論文ゼミ ( 修士論文にむけて ) M2 浦田淳司 (Wed)

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きみかずかいじ
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1 論文ゼミ修士論文にむけて M2 浦田淳司 Wed

2 修士研究 : 全体見取り図第章背景目的第 2 章既往研究避難行動ゲーム理論ネットワーク分析複雑ネットワーク第 3 章調査概要第 4 章基礎分析第 5 章紐帯生成モデルミクロモデル第 6 章巨視モデルの適用適応度モデル第 7 章ネットワーク評価 2 第 8 章結論

3 2 章概要第 2 章既往研究の整理 2. 避難行動研究の整理避難意思決定, 住民内情報伝達 2.2 ゲーム理論利他的選好, 限定合理性, フォーメーションゲーム 2.3 ネットワーク分析指標グラフ理論, 中心性分析, 構造分析, 次数分析 2.4 複雑ネットワークモデルスモールワールドモデル, 閾値モデル, BA モデル, 適応度モデル 2.5 ネットワーク分析実証系研究の整理 2.6 研究の位置づけ 3

4 2.3 ネットワーク分析 2.3. グラフ理論グラフの種類, 距離, クラスター係数中心性分析次数中心性, 媒介中心性, 切断中心性, 情報中心性構造分析構造同値縮約, ブロックモデル次数特性次数分布 SF 性, 結合相関 Sanley Wasseran: Socal Newor Analyss: Mehods and Applcaons, abrdge Unversy Press, 994 金光淳 : 社会ネットワーク分析の基礎 - 社会的関係資本論にむけて -, 勁草書房,

5 2.4 複雑ネットワークモデル 2.4. スモールワールドモデル枝のつなぎかえにより, 複雑ネットワークを生成短い平均距離 L と大きいクラスター性を実現,SF 性なし閾値モデル二つのノードの持つ値の和が閾値を越えれば, リンク生成 SF 性短い L 大きなを実現, 協調的モデル BA モデルネットワークの成長優先的選択を考慮古株ほどリンクを得やすい,SF 性短い L を実現適応度モデル BA モデルの拡張, ノードの固有の適応度を考慮新しいノードでもハブになりうる,SF 性短い L を実現 5 増田直紀, 今野紀雄 : 複雑ネットワークの科学, 産業図書, 2005 を主に参考に

6 2.4. スモールワールドモデル D. J. Was, S. H. Srogaz: ollecve dynacs of sall-world newors, Naure, Vol.393, pp , 998 現実ネットワークとの対比小さい平均距離 L 大きいクラスタリング係数大きすぎない平均次数スモールワールドモデルの形成次数分布のベキ則は実現なしショートカットの作成 6 はじめのネットワーク全ノード数 n 両隣 /2コのノードとリンク全リンク数 n/2 割合 p の枝をランダムにつなぎかえ. pn/2 本をランダムに選ぶ 2. 片方の頂点を切り離す確率 /2 3. 新しいつなぎ先をランダムに選ぶ

7 2.4. スモールワールドモデル n000, 0 から始めた時の平均距離とクラスタ係数の p による推移平均距離はすぐに短くなるクラスタ係数は保持性高い小さい p で短い L 大きなの実現 7 近くの相手と多く, 遠くの相手とたまに結合弱い紐帯への対応格子型のモデルを前提小さい p のため, 乱雑さは少ない非連結ネットワークになる可能性

8 2.4.2 閾値モデル G. aldarell, A. apocc, P. De Los Ros, M. A. Munoz: Scale-free newors fro varyng verex nrnsc fness, Physcal Revew Leers, Vol.89, No. 25, , 2002 モデルの特徴スケールフリーネットワークを実現自分と相手の重みからリンクを決定協調的仕組みからネットワークを形成閾値モデルからのネットワーク形成全ノード数 n 番目の頂点 v の重みを ω とする確率密度 fω で与える ω +ω θ のとき, 頂点 v と v の間にリンク形成 8 3 ωa ω.5 ωb 2 θ3.5 ωd ネットワークの特徴 ω 小クラスター係数大 ω<θ/2 ω 大次数大 ω>θ n 連結グラフ L2 最大 ω のノードに連結

9 3.2.3 BA モデル A. L. Barabas, R. Alber: Eergence of scalng n rando newors, Scence, Vol.286, pp , 適応度モデル A B G. Bancon, A. L. Barabas: opeon and ulscalng n evolvng newors, Europhyscs Leers, Vol.54, No. 4, pp , 200 G. Bancon, A. L. Barabas: Bose-Ensen condensaon n coplex newors, Physcal Revew Leers, Vol.86, No. 24, pp , 200 スケールフリー性を成立させるためのネットワーク生成モデルスケールフリー則 : P γ ー次数のノードの存在確率 P がのべき乗に比例 9

10 ネットワーク生成メカニズムルール : ネットワークの成長表現ノード追加ネットワークが時間とともに成長設定毎時, ひとつのノードがネットワークに追加新しいリンクを本もつルール 2: 優先的選択の記述法リンク数と適応度が大新しいリンクを得やすい設定ノード V がリンクを得る確率 v n : リンク数 : 適応度新しい質の良いノードが古いノードを凌駕しうる 0

11 リンク獲得確率リンク獲得確率 n A2 は各ノードに確率密度分布 ρ で付与全てのが等しいときが,BA モデルに対応次数の仮定 β, 0 0 A3 流入時間 0 時間 0 のとき, 0 < β < 0 < β β < ー時間ともに, 次数増加ー獲得リンクは毎時以下なので, より増分は小

12 分母の近似 A2 式の分母を近似 A3 式より dρ ρ はの確率密度分布 d0, 0 β d ρ β A4 0 < β < より A5 dρ β A6 2

13 β の導出 A2 式に A5 を代入 A3 式より β β β 0 0 A7 式と比較して β A7 A8 このとき, は A6 式より 3 d ρ A9 を満たす必要がある

14 の確率分布 P 4 < > > 0 0 A3, A8 より, 以上となる累積確率分布は P P < > 0 A0 A0 より, 次数となる確率分布は + > 0 ax ρ ρ ρ d d P d P A まだスケールフリーとは言えない

15 適応度の確率分布次数のスケールフリー性適応度の分布 ρ 次第 ase δ ρ が全て等しいとき A9 より 2 A8 より β/2 A より P 3 ase2 が一様分布 [0,] のとき 5 A9 より A より exp [ log ] 0 d 0 2 / / P A2 * * d + * / + * log A3 べき乗と対数の逆数に比例

16 次数分布両対数グラフ P ~ / ln は P ~ に比べ, 傾きゆるいベキ則と比較し, super hubs が現れうる 6

17 適応度粒子エネルギー準位適応度に粒子のエネルギー準位を対応させる log β B2 ノードが準位, リンクが粒子に対応 G B B A F G F E D E A 7 D

18 リンク獲得確率 Bose A2, B2 より β,, 0 e,, 0 Z B3 Z e β,, 0 B4 ー分配関数次数は時間のべき乗に比例すると仮定 A3 と対応, 0 0 f B5 の確率密度分布 ρ に対して,の密度分布は, β g d ρ d g βρ e e β 8

19 式展開と同様 A4-A6 と同様に Z z β dg e e dg β f d0,, 0 z B6 B7 できん 9 化学ポテンシャル μ を次のようにおく e < Z A5, A8, B6 より,fβ なので > βµ B8 f l B7, B9 より, β e e e Z z β µ I β, µ dg β µ e B9 B0

20 凝縮過程ネットワークのリンクがボーズ気体理想気体であると考え, n を粒子密度とすると, B0 より, d g n n e β µ B B2 B5, B6, B9 が成立 B0 のμが存在 I β, µ dg I β,0 β µ e f I β,0 < β,g の解なしベキ分布の仮定が不成立 B5 一部の粒子が最低エネルギー準位に凝縮と考える 20

21 凝縮過程 2 粒子のうち,n0β だけ凝縮していると考えるまず, 凝縮していないとき, 全粒子数 2 は, 2 0 Iβ, 0<0 のとき,, I β, µ 2 + I β, µ + n0 β n β 0 β B3 B4 I,0 B5 ある割合だけ, 凝縮 2

22 22 n A2 0 0, β A3 β ρ β d A4 A5 β dρ A6 β A7 A8 ρ d A9 P > A0 + ρ d P A

23 Z e,,,, 0 0 β B3 e Z 0,, β B4 0 0, f B5 β f e g d z B7 z Z e > < l βµ B8 µ β β e Z e f e B9, µ β µ β e g d I B0

24 / ρ c c d c 適応度モデル導出 24 n リンク生成確率次数は時刻のべき乗で表されると仮定 0 0, β 式の分母を集団平均で近似 d d 0 0, ρ ρ β c d 式を式に代入して c 5 2, 4 式が同時に成立するため必要条件 c β 6 時刻で次数以上となる頂点の確率分布 [ ] / / 0 c c P P < > 7 > ρ d P p 8 G. Bancon, A.-L. Barabas200 より c 時刻で次数となる頂点の確率分布 4 ノードの次数ノードの適応度 ρ 適応度の確率分布ノードの生成時刻ノードの追加の際の生成リンク数

25 25 スケールフリー性の証明部分性の仮説から全体則を導くリンク獲得確率 n 次数は時刻のべき乗で表されると仮定 β, 0 0 式の分母を集団平均で近似 dρ d0, 0 c c ρ d β 3 式を式に代入して c , 4 式が同時に成立するため必要条件 β c 6 時刻で次数以上となる頂点の確率分布 P [ ] c / c / > P 0 < 7 時刻で次数となる頂点の確率分布 P > p ρ d c / ノードの次数ノードの生成時刻 G. Bancon, A.-L. Barabas200 より c ρ d ρ ノードの追加の際の生成リンク数 c 8 スケールフリー ρ の分布適応度の確率分布ノードの適応度全体を整合させる個の決定モデル

26 2.4. スモールワールドモデル D. J. Was, S. H. Srogaz: ollecve dynacs of sall-world newors, Naure, Vol.393, pp , 998 現実ネットワークとの対比小さい平均距離 L 大きいクラスタリング係数大きすぎない平均次数次数分布のベキ則は実現なしスモールワールドネットワークの形成全ノード数 n 両隣 /2 コのノードとリンク全リンク数 n/2 割合 p の枝をランダムにつなぎかえ. pn/2 本をランダムに選ぶ 2. 片方の頂点を切り離す確率 /2 3. 新しいつなぎ先をランダムに選ぶ 26

特定のグループがとる大きさの確率分布を考えよう時点において第グループが大きさ x である確率を P (,) x であらわす時点におけるグループの大きさはから+ cまでの範囲内にあるしたがって + c x= P(,) x = であるここでつの仮定を設けようそれは Son (955) が

特定のグループがとる大きさの確率分布を考えよう時点において第グループが大きさ x である確率を P (,) x であらわす時点におけるグループの大きさはから+ cまでの範囲内にあるしたがって + c x= P(,) x = であるここでつの仮定を設けようそれは Son (955) が論文ベキ乗則生成に関するサイモンモデルとバラバシモデル Son Model and Barabas Model on Generang Power Law 鈴木武ネットワークにおけるベキ乗則の生成について Barabas & Alber (999) から始まる研究が盛んであるここではそれをバラバシモデルと呼ぶことにするベキ乗則の研究は 90 年代からみられるが 949 年に Zpf