大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅱ. 問 ( g cosq a sin q ) m - 台 B 上の観測者から見ると, 小物体は, 斜面からの垂直抗力 N, 小物体の重力 mg, 水平左向きの慣性力 ma を受け, 台 B の斜面と平行な向きに運動するしたがって, 小物体は台 B の斜面に垂直な方

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1 大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅰ. 問 g 最高点の座標を y max とすると, 力学的エネルギー保存則より \ y m mgy 補足 max g max 小物体の運動方向に対する仕事は重力 ( 保存力 ) の斜面に沿った成分のみであり, 垂直抗力 ( 非保存力 ) の仕事はであるよって, 力学的エネルギー保存則が成り立つこれを確かめてみよう小物体は重力の斜面に沿った外力を受けながらその運動エネルギーを失っていく尚, 小物体に働く垂直抗力の向きと小物体の運動方向のなす角は 9 だから, 垂直抗力は小物体に対し仕事をしないすなわち小物体の運動エネルギー変化に垂直抗力は寄与しないそこで, 小物体が最高点に達するまでに, すなわち小物体の運動エネルギーがになるまでに, 小物体が斜面を上った距離を l max とすると, 重力の斜面にそった成分が小物体に対してした仕事は, 運動の向きと外力の向きのなす角が 8 だから, mg sinq l max cos8 -mgl sinq よって, m - mglmax sinq max これと, 最高点の座標を y とすると, y sinq より, m - mgymax \ y max max g max l max

2 大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅱ. 問 ( g cosq a sin q ) m - 台 B 上の観測者から見ると, 小物体は, 斜面からの垂直抗力 N, 小物体の重力 mg, 水平左向きの慣性力 ma を受け, 台 B の斜面と平行な向きに運動するしたがって, 小物体は台 B の斜面に垂直な方向に対しては静止しているつまり, 小物体が受ける外力の斜面に垂直な成分はつり合っているよって, そのつり合いの式 N + ma sinq mg cosq より, ( g cosq a sin q ) N mg cosq - ma sin q m - N ma a q mg 問 a m sinq cosq g, b M + m sin q k M + m sin q 台 B が受ける外力は, 台 B の重力, 小物体からの垂直抗力, ばねから受ける弾性力, 台 A からの垂直抗力である N sin q N ' a kx q N Mg

3 大阪大学物理 8 を解いてみた台 B は水平方向に運動するから, その運動方程式は, Ma N sinq - kx \ m ( g cosq - a sinq ) mg cosq sinq - ma sin sinq - kx q - kx ( M + m sin q ) a mg cosq sinq - kx m sinq cosq k \ a g - M + m sin q M + m sin 補足問の N m( g cosq - a sin q ) x q 台 B から見た小物体の運動は台 B の斜面に束縛された運動に過ぎないが, 台 A の観測者から見た小物体の運動は台 B が運動しているため, 台 B の観測者から見た運動より複雑であるしたがって, 台 A の観測者の立場から垂直抗力 N を求めるのは大変であるそこで, 実在の力の大きさは観測者の立場が変わっても同じであるから, あらかじめ台 B の観測者の立場から垂直抗力 N を求めさせ, 問の問題を正解しやすくしたと思われる教訓物体に働く力を求める場合, より簡単に求められる観測者の立場からその力を求める問 4 a b 問 5 b a a - b x より, Ma Ma - Mb x \ Ma -Mb æ a ç x - è b æ a これより, 台 B は位置 x の次関数で表される外力 F -Mb ç x - を受ける運動, è b すなわち単振動運動であることがわかる æ a F -Mb ç x - より, è b つり合いの位置, すなわち振動中心の位置は, F a より x b

4 大阪大学物理 8 を解いてみた単振動の開始位置は x の位置だから, 振動開始位置と振動中心の距離, a つまり振幅は b また, a - b 単振動の外力 F の一般形を F -KX, 単振動する物体の質量を M とすると, p M K 振動周期 T p より, w w K M æ a F -Mb ç x - において, Mb が K に相当するから, è b w Mb M 角振動数の別解 b 振幅を A, 角振動数を w, 初期位相を d, 台 B の振動中心からの変位を X とすると, X Asin ( w t + d ) ( または A ( w t + f ) よって, dx dt 単振動中の台 B の速度 Aw cos ( wt + d ) X cos f は初期位相 ) と表される d 単振動中の物体の加速度 -w A ( wt + d ) -w X a dt X d dt sin よって, a -w X 一方, a b x より a -b ( x - ) a -, より, a X x -, w b b a \w b 4

5 大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅲ x ' N y ' q mg O 台 A 問 6 - g sin q 座標の原点は, 台 A に固定されているから, この座標系による小物体の加速度とは, 台 A 上の観測者が観測した加速度である台 A 上の観測者が観測する小物体にはたらく外力は, 台 B からの垂直抗力 N と小物体の重力 mg である求める加速度を a x' とすると, x ' 方向の運動方程式は, ma x -mg sin q + mg cos 9 -mg sin q ' \ a x ' -g sin q 問 7 g sinq 変位の ' D x' t + - g sinq t x 成分は, ( ) もとの位置に戻ってきたとき変位 Dx' となるから, 戻ってくるまでの時間を t' とすると, t' - g sinq t ' t' ¹ より, t ' g sinq 5

6 大阪大学物理 8 を解いてみた問 8 np g sinq w V 小物体が台 B を上り始めてからもとの位置に戻ってくるまでの時間が g sinq V 台 B の単振動周期 T の整数倍であればよいから, nt g sinq \ V ng sinq T p np g sinq T より, V w w 6

7 大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅰ. 問 ev m 加速後の電位をとすると加速前の電位はV ( V > ) だから, 加速前の電子がもつ保存力 ( 静電気力 ) の位置エネルギーは ev 加速前後において力学的エネルギーが保存されるから, 加速後の電子は速さをとすると, ev + + m \ 補足 ev m 加速前の電子がもつ保存力 ( 静電気力 ) の位置エネルギー ev について [V] V [V] V E d 外力 F d [V] V [V] V E d d 7

8 大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅱ V 極板間の距離を d とすると, 電界の大きさ E d 電荷 - e[ C] の電子を電位 [ V] ev 必要とする外力の大きさ F - ee である d 外力の向きと変位の向きのなす角がだから, ev 外力がする仕事 W F d cos d ev d 問 V の位置から電位 [V] の位置まで移動させるとき, この仕事は電子がもつ保存力 ( 静電気力 ) の位置エネルギーとして蓄えられるよって, 加速前の電子がもつ保存力 ( 静電気力 ) の位置エネルギーは ev である pm 時刻 : m x 座標 : - 磁界中で電子は向心力 ( ローレンツ力 eb ) を受け等速円運動をする円運動の半径を r とすると向心加速度 a より, r その運動方程式は, m eb r m \ r 荷電粒子は半円を描いた後磁界から飛び出すから, その軌道の長さは rp である磁界に入射した時刻をとするから, rp 磁界から飛び出す時刻は, m m 飛び出すときの x 座標は, - r - p p m 8

9 大阪大学物理 8 を解いてみた y r eb O x 9

10 大阪大学物理 8 を解いてみた問電子の軌跡 y φ r φ φ eb O φ x 時刻 : ( p - f ) m m sin f x 座標 : - - 電子が描く円弧の長さ r( p - f ) r( p - f ) より, m p - - 電子が飛び出す時刻 ( ) ( p - f ) r f m sin f また, x 座標 - r sin f - ( p f ) m

11 大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅲ 問 4 問 5 電子の運動 : z 軸正方向に等速直線運動をする理由 : 電子の運動方向と磁場の向きが平行だから, 電子は磁場から力を受けない m sinq 半径 : p m 周期 : 図より, 電子の磁場の向きと垂直な速度成分は sin q よって, 電子が受けるローレンツ力の大きさは e sin q これが向心力となって, z 軸方向からみたときは等速円運動をするこの等速円運動の半径を r とすると, m sinq 等速円運動の運動方程式は, ( ) e sinq B m sinq \ r 問 6 また, 周期は, r p m sin q p p m sinq sinq pm cosq 等速度運動の速度成分は, よって, L 問 7 p m cosq r B cosq だから, これに等速円運動の周期をかければよい p m cosq p m 等速円運動の周期 T より, 電子の速さが変わっても一定である電子の速さがのとき, 電子は等速円運動をちょうど回行なって位置 (,,L) に達する

12 大阪大学物理 8 を解いてみたよって, cosq T L 速さをから大きくしていくと, z 軸方向の速さが大きくなるので, 電子が z L に達するまでの等速円運動の回数が減少していくしたがって, 次に電子が位置 (,,L) にある検出器に検出されるとき, 等速円運動をちょうど回行うことになるこのときの速さをとすると, ' ' cosq T L より, \ ' おまけ ' cosq T L cosq T L

13 大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅳ 問 8 < R m sinq m sinq 回転半径 < R であればよい \ < R m sinq y 円筒電子の軌跡 msin θ φ O x R

14 大阪大学物理 8 を解いてみた問 9, 検出器の座標 (,,pr) より, q ¹ のとき電子が検出されるためには, 以下のつの条件が満たされなければならない p z 軸正方向に進むためには < q < であること電子が検出されるためには等速円運動を少なくとも回しなければならないから, 軌道半径 < 円筒の半径であること電子が検出器に達したとき等速円運動の回数がちょうど n 回 ( n は自然数 ) であること軌道半径 < 円筒の半径 m sinq 4 m m sinq 4 m < R, R より, < æ p \ sin q < ç < q < è 電子が検出器に達したとき等速円運動の回数がちょうど n 回 z 方向の速さが cosq だから, cos q nt pr 4 m pm pm 4 m R, T より, cos q n p æ p \ cos q ç < q < 4 n è あるいは, 問 6 より, 電子が等速円運動を回したとき, 電子は座標 (,, L) (,, pr ) (,, nl) が成り立てばよいに達するから, 4 m pm cosq よって, p n \ cos q 4 n,4より, sinq - cos q æ - ç è n < \ 8-9n < 8 9 \n < 8 n は自然数だから, n, \ cos q, 4

15 大阪大学物理 8 を解いてみたまず, 各状態量を ( P V, n, T ) 初期状態, の形で成分表示しておく æ PV æ PV 左室 ç P, V,, T 右室 ç è P, V,, T è 状態気体の物質量は, 理想気体の状態方程式より求めた æ PV æ 左室 ç P, V,, T 右室 ç è P è P V, T R V,, 左室 : 導入弁が開くから, 左室の圧力は P であるよって, 気体の物質量は右室 : 密閉状態だから気体の物質量は変化しないまた, 圧力を P R とおいた状態 æ PV 全体の状態 ç P, V + V,, T è æ PV V æ PV V 左室 ç P, V,, T 右室 ç è V + V P, V,, T è V + V 接続バルブが解法されるから, つの系になったと見なしてよく, P V このとき気体の物質量はまた, 圧力を P とした PV 左室右室で成分表示する場合, + 左室と右室の気体の物質量比左室と右室の体積比 V :V より, PV 左室の気体の物質量 PV 右室の気体の物質量 V V + V V V + V P V P V 5

16 大阪大学物理 8 を解いてみた状態 æ PV V æ PV 左室 ç P L, V,, T 右室 ç è V + V P, V,, T è 左室 : 密閉状態だから気体の物質量は変化しないまた, 圧力を P L とした右室 : 導入弁が開くから, 圧力は P になるよって, 気体の物質量は状態 4 æ PV V + V 全体の状態 ç P 4, V,, T è V + V æ PV V + V V 左室 ç P 4, V,, T è V + V V + V æ PV V + V V 右室 ç P 4, V,, T è V + V V + V 接続バルブが解法されるから, つの系になったと見なしてよく, P V このとき気体の物質量はまた, 圧力を P 4 とした V V 左室右室で成分表示する場合, + V P V + P V V + V V + V 左室と右室の気体の物質量比左室と右室の体積比 V :V より, P V 左室の気体の物質量 P V 右室の気体の物質量状態 5 æ 左室 ç P, V,, T è PV æ 右室 ç P è V + V V + V V + V V + V PV V + V V, V, T V + V V + V R 5, V V + V V V + V 左室 : 導入弁が開くから, 圧力は P になるよって, 気体の物質量は右室 : 密閉状態だから気体の物質量は変化しないまた, 圧力を P R5 とした P V P V 6

17 大阪大学物理 8 を解いてみた問 P V PV 右室の気体の状態方程式 P V n より, n 問 a P a + æ 全体の状態 ç è \ P 問 PV V + V P V, V + V,, T P より, P ( V + V ) V P V V + V a P a + ( a - ) PV ( a + ) P V æ PV 状態の左室の内部エネルギーをU L とすると, ç P, V,, T より, è PV U L P V æ PV V 状態の左室の内部エネルギーをU L とすると, ç P, V,, T より, è V + V U L PV P V V V + V V V + V 7

18 大阪大学物理 8 を解いてみた \ U 問 4 L a a + - U L P V æ V PV ç èv + V PV ( V - V ) ( V + V ) æ V ç èv PV æ V ç èv ( a - ) ( a + ) ( a - ) PV ( a + ) P V V V + V P V 右室の状態が状態から状態に移る過程において, 気体が導入され始める瞬間までの過程温度一定の閉じた系における状態変化だから, 等温変化であるよって, PV 一定 ( 等温変化 ) が成り立つ気体が導入される始める瞬間の右室の圧力は P であり, このときの体積を kv とすると, ピストンを動かす前と気体が導入される始める瞬間において, PV 一定より, P V P kv \ k P P a a 問より P P だから, k a + a + 気体が導入され始めてから状態までの過程圧力 P で変化するから, 等圧変化である 8

19 大阪大学物理 8 を解いてみた問 5 a - PV a + 圧力 P がする仕事により体積が kv からV に変化する a V a V k, a より, kv V a + V a + a a + æ \ W P DV P çv è 問 6 - V a + 初期状態から状態への変化等温変化 ( 状態から状態への変化 a - PV a + PV 一定 ) により, ( ) P,V から çap è a æ V 等積変化により, çap æ a V, から ç P, に変化 è a è a + a 状態から状態への変化気体が導入されはじめるまで æ V, に変化 æ a V æ 等温変化 ( PV 一定 ) により, ç P, から ç P, V に変化 è a + a è a + 気体が導入されてから æ 等圧変化により, ç è 以上と a 7 より,, V a + グラフは次図のようになる P から ( P ),V に変化 9

20 大阪大学物理 8 を解いてみた y 7P 状態 7 4 P P 状態初期状態状態 O V 7 4 V V(7V) x

21 大阪大学物理 8 を解いてみた問 7 y 7P 状態 7 4 P P 状態初期状態状態 O V 7 4 V V(7V) x

22 大阪大学物理 8 を解いてみた初期状態から状態に至る過程で右室の気体がピストンから受けた仕事 y 7P 状態 7 4 P P 状態初期状態状態 O V 7 4 V V(7V) x

23 大阪大学物理 8 を解いてみた状態から状態に至る過程で右室の気体がピストンにした仕事 y 7P 状態 7 4 P P 状態初期状態状態 O V 7 4 V V(7V) x

24 大阪大学物理 8 を解いてみた問 8 49P 状態 k における体積 V の室の圧力と気体の物質量をそれぞれ P k, n k とする状態 k - のとき体積体積 V の室の状態は, 常に ( P, V, n ) V の室の状態は ( P V n ) それぞれの状態方程式は, P V n P k -,, k - k - V nk - 状態 k のとき接続バルブを開放することによって, 状態 k になるから, つの系と見なしたときの状態は, ( P V V n + n ) k, +, k - このときの状態方程式 P k ( V V ) ( n + nk - ) P k ( V + V ) ( n + nk - ) n + nk - PV + P k -V \ P k PV + P V + V これと a 7 より, 状態 k + のとき a + + および, より, 7P k - k - + V ap + P 8 P k - 7P + P k - P k 8 状態 k から状態 k + までの変化は等温変化だから, P k + V P kv V \ + 4 P k P k ap k 7P k V 49P + 7P k-,4より, P k 上限値があるとあるから, 上限値を P max とすると, lim P lim k k - P k+ k P max が成り立つよって,5 の両辺について極限をとると, æ 49P + 7P k - lim P k+ limç より, P k k è 8 \ P max 49P max 49P + 7Pmax 8 4

木村の物理小ネタ単振動と単振動の力学的エネルギー 1. 弾性力と単振動弾性力も単振動も力は F = -Kx の形で表されるが, x = 0 の位置は, 弾性力の場合, 弾性体の自然状態の位置単振動の場合, 振動する物体に働く力のつり合

木村の物理小ネタ単振動と単振動の力学的エネルギー 1. 弾性力と単振動弾性力も単振動も力は F = -Kx の形で表されるが, x = 0 の位置は, 弾性力の場合, 弾性体の自然状態の位置単振動の場合, 振動する物体に働く力のつり合単振動と単振動の力学的エネルギー. 弾性力と単振動弾性力も単振動も力は F = -x の形で表されるが, x = の位置は, 弾性力の場合, 弾性体の自然状態の位置単振動の場合, 振動する物体に働く力のつり合いの位置であるたとえば, おもりをつるしたばねについて, ばねの弾性力を考えるときは, ばねの自然長を x = とし, おもりの単振動で考える場合は, おもりに働く力がつり合った位置を