電磁気の公式の解説 更新日 :2017 年 5 月 11 日 A 電気量電荷と電気量は何が違うのだろうか? 簡単に言うと 電気を帯びたものを電荷といい その電荷の大きさを数字で表すものが電気量である 電荷と電気量の本来の意味は少し違うが 実際には同じ意味で使われることが多い 電気量は次のように決められる ファラデー定数 9.65 10 4 (C /mol ) より電子 6.02 10 23 個が電気量 9.65 10 4 (C ) よって 1(C ) は 6.02 1023 ( 個 ) 9.65 10 4 (C ) =6.24 1018 個分の電子になる C も mol も個数の単位なので互いに変換可能である B 電流 1 秒間当たりに移動する電気量を電流という これは 1 秒間に流れた電子の数を表す t (s) に流れた電気量が q(c) とすれば 電流 i( A) は i= q [B1] t ただし 電子は負の電荷なので 電子の移動する方向と電流の向きは正反対になる C クーロンの法則 2つの点電荷の距離 r, 電気量 q 1, q 2 (C ) 力の大きさ F ( N ) とすると定数 k=9 10 9 により F=k q 1 q 2 r 2 [C1] F >0 ならば 反発力 F <0 ならば 引力である D 電場 空間中の +1(C ) の電荷働く力 E を電場 ( 電界 ) という 同じ点に電気量 q(c) をおいた時の電場は F=q E [D1] となる [D1] を点電荷の場合に確かめよう 電気量 Q(C ) の点電荷から距離 r (m) の電場はクーロンの法則から E=k Q 1 = k Q r 2 r 2 同じ点で +1(C ) の電荷を q (C) の電荷に置き替えた時の力は F =k Q q r =q E 2 確かに [D1] が成り立っている となり E 電位 E= 一定 の時 電荷 +1(C ) を距離の座標 x 1 から x 2 まで Δx=x 2 x 1 動かす仕事は ΔV =E Δ x [E1] これが位置エネルギー = 電位になる 単位 (V) ボルト q(c) を Δ x 動かす仕事は ΔW = F Δ x=q E Δ x=q ΔV より Δ W =q ΔV [E2] ΔV =V 2 V 1 として (E2) を Q V グラフで表すと 面積 S=q ΔV = ΔW 2 点間の電位の差 ΔV を電圧という [E1] を V = E x [E3] とも書く
F コンデンサーの静電容量高校物理において コンデンサーは合同な 2 枚の金属板を平行に並べたものである 電池を接続すると 電圧の高い方 (+ 極 ) に接続された金属板には正の電気量 Q(C) が 低い方には負の電気量 -Q(C) が蓄積される 正負の電気量の絶対値は等しい 蓄積された電気量 Q 電圧 V とすると 比例関係 Q=C V [F1] 比例定数 C を静電容量または容量という 単位 (F) ファラッド =C / V 電気量 0 から Q まで蓄電された時の仕事は (E2) より Q V グラフの面積 S = ΔW = 1 2 q V = 1 2 C V 2 [F2} これが静電エネルギーである G 電気力線とガウスの法則正電荷から負電荷へ電場の向きに線をつなぐと 1 本の電気力線が得られる この線は途中で発生や消滅はしない 電気力線の本数を その元となる電気量に比例すると考えよう 比例定数を 4 π k と決めれば N =4π k Q [G1] この本数は途中で増減することはない ガウスの法則について Q(C ) の点電荷を中心に半径 r の球の表面積は S =4π r 2 これと E= k Q r 2 から r 2 を消 去し [F1] を代入すると E=4 π k Q S = N S つまり 電気力線の面積密度が電場に等しい [ ガウスの法則 ] ε 0 = 1 4 π k とし これを真空の誘電率と名付けると N =E S= Q ε 0 [G2} H コンデンサー間の電気力線と C=ε S d ガウスの法則をコンデンサーに使おう [F1] よりコンデンサーの式は Q=C V [H1] 極板間の距離 d 電場 E とすると [E3] から E d=v [H2} ただし E は極板間の外ではゼロとする 極板の面積 S とすると, ガウスの法則から E S = Q ε 0 [H3] S [H2] と [H3] から E を消去して Q=ε 0 d V これと [H1] を比較して S C=ε 0 d [H4] コンデンサーの極板間を誘電体が占める時 その表面に現われる分極電荷によって 蓄積される電気量 が増える それを Q ' とすると Q '>Q そこで Q '=C ' V C ' =ε S d となるように誘電体の誘 電率 ε をきめると ε>ε 0 これより 比誘電率は ε r = ε ε 0 >1
I 電束電束は高校物理では扱われないが 磁束と磁束密度の関係を理解するための模型になる (i) 電気力線の本数が変わる電気力線の本数は増減しないものと考えたいが それが成立しない場合がある コンデンサー極板間距離を 2d その中の d は真空 残りの d に誘電体がある時 電荷 Q と して 真空部分の電気力線は N =E S= Q ε 0 [I1] 誘電体内の電気力線は N '=E ' S = Q ε [I2] ε 0 <ε より N > N ' つまり誘電体の表面で電気力線の本数が変わっている (ii) 誘電体内外でも変わらない本数の数え方を決める 誘電体の内外で電気力線の本数が変わる理由は ε 0 と ε の違いにあった これを取り込む新しい本 数の数え方を φ e =εn [I3] と決めて電束と名付けよう 真空の場合は φ e =ε 0 N [I4] 誘電体の外側と内側では [I1][I2] より φ e =ε 0 N =Q=ε N ' =φ e となって本数が変わらない 電束の面 積密度は D= φ e S = ε N S =ε E S S =ε E となり 電束密度という J 磁気量磁石同士に働く力を磁力という 電磁石では 円電流の流れる向きを右ねじの回転の向きと考えると 右ねじが進む方向に N 極が現れる N 極と S 極が引きあうことから 同じ向きに流れる 2 つの円電流は引き合い N 極と N 極 または S 極と S 極が反発することから逆向きに流れる 2 つの円電流は反発することがわかる 磁石の内部にも円電流があり その正体は電子自身の自転である これはスピンと呼ばれる 電磁石の外部を N 極から S 極へ向かって磁力線があると想定し その向きに磁場というベクトルを考えると 内部では S 極から N 極へ磁力線が通る 電流の向き 磁場の向き 力の向きにフレミング左手の法則が成り立つことが確認できる 磁力の元は電流 I とその長さ L にあるので その積 I L を電流素片とし 比例定数 μ ( 透磁率という ) として q m = μ I L を磁力を生み出す元として磁気量 ( 単位 wb ) と決める 電気力線における 電気量に対応する K 磁場とローレンツ力磁気量 1(wb) に働く力 H を磁場 ( 磁界 ) とすると磁気量 q m に働く力は F =q m H [K1] 空間中を速さ v の電荷 q がある時 t 秒間では I =q /t, L=vt より電流素片は I L=q v 磁束密度 B= μ H と置くとローレンツ力は F=q m H = μ I L H = I B L=qv B [K2] 電流素片から磁荷へ向かう直線と電流の向きとのなす角 θ とすると F =IB Lsin θ [K3] L 磁力線とガウスの法則磁場 H の向きに線をつなぐと 1 本の磁力線を得る 電気力線と同様にガウスの法則を述べると 磁力線の本数 M =4 π k q m H =M / S [L1] については次節で決める 磁気量についてのクーロンの法則 磁気量 q m を中心に半径 r の球を考えると表面積 S=4π r 2 より (L1) から H = k q m r 2 [L2]
M アンペールの法則長さ L の直線電流 I について考える 円筒の2つの円の中心が I 通るように書く 右ねじの法則と (J1) により 磁場は円筒の側面に平行に生じ 底面の磁場はゼロである (L1) から M =4 π k q m =4 π k μ I L および S=2π r L から H =4π k μ I 2π r ここで 4 π k μ=1 となるようにkを決めると H = I [M1] これはアンペールの法則である 2 π r この時 [L1] より磁力線の本数は M =H S = q m μ [M2] となる N 磁束 [G2] の電気力線の式 N = q ε から電束 [I3] φ e =εn を定義したように [M2] の M = q m μ から磁束を φ= μ M [N1] と定義しよう これは透磁率の異なる物質でも変化しない 磁束の面積密度は B= φ S = μ M S = μ H S = μ H [N2] Bは磁束密度と呼ばれる S O ファラデーの電磁誘導の公式を導く ( この項目は参考として掲載 ) コンデンサー内部には電流は流れていないが 電場は存在する [F1] Q=C V [H2] V = E d [H4] C=ε S d から C, V を消去すると Q=ε S E 電流 I は電荷 Q の時間微分であるから I = d Q =εs d E この電流にアンペールの法則を使うと H = I 2 π r = ε S 2 π r d E [O1] これより電場の時間微分によって磁界が生じることがわかる 次の仮定はマクスウェルが方程式を導くために使ったものである 磁場と電場の関係を表す公式において 磁場と電場には対称性が成り立つ つまり 式の中で磁場と電場を交換しても式は成り立つ これを [O1] に使う E と H を交換し 誘電率 ε と透磁率 μ を置き換えると E= μ S 2 π r d H [O2] つまり 磁場の時間微分が電場を生じさせることになる 半径 r の円形の電流とその中の磁場にこの式を使うと B= μh より V = E 2 π r=μ S d H d( μhs ) = = d(bs ) = d φ [O3] これはファラデーの誘導起電力の式である これとアンペールの法則からコイルの誘導起電力は V = d φ = μs d H = μs d I 2 π r =L d I ( L= μs 2π r とおく )
P LC 回路の単振動エネルギー コイルの磁場エネルギーは [E2] より ΔW =Q ΔV =(I Δt)(L Δ I Δt )=L I Δ I これを積分して E=W = d W =L I d I = 1 2 L I 2 [P1] 容量 C " のコンデンサーと自己インダクタンス L のコイルで1つの閉回路を作る時 E= 1 Q 2 2 C + 1 2 LI 2 = 一定 [P2] が成り立つ 証明は de =0 による dt d E = Q d Q C + L I d I =Q I I V =V I I V =0 C V = Q C = L d I すると ω= 1 L C に I = d Q ω= 2π T を代入すると より振動の周期は T = L C [P3] Q= L C d 2 Q 2 これに Q=Q 0 sin (ωt) を代入 Q ビオ サバールの法則を導く ( この項目は参考として掲載 ) 磁気量 q m についての磁場は [L2] より H = q m 4 π μ r 2 流れる電流素片を I Δl とすると [K3] から F =I B Δ l sin θ これに [N2] B= μ H を代入して I Δl sinθ F =I B Δl sinθ= μ H I Δl sinθ=( )q 4π r 2 m [Q1} 作用反作用の法則から 磁荷 q m には反対方向に同じ大きさの力が働く よってその位置に磁場 ΔH があることになる 磁荷 q m に働く力は [K1] より F =q m ΔH [Q1] と [K1] から I Δl sinθ ΔH = [Q2] これがビオ サバールの法則である 4 π r 2 電流を微小区間に分け 各区間が作る磁場を重ね合わせると 電流全体が作る磁場を計算できる 直線電流 I が作る磁場をビオ サバールの法則から求めてみよう 電流素片の位置をQ Pから直線への垂線の足をR θ= P Q R a=p R " l=q R P Q=r とすると tanθ= a cosθ= l l r l= a tanθ を微分して Δl = a sin 2 θ Δθ 1 r = cosθ = cosθ tanθ = sinθ l a a これらの関係式を式 5に代入すると, この部分が作る磁場は ΔH =( I sinθ 4 π a ) Δθ π 直線上のすべての電流が作る磁場は H = ( I sinθ 0 4π a より )d θ= I 2 π a アンペールの法則の再証明
R 電磁波の速さを計算する ( この項目は参考として掲載 ) (O1) より電場の時間変化が磁場を発生させるが (O2) からはその磁場の発生がさらに電場を発生させることがわかる この連鎖反応により 電場と磁場の波が発生する これを電磁波という ここではその速さを求めよう 真空中では電気力線の本数は距離によって変わらない 0= d N = d ( E S) 磁力線についても同様に [O2] E= μ S d H 2π r =( d E S+E d S ) H d S = d H S r=x と置きなおして E d S = μ S d H [O1] [R1] と [R3] から [R2] と [R4] から H = ε S d E 2π r [R5] を代入して d N =0 これに N =E S を代入すると E d S = d E S [R1] [R2] において S =π r 2 とおくと 2 π r= d S d r からも同様に μ d H = d E ε d E = d H μ ε d 2 E 2 = d 2 E 2 [R5] [R3] H d S =ε S d E [R4] となるので 両辺を t で微分して ε d 2 E 2 = d [R6] これに波の一般式 E=E 0 sin(2 π ( x λ t T )) を代入すると μ ε T 2 = 1 λ 2 E d S d r = μs d H d H = d d H よって電磁波の速さは c= λ T = 1 μ ε ε=8.854 10 12 (F /m), μ=1.257 10 6 ( H /m) を代入して c=2.998 10 8 (m/ s) を得る これが光の真空中の速さと一致することから 光が電磁波の一種だと考えられた ここでは t による微分と x による微分を d, d と書いたが 数学の正式な書き方では 2つの変数が互いに関係なく微分できることを示すために t, x と書く 高校では扱わないので この稿では高校数学の書き方にした [ あとがき ] この稿では磁気量を定義し 1 単位の磁気量に働く力を磁場と定義した 1 単位の電気量に働く力である電場と同じように 磁場を理解できるからである しかし N 極だけの磁石を取り出すことはできないことからもわかるように 磁気量はN 極の磁気量とS 極の磁気量が必ず一緒になって現われるので 合計の磁気量はゼロになる それで 通常は磁場を磁気量を使わないで定義するが これがまた理解しにくい 電気量を電子の個数の単位だと割り切る書き方や ガウスの法則を書くに当たり 電気力線の本数をいきなり電気量で定義する書き方も 通常の電磁気学とは違う書き方であるが これもわかりやすさを優先させたためである 高校物理の範囲を超えたものもあるが ここで説明した公式そのものは 高校物理の公式と同じであるから 試験で使っても問題ない