 心 付 近 で 支 えると うまくバランス を 取 れる 軸 が 存 在 する その 軸 が 断 面 1 次 モーメントが ゼロとなる 軸 である 長 方 形 の 場 合 は 中 心 点 を 通 る 軸 ならばどのような 向 きの 軸 でもつり 合 うから 図 心 軸 は 無 数 にあることが 分 かる 角 形 の 図 心 位 置 が1:の 位 置 にあることは 有 名 である 中 学 校 高 等 学 校 では 図 形 の 重 心 として 取 り 扱 ってき たことと 思 う 平 面 に 重 さはないので 重 心 より 図 心 の 方 が 意 味 が 明 確 です 直 感 的 ではなく 数 学 的 に 図 心 位 置 を 定 義 するには 断 面 1 次 モーメントを 理 解 しておく 必 要 があります いくつかの 例 題 で 断 面 1 次 モーメントを 求 めておき ましょう これから 計 算 する 系 は 右 下 図 のような 系 とする す なわち 部 材 軸 方 向 を 断 面 下 向 きに 軸 奥 行 き 方 向 に 軸 となるような 右 手 系 を 用 いる ただし 断 面 の 諸 定 数 を 求 めるときは 自 分 で 定 義 した 使 い 慣 れ た 座 標 系 を 用 いてよい 1

例 題 1 幅 高 さ の 長 方 形 断 面 の 最 下 端 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントを 求 めよ 微 小 面 積 d は 次 式 で 与 えられるので d = dd (a) 軸 周 りの 断 面 1 次 モーメントは 次 のように 求 められる [ ] G = d= dd = d Y = = d = 同 様 にして Y Y 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントも 計 算 することができる (b) d = dd G d YY = = (c) Y 問 題 1 幅 高 さの 長 方 形 断 面 の 中 心 点 を 通 る 本 の 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントをがゼロである ことを 確 かめよ Y d = dd 例 題 幅 高 さ の 三 角 形 の 底 辺 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントを 求 めよ Y d = dd とおいて 手 順 通 りに 積 分 する 方 法 で も 良 いが 少 し 手 を 抜 くやり 方 を 考 えよう d は 右 図 に 示 すように の 関 数 である 幅 を 用 いて d = b d b (a) b d と 表 すことができる 幅 b は 比 例 関 係 より b = ( 1 ) G d d d = = = ( 1 ) (b) = = 6 (c) 11

例 題 半 径 R の 半 円 の 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントを 求 めよ 極 座 標 表 示 の 積 分 の 練 習 にもってこいの 問 題 で す 自 分 でも 必 ずトレスしてみて 下 さい R 右 下 図 のような 微 小 面 積 d を 考 える 断 面 1 次 モーメントは 次 のように 求 められる G = d= rsinθ rdθdr R π dr R rdr r [ ] = R cosθ π = = (a) r d = rdθ dr = rsinθ. 座 標 軸 の 移 動 断 面 1 次 モーメント 及 び 中 立 軸 を 求 めるのに 便 利 v な 公 式 を 誘 導 しておこう この 公 式 を 自 由 に 操 れる ようになると 断 面 の 性 質 の 勉 強 も 楽 しくなります 任 意 の 座 標 軸 軸 及 び 軸 回 りの 断 面 1 次 d = dd モーメントを 求 める 面 積 の 定 義 式 w v G = d = v d d v d ( + ) = + w = + G w () G = d = + w d = d + w d ( ) + (4) = G v これはなかなか 含 蓄 のある 公 式 です 今 軸 を 図 心 軸 ( 中 立 軸 )としてみよう 図 心 軸 の 定 義 は 断 面 1 次 モーメントがゼロなので 中 立 軸 が 分 かっていれば 任 意 の 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメント 距 離 面 積 で 与 えられるし 逆 に 任 意 の 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメント が 求 まっていれば その 軸 から 中 立 軸 までの 距 離 は 次 式 で 与 えられる G = = G vw (5) 1

例 題 4 長 方 形 断 面 において 軸 回 り 及 び Y Y軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントが 次 のように 与 えら れている 図 心 軸 までの 距 離 と を 求 めよ G G = YY = ( 解 答 ) 座 標 軸 移 動 の 公 式 より 中 立 軸 までの 距 離 は 次 の ように 得 られる G = = = 常 識 的 な 結 果 が 得 られたでしょう GYY = = = Y Y v (a) w 例 題 5 半 円 の 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントは 次 式 のように 得 られている 図 心 軸 までの 距 離 を 求 めよ R G = R ( 解 答 ) 半 円 の 断 面 積 は πr R G 4R = = = =. 44R πr π なので 図 心 軸 までの 距 離 は 半 円 の 図 心 軸 位 置 は 多 分 この 方 法 が 一 番 簡 単 に 求 まると 思 います (a) 次 に 複 合 断 面 の 図 心 軸 を 求 めてみよう 式 ()を 回 う まく 使 うことにより 簡 単 に 求 めることができる 例 題 6 右 図 の 対 称 複 合 断 面 の 図 心 軸 位 置 を 求 めよ cm 1cm S ( 解 答 ) 最 初 に 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントを 求 める 断 面 を S と のつの 断 面 に 分 けて 考 える 長 方 形 断 面 の 1 S 図 心 軸 は 中 心 であることが 分 かっているので 軸 回 り の 断 面 1 次 モーメントは 容 易 に 次 のように 得 られる 1cm S 1 11cm 5cm G = 5 + 11 4= 64cm (a) cm 軸 回 りの 断 面 1 次 モーメントが 得 られたので 全 体 の 面 積 で 除 してやれば 図 心 軸 までの 距 離 が 求 まる G 64 = = = 87. cm 44 1 (b)

. 断 面 次 モーメント 断 面 次 モーメントは 次 式 で 定 義 された I = d 曲 げを 考 えるとき 最 も 基 本 的 な 物 理 量 なので 求 め 方 を 十 分 に 理 解 しておいて 下 さい Y 例 題 7 幅 高 さ の 長 方 形 断 面 の 最 下 端 軸 回 りの 断 面 次 モーメントを 求 めよ 軸 周 りの 断 面 次 モーメントは 次 のように 求 められる [ ] I = d= dd = d d = dd = = d = (a) Y 同 様 にして Y Y 軸 回 りの 断 面 次 モーメントも 計 算 することができる I d YY = = (b) Y d = dd 問 題 1 幅 高 さ の 長 方 形 断 面 の 中 心 点 を 通 る 本 の 軸 回 りの 断 面 次 モーメントを 求 めよ Y 問 題 幅 高 さ の 三 角 形 の 底 辺 軸 回 りの 断 面 次 モーメントを 求 めよ b d 14

例 題 8 半 径 R の 半 円 の 軸 回 りの 断 面 次 モーメントを 求 めよ 右 下 図 のような 微 小 面 積 d を 考 える 断 面 次 モーメントは 次 のように 求 められる G = d= r sin θ rdθdr R π R = R π R 1 cos θ θ sin θ rdr ( ) d θ = rdr 4 4 π R π r πr = rdr= = 4 8 R 4 π (a) r dr d = rdθ dr = rsinθ 問 題 半 径 R の 円 の 図 心 軸 回 りの 断 面 次 モー メントを 求 めよ R 4. 座 標 軸 の 移 動 v 断 面 1 次 モーメントの 場 合 と 同 様 に 座 標 軸 の 移 動 によ る 断 面 次 モーメントを 求 める 公 式 は 非 常 に 有 用 である 任 意 の 座 標 軸 軸 及 び 軸 回 りの 断 面 次 モーメントを 求 める I = d= ( + v) d w d = dd v w = d+ v d+ v d = I w I + I + = I v (6) (7) 中 立 軸 の 断 面 次 モーメントが 分 かると 任 意 の 軸 回 りの 断 面 次 モーメント は 上 式 を 用 いて 求 めることができる 式 (7)は 非 常 に 重 要 公 式 なので 覚 えてお くと 便 利 です 15

b 例 題 9 長 方 形 断 面 の 中 立 軸 軸 回 りの 断 面 次 モーメ ントは 次 の 式 で 与 えられることは 有 名 である 底 辺 軸 回 りの 断 面 次 モーメントを 求 めよ I = bh 1 h ( 解 答 ) 座 標 軸 移 動 の 公 式 を 用 いて h bh bh I = + I = ( ) bh + = 1 例 題 1 右 図 のような 複 合 断 面 の 図 心 軸 が 右 図 のよう に 求 まっている 図 心 軸 回 りの 断 面 次 モー メントを 求 めよ ( 解 答 ) 複 合 断 面 の 断 面 次 モーメントはそれぞれの 図 形 の 図 心 軸 回 りの 断 面 次 モーメントの 和 を 求 め ればよい cm 1cm 1cm S S 1 7. 7. 87. cm I = ( ) + 7 1 + 7 4+ 1.. 1 1 = 5675. cm 4 cm 16

鉄 筋 コンクリート 土 木 工 学 においてコンクリート 構 造 物 の 位 置 は 非 常 に 大 きい 近 代 構 造 工 学 の 発 展 は 安 価 な 鋼 材 の 供 給 と コンクリート 技 術 の 進 歩 によるところが 大 きい コン クリートジャングルなどと 悪 口 を 言 われながらも,そ の 有 用 性 のためにこれからも 使 い 続 けられるのは 間 違 いない コンクリートは 加 工 が 容 易 で 安 価 であるが, 引 っ 張 り 応 力 に 極 めて 弱 いという 弱 点 を 有 している コ ンクリート 工 学 は 鉄 筋 やピアノ 鋼 線, 鋼 棒 で 補 強 し てその 弱 点 を 補 ってきた 鉄 筋 コンクリート 工 学 が 土 木 構 造 技 術 の 中 心 であることはこれからも 変 わら ない 学 生 諸 君,コンクリート 構 造 工 学 の 難 しさと 楽 しさをじっくりと 勉 強 して 下 さい この 節 はコン クリート 工 学 の 入 門 編 の 入 り 口 です せん 断 力 図 P P l l + 曲 げモーメント 図 + Pl 4 P コンクリートはりの 破 壊 と 防 止 コンクリート 製 の 単 純 ばりの 中 央 に 集 中 荷 重 を 載 無 筋 コンクリート P 荷 した 場 合 を 考 えてみる せん 断 力 図 と 曲 げモーメ ント 図 が 右 のようになる この 両 図 は 力 のつり 合 い だけで 決 まるもので, 鉄 筋 が 歩 かないかには 全 く 関 係 のないことを 十 分 に 認 識 してほしい 曲 げ 亀 裂 曲 げ 破 壊 鉄 筋 を 入 れていない 無 筋 のコンクリートに 荷 重 を かけると, 載 荷 点 の 下 側 に 亀 裂 が 生 じ, 一 挙 に 破 壊 する これは 最 大 曲 げモーメントが 生 じる 中 央 部 の 下 側 引 っ 張 り 応 力 がコンクリートの 破 壊 強 度 を 越 え たために 起 こる 曲 げ 破 壊 である 主 鉄 筋 曲 げ 破 壊 を 防 止 するために 引 っ 張 り 応 力 側 に 鉄 筋 を 入 れる 正 の 曲 げモーメントの 時 は 下 側 に 鉄 筋 を 入 れなければならない 右 下 図 のように 片 側 張 り 出 しばりの 先 端 に 載 荷 した 場 合 は, 全 領 域 で 曲 げモー メントが 負 になるので, 上 側 に 鉄 筋 を 挿 入 しなけれ ばならない 鉄 筋 がどのような 仕 組 みで 補 強 材 として 作 用 する かは 鉄 筋 コンクリート 工 学 に 譲 る 鉄 筋 コンクリート( 主 鉄 筋 )P 斜 引 張 亀 裂 主 鉄 筋 P 17

斜 引 張 (しゃいんちょう) 破 壊 主 鉄 筋 で 補 強 した 鉄 筋 コンクリートばりに 載 荷 すると, 支 点 付 近 で 斜 めの 破 壊 線 が 生 ずる 場 合 が 多 い これは 斜 め 方 向 に 引 っ 張 り 応 力 が 生 じることによって 起 こる 斜 引 張 破 壊 である 斜 引 張 応 力 はせん 断 応 力 に 起 因 するものである 斜 引 張 応 力 中 央 点 の 下 縁 に 近 い 付 近 の 中 立 点 近 くの 態 を 考 える 要 素 と, 支 点 要 素 の 応 力 の 状 要 素 においてはせん 断 応 力 がゼロの 位 置 なので 曲 げ 応 力 だけが 作 用 している 一 方 要 素 は 中 立 軸 近 くにあるため 曲 げ 応 力 は 作 用 せず,せん 断 応 力 だけが 生 じている せん 断 応 力 の 共 役 性 より4つの 面 に 等 しいせん 断 応 力 が 生 じている 斜 線 部 分 で 切 断 して 考 えてみよう 右 下 向 きに 作 用 するつのせん 断 応 力 につ り 合 うために 斜 面 上 に 面 に 垂 直 な 引 っ 張 り 応 力 が 発 生 する この 引 っ 張 り 応 力 を 斜 引 張 応 力 と 呼 んでいる 要 素 せん 断 応 力 P σ b 要 素 σ b 曲 げ 応 力 ( 直 応 力 ) コンクリートは 引 っ 張 り 力 に 弱 いので 斜 め 方 向 に 亀 裂 が 発 生 したのである 斜 引 張 応 力 σ n 要 素 右 支 点 に 近 い 要 素 には 負 のせん 断 応 力 が 発 生 するので 亀 裂 のはいる 方 向 は 要 素 との 亀 裂 面 と 直 交 する 向 きになる 斜 め 方 向 の 応 力 については 次 節 でじっくりと 検 討 する 18

鉄 筋 コンクリート ( 主 鉄 筋 + 曲 げ 上 げ 鉄 筋 +スターラップ) P 曲 げ 上 げ 鉄 筋 とスターラップ 斜 引 張 応 力 に 抵 抗 するために 主 としてつ の 方 法 が 用 いられている 曲 げモーメント 図 から 理 解 できるように 主 鉄 筋 は 中 心 スターラップ 付 近 では 多 く 必 要 だが, 支 点 近 くではそれ 程 多 くの 鉄 筋 を 必 要 としない 中 心 部 付 近 で 主 鉄 筋 として 用 いた 鉄 筋 を 途 中 から 曲 げ 上 げると 斜 引 張 応 力 に 抵 抗 する 補 強 鉄 筋 となる この 鉄 筋 を 曲 げ 上 げ 鉄 筋 と 呼 ぶ もう1つは 主 鉄 筋 を 巻 くように 鉛 直 方 向 にループ 状 の 鉄 筋 を 挿 入 する 方 法 である 斜 引 張 応 力 に 対 して45 の 傾 きで 抵 抗 する この 鉄 筋 をスターラップと 呼 んでい る 主 鉄 筋, 曲 げ 上 げ 鉄 筋, 帯 鉄 筋 を 土 の 位 置 にどれだけの 量 配 置 するかが 鉄 筋 コンクリート 工 学 の 基 本 中 の 基 本 である これだけ 予 告 編 をやっておけば 鉄 筋 コンクリート 工 学 が 猛 烈 に 勉 強 した くなったでしょう 頑 張 って 下 さい 19

鉄 筋 の 引 っ 張 り 試 験 鉄 筋 の 引 っ 張 り 試 験 は 材 料 の 性 質 を 考 える 基 本 的 な 試 験 である このよう に 材 料 の 強 度 や 変 形 性 能 や 破 壊 の 状 況 などを 調 べる 試 験 のことを 材 料 試 験 と いう P このような 引 っ 張 り 試 験 を 最 初 に 実 施 したのは かの 有 名 なガリレオ ガ リレイと 言 われている 彼 を 材 料 力 学 の 元 祖 と 呼 んでもいいようです ガリ レオ ガリレイという 男 は 慣 性 の 法 則 を 見 つけたり, 天 体 運 動 の 法 則 を 確 立 したり, 宗 教 裁 判 を 受 けたり, 材 料 力 学 を 作 ったり, 本 当 の 天 才 だったので すね どんなことでも 自 分 で 考 えて 始 める 奴 は 本 当 に 偉 いと 思 います 人 が やった 後 なら 本 当 に 簡 単 ですよね 創 造 性 はこれからの 時 代 のキーワー ドです l P l P N Pa = 応 力 :σ = P m N N 単 位 = 1 = 1 cm m N 1 ひずみ ε = Δl mm m l 断 面 積, 標 点 距 離 の 供 試 体 に 張 力 をかけて 伸 びの 状 況 を 調 べる おなじみの 物 理 量 を 定 義 しよう 応 力 -ひずみ 関 係 σ ε 単 位 無 次 元 1) 縦 軸 に を, 横 軸 に 座 標 軸 をとる (パスカル) ( ) kpa N 6 N ( 1 ) = = MPa = m (メガパスカル) (1) () ) 鉄 筋 の 引 っ 張 り 試 験 を 行 うと 下 図 のような 応 力 -ひずみ 関 係 式 を 得 る いくつかの 特 性 (properties)を 述 べてみよう O 区 間 線 形 弾 性 領 域 (linear elastic region) 有 名 なook(フック)の 法 則 が 成 り 立 つ 範 囲 である σ = Eε 上 式 は 傾 き E E () の 直 線 式 である を 弾 性 定 数 (Elastic constant),あるいはヤング 係 数 (Young s modulus)と 呼 ぶ 単 位 は 応 力 と 同 じである N m σ σ U σ E σ P O 弾 性 領 域 1 E 永 久 ひずみ D 塑 性 領 域 E G F ε

区 間 弾 性 範 囲 なのでこの 区 間 で 力 を 除 く( 除 荷 )と, 同 じパスをたどって 原 点 O に 戻 る 点 の 応 力 を 比 例 関 係 がここまでと 言 う 意 味 で 比 例 限 度 (proportional limit)という σ P 非 線 形 弾 性 区 間 (nonlinear elastic region) 上 記 の 線 形 関 係 は 成 立 しないが,この 区 間 で 除 荷 すると 載 荷 時 と 同 じパスをたどる 弾 性 の 性 質 をしめす 点 の 応 力 σ E を 弾 性 限 度 (elastic limit)と 言 う G 区 間 塑 性 領 域 (plastic region) 荷 重 を 除 荷 すると 原 点 から 再 載 荷 すると 直 線 上 をたどり, 点 に 到 着 した 時 点 で 元 の 応 力 ひずみ 関 係 に 戻 る さらに で 除 荷 し, 再 載 荷 すると 直 線 上 を 往 復 して, 元 の 応 力 ひずみ 関 係 式 に 戻 る に 戻 らず, 永 久 ひずみ(permanent strain)が 残 る 例 え ば, 点 で 荷 重 を 除 くと, 弾 性 定 数 にほぼ 等 しい 傾 きの 直 線 上 をたどり, 分 の 永 久 ひずみが 残 る O D OD D D E すなわち, 材 料 は 過 去 に 受 けた 最 大 の 応 力 を 記 憶 している 応 力 記 憶 材 料 と 言 うわけ である この 性 質 は 土 にも 見 られるから 金 属 固 有 の 性 質 ではない 土 のような 塑 性 領 域 を 何 回 も 経 験 したようなすれっからしの 材 料 を 相 手 にするときはこの 性 質 をよく 知 っておか ないと 弾 性 範 囲 の 広 い 材 料 のような 勘 違 いをすることがある 少 ない 個 数 の 試 験 で 物 性 値 を 決 めると 危 険 ですよ EF 終 局 強 度 (ultimate strength) これ 以 上 の 応 力 には 耐 えることのできないと 言 う 限 度 を 終 局 強 度 と 呼 ぶ 設 計 の 時 はこの 終 局 強 さが 最 終 の 限 度 である この 応 力 に 達 する 状 態 を 基 準 に 設 計 を 行 うことを 終 局 強 さ 設 計 法, 限 界 状 態 設 計 法 と 呼 ぶ 現 在 の 設 計 法 は 許 容 応 力 法 から 限 界 状 態 設 計 法 に 移 行 しつつある σ U 許 容 応 力 (allowable stress) 次 の 式 で 定 義 される 応 力 を 許 容 応 力 と 呼 ぶ σ σ = a U F F : 安 全 率 (safe factor) σ U σ a 例 えば, 安 全 率 をとすると 終 局 強 さの 半 分 を 許 容 応 力 と 定 義 したことになる 設 計 利 用 範 囲 許 容 応 力 設 計 法 は, 対 象 ごとに 安 全 率 を 定 め, 構 造 物 に 発 生 する 応 力 をこの 許 容 応 力 以 下 にする 方 法 である 現 場 では 限 界 状 態 設 計 法 と 併 用 されている 1

土 の 強 度 盛 り 土 をした 斜 面 が 円 弧 状 の 面 に 沿 って 回 転 しながら 滑 ってしまう 現 象 を 円 弧 すべりと 呼 ぶ この 現 象 は 円 弧 で 囲 まれた 土 の 塊 が 重 力 で 下 向 きに 引 っ 張 られると 任 意 の 点 O 回 りに 滑 ろうとする 回 転 力 が 生 じる 面 に 作 用 する 土 の 抵 抗 力 によるモーメントがすべりの 回 転 モーメントより 大 きければ 安 定 だが 小 さくなったときにすべると 考 えられる 土 はせん 断 応 力 に 対 してどの 程 度 の 強 度 を 有 しているのか 土 質 力 学 における 最 も 重 要 なテーマの 一 つである O( 回 転 中 心 ) すべらせようとする 回 転 力 せん 断 抵 抗 応 力 鉄 製 のリング 土 のせん 断 強 度 を 求 める 古 典 的 な 実 験 方 法 に 一 面 せん 断 試 験 がある 真 ん 中 ですべらせることのできる 鉄 製 のリングの 中 に 土 の 供 試 体 をセットする 上 から 鉛 直 力 P をかけた 状 態 でリングの 横 方 向 か ら 水 平 力 S を 加 えると 面 に 沿 ってせん 断 応 力 が 生 ずる 水 平 力 S を 次 第 に 増 加 すると ある 力 の 大 きさで 力 を 増 やさなくとも 変 位 が 増 大 する いわゆるすべりの 状 態 になる 最 大 の を 最 大 せん 断 力 と 呼 ぶことにする 供 試 体 を 取 り 替 え 鉛 直 力 を 増 やして 実 験 を 繰 り 返 すと 一 般 的 には 前 より 大 きな S ですべる 鉛 直 力 P を 数 回 変 化 さ せて 実 験 を 繰 り 返 し すべりが 生 ずる 鉛 直 力 と 水 平 力 を 求 めて おく S P 土 の 供 試 体 σ = P = S (1) S

σ 横 軸 に 直 応 力 をとり 縦 軸 にせん 断 応 力 をとる (この 座 標 軸 はこの 講 義 と 土 質 力 学 で 嫌 と 言 う ほどでてきますので 早 く 慣 れて 下 さい ) 実 験 で 求 めた 破 壊 したときの 直 応 力 とせん 断 応 力 をプロットしてみる 少 々のばらつきは 当 然 あるが 一 般 的 には 右 のような 図 が 得 られる 破 壊 領 域 φ この1 本 の 直 線 は 非 常 に 重 要 な 意 味 を 持 っ ているのです いくつか 列 挙 してみましょう c σ 1) せん 断 強 度 は 面 に 垂 直 な 圧 縮 応 力 と 直 線 関 係 にある ) 直 応 力 がゼロの 時 でも 一 定 の 強 度 を 有 している ) この 直 線 の 外 側 の 応 力 状 態 にはなれないと 考 えてよい 4) すなわち 直 線 の 外 側 は 破 壊 領 域 である c φ 5) 直 応 力 がゼロと 時 の 値 と 角 度 を 用 いた 次 のような 式 で 直 線 を 表 すことができる = c + σ tan φ () f f σ c φ : せん 断 強 度 ( N / m Pa ) : せん 断 面 上 の 直 応 力 ( N / m Pa ) : 見 かけの 粘 着 力 ( N / m Pa ) : 内 部 摩 擦 角 上 式 はモール クーロンの 破 壊 基 準 と 呼 ばれている 土 の 強 度 は 土 固 有 の 性 質 だけでなく 直 応 力 に 依 存 しているというのが 大 きな 特 徴 です その ため 土 要 素 に 生 じている 応 力 の 向 きと 大 きさが 決 まらないと 土 の 強 度 が 決 まらないのです このように 強 さ が 作 用 する 面 に 垂 直 な 力 に 依 存 するものに 覚 えがありませんか 摩 擦 力 です 摩 擦 力 もクーロンの 式 と 呼 ばれるでしょう 親 戚 みたいなものです

静 止 摩 擦 力 と 面 に 垂 直 な 力 との 関 係 は 底 面 の 大 きさに 関 係 なく 次 式 で 与 えられた N S = μ N () いま 重 さ N 上 の 場 合 の 接 地 面 積 を 1cm の 物 体 を 考 えてみよう とすると 直 応 力 は σ = N / cm となる 静 止 摩 擦 係 数 を 5. とすると 水 平 力 1N ですべり 出 す そのときのせん 断 応 力 は = 1N / cm となる S 下 の 場 合 の 接 地 面 積 を 5cm 応 力 とせん 断 応 力 はそれぞれ とすると 直 σ = = 4N / cm N / cm N σ = 5. 両 方 とも 静 止 まさつ 係 数 に 等 しくなる 摩 擦 の 公 式 は 式 ()のみかけの 粘 着 力 がな い 場 合 と 考 えればよい S 4