(tight-binding model) 2 Figure : (a) B Berry (b)-(d) (b) (c) ( ) (d) (photovoltaic Hall effect)[] ( ) (a) 2 σ xy E j j x = σ xy E y () 9 [4] 2 ( ) σ x

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1 ( ) * June 8, 2 [] [2] H = P 2 2m (2) [3] p (K, K DC c = 3 8 m/s c/ εµ (ε µ ) εµ (

2 (tight-binding model) 2 Figure : (a) B Berry (b)-(d) (b) (c) ( ) (d) (photovoltaic Hall effect)[] ( ) (a) 2 σ xy E j j x = σ xy E y () 9 [4] 2 ( ) σ xy (HgTe/CdTe) 2. K K ac

3 k x, k y 2 2 σ x,y,z ac E ac H(t) = τ z v[k x +A x ac(t)]σ x +v[k y +A y ac(t)]σ y + 2 σ z (2) τ z = ± K K v = A ac (A x ac, A y ac) = (A cos Ωt, A sin Ωt) Ω A = ee ac /Ω E ac ac [] ac (Floquet) 2.2 ac dc dc σ xy (A ac ) = i dk (2π) d α,β α [f β (k) f α (k)] ε β (k) ε α (k) Φ α(k) J y Φ β (k) Φ β (k) J x Φ α (k) ε β (k) ε α (k) + i (3) [] α f α (k) ε α (k) J = H/ A T Φ α(t) J(t) Φ β (t) dt Φ α J Φ β T α β 3 σ xy (A ac ) (4) = e 2 dk (2π) d f α (k) [ k A α (k) ] z α ( k / k) A α (k) i Φ α (k) k Φ α (k) B k = k A α (k) (5) (Berry) [5] 2 B k (a) (b) K K AB A B ) τ z = ±(K K ) ε α = Φ α H(t) Φ α + Ωγ AA α /2π (6)

4 Energy (a) ࢠ Dirac ศᩓ (a) ky ky ό ή κ> (b) (c) > EF kx ᴾᴾᴾᴾᴾઅѣ ᵆᶑᶎᶇᶌᵋᶍᶐᶀᶇᶒᵊᴾᶃᶒᶁᵇ.. F/Ω= kx (b). π α=(,-) ε ky 4 2κ Ω α=(2,) 2 - π - kx π Figure 2: (a) 二次元ディラック分散 円偏光中で は各 k-点はブリュアンゾーン中を円運動し 非断 熱幾何学位相を獲得する (b) ギャップ の開いた Dirac 分散 (c) 円偏光のディラック電子のフロッ ケ擬エネルギー ディラック点にトポロジカル ギャップ 2κ > がダイナミカルに つまり 静的 外場ではなく ac 外場 光 のために 開く パラ メータとしては レーザー光の強度は F =.2 エネルギーは Ω =. v を とする単位系をとっ ている kx π Figure 3: (a) ディラック バンドと (b) グラフェ ンの光誘起ベリー曲率 示した 電極間だけではなく それと垂直方向に も光誘起ホール電流が流れている様子が見てとれ る 光誘起ホール電流の向きは 右円偏光を左円 偏光に変えれば当然逆転する I V 特性を図 4(b) に与えるが 照射する円偏光の強度を強くすると ホール電流が大きくなる ここで考えた 光誘起 ホール効果のために必要となるレーザー光の強度 は現実的であろうか 図 4(b) から 有意なホール のように動的位相 (第一項) と アハロノフ アナ 電流を得るためには 例えば F.w(w はグ ンダン (Aharonov-Anandan) 位相 (第二項) の和と ラフェンのホッピング) 程度が必要とすると フォ なる アハロノフ アナンダン位相というのは 普 トンのエネルギー Ω ev, w = 2.7 ev, 格子 通は断熱変化 十分ゆっくりした変化 に対して 定数 a = 2.6 A に対しては レーザー光の電場は 定義されるベリー位相を 非平衡に場合に拡張し E 7 V/m という 現実的な範囲内の値がえ たときに定義される位相である 特に ディラック られる また グラフェンだけでなく もっと一 点においては γαaa = π{[4(eac /Ω2 )2 + ] /2 } 般に 多層グラフェンや 多バンド系 例えば d で与えられる この擬エネルギー分散は 図 2(c) バンドと p バンドからなるような系 でも光誘起 で示すように ディラック点 k = ) において ホール効果が生じることが最近の研究により明ら 2κ = 4(Eac /Ω)2 + Ω2 Ω のギャップが開いて かになっており 今後の実験的な検証が大いに期 いる これ以外のバンドの交差点においてもギャッ 待されている プが開いているが ディラック点のギャップはア ハロノフ アナンダン位相のためであり 円偏光 金属導波管ネットワークにおけ を照射した場合にのみ生じる このとき 光誘起 3 ベリー曲率を計算するとディラック点の近くでは る強束縛フォトニック バンド [ k Aα (k)]z ) 3/2 ( 2, κ k + κ2 2 (7) 3. となり 最初からギャップがあいている場合と異な り カイラリティτz によらない そのため グラ フェンについて計算をすると図 3(b) のように K K 点において同符号で足し算され 光誘起ホール 効果が生じることが分かる 実際のサンプルに光誘起ホール電流が流れる様 子を調べるために 有限のグラフェンに電極を接 続し 円偏光を照射した時の電流分布を図 4(a) に 4 強束縛フォトニック バンドとは それでは 二番目の話題に移ろう フォトニック結 晶 [6] は光の操作法として興味深いことは言うまで もない 電子は結晶中でブラッグ反射を受け そ のためにバンド構造が生じ これは量子力学によ れば電子も波であるから当然であるが 逆に 似 たようなことが 周期構造中で光波に対して起き るはず というのは大変自然な発想である 実際 結晶中の電子とフォトニック結晶中の光の間のア

5 (a) circularly polarized light (a) parallel current J x Hall current J y (b) (c) [ew /h] current (b).2. V J x F=.2 J y F=.. F= V [w] Figure 4: (a) V =.5w (w 3 ev ) F =.25w, Ω =.3w (b) J x J y I V ( heavy photon ) (Anderson) (nearly free ) (tight-binding) a Figure 5: (a) (b) (c) /(2 c) M M a=2.75 a= 2.25 X a= 2.25 a M X Calculated Extended TBM TBM Figure 6: 5(b) a tightbinding [2] 5 5 M

6 Figure 7: (Γ ) /(2 c ) M K M.36 M K M Figure 8: 5(c) (a = 4) [7, 8, 9] 5(a) woodpile inverted [] 5(b)(c) woodpile (air-band) 5(b) TM (E z) Figure 9: ( ) ( ) K 7 6 a a transfer energy a a transfer transfer 6

7 7 a 3.2 [] TM.46 2πc [2] TM [3] 3.3 [4, 5] [6] Mielke transfer energy transfer k k [7] 8 (a = 4 ) 3 4 / 9 k 6 (node) 4 [2] 7 References [] T. Oka and H. Aoki, Phys. Rev. B 79, 846R (29), ibid. 79, 699 (29).

8 [2] S. Endo, T. Oka and H. Aoki, Phys. Rev. B 8, 34 (2). [3] CMC 29 [4], 999). [5] 29, No., pp. (99) 999 p.7 [6] Kazuaki Sakoda: Optical properties of photonic crystals, 2nd edition (Berlin: Springer, 25); John D. Joannopoulos et al.: Photonic crystals : molding the flow of light, 2nd edition (Princeton: Princeton Univ. Press, 28) [7] P. Amiri, M. Ranjbaran, K. Mehrany, B. Rashidian, and S. Fathololoumi, Fiber and Integrated Optics 25, (26). [8] N. Stefanou and A. Modinos, Phys. Rev. B 57, 227 (998). [9] M. Bayindir, B. Temelkuran, and E. Ozbay, Phys. Rev. Lett. 84, 24 (2). [] J. Lee, C. Kim, Y. Kim, K. Ho, K. Constant, and C. Oh, Applied Physics Letters 88, 82 (26). [] R. L. Schult, D. G. Ravenhall, and H. W. Wyld, Phys. Rev. B 39, 5476 (989). [2] A. Mekis, J. C. Chen, I. Kurland, S. Fan, P. R. Villeneuve, and J. D. Joannopoulos, Phys. Rev. Lett. 77, 3787 (996). [3] T. Ito and K. Sakoda, Phys. Rev. B 64, 457 (2). [4] H. Gersen, T. J. Karle, R. J. P. Engelen, W. Bogaerts, J. P. Korterik, N. F. van Hulst, T. F. Krauss, and L. Kuipers, Phys. Rev. Lett. 94, 7393 (25). [5] Y. Vlasov, M. O Boyle, H. Hamann, and S. McNab, Nature 438, 65 (25). [6] 998 [7] K. Shiraishi et al, Appl. Phys. Lett. 78, 372 (2). 8

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