数　列

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1 場合の数 1 場合の数 1 和の法則 積の法則 駅から 駅まで電車を乗り継いで行きたい a b c d g e f 行き方は右のように,P,Q の 2 駅を経由していく方法と R 駅を経由していく 2 通りの方法がある このとき, 駅から 駅までの経路が何通りあるかを考える 樹形図 これを正確に数えるには, すべての経路を書き出してから数えていけばよいが, すべて書き出すために, 以下のような図を用いるとよい この図のことを樹形図という ように (ⅰ) P,Q を経由する場合 a b c d c d e f g e f g e f g e f g (ⅱ) R を経由する場合 例えば,P,Q の 2 駅を経由していく場合, から P までは路線 a,p から Q までは路線 c,q から ま では路線 e で行くとき, その経路を a c e と結ぶことで表している 和の法則上の樹形図から, 駅から 駅までの経路は, (ⅰ) P,Q を経由する場合 12 通り (ⅱ) R を経由する場合 6 通りとなるので, 駅から 駅までの経路は全部で, = 18 通りとなる このように,2 つの事柄 と があり, これらがとき, (ⅰ) が起こる場合が m 通り (ⅱ) が起こる場合が n 通りとすると, または が起こる場合の数は m + n 通りとなる これを和の法則という

2 場合の数 2 積の法則数える個数が少ないときは, 樹形図ですべての場合を表すことができるが, 個数が多くなると樹形図で表すのが難しくなってくる このようなときは, 樹形図を踏まえたうえで, 計算で処理をしていく必要がある (ⅰ) P,Q を経由する場合の数 から P へ行く方法が 2 通り, そのそれぞれに対し P から Q へ行く方法が 2 通りあるので, から Q へ行く方法は, 2 2 = 4 通りとなる その 4 通りそれぞれに対し,Q から へ行く方法が 3 通りあるので, 結局, から P,Q を経由して へ行く場合の数は 4 3 = 12 通りとなる (ⅱ) R を経由する場合 から R へ行く方法が 3 通り, そのそれぞれに対し R から Q へ行く方法が 2 通りあるので, から Q へ行く方法は, 3 2 = 6 通り このように,2 つの事柄 と があり, が起こる場合が m 通り, そのそれぞれに対し, が起こる場合が n 通りとすると,, がともに起こる場合の数は m n 通りとなる これを積の法則という 整数 72 の正の約数の個数を求めなさい まずは樹形図をかいてみます 72 = より,72 の正の約数は 2 a 3 b (0 a 3, 0 b 2) と表すことができる よって,72 の正の約数を, 樹形図を用いて表すと以下のようになる これより,72 の約数は全部で 12 個ある 次に, 積の法則を用いて解きます 72 = より,72 の正の約数は 2 a 3 b (0 a 3, 0 b 2) と表すことができる a の選び方は 4 通り,b の選び方は 3 通りあるので, 72 の約数は全部で 4 3 = 12 個ある

3 場合の数 3 例題 1 集合 U = {a, b, c, d, e, f} の部分集合で,3 個の要素からなるものすべてを求めなさい 練習 1 a, a, b, b, c の 5 個の文字から 4 個を選んで 1 列に並べる方法は何通りありますか また, そのうち a, b c のすべての文字が現れるのは何通りありますか 例題 2(1) 大小 2 個のさいころを投げるとき, 出る目の和が 5 の倍数になる場合は何通りありますか (2) (a + b + c)(p + q + r)(x + y) を展開すると, 異なる項は何個できますか 練習 2(1) 大小 2 個のさいころを投げるとき, 出る目の和が 10 以上になる場合は何通りありますか (2) (a + b)(p + 2q)(x + 2y + 3z) を展開すると, 異なる項は何個できますか 例題 円,100 円,10 円の 3 種類の硬貨がたくさんある この 3 種類の硬貨を使って,1200 円を支払う 場合の数を求めなさい ただし, 使わない硬貨があってもよいものとする 練習 3 10 ユーロ,20 ユーロ,50 ユーロの紙幣を使って支払いをする ちょうど 200 ユーロを支払う方法は何 通りありますか ただし, どの紙幣も十分な枚数を持っているものとし, 使わない紙幣があってもよいと する 例題 の正の約数は全部で何個ありますか また, その約数の和を求めなさい 練習 の正の約数の個数と, 約数の和を求めなさい 例題 5 大, 中, 小 3 個のさいころを投げるとき, 目の積が 4 の倍数になる場合は何通りありますか 練習 5 大, 中, 小 3 個のさいころを投げるとき, 次の場合の数を求めなさい (1) 目の積が 3 の倍数になる (2) 目の積が 6 の倍数になる

4 2 順列 いくつかのものを, 場合の数 4 ことを順列という ここでは, その総数について考えていく,,, の 4 つの文字から 3 つを取り出して 1 列に並べたとき, その並べ方の総数は全 部で何通りありますか まずは樹形図をかいてみます 並べ方を樹形図を用いて表すと以下のようになる これより, 並べ方の総数は,24 通り 次に, 積の法則を用いて解きます,,, の 4 文字のうち 3 文字を, 左から順番に並べていく 1 番目の文字の選び方は,,, の 4 通りとなる 2 番目の文字の選び方は,1 番目に用いた文字を除いた 3 通りとなる 3 番目の文字の選び方は,1 番目,2 番目に用いた文字を除いた 2 通りとなる よって, 積の法則から並べ方の総数は,4 3 2 = 24 通り 一般的に異なる n 個のものから r 個取り出して 1 列に並べたとき, その総数を P n r (P は Permutation の略 ) と表す つまり, 上の例 2 は 異なる 4 個から 3 個を取り出して 1 列に並べる ので, P 4 3 と表せる よって, P 4 3 = = 24 となる 異なる n 個のものから r 個取り出して 1 列に並べたとき, 1 番目の選び方は n 通り, 2 番目の選び方は n 1 通り, 3 番目の選び方は n 2 通り, 1 番目 1 番目 2 番目 3 番目 r 番目の選び方は n r + 1 通りなので, P n r = n(n 1)(n 2) (n r + 1) となる n 2 番目 n 1 3 番目 n 2 r 番目 n r + 1 異なる n 個のものから r 個取り出して 1 列に並べた総数は npr = n(n 1)(n 2) (n r + 1) r 個の積

5 また,r = n のとき, つまり 異なる n 個のものを 1 列に並べる 順列は npn = n(n 1)(n 2) となる このとき, 右辺は n 以下の自然数すべての積となっているが, これを n の階乗といい,n! で表す この階乗の記号を使うと npr = n(n 1)(n 2) (n r + 1) = n(n 1)(n 2) (n r + 1)(n r)(n r 1) 2 1 (n r)(n r 1) 2 1 場合の数 5 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 = n! (n r)! と表すことができる なお, この式に r = n を代入すると, n P n = n! となるが, そもそも npn = n! なので, 0! 0! の値は 1 と定義される T,O,S,I,M, の 6 文字を 1 列に並べるとき, 次のような並べ方は何通りありますか (1) 母音が両端にくる場合 (2) 母音がすべて隣り合う場合 (1) 母音は O,I, の 3 つあるので, 1 番目の文字の選び方は O,I, の 3 通りとなり, 6 番目の文字の選び方は,1 番目に用いた文字を除いた 2 通りとなる 2 番目から 5 番目には,1 番目,2 番目に用いた文字を除いた 4 通りの文字が並ぶ その並び方は 4! 通り 以上より, 並べ方の総数は,3 2 4! = 6 24 = 144 通り 1 番目 2 番目 3 番目 4 番目 5 番目 6 番目 (2) 母音 3 文字を 1 つにまとめて, それを X とおく 母音がすべて隣り合うには,4 文字 T,S,M,X を 1 列に並べればよい その並べ方は,4! 通り そのそれぞれに対して, 母音 O,I, の並び方は 3! 通りあるので, 並べ方の総数は,4! 3! = 24 6 = 144 通り T,S,M,O,I, X

6 場合の数 6 例題 6 6 個の整数 1,2,3,4,5,6 から異なる 3 個を取り出して 1 列に並べたとき, できる 3 桁の整数は全 部で個ある このうち, 偶数は個,4 の倍数は個,5 の倍数は個である 練習 6 1,2,3,4,5,6,7 から異なる 5 個の数字を取って作られる 5 桁の整数は全部で のうち, 奇数であるものは通りである また,4 の倍数は通りである 通りでき, そ 例題 7 0,1,2,3,4,5 の 6 個の数字から異なる 4 個の数字を取って並べて,4 桁の整数を作るものとする 次のものは全部で何個できますか (1) 整数 (2) 3 の倍数 (3) 6 の倍数 (4) 2400 より大きい整数 練習 7 7 個の数字 0,1,2,3,4,5,6 を重複することなく用いて 4 桁の整数を作る 次のものは, それぞれ何個できますか (1) 整数 (2) 5 の倍数 (3) 3500 より大きい整数 (4) 2500 より小さい整数 (5) 9 の倍数 例題 8,,,,E,F,G の 7 人が 1 列に並ぶとき (1) と が隣り合うような並び方は全部で何通りありますか (2) と が両端にくるような並び方は全部で何通りありますか (3),, の 3 人が隣り合わないような並び方は全部で何通りありますか 練習 8 男子 4 人, 女子 3 人がいる 次の並び方は何通りありますか (1) 男子が両端にくるように 7 人が 1 列に並ぶ (2) 男子が隣り合わないように 7 人が 1 列に並ぶ (3) 女子のうち 2 人だけが隣り合わないように 7 人が 1 列に並ぶ 例題 9 a,b,c,d,e の 5 文字を並べたものを, アルファベット順に,1 番目 abcde,2 番目 abced,,120 番目 edcba と番号を付ける (1) cbeda は何番目か (2) 40 番目は何か 練習 9 6 個の数字 1,2,3,4,5,6 を重複なく使ってできる 6 桁の数を, 小さい方から順に並べる (1) 初めて 以上になる数を求めなさい また, その数は何番目か答えなさい (2) 300 番目の数を答えなさい

7 場合の数 7 例題 10 5 人に招待状を送るため, あて名を書いた招待状と, それを入れるあて名を書いた封筒を作成した 招 待状を全部間違った封筒に入れる方法は何通りありますか 練習 10 右の図のようなマス目を考える どの行 ( 横の並び ) にも, どの列 ( 縦の並び ) にも同 じ数が現れないように 1 から 4 までの自然数を入れる入れ方の場合の数 K を求めな さい 例題 11 ある領域が, 右の図のように 6 つの区画に分けられている 境界を接している区画は異 なる色で塗ることにして, 赤 青 黄 白の 4 色以内で領域を塗り分ける方法は何通りあ りますか F E 練習 11 右の図の,,,,E 各領域を色分けしたい 隣り合った領域には異なる色を塗り分けるとき, 塗り分け方はそれぞれ何通りですか (1) 4 色以内で塗り分ける (2) 3 色で塗り分ける (3) 4 色すべてを用いて塗り分ける E 例題 12 文字 a と b をいくつか並べた列のうちで,b が隣り合わないものだけを考える 文字が n 個並んだものを 長さ n の列 と呼ぶとき, (1) 長さ 3 の列, 長さ 4 の列はそれぞれ何通りありますか (2) 長さ 5 の列で,a で始まる列は何通りありますか また, 長さ 5 の列で,b で始まる列は何通りありますか (3) 長さ n の列の個数を f(n) とするとき,f(n + 2) = f(n + 1) + f(n) が成り立つことを示しなさい 練習 12 先頭車両から順に 1 から n までの番号の付いた n 両編成の列車がある ただし,n 2 とする 各車両を赤色, 青色, 黄色のいずれか 1 色で塗るとき, 隣り合った 2 つの車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方の数を f(n) とする (1) f(2), f(3) を求めなさい (2) f(n + 2) = f(n + 1) + 2f(n) が成り立つことを示しなさい

8 円順列 ここではいくつかのものを, 円形に並べていくとき, その総数について考えていく 場合の数 8,,, の 4 つの文字を円形に並べる方法は何通りありますか 円順列のポイントは, つまり,1 列に並べるときより, かなり総数は減ります という点です まず,,,, の 4 文字を 1 列に並べる その並べ方は 4! 通り ここで,1 列に並べた各列の両端 ( 下図の と ) をつなぐと,4 通りの重複が現れるので, 並べ方の総数は, 4! 4 = 3! = = 6 通り すべての円順列は, 回転させることで必ず, 右図の 1 の場所に を配置すること 1 ができる つまり, を1にあらかじめ固定しておいて, 残りの,,E を 2,3,4の 3 か所に並べればよい よって, 並べ方の総数は (4 1)! = 3! = = 6 通り 一般的に, 円順列の総数は以下のようになる 異なる n 個のものの円順列の総数は n! n = (n 1)! 通り

9 場合の数 9,,, の 4 つの宝石を用いてネックレスを作る 宝石の並び方が異なるものは何通り できますか 基本的には円順列と同じ考え方をしますが, ネックレスの場合,,,, の 4 つがひもにつながっているので, ひっくり返すことができます つまり, ひっくり返して一致するものは 1 通りと考えるわけです 4 つのものの円順列の総数は, 4! 4 = 3! = = 6 通り このうち, ひっくり返して一致するものは, 同じ並び方と考えるので, 並べ方の総数は,6 1 2 = 3 通り 例題 13 異なる 6 個の宝石がある (1) これらの宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りありますか (2) これらの宝石で首飾りを作るとき, 何種類の首飾りができますか (3) 6 個の宝石から 4 個取り出し, 机の上で円形に並べる方法は何通りありますか 練習 13(1) 異なる色のガラス玉 8 個を輪にしてブレスレットを作る 玉の並び方の異なるものは何通りできま すか (2) 7 人から 5 人を選んで円卓に座らせる方法は何通りありますか 例題 14(1) 6 個の数字 1,2,3,4,5,6 を円形に並べるとき,1 と 2 が隣り合う並べ方は通りあり,1 と 2 が向かい合う並べ方は通りある (2) 男子 4 人と女子 3 人が円形のテーブルに着くとき, 女子の両隣には必ず男子が来る並び方は全部で通りある 練習 14 両親と 4 人の子ども ( 息子 2 人, 娘 2 人 ) が手をつないで輪を作る (1) 6 人の並び方は全部で何通りありますか (2) 両親が隣り合う並び方は何通りありますか (3) 両親が正面に向き合う並び方は何通りありますか (4) 男性と女性が交互に並ぶ並び方は何通りありますか

10 場合の数 10 例題 15 立方体の各面に, 隣り合った面の色は異なるように, 色を塗りたい ただし, 立方体を回転させて一致 する塗り方は同じとみなす (1) 異なる 6 色をすべて使って塗る方法は何通りありますか (2) 異なる 5 色をすべて使って塗る方法は何通りありますか 練習 15 立方体の 6 つの面に,1 から 6 までの数字を 1 つずつ書いて, さいころのようなものを作る 異なる ものは何通りできますか そのうち, 相対する 2 面の数字の和がすべて 7 になっているものは何通りあり ますか 重複順列 いくつかの異なるものから, 繰り返して用いることを許して並べていく順列を重複順列という,,,,E の 5 つの文字のうち 3 個を繰り返し用いて並べる方法は何通りありますか 1 番目,2 番目,3 番目すべて 5 通りの文字の並べ方があるので, 並べ方の総数は,5 3 = 125 通り 1 番目 2 番目 3 番目 一般的に, 重複順列の総数は以下のようになる n 個のものから r 個とった重複順列の総数は n r 通り 例題 16(1) 1 から 5 までの番号の付いた箱がある 次のような入れ方は何通りありますか ( ア ) それぞれの箱に, 赤か白の玉のうち, いずれか 1 個を入れる ( イ ) それぞれの箱に, 赤か白の玉のうち, いずれか 1 個を入れて, どの色の玉も必ずどれかを箱に入るようにする (2) 4 個の数字 0,1,2,3 を重複を許して使ってできる, 次のような正の整数は何個ありますか ( ア ) 4 桁の整数 ( イ ) 3 桁以下の整数 練習 16(1) 異なる 5 個の要素からなる集合の部分集合の個数を求めなさい (2) 机の上に異なる本が 7 冊ある その中から, 少なくとも 1 冊以上何冊でも好きなだけ本を取り出すとき, その取り出し方は何通りありますか (3) 0,1,2,3 の 4 種類の数字を用いて 4 桁の整数を作るとき,10 の倍数でない整数は何個できますか ただし, 同じ数字を何回用いてもよい

11 場合の数 11 例題 17 6 枚のカード 1,2,3,4,5,6 がある (1) 6 枚のカードを, の 2 組に分ける方法は何通りありますか (2) 6 枚のカードを 2 組に分ける方法は何通りありますか (3) 6 枚のカードを同じ大きさの 3 個の箱に分けるとき, カード 1,2 を別の箱に入れる方法は何通りありますか ただし, 空の箱はないものとする 練習 17(1) 7 人を 2 つの部屋, に分けるとき, どの部屋も 1 人以上になる分け方は全部で何通りありますか (2) 4 人を 3 つの部屋,, に分けるとき, どの部屋も 1 人以上になる分け方は全部で何通りありますか (3) 大人 4 人, 子ども 3 人の計 7 人を 3 つの部屋,, に分けるとき, どの部屋も大人が 1 人以上になる分け方は全部で何通りありますか

12 3 組合せ いくつかのものの中から一部を取り出したとき, その組合せの総数について考える 場合の数 12,,, の 4 つの文字から 3 つを取り出したとき, その組合せの総数は全部で何通りあ りますか 組合せの場合, 順列との違って並べる作業はしません つまり, 順列よりかなり総数は減ります まず,,,, の 4 文字から 3 文字を取り出して 1 列に並べる その並べ方は P 4 3 通り ここでは,3 文字を並べずに組合せを考えるので, P 4 3 通りの中に,3 文字の並べ方分の 3! 通りの 重複が現れる よって, 並べ方の総数は, P 4 3 3! = = 4 通り 3! 通り (,,) (,,) (,,) (,,) 一般的に異なる n 個のものから r 個を取る組合せの総数を n r ( は ombination の略 ) と表す つまり, 上 の例 7 は 異なる 4 個のものから 3 個を取る組合せの総数 なので, 4 3 と表せる 4 よって, 4 3 = P 3 3! = = 4 となる 異なる n 個のものから r 個を取る組合せの総数は, 例 7 と同様に考えると, まず, 異なる n 個のものから r 個取り出して 1 列に並べると, その総数は P n r 通り 並べずに組合せを考ええると,r 個の並べ方の分の r! 通りの重複が現れるので, となる n nr = P r n! = r! (n r)! r! 異なる n 個のものから r 個を取る組合せの総数は n nr = P r n! = r! (n r)! r!

13 n r の性質 場合の数 13 例 7 において,4 文字から 3 文字を取り出す ことと, 残りの 1 文字を取り出す ことは同じことな ので, 4 3 = 4 1 が成り立つ 一般的には, 異なる n 個のものから r 個を取りだす とき, 異なる n 個から r 個取り出す ことと, 残りの n r 個取り出す ことは同じことなので, が成り立つ nr = n また, n 0 = n n = 1 となる n r r 個 n 個 n r 個 男子 4 人, 女子 6 人の計 10 人から 4 人を選ぶとき, 次の場合の数を求めなさい (1) すべての場合 (2) 男女各 2 人ずつの場合 (3) 女子が少なくとも 1 人含まれる場合 (1) 10 人から 4 人を選べばよいので, 104 = = 210 通り (2) 女子 2 人の選び方は, 6 2 = = 15 通り男子 2 人の選び方は, 4 2 = = 6 通り よって, 求める場合の数は,15 6 = 90 通り (3)(ⅰ) 男子 3 人, 女子 1 人選ぶ場合 女子 1 人の選び方は, 6 1 = 6 通り男子 3 人の選び方は, 4 3 = 4 1 = 4 通り よって, 求める場合の数は,6 4 = 24 通り (ⅱ) 男子 1 人, 女子 3 人選ぶ場合 女子 3 人の選び方は, 6 3 = = 20 通り男子 1 人の選び方は, 4 1 = 4 通り よって, 求める場合の数は,20 4 = 80 通り (ⅲ) 男子 0 人, 女子 4 人選ぶ場合 女子 4 人の選び方は, 6 4 = 6 2 = = 15 通り (2) と (ⅰ),(ⅱ),(ⅲ) より, 女子が少なくとも 1 人含まれる場合の数は, = 209 通り (3) 4 人とも男子が選ばれる場合の数は 1 通り よって, 女子が少なくとも 1 人含まれる場合の数は = 209 通り

14 場合の数 14 5 人を次のように分ける方法は何通りありますか (1) 部屋, に 2 人, 部屋 に 1 人入れる (2) 2 人,2 人,1 人の 3 組に分ける (1) 部屋 に入る 2 人の選び方は, 5 2 = = 10 通り 残りの 3 人の中から部屋 に入る 2 人を選ぶ方法は, 3 2 = = 3 通り 残りの 1 人が部屋 に入る よって, 求める場合の数は,10 3 = 30 通り (2) (1) において部屋,, の区別をなくすと,2 人ずつの組,2 通りの区別がなくなる よって, 求める場合の数は, 30 2 = 15 通り a,b c,d c,d a,b e e (a,b)(c,d)(e) b,e c,d c,d b,e a a (b,e)(c,d)(a) a,d b,e b,e a,d c c (a,d)(b,e)(c) a,c b,d b,d a,c e e (a,c)(b,d)(e) a,c d,e d,e a,c b b (a,c)(d,e)(b) a,e b,d b,d a,e c c (a,e)(b,d)(c) a,d b,c b,c a,d e e (a,d)(b,c)(e) a,b c,e c,e a,d b b (a,d)(c,e)(b) a,b c,e c,e a,d d d (a,b)(c,e)(d) b,c d,e d,e b,c a a (b,c)(d,e)(a) a,e c,d c,d a,e b b (a,e)(c,d)(b) a,c b,e b,e a,c d d (a,c)(b,e)(d) b,d c,e c,e b,d a a (b,d)(c,e)(a) a,b d,e d,e a,b c c (a,b)(d,e)(c) a,e b,c b,c a,e d d (a,e)(b,c)(d) 例題 18 男子 3 人, 女子 4 人から 3 人を選ぶとき, 次の場合の数を求めなさい (1) 7 人から 3 人を選ぶ選び方 (2) 3 人のうち女子が 1 人だけ入っている選び方 (3) 3 人のうち女子が少なくとも 1 人入っている選び方 (4) 女子 2 人, 男子 1 人を選んで 1 列に並べる方法 練習 18 を含む 5 人の男子生徒, を含む 5 人の女子生徒の計 10 人から 5 人を選ぶ 次のような方法は何通りありますか (1) 全員から選ぶ選び方 (2) 男子 2 人, 女子 3 人を選ぶ選び方 (3) 男子から を含む 2 人, 女子から を含む 3 人を選ぶ選び方 (4) 男子 2 人, 女子 3 人を選んで 1 列に並べる並べ方

15 場合の数 15 例題 19(1) 円周上に異なる 7 個の点,,,,G があり, 七角形 EFG を作ることができる これ らの点から 2 点を選んで線分を作るとき, ( ア ) 線分は全部で何本できますか ( イ ) 他の線分と端点以外の交点をもつ線分は, 全部で何本できますか (2) 三角形 の各辺を 3 分割したときの 6 点と 3 頂点のうちから 3 点を結んでできる三角形の個数 は全部で何個ありますか 練習 19(1) 正十二角形 の頂点を結んで得られる三角形の総数は個, 頂点を結んで得られる直線の総数は本である (2) 平面上において,4 本だけが互いに平行で, どの 3 本も同じ点で交わらない 10 本の直線の交点の個数は全部で個ある 例題 20(1) 正八角形 の頂点を結んでできる三角形の個数を求めなさい (2) (1) の三角形で, 正八角形と 1 辺あるいは 2 辺を共有する三角形の個数を求めなさい (3) 正 n 角形 1 2 n の頂点を結んでできる三角形のうち, 正 n 角形と辺を共有しない三角形の個数を求めなさい ただし n 5 とする 練習 20 円に内接する n 角形 F (n > 4) の対角線の総数は本である また,F の頂点 3 つからできる三角形の総数は個,F の頂点 4 つからできる四角形の総数は個である 更に, 対角線のうちのどの 3 本をとっても F の頂点以外の同一点で交わらないとすると,F の対角線の交点のうち,F の内部で交わるものの総数は個である 例題 21 図のように 4 等分した円板を, 隣り合う部分は異なる色で塗り分ける ただし, 回転して一致する塗り方は同じ塗り方と考える (1) 赤, 青, 黄, 緑の 4 色から 2 色を選び, 塗り分ける方法は何通りありますか (2) 赤, 青, 黄, 緑の 4 色から 3 色を選び,3 色すべてを使って塗り分ける方法は何通りありますか 練習 21 右の図のように, 正方形を, 各辺の中点を結んで 5 つの領域に分ける 隣り合った領域は異なる色で塗り分けるとき, 次のような塗り分け方はそれぞれ何通りありますか ただし, 回転して一致する塗り方は同じ塗り方と考える (1) 異なる 4 色から 2 色を選んで塗り分ける (2) 異なる 4 色から 3 色を選び,3 色すべてを塗り分ける 例題 22 9 人を次のように分ける方法は何通りありますか (1) 4 人,3 人,2 人の 3 組に分ける (2) 3 人ずつ,,, の 3 組に分ける (3) 3 人ずつ 3 組に分ける

16 (4) 5 人,2 人,2 人の 3 組に分ける 場合の数 16 練習 冊の異なる本を次のように分ける方法は何通りありますか (1) 5 冊,4 冊,3 冊の 3 組に分ける (2) 4 冊ずつ 3 人に分ける (3) 4 冊ずつ 3 組に分ける (4) 6 冊,3 冊,3 冊の 3 組に分ける

17 同じものを含む順列 場合の数 17,,,, の 5 つの文字を 1 列に並べる方法は何通りありますか まず,3 つの を区別して 1,2,3 とする 5 つの文字 1,2,3,, を 1 列に並べると, その並べ方は 5! 通り ここで,3 つの 1,2,3 をすべて にすると,3 つの の並べ方 3! 分だけ重複が現れる よって, 並べ方の総数は, 5! 3! = = 20 通り ! 通り (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) ! 通り (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) ! 通り (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) ! 通り (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,)

18 場合の数 18 まず, の入る場所を選ぶ 5 か所から の入る 3 か所を選べばよいので, その選び方は, 5 3 通り 次に, 残りの 2 か所に, を並べる その並べ方は,2! 通り よって, 並べ方の総数は, 5 3 2! = 10 2 = 20 通り 1 番目 2 番目 3 番目 4 番目 5 番目 例題 23 赤色のカードが 4 枚, 青色のカードが 3 枚, 黄色のカードが 2 枚, 白色のカードが 1 枚ある 同じ色のカードは区別できないものとする この 10 枚のカードを左から右へ 1 列に並べる並べ方は全部で通りある また, 左から 3 枚の色がすべて同じものは通りある 練習 23 アルファベットの 8 文字 K,Z,,I,G,,K,U が 1 文字ずつ書かれた 8 枚のカードがある こ れらのカードを 1 列に並べる方法は全部で 1 列に並べる方法は全部で通りある 通りある また, この中から 7 枚のカードを取り出して 例題 24 YOKOHM の 8 文字を横 1 列に並べて順列を作る 次のような順列は何通りありますか (1) と OO という並びをともに含む順列 (2) Y,K,H,M がこの順に並ぶ順列 練習 24 9 個の文字 M,,T,H,,H,,R,T を横 1 列に並べる (1) この並べ方は通りある (2) と が隣り合うような並べ方は通りある (3) と が隣り合い, かつ,T と T も隣り合うような並べ方は通りある (4) M,,R がこの順に並ぶ並べ方は通りある (5) 2 個の と が,, の順に並ぶ並べ方は通りある 例題 25 1,2,3 の数字が書かれたカードがそれぞれ 2 枚,3 枚,4 枚ある これらのカードから 4 枚を使って できる 4 桁の整数の個数を求めなさい 練習 25 1,1,2,2,3,3,3 の 7 つの数字のうちの 4 つを使って 4 桁の整数を作る このような 4 桁の整数 は全部で個あり, このうち 2200 より小さいものは個ある

19 場合の数 19 例題 26 右の図のように, 道路が碁盤の目のようになった街がある 地点 から地点 までの長さが最短の道を行くとき, 次の場合は何通りの道順がありますか (1) 全部の道順 (2) 地点 を通る (3) 地点 P は通らない (4) 地点 P と地点 Q の両方を通らない P Q 練習 26 図 1 と図 2 の碁盤の目状の道路とし, すべて等間隔であるとする (1) 図 1 において, 点 から点 に行く最短経路は全部で何通りあるか求めなさい (2) 図 1 において, 点 から点 に行く最短経路で, 点 と点 のどちらも通らないものは全部で何通りあるか求めなさい (3) 図 2 において, 点 から点 に行く最短経路は全部で何通りあるか求めなさい ただし, 斜線部分は通れないものとする 図 1 図 2 例題 27 白玉が 4 個, 黒玉が 3 個, 赤玉が 1 個あるとする これらを 1 列に並べる方法は べる方法は通りある 更に, これらの玉にひもを通し, 輪を作る方法は通りある 通り, 円形に並 練習 27 同じ大きさの赤玉が 2 個, 青玉が 2 個, 白玉が 2 個, 黒玉が 1 個, 計 7 個がある これに糸を通して輪を作る (1) 輪は何通りありますか (2) 赤玉が隣り合う輪は何通りありますか

20 重複組合せ ここでは, いくつかのものの中から ていく 場合の数 20 一部を取り出したとき, その組合せの総数について考え 赤, 青, 黄の 3 色のボールがたくさんある この中から重複を許して 5 個取り出すとき, そ の取り出し方は何通りありますか まずは地道に数えていきます 取り出す赤, 青, 黄のボールの個数をそれぞれ a, b, c とする ただし,a, b, c は 0 a 5, 0 b 5, 0 c 5, a + b + c = 5 を満たす整数 (ⅰ) 1 色のボールを取り出すとき このとき条件を満たす (a, b, c) の組は,(0, 0, 5) の並べ方分だけある つまり,3 通りある (ⅱ) 2 色のボールを取り出すとき このとき条件を満たす (a, b, c) の組は,(0, 1, 4), (0, 2, 3) の 並べ方分だけある つまり, それぞれ 3! = 6 通りあるので, 全部で,2 6 = 12 通り (ⅲ) 3 色とも取り出すとき このとき (a, b, c) の組は,(1, 1, 3), (1, 2, 2) の 並べ方分だけある つまり, それぞれ 3 通りあるので, 全部で,2 3 = 6 通り a b c a b c a b c a b c a b c 以上より, 並べ方は全部で = 21 通り ここからは少し工夫して数えてみます が 5 個と が 2 本 ( ) を 1 列に並べる このとき, 1 2 本の の左にある の個数が赤色のボールの個数 2 2 本の の間にある の個数が青色のボールの個数 3 2 本の の右にある の個数が黄色のボールの個数 とすれば,5 つのボールの取り出し方と, の並べ方が 1 対 1 に対応する の並べ方は, 7 2 = = 21 通りとなるので, 5 つのボールの分け方も 21 通りとなる a b c

21 場合の数 21 右図のように縦に 6 本, 横に 3 本の道を作り, 地点 P から 地点 Q までの最短経路を考える このとき, 1 第 1 行目を進んだマス目の数が赤色のボールの個数 2 第 2 行目を進んだマス目の数が青色のボールの個数 3 第 3 行目を進んだマス目の数が黄色のボールの個数 とすれば,5 つのボールの取り出し方と,P から Q までの最短経路が 1 対 1 に対応する P から Q までの最短経路は, が 5 個, が 2 個 ( ) の並べ方と 1 対 1 に対応するので, その並べ方は, 7 2 = = 21 通り 5 つのボールの分け方も 21 通りとなる 1 個, 3 個, 1 個 P 2 個, 3 個, 0 個 0 個, 5 個, 0 個 Q 例題 28 次の問いに答えなさい ただし, 含まれない数字や文字があってもよいものとする (1) 1,2,3,4 の 4 個の数字から重複を許して 3 個の数字を取り出す このとき, 作られる組の総数を求めなさい (2) x, y, z の 3 種類の文字から作られる 6 次の項は何通りできますか 練習 28(1) 8 個のりんごを,, の 4 つの袋に分ける方法は何通りありますか ただし,1 個も入れない袋 があってもよいものとする (2) (x + y + z) 5 の展開式の異なる項の数を求めなさい 例題 29(1) x + y + z = 9, x 0, y 0, z 0 を満たす整数 x, y, z の組 (x, y, z) は, 全部で何組ありますか (2) x + y + z = 12 を満たす正の整数 x, y, z の組 (x, y, z) は, 全部で何組ありますか 練習 29,,, の 4 種類の商品を合わせて 10 個買うものとする 次のような買い方はそれぞれ何通りありますか (1) 買わない商品があってもよいとき (2) どの商品も少なくとも 1 個買うとき (3) は 3 個買い,,, は少なくとも 1 個買うとき

22 場合の数 22 例題 30 次の条件を満たす整数の組 (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) の個数を求めなさい (1) 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 4 (2) a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 4, a 1 1, a i 0 (i = 2, 3, 4, 5) 練習 30 数 1,2,3 を重複を許して n 個並べてできる数の組 (a 1, a 2,, a n ) を考える (1) 条件 a 1 a 2 a n = j を満たす組が n (j) 通りあるとする ただし,j = 1, 2, 3 とする n (2), n (3) を求めなさい (2) n 2 のとき, 次の条件を満たす数の組は何通りありますか a 1 a 2 a n 1 かつ a n 1 > a n

23 4 二項定理 場合の数 23 ここでは (a + b) n の展開式がどのようになっているのかを考えていく 例えば,(a + b) 2 の展開式は以下のように,2 つの (a + b) の中から,a または b のどちらかを選んで掛け合わせることで得られる 1 2 (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a これを表にまとめると以下のようになる (a + b) (a + b) ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 1 a a a 2 2 a b ab 3 b a ba 4 b b b 2 2ab a 2 + 2ab + b 2 同様に,(a + b) 3 の展開式は,3 つの (a + b) の中から,a または b のどちらかを選んで掛け合わせること で得られる (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a a 2 b a 2 b + ab 2 + = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 これを表にまとめると以下のようになる (a + b) (a + b) (a + b) a, a, b 1 a a a a 3 2 a a b a 2 b 3 b a a a 2 b a b a a 2 b b b a ab 2 a b b ab 2 4 b a b ab 2 b b b b 3 3a 2 b 3ab 2 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ここで,a 2 b の係数は 3 となるが, これは a 2 b という項が 3 通りの方法で作られるからである そして, この 3 通りは表を見て分かる通り, 結局は 3 文字 a, a, b の並べ方となっている つまり,a 2 b の係数は 3 2 と表すことができる 同様に,ab 2 の係数は,3 文字 a, b, b の並べ方の総数と一致するので, 3 1 と表すことができる

24 場合の数 24 (a + 2b) 5 の展開式で, a 3 b 2 の係数を求めなさい (a + 2b) 5 の展開式は,5 つの (a + 2b) の 中から,a または 2b のどちらかを選んで掛け 合わせることで得られる つまり,a 3 b 2 の 係数を求めるには,5 つの文字 a, a, a, 2b, 2b 並べ方の総数を考えればよい a 3 b 2 の項は, 53a 3 (2b) 2 = 10a 3 4b 2 = 40a 3 b 2 となるので, 係数は 40 となる (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) a a a 2b 2b a 3 (2b) 2 a a 2b a 2b a 3 (2b) 2 a 2b a a 2b a 3 (2b) 2 一般的に,(a + b) n の展開式における a r b n r の係数は,r 個の a と, n r 個の b の並べ方の総数と一致 するので, n r と表すことができる これを二項係数といい, n r a r b n r を展開式の一般項という 以上より, 以下の二項定理が成り立つ (a + b) n = n n a n + n n 1 a n 1 b + n n 2 a n 2 b 2 + n n 3 a n 3 b n 3 a 3 b n 3 + n 2 a 2 b n 2 + n 1 ab n 1 + n 0 b n (x + 2 x ) 7 の展開式で, x 3 の係数を求めなさい (x + 2 x ) 7 の展開式の一般項は, 7rx r ( 2 7 r x ) 27 r r = 7 r x x 7 r = 7 r2 7 r x r (7 r) = 7 r 2 7 r x 2r 7 となる x 3 の係数を考えるので, 2r 7 = 3 r = 5 以上より,x 3 の係数は, = = 84

25 パスカルの三角形 以下のように,(a + b) n の展開式を並べていく 場合の数 25 (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 ここで, この展開式の係数だけを取り出すと右のようになる これはパスカルの三角形といい, この中にある各数はになるという性質がある パスカルの三角形を利用すると低次の展開などには便利である = 10 また, パスカルの三角形の各数を n r を用いて表すと 右のようになる ここで, パスカルの三角形の性質を用いると, = = = 5 3 といった式が成り立っている このことから, 一般的には以下のような性質が成り立っている n 1r 1 + n 1 r = n r = 5 3 例題 31 (2x 3) 5 の展開式を求めなさい 練習 31 次の式を展開しなさい (1) (a + 2b) 7 (2) (2x y) 6 (3) (3x 2) 5 (4) (2m + n 3 ) 6 例題 32 (a 2b) 6 の展開式で,a 5 b の項の係数は,a 2 b 4 の項の係数はである また, (x 2 2 x ) 6 の展開式で,x 6 の項の係数はああ, 定数項はああである 練習 32 次の式の展開式における,[ ] 内に指定された項の係数を求めなさい (1) (x + 2) 7 [x 4 ] (2) (x 2 1) 7 [x 4, x 3 ] (3) (x x ) 10 [x 11 ] (4) (2x 4 1 x ) 10 [ 定数項 ]

26 場合の数 26 例題 33(1) k n k = n n 1 k 1 (n 2, k = 1, 2,, n) が成り立つことを証明しなさい (2) (1 + x) n の展開式を利用して, 次の等式を証明しなさい ( ア ) n 0 + n 1 + n n r + + n n = 2 n ( イ ) n 0 n 1 + n ( 1) r n r + + ( 1) n n n = 0 ( ウ ) n 0 2 n n ( 2) r n r + + ( 2) n n n = ( 1) n 練習 33 次の等式が成り立つことを証明しなさい (1) n 0 1 n2 + 2 n ( 1)n n n 2 n = 1 2 n (2) n が奇数のとき n 0 + n n n 1 = n 1 + n n n = 2 n 1 (3) n が偶数のとき n 0 + n n n = n 1 + n n n 1 = 2 n 1 例題 34(1) 次の数の下位 5 桁を求めなさい ( ア ) ( イ ) (2) を 900 で割ったときの余りを求めなさい 練習 34(1) の百万の位の数は である (2) を 400 で割ったときの余りを求めなさい

27 多項定理 ここでは,(a + b + c) n の展開式について考えていく 考え方は,(a + b) n のときと同じである 場合の数 27 (a + b + c) 5 の展開式は,5 つの (a + b + c) の中から,a または b または c のどれかを選んで掛け合わせ ることで得られる このことから, 展開式における a 2 b 2 c の係数は,5 つの文字 a, a, b, b, c の並べ方の総数と一致する つまり,a 2 b 2 c の係数は, となる = = 10 3 = 一般的に,(a + b + c) n の展開式における a p b q c r (p + q + r = n) の係数は, p 個の a と,q 個の b と,r 個の c がを 1 列に並べるときの総数と一致する つまり,a p b q c r の係数は, n p n p q = n! (n p)! p! (n p)! (n p q)! q! = となる よって,(a + b + c) n の展開式の展開式の一般項は, となる (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) a a a a a a 5 a a a a b a 4 b a a b b c a 2 b 2 c a b b c c ab 2 c 2 n! p! q! r! ap b q c r (p + q + r = n) n! p! q! (n p q)! = n! p! q! r! (2a 3b + 1) 7 の展開式で, a 3 b 2 の係数を求めなさい (2a 3b + 1) 7 の展開式の一般項は, 7! p! q! r! (2a)p ( 3b) q 1 r = 7! 2p ( 3) q a p b q (p + q + r = 7) p! q! r! a 3 b 2 の係数を求めるので,p = 3, q = 2, r = 2 となる よって,a 3 b 2 の係数は, 7! 2 3 ( 3) 2 3! 2! 2! = = 15120

28 場合の数 28 例題 35 次の式の展開式における,[ ] 内に指定された項の係数を求めなさい (1) (x + 2y + 3z) 4 [x 2 yz] (2) (1 + x + x 2 ) 8 [x 4 ] 練習 35 次の式の展開式における,[ ] 内に指定された項の係数を求めなさい (1) (1 + 2a 3b) 7 [a 2 b 3 ] (2) (x 2 3x + 1) 10 [x 3 ] 例題 36 (x + 1 x 2 + 1) 5 の展開式における定数項を求めなさい 練習 36 次の式の展開式における,[ ] 内に指定された項の係数を求めなさい (1) (x 2 x 3 3 x ) 5 [x 7 ] (2) (a + b + 1 a + 1 b ) 7 [ab 2 ]