多次元レーザー分光で探る凝縮分子系の超高速動力学

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ゆめじみしま
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古典力学と分子動力学 1 金 4 共南 11 谷村吉隆京都大学理学研究科化学専攻 http:theochem.

1 古典力学と分子動力学 1 金 4 共南 11 谷村吉隆京都大学理学研究科化学専攻 TA: 岩元佑樹 iwamoto.y@kuchem.kyoto-u.ac.jp

2 分子の運動を記述する方程式ニュートン方程式 ( 原子分子間の力 ) 2 dq m dt 2 Uq ( ) = q シュレディンガー方程式 ( 電子や核 ) 2 2 i ( qt,) ( ) (,) 2 t 2m q U q Ψ = + Ψ qt

3 分子は古典的に扱える場合が多い量子力学が重要となるのは電子や水素原子などの軽い粒子 ( かつ低温 ) 酸素分子や水分子等は古典力学的に扱えるニュートン方程式 ( 原子分子間の力 )

4 水 100 万個ウイルス 1 個名古屋大学応用物質科学専攻岡崎進先生の好意による

惑星の運動と力学 15 16 世紀ごろは天文学占星術 Wikipedia よりニコラウス

インフレの原理解明など経済学においても先駆的業績がある Wikipedia よりティコ

5 惑星の運動と力学世紀ごろは天文学占星術 Wikipedia よりニコラウスコペルニクス 1473 年 2 月 19 日年 5 月 24 日ポーランド出身の天文学者カトリック司祭である当時主流だった地球中心説 ( 天動説 ) を覆す太陽中心説 ( 地動説 ) を唱えたインフレの原理解明など経済学においても先駆的業績がある Wikipedia よりティコブラーエ 1546 年 12 月 14 日年 10 月 24 日デンマークの天文学者占星術師膨大な天体観測記録を残しケプラーの法則を生む基礎を作った

6 地球からみた火星 ( 情熱の星 ) の軌道

7 惑星の軌道

力学の誕生前 Wikipedia よりヨハネスケプラー (1571 年 12 月 27 日 - 1630 年

天体物理学者の先駆的存在だといえる一方で数学者自然哲学者占星術師という顔ももつケプラーの法則第 1

惑星と太陽とを結ぶ線分が描く面積は移動時間が同じなら一定第 3 法則 : 太陽と惑星の距離の 3

8 力学の誕生前 Wikipedia よりヨハネスケプラー (1571 年 12 月 27 日年 11 月 15 日 ) ドイツの天文学者理論的に天体の運動を解明したという点において天体物理学者の先駆的存在だといえる一方で数学者自然哲学者占星術師という顔ももつケプラーの法則第 1 法則 : 惑星は太陽をひとつの焦点とする楕円軌道上を動く第 2 法則 : 惑星と太陽とを結ぶ線分が描く面積は移動時間が同じなら一定第 3 法則 : 太陽と惑星の距離の 3 乗は惑星が公転する時間 ( 周期 ) の 2 乗に比例ケプラーはティコブラーエの元に弟子入りし彼の 24 年間にわたる膨大な惑星観測の位置データを受け継ぎ彼の理論を確かめた

Wikipedia よりガリレオガリレイ (1564 年 2 月 15 日 -1642 年 1 月 8

9 Wikipedia よりガリレオガリレイ (1564 年 2 月 15 日年 1 月 8 日 ) イタリアの物理学者天文学者哲学者地上の物体の運動を ( 摩擦に気をつけながら ) 実験的に調べた慣性の法則 : 摩擦の影響がないと運動し続ける物体の落下運動における重力 : 重さにかかわらない Wikipedia よりジョルダーノブルーノ (1548 年年 2 月 17 日 ) イタリア出身の哲学者ドミニコ会の修道士それまで有限と考えられていた宇宙が無限であると主張しコペルニクスの地動説を擁護した異端であるとの判決を受けても決して自説を撤回しなかったため火刑に処せられた

力学の誕生 Wikipedia よりサーアイザックニュートン (1642 年 12 月 25 日 - 1727 年 3 月 20 日 ) イングランドの自然哲学者数学者物理学者天文学者主な業績としてニュートン力学の確立や微積分法の発見がある

10 力学の誕生 Wikipedia よりサーアイザックニュートン (1642 年 12 月 25 日年 3 月 20 日 ) イングランドの自然哲学者数学者物理学者天文学者主な業績としてニュートン力学の確立や微積分法の発見があるニュートンの運動法則第 1 法則 : 慣性の法則 ( 力が作用しなければ物体は静止か等速直線運動をする ) 第 2 法則 : 運動方程式 ( 物体の加速度は力に比例し質量に逆比例する ) ma = F 第 3 法則 : 作用反作用の法則 ( 作用に対し等しく反対向きの反作用が存在 )

4000 2000 0 0 20 40 q 運動方程式ニュートン方程式 2 m d q dt 2 = F( q) ダニエルベルヌーイレオンハルトオイラーピエールルイモーペルテュイジャンルロンダランベールジョゼフ = ルイラグランジュピエール =

11 q 運動方程式ニュートン方程式 2 m d q dt 2 = F( q) ダニエルベルヌーイレオンハルトオイラーピエールルイモーペルテュイジャンルロンダランベールジョゼフ = ルイラグランジュピエール = シモンラプラスガスパール = ギュスターヴコリオリ位置 q で記述される粒子の加速度 (m q の 2 階の時間微分 ) が力と釣りあう ( エネルギーや運動量の保存則が含まれる ) U(q) (cm -1 ) 力はポテンシャルの微分 F( q) U ( q) = q

12 関数やデータの表示普通の学生向け関数の場合 Google の検索画面にいきなり式を打ち込む数値データの場合 Google スプレッドシート Excel sheets.google.com カット & ペーストでデータの貼り付け方 1. 形式を選択して貼り付けでテキストを選択し OK をクリック 2. 貼り付けのオプション ( 貼り付けた時下に出るボタン ) からテキストファイルウィザードを使用するをクリック 3. カンマやタブなどの区切り文字によってフィールドごとに区切られたデータを選択し次へをクリック 4. 区切り文字にスペースを選択し次へ完了をクリック

13 関数やデータの表示エキスパート向け Gnuplot のインストール gnuplot(windows 版 ) のダウンロード元日本語のインストールの仕方使い方も google ばでてくる

14 できるかな? 1 調和振動子 U( q) = q *x **4-x **2 x **2 二重井戸ポテンシャル 4 2 U( q) = αq β q を異なる α β を 2,3 選んで描きなさい洗濯板ポテンシャル U ( q) = cos(a q) Bq を異なる A B を 2,3 選んで描きなさい

15 数値計算とプログラミング言語 Python 3 入門者からマニアまで未来ある若者向き知っておいて損はないインストールの仕方等科学計算モジュール NumPy と描画モジュール Matplotlib の存在も大 FORTRAN と C++ などその道に進む人向き ( 処理が高速 ) GNU FORTRAN (MAC や LINUX 用もある ) プログラムを編集するエディターコンパイルディバック ( 修正 ) 等ハードルは高いお試しなら便利な WWW サイトがいくつかある ( 次頁 )

16 プログラミングできる WWW サイトの例 Pythonだけなら以下もあるあまり実行時間の長いプログラムを流さないこと Python3 nbc や FORTRAN を選ぶ

17 プログラムを入力 ( 全角文字や全角スペース TAB が入らないように注意 ) プログラム実行はこれをクリック

18 Python のプログラム例 for i in range(1,10): # 以下同じインデント行で i=1, 10 と増加 j = i**2 print(j) FORTRAN のプログラム例 program main Integer i,j do i = 1, 10 j = i**2 write(*,*) i, j enddo end! このプログラムではiを整数として扱うと宣言! このdo 行からend do 行の間においてi=1, 2, 10と増加! 二乗計算! i とxの結果をスクリーン上に示す

19 具体的に解くには運動量 ( p = mq ) を導入し1 階の連立微分方程式にして解く調和振動子二重井戸 dq dt dp dt 洗濯板ポテンシャル = = 1 m p Fq ( ) F( q) = Aq + Bq 3 初期値は p(0) と q(0) の 2 つ 2 F( q) = mω q 100 F( q) = Asin(A q) + B *x **4-x **2 x **

20 ニュートン方程式を差分で解くオイラー法による数値計算 ( エネルギーが発散するので計算法として悪い ) qt ( + t) = qt () + q pt ( + t) = pt () + p より q = t p = t 1 m p Fq ( ) 1 q= p t m p = F( q) t 1 qt ( + t) = qt () + pt () t m p( t+ t) = pt ( ) + F( qt ( )) t mω 2 q 調和振動子

21 方程式の無次元化数値計算は変数を無次元化して解くのが賢い ( 洞察もしやすい ) 例えば調和振動子の変位 q q p, p, δt ω t q mω q とおくのが賢こそう ΔΔΔΔ 1 U( q) = mω q 2 に対するポテンシャルエネルギーは 2 2 だから見ようとする変位のスケール ΔΔΔΔ に対し振幅によらず振動数は一定ガリレオ q( t+ δt) = q( t) + p( t) δt p( t+ δt) = p( t) q(t) δt p δt

22 Python 3 の場合オイラー法による数値計算 (ω=1 m=1 の調和振動の場合 ) dt= 0.02 # 時間刻み istep =314 # 繰り返す回数 q=0.0 #qの初期値 p=-0.1 #pの初期値 for i in range(1, istep): # 以下ループ t = i *dt # 時間 qt = q+ p*dt # 位置 pt = p -q*dt # 運動量 (F(q) = -q) print(t,qt,pt) # 結果の表示 q=qt # 位置の結果の更新 p=pt # 運動量の結果の更新全角文字や全角スペース TAB が入るとエラーになるから注意結果を一度カット & ペーストしてファイル化してプロットするとよい

FORTRAN の場合オイラー法による数値計算 (ω=1 m=1 の調和振動の場合 ) program main! 主プログラムであることの宣言 implicit none! 使う定数は型 ( 実数整数等 ) 必ず指定する integer :: i, istep! i と istepは整数として扱う real :: dt, q, p, qt,pt,t! 実数として扱う dt =0.

23 FORTRAN の場合オイラー法による数値計算 (ω=1 m=1 の調和振動の場合 ) program main! 主プログラムであることの宣言 implicit none! 使う定数は型 ( 実数整数等 ) 必ず指定する integer :: i, istep! i と istepは整数として扱う real :: dt, q, p, qt,pt,t! 実数として扱う dt =0.02 istep =314 q = 0.0 p = -0.1 do i= 1, istep! do とenddoの間を1~istep 回繰り返す iはカウンター t = i*dt! t は時間依存する外力を設定する場合に使う qt = q+p*dt pt = p-q*dt! 調和振動子での力はF(q) = -q write(*,*) t, qt, pt! 各ステップで時刻座標運動量を画面に出力 q = qt! 入力変数を出力変数におきかえる p = pt enddo! do ループの終了地点 end! 主プログラムはここで終わり全角文字や全角スペース TAB が入るとエラーになるから注意

24 レポート問題 1 Python か FORTRAN で解いた調和振動子に対する運動方程式の解のうち q を t=0~6.28 までプロットせよ 2 プログラムを改造し E=(qt**2+pt**2)/2 ( エネルギー ) を t=0~6.24 プロットせよ 3 オイラー法において Δt を変えて座標とエネルギーの数値解の安定性を調べよプリンターで印刷できない人はグラフ用紙に筆写したものでもよい期限は来週の授業まで (1 週ぐらいなら遅れて出すのは可 ) 友達に教えてもらったらレポートの後ろに謝辞 (Acknowledgment) を書くこと

多次元レーザー分光で探る凝縮分子系の超高速動力学

多次元レーザー分光で探る凝縮分子系の超高速動力学波動方程式と量子力学谷村吉隆京都大学理学研究科化学専攻 http:theochem.kuchem.kyoto-u.ac.jp TA: 岩元佑樹 iwamoto.y@kuchem.kyoto-u.ac.jp ベクトルと行列の作法 A 列ベクトル c = c c 行ベクトル A = [ c c c ] 転置ベクトル T A = [ c c c ] AA 内積 c AA = [ c c c ] c =