数学のかたち 共線問題と共点問題 Masashi Sanae 1
テーマ メネラウスの定理 チェバの定理から 共線問題と共点問題について考える 共線 点が同一直線上に存在 共点 直線が 1 点で交わる 2
内容 I. メネラウスの定理 1. メネラウスの定理とその証明 2. メネラウスの定理の応用 II. 3. チェバの定理とその証明 メネラウスの定理 チェバの定理の逆 1. メネラウスの定理の逆 2. チェバの定理の逆 3. メネラウスの定理の逆と共線問題 4. チェバの定理の逆と三角形の五心 5. チェバの定理の逆の応用 III. メネラウスの定理の拡張 1. 多角形におけるメネラウスの定理 2. 多角形におけるチェバの定理 3. 空間におけるメネラウスの定理 3
Ⅰ メネラウスの定理 メネラウスの定理とその証明 4
メネラウスの定理 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点 またはたは外分点とする 3 点 P, Q, R が同一直線上にあるとき BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つ デモ 5
メネラウスの定理のパターン 6
証明 1 線分の相似比を用いる AR BP CQ RB PC QA AS BP PC 1 BP PC AS 7
問 1 補助線を変えて証明 (1) (2) 8
証明 2 面積比を用いる AR BP CQ RB PC QA S S 3 S 1 2 S 1 2 S 2 S S S 2 3 1 9
Ⅰ メネラウスの定理 メネラウスの定理の応用 10
例題 1( メネラウスの定理の応用 ) OP OQ OR PA QB RC O P R Q A C B 11
例題 1 解答 OAC と直線 PB OP AB CR 1 PA BC RO O OBC と直線 AQ OQ BA CR 1 QB AC RO O P R Q P R Q A C B A C B 12
例題 1 解答 OAC と直線 PB OP AB CR 1 PA BC RO OBC と直線 AQ OQ BA CR 1 QB AC RO OP PA OQ QB BC RO AC RO AB CR BA CR OR CB AC RC AB AB OR RC AB AB OR RC 13
問 2 ABC : PQR m mn n : ( m n) 2 2 2 A F m R n n Q E B m D P n m C 14
問 2 方針 PQR ABC - ( PAB+ QBC+ RCA) PAB を求めることで AP:PD がわかる A F m R n n Q E B m D P n m C 15
問 2 方針 ADC と直線 BE にメネラウスの定理を用いる A F m R n n Q E B m D P n m C 16
Ⅰ メネラウスの定理 チェバの定理とその証明 17
チェバの定理 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点 またはたは外分点とする 3 直線 BC, CA, AB が一点で交わるとき BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つ デモ 18
問 3 チェバの定理のパターン A R O Q B P C デモ 19
問 4 証明 1 相似比による証明 20
問 4 証明 2 面積比による証明 A R S 3 O S 2 Q S 1 B P C
証明 3 メネラウスの定理を利用 ABP と直線 RC BC PO AR 1 CP OA RB A OBC と直線 AQ AO PB CQ 1 OP BC QA A R Q R Q O O B P C B P C 22
証明 3 メネラウスの定理を利用 ABP と直線 RC BC PO AR 1 CP OA RB OBC と直線 AQ AO PB CQ 1 OP BC QA BC PO AR AO PB CQ CP OA RB OP BC QA BP CQ AR 1 PC QA RB 23
Ⅱ メネラウスの定理 チェバの定理の逆 メネラウスの定理の逆 24
メネラウスの定理 ( 再掲 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点 またはたは外分点とする 3 点 P, Q, R が同一直線上にあるとき BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つ 25
メネラウスの定理の逆 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点 またはたは外分点とする BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つならば 3 点 P, Q, R は同一直線上にある 26
メネラウスの定理の逆はなりたたない ( 反例 ) A R Q B P C 27
メネラウスの定理の逆 ( 修正版 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点 またはたは外分点とする 内分点が偶数個 外分点が奇数個で かつ BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つならば 3 点 P, Q, R は同一直線上にある 28
メネラウスの定理の逆の証明 Q, R が辺の内分点であるとき 直線 RQ と BQ の交点をP とするとき 条件より BP' CQ AR 1 P'C QA RB BP CQ AR 1 PC QA RB BP BP' P P' PC P'C 29
Ⅱ メネラウスの定理 チェバの定理の逆 チェバの定理の逆 30
チェバの定理 ( 再掲 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点 またはたは外分点とする 3 直線 BC, CA, AB が一点で交わるとき BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つ 31
チェバの定理の逆 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点 またはたは外分点とする BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つならば 3 直線 BC, CA, AB は一点で交わる 32
チェバの定理の逆もなりたたない ( 反例 ) 33
チェバの定理の逆 ( 修正版 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点 またはたは外分点とする 内分点が奇数個 外分点が偶数個で かつ BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つならば 3 直線 BC, CA, AB は一点で交わる 34
修正版もなりたたない ( 反例 ) 35
チェバの定理の逆 ( 再修正版 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点 またはたは外分点とする 内分点が奇数個 外分点が偶数個で かつ BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つならば 3 直線 BC, CA, AB は一点で交わるか またはすべて平行である 36
チェバの定理の逆の証明 P, Q が辺の内分点であるとき 直線 AP と BQ の交点をO CO と AB の交点を R とするとき 条件より BP CQ AR' 1 P'C QA R'B BP CQ AR 1 PC QA RB R R A Q AR AR' R R' RB R'B B P O C 37
Ⅱ メネラウスの定理 チェバの定理の逆 メネラウスの定理の逆と共線問題 38
シムソンの定理 ABC の外接円の任意の点 D から 3 直線 BC, CA, AB に下ろした垂線の足をそれぞれ P, Q, R とする このとき この 3 点は同一直線上にある デモ 39
シムソンの定理の証明 ( 方針 ) ABC と 3 点 P, Q, R において BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 40
シムソンの定理の証明 BP CQ AR PC QA RB DBcos DCcos DCcos( ) DAcos DAcos DBcos( ) 1 41
ニュートンの定理 四角形 ABCD の対辺 AB, CD の延長線の交点を E AD, BC の延長線の交点を F とする AC, BD, EF の中点をそれぞれ P, Q, R とするとき この 3 点は同一直線上にある デモ 42
ニュートンの定理の証明 ( 方針 ) BC の中点を G GP と CE の交点を H GQ と BE との交点を I とする 3 点 H, I, R がそれぞれ CE, BE, FE の中点であるから 3 点は同一直線上 GHI と 3 点 P, Q, R において GP HR IQ 1 PH RI QG が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 43
ニュートンの定理の証明 EBC と 3 点 P, Q, R において BA ED CF 1 AE DC FB GP HR IQ BA FC PH RI QG AE FB ED 1 DC 44
デザルグの定理 ABC と A B C において 直線 AA, BB, CC が 1 点 O で交わっている 直線 AB と A B BC と B C CA と C A の交点をそれぞれ P, Q, R とするとき この 3 点は同一直線上にある デモ 45
デザルグの定理の証明 ( 方針 ) ABC と 3 点 P, Q, R において AP BQ CR 1 PB QC RA が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 46
デザルグの定理の証明 OAB と直線 PB OBC と直線 QB OCA と直線 C RC AP BB' OA' PB B'O AA' 1 BQ CC' OB' QC C'O BB' 1 CR AA' OC' 1 RA A'O C'C
デザルグの定理の証明 OAB と直線 PB OBC と直線 QB OCA と直線 C RC AP BB' OA' PB B'O AA' 1 BQ CC' OB' QC C'O BB' 1 CR AA' OC' RA A'O C'C 1 AP BB' OA' PB B'O AA' BQ CC' OB' QC C'O BB' CR AA' OC' RA A'O C'C AP BQ CR 1 PB QC RA
パップスの定理 2 直線上の 3 点をそれぞれ A, B, C, A, B, C とする 線分 AB と A B BC と B C AC と A C の交点をそれぞれ P, Q, R とするとき この 3 点は一直線上にある デモ 49
問 5 証明 ( 方針 ) 直線 AB と BC との交点を D A C と AB, BC との交点をそれぞれ E, F とする DEF と 3 点 P, Q, R において DP ER FQ 1 PE RF QD が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 50
パスカルの定理 円に内接する六角形 ABCDEF において AB と DE BC と EF CD と FA のそれぞれの交点を P, Q, R とすると この 3 点は一直線上にある デモ 51
問 6 証明 ( 方針 ) 直線 AB と CD AB と EF,CD と EF の交点をそれぞれの交点を L, M, N とする LMN と 3 点 P, Q, R において LP ME NR 1 PM EN RL が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 52
Ⅱ メネラウスの定理 チェバの定理の逆 チェバの定理の逆と三角形の五心 53
重心 三角形の中線は 1 点で交わる A B C 54
重心の証明 BP CQ AR PC QA RB BP CQ AR 1 BP CQ AR R A Q チェバの定理の逆より 3 直線は 1 点で交わる B P C ABP と直線 RC A AR BC PG 1 RB CP GA R Q PG RB CP 1 GA AR BC 2 B P G C
垂心 三角形の 3 頂点から対辺に下ろした垂線は 1 点で交わる A B C 56
垂心の証明 BP PC AB cos B AC cos C CQ QA BC cos C AB cos A R A Q AR RB AC cos A BC cos B B G P C BP CQ AR PC QA RB AB cos B AC cos C BC cos C AB cos A AC cos A BC cos B 1 チェバの定理の逆より 3 直線は 1 点で交わる
外心 三角形の 3 辺の垂直 2 等分線は 1 点で交わる A B C 58
外心の証明 BC, CA, AB の中点を P, Q, R とすると BC // RQ, CA // PR, AB // QP BC, CA, AB の垂直 2 等分線は RQ, PR, QP に対しても垂直 よって ABCの垂直 2 等分線の交点は PQRの垂心に一致する 垂心はすでに証明済み A R Q B P C
問 7 (1) 内心 三角形の 3 頂角の 2 等分線は 1 点で交わる A B C 60
問 7 (1) 方針 頂角 A, B, C の 2 等分線と対辺との交点を P, Q, R とする 角の二等分線の性質を用いて BP CQ AR 1 PC QA RB をいう ( チェバの定理の逆 ) 61
問 7 (2) 傍心 三角形の1 頂角の内角と 他の外角の2 等分線 A は1 点で交わる B C 62
問 7 (2) 方針 頂角 A の内角 B, C の外角の2 等分線と対辺との交点を P, Q, R とする Q 角の二等分線の性質を用いて BP CQ AR 1 PC QA RB をいう ( チェバの定理の逆 ) A B C P R 63
Ⅱ メネラウスの定理 チェバの定理の逆 チェバの定理の逆の応用 64
例題 2( ジュルゴンヌ点 ) ABC の内接円と辺 BC, CA, AB との接点を P, Q, R とすると 3 直線 AP, BQ, CR は 1 点で交わる A R Q B P C デモ 65
例題 2 方針 円外の 1 点から円に引いた接線の長さが等しいことを利用して BP CQ AR 1 PC QA RB をいう ( チェバの定理の逆 ) R A Q B P 66 C
例題 2 解答 BP = BR, CP = CQ, AQ = AR より BP CQ AR PC QA RB BP CQ AR 1 CQ AR BP A チェバの定理の逆より AP, BQ, CR は 1 点で交わる R Q B P 67 C
問 8 ( ナーゲル点 ) ABC の傍接円と辺 BC, CA, AB との接点を P, Q, R とすると 3 直線 AP, BQ, CR は 1 点で交わる R B P A C Q デモ 68
問 8 方針 円外の 1 点から円に引いた接線の長さが等しいことを利用して BP CQ AR 1 PC QA RB をいう ( チェバの定理の逆 ) S B P A C T 69
問 8 方針 BC = a, CA = b, AB = c, 2s=a + b + c とおく AS+AS AS+AT AS= 2 2 (AB+BP)+(AC+CP) 2 AB+BC+CA s 2 (AB+BS)+(AC+CP) 2 A S B P C T BP BS AS - AB s c 70
Ⅲ メネラウスの定理の拡張 多角形におけるメネラウスの定理 71
多角形におけるメネラウスの定理 n 角形のどの頂点も通らない直線が 直線 A k A k+1 (k=1, 2, 3,, n, A n+1 =A 1 ) と交わる点を P k とするとき n 1 1 A 2P2 3 3 n n k k 1 2 2 3 3 4 n n 1 k 1 k k 1 A P が成立する A P A P A P P A P A P A P A P A 1 72
多角形におけるパターン A1P1 A 2P2 AP 3 3 A 4P4 1 P A P A P A P A 1 2 2 3 3 4 4 1 A1P1 A 2P2 A3P3 A 4P4 A5P5 1 P A P A P A P A P A 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 デモ 73
証明 1 線分の相似比を用いる A P A B 1 1 1 1 2 2 2 2 P A A B 1 2 2 2 A P P A A B A B 2 3 3 3 A P A B P A A B k k k k k k 1 k 1 k 1 A P A P A P 1 1 2 2 3 3 A P P A P A P A P A 1 2 2 3 3 1 n n 1 n n A B A B A B A B 1 1 2 2 3 3 n n 1 A B A B A B A B 2 2 3 3 4 4 n 1 n 1 74
証明 2 帰納法を用いる n 角形の辺 A n A n+1 に A n A n+1 A 1 を作り A n A n+1, A n+1 A 1 と直線との交点を P, P n+1 とする 三角形では明らか n 角形で次の関係が成り立つとする A P A P A P A P 1 1 2 2 3 3 n n P A P A P A P A 1 2 2 3 3 1 n n 1 A n A n+1 A 1 と直線において 1 A1Pn A np ' A n 1Pn 1 1 P A P 'A P A n n n 1 n 1 1 75
証明 2 帰納法を用いる 2 式をかけると A P A P A P A P A P' A P 1 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n 1 n 1 P A P A P A P A P 'A P A 1 2 2 3 3 1 n 1 n n 1 n 1 1 P を P n におきかえると n + 1 角形でも成立 A P A P A P A P A P A P 1 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n 1 n 1 P A P A P A P A P A P A 1 2 2 3 3 1 n 1 n n n 1 n 1 1 1 1 76
Ⅲ メネラウスの定理の拡張 多角形におけるチェバの定理 77
多角形におけるチェバの定理 2n+1 角形の辺または延長上にない平面上の 1 点 O に対して 直線 A k O と A n+k mod 2n+1 A n+k+1 mod 2n+1 (k=1, 2,,2n+1,A 2n+1 =A 1 ) と交わる点を P k とすると 2n 1 A n 1P1 A n 2P2 A n 3P3 A np2 n 1 A n kpk 1 P A P A P A P A P A 1 n 2 2 n 3 3 n 4 2n 1 n 1 k 1 k n k 1 が成立する 78
考え方 対辺が存在する奇数多角形においてのみ拡張される n 2 n 3 A 1 P 3 A 5 P 4 A 2 P 2 (A A ) 3n 1 n P 5 A 3 P 1 A 4 デモ A3P1 A 4P2 A5P3 A1P4 A 2P5 1 P A P A P A P A P A 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 AP A P A P A P A P A P A P 4 1 5 2 6 3 7 4 1 5 2 6 3 7 P A P A P A P A P A P A P A 1 5 2 6 3 7 4 1 5 2 6 3 7 4 79 1
証明面積比を用いる A k A n+k O = S m とおくと A P S P A S n k k n k k n k 1 n k 1 (A A ) 3n 1 n A P A P A P A P P A P A P A P A n 1 1 n 2 2 n 3 3 n 2n 1 1 n 2 2 n 3 3 n 4 2n 1 n 1 S S S S S n 1 n 2 n 3 n 1 n 1 Sn 2 Sn 3 Sn 4 Sn Sn 1 80
Ⅲ メネラウスの定理の拡張 空間におけるメネラウスの定理 81
空間におけるメネラウスの定理 空間内の四面体 ABCD の辺 AB, BC, CD, DA またはその延長が平面 π と交わる点をそれぞれ P, Q, R, S とすると A AP BQ CR DS 1 PB QC RD SA が成立する B P π R S D Q C デモ 82
証明 直線 AC と平面 π との交点を U とする ABC と直線 PQ ACD と直線 SR AP BQ CU 1 PB QC UA AU CR DS 1 UC RD SA 83
証明 直線 AC と平面 π との交点を U とする ABC と直線 PQ ACD と直線 SR AP BT DS 1 BP TD SA BQ CR DT 1 QC RD TB AP BT DS BQ CR DT BP TD SA QC RD TB AP BQ CR DS 1 PB QC RD SA 84
頂点の巡る順 直線 BD と平面 π との交点を T とする ABD と直線 PS BCD と直線 QR AP BT DS 1 BP TD SA BQ CR DT 1 QC RD TB 85
証明 直線 BD と平面 π との交点を T とする ABD と直線 PS AS DT BP 1 SD TB PA BCD と直線 QR BT DR CQ 1 TD RC QB AS DT BP BT DR CQ SD TB PA TD RC QB AU CR DT BP 1 UC RD TB PA 86