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1 No. 基礎 ~ マクスウェルの方程式 ~ t t D H B E d t d d d t d D l H B l E 微分形積分形

2 電磁気学の知識からマクスウェルの方程式を導く No. ファラデーの法則 V d dt E dl t B d ストークスの定理を使って E d E ファラデー : 近接作用 界の概念を提唱 B t t B d アンペアの法則 I H rh I H dl d r dl V d d dl A d ストークスの定理 A dl ストークスの定理を使って H d d I r H H Tokyo Insttute o Tecnology 電磁界は空間全体に分布する T. Hrano

3 マクスウェルの方程式 No. 3 James lerk Mawell アンペアの法則は無限長電流から導いた不完全なものであった これが有限長の電流でも成り立つように 電荷保存則 電流連続の式 を組み込んで完成させた 具体的には変位電流をアンペアの法則に組んで修正する 電流連続の式は修正されたアンペアの法則の dv を取ると導かれる 電流連続の式 : Q I t t Q d 波になる H ファラデーの法則 アンペアの法則 解いてみると E H 微分形 E d 積分形 構成 媒質 方程式 電束密度誘電率電界 磁束密度 D E B H 透磁率 B E Edl t B d t D H t H dl d D d t D 変位電流 変位電流 D d dv V B B d この方程式でマクロな電磁気 電磁波現象の全てが記述可能 媒質条件 励振条件 境界条件は与える 電磁波 と名付けた dl 速度は光速と一致 c [ m / sec] 磁界 光は電磁波の一部と考えられる I James lerk Mawell, A Dynamcal Teory o te Electromagnetc Feld, Plosopcal Transactons o te Royal ocety o London, vol.55, pp.459-5, 865. Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

4 振動する電気双極子 電磁波の予言 No. 4 変位電流なし 電界 変位電流あり このように飛んでいく電界 と磁界 が 電磁波 伝搬速度が無限大の場合 伝搬速度が有限の場合 時間的に変化する電流 加速運動する電荷 は電磁波を放射する 864 年 イギリス人のマクスウェルは時間的に変化する電流 加速する電荷 について思考実験し 電磁波の存在を予言した 電気現象と磁気現象がリンクする 矛盾も解決 しかもその式を解くと速度は光速と一致するので 光は電磁波であると予言した Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

5 微小ダイポールの放射界 No. 5 l l Tokyo Insttute o Tecnology 振動電荷 波長に比して微小な領域 電磁界の変化が構造全体に同位相で印加されると見なせる程度の大きさ を考えるならば静電界 静磁界近似で十分 T. Hrano

6 ダイポールアンテナの動作原理 No. 6 l 逆方向の電流で 放射は相殺される a 先端開放のケーブル 開放 l ケーブルの電流は遠くから見ると逆向きで打ち消す l / この電流の 放射は相殺されない 電流はどちらも上向き 放射しない b 先端を折り曲げたケーブル 放射する 交流電流があれば 普通は放射する 物理現象 電線から電波が放射しにくいのは打ち消すから 電流が波長に比して短いと放射効率は悪い Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

7 線路とアンテナの違い 参考 No. 7 任意の電流分布は微小電流素 微小ダイポール の和と考えると理解しやすい J E アンテナ 放射は打消し合わない 線路 放射は打消しあう Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

8 マクスウェルの方程式と電磁界シミュレータの役割 No. 8 マクスウェルの方程式 ファラデーの法則 アンペアの法則 H E t E H t 電磁界シミュレータの目的は 上のマクスウェルの方程式を速く 精度良く なるべく一般の構造を解くこと 境界条件を指定する必要がある 微分方程式論の境界値問題 解くために必要な条件 解析の前準備 nˆ V 周囲境界 : 境界条件. 構造および媒質,, s. 境界条件 3. 励振波源上をまとめて 解析モデル と呼ぶ J 内部 : Mawell の方程式 Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

9 マクスウェルの方程式 E H 時間変化なし Tokyo Insttute o Tecnology 静電界 / 静磁界 / 準静電界 / 準静磁界 E 静電界 t 静電界 / 静磁界 独立 H H t V I E t ファラデーの法則 静磁界 H dl 逆起電力 変位電流 アンペアの法則 E dl Voltage urrent t E t 逆起電力は無視できない : 大 H 準静電界 H t コイル モーター等の解析 No. 9 変位電流は無視できない : 大 E E H t 準静磁界 T. Hrano

10 時間領域と周波数領域 No. 時間領域 周波数領域 マクスウェルの方程式 E H t H t E t j 調和振動 境界値問題 空間 + 初期値問題 時間 FDTD フーリエ変換 E j H j H E 境界値問題 空間 MoM, FEM, FDFD Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

11 波動方程式 E または H のみの式 No. マクスウェルの方程式 E jh H je J E j rh E r j H E j H r H を消去 場所の関数 H を消去して E の方程式を導く j E r je J ヘルムホルツの波動方程式 E r 有限要素法の基礎方程式 k re jk J Tokyo Insttute o Tecnology 同様に E を消去して H の方程式を導くこともできる T. Hrano

12 励振波源あり E k re jk J r z Antenna # l a 励振問題と非励振問題 行列方程式 Port r y Antenna # a l Port A b 励振波源なし / z j 導波路, モードの解析 -D z y 固有値問題 t Et t k E r r t No. A l 共振器 3-D E k r re Tokyo Insttute o Tecnology どの周波数でどのような形で共振するのか? T. Hrano

13 No. 3 シミュレーションのための数値計算手法 微分と差分 微分方程式の初期値問題と境界値問題 陰解法と陽解法 積分と区分求積 数値積分

14 初期値問題 例 No. 4 次の微分方程式 バクテリアの増殖, ロジスティック式, 初期値問題 を数値計算 中央差分 t. で解き 厳密解と比較しなさい d t dt ただし t a t a, である のグラフを描きなさい 解 t a t t a t ln t at t ep at t ept Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

15 境界値問題 例 No. 5 次の微分方程式 次ラプラスの方程式, 境界値問題 を数値計算 中央差分, Δ= で解き 厳密解と比較しなさい d d ただし 3, 3 である のグラフを描きなさい 解 d d Tokyo Insttute o Tecnology 3 / 3, / T. Hrano

16 差分 Fnte Derence No. 6 微分 dervatve, derentaton d d lm 差分 derence, nte derence 差分には主に次の 3 種類がある これら 3 種類の中では中央差分が精度が一番高い 前進 後進差分は の 次の精度 中央差分は の 次の精度である 3 d d d d d d 3 3 前進差分 後退差分 中央差分 Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

17 No. 7 Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano 差分の精度 O O 前進差分テイラー展開後退差分 O O テイラー展開中央差分 3 O 3 O 3 O O テイラー展開テイラー展開

18 d t dt 初期値問題 例 の差分法による解法 t t t t t t a t t / a t t a t について解くと漸化式が完成する t t t t t t t No. 8 t at t t t at Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

19 境界値問題 例 の差分法による解法 / No. 9 / / として =,における方程式を立てる =,3 は問題により境界条件が与えられているので 未知数はつである / / 4 Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano

20 No. Tokyo Insttute o Tecnology T. Hrano 境界値問題 例 の差分法による解法 / 陰解法陽解法 3 Do =, Do k=, End Do End Do 3 3 行列方程式を解く方法行列方程式を解かない方法 反復 繰り返し演算 安定不安定 安定条件を満たす必要あり 対角優位収束するまで繰り返し / / / / : new N N アフィン変換 N 行列方程式の直接解法 ガウスの消去法, LU 分解, 掃き出し法 では ON 3 の計算時間がかかる

21 数値積分 No. y y y a 4 3 bn N a 4 3 bn N a 4 3 b n n b a a Remann's Integral b Trapezodal rule c mpson's ormula リーマン積分 短冊和 台形公式 シンプソンの公式 d N b a / N Tokyo Insttute o Tecnology N b a { } d N { { b a / } { N N } N ttp://wwwantenna.ee.ttec.ac.jp/~ra/obby/edu/em/ mom/num_d_nt/nde-j.tml } { N N } T. Hrano