Microsoft PowerPoint - 第3回半導体工学

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しまなにかどり
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Willim Penney http://en.wiipedi.org/wii/rlph_kronig http://de.wiipedi.org/w/index.

1 017 年 10 月 3 日 ( 月 ) 1 限 8:45~10:15 IB015 第 3 回半導体工学天野浩項目章固体の帯理論 1931 年ラルフクローニッヒウィリアムペニー Rlph de Ler Kronig Willim Penney 1/3

2 結晶の原子配列 HRTM imge of silicon (Si) [110] crystllogrphic zone xis. t/dvnce_phse/dvnce_phse_ 01.html 原子が規則的に配列すると固体内の電子エネルギーはどうなるか? /3

3 結晶内ポテンシャルエネルギーのモデル化ポテンシャルエネルギー +b ポテンシャルエネルギー V 領域 I 0 : 誘電率 4 q x 領域 Ⅱ b x=-b x=0 x= 電子のエネルギーは V 0 より小さい場合を考えるポテンシャルエネルギーは V(x)=V(x+L) L=+b 周期 x 3/3

4 波動関数の変更 : ブロッホ関数の利用結晶周期性を有する振幅項 :U(x) 位相項 :e jx +b = 波動関数 :(x)=u(x) e jx 電子の存在確率はポテンシャルの周期性に従うが, 電子波の位相は平面波的と考える振幅は周期性あり位相は平面波的波動関数としてブロッホ関数 (x) を用いる (x)=u(x) exp(jx) U(x): 振幅項 U(x)=U(x+L) exp(jx): 位相項 4/3

5 クローニッヒペニーモデルによる解法 V 0 エネルギー領域 I 領域 Ⅱ b x x=-b 領域 I でのシュレーディンガー方程式 d I ( x) ( x) I dx 領域 Ⅱ でのシュレーディンガー方程式 d dx x=0 x= x) - II( x) 符号に注意! 0 但し m m(v II( 0 0 但し - ) 5/3

6 クローニッヒペニーモデルによる解法 V 0 エネルギー領域 I 領域 Ⅱ b x x=-b x=0 x=. ブロッホ関数をシュレーディンガー方程式に代入し一般解を求める一般解 U 1 (x)=aexp[j(-)x]+bexp[- j(+)x ] U (x)=cexp[(-j)x]+dexp[- (+j)x ] 6/3

7 クローニッヒペニーモデルによる解法 V 0 エネルギー領域 I 領域 Ⅱ b x x=0 x=-b x= 3. 境界条件自分で解くこと! x=0でu 1 (0)=U (0) U 1 (0)=U (0) x=,x= -b で周期的境界条件を用いる U 1 ()=U (-b) U 1 ()=U (-b) 最終解は sinh b sin cosh b cos cos ( b) 7/3

8 V 0 クローニッヒペニーモデルによる解法エネルギー領域 I 領域 Ⅱ b x x=-b クローニッヒとペニーはポテンシャル障壁として関数の極限を考えた即ちV 0 bを一定に保ったまま,v 0,b 0の極限を考える sinhb b coshb 1 b mv0b sinh b x=0 x= P sin とおくと P cos mv0b となる但し P cos 8/3

9 V 0 b を一定に保ったまま,V 0,b 0 の極限を考える Q sinh b P となる但し P mv 0 b であることを確かめなさい m( V mv0b 0 sinh b ) m b mv0b P b m m(v 0 - ) 9/3

10 V 0 Q エネルギー領域 I 領域 Ⅱ b x x=0 x=-b x= sin mv0b クローニッヒペニーの式 P cos cos P m において, ポテンシャル障壁 V 0 =0 のとき,P=0 であるエネルギーと波数の関係を求めなさい 10/3

11 解答 m 自由電子の場合に相当 m m 11/3

12 Q V 0 エネルギー領域 I 領域 Ⅱ b x クローニッヒペニーの式 m x=-b sin P cos cos P mv において, ポテンシャル障壁 V 0 のとき,P であるエネルギーはどうなるか? x=0 x= 0 b 1/3

13 解答 ) ( 0 sin n m n m n 無限に深い量子井戸の場合に相当 x 1 m /3

14 クローニッヒペニーモデルによる解法 V 0 エネルギー領域 I 領域 Ⅱ トンネル効果 b x P sin x=-b cos cos x=0 x= P mv 0 b において P がゼロでも無限大でもないとき 14/3

15 クローニッヒペニーモデルによる解法 sin P cos cos 例えば P=3 のときのエネルギーと波数の関係を求める右辺は cos なので 1 から 1 まで左辺において =x とおく 15/3

16 Q sin x F( x) 3 x cos x x=0 のとき F(x) はいくつか? lim x 0 sin( x) x 1 であることを思い出すと F( 0) 4 16/3

17 クローニッヒペニーモデルによる解法右辺が cos であることを考慮すると, 縦軸が -1 から +1 までが意味を持つ解 P sin cos 4 3 A D x(=α) -1 B C この間のみ, 解が存在する P sin cos cos 17/3

18 クローニッヒペニーモデルによる解法 sin 3 cos 4 3 A D x=α -1 B C 点 A 右辺 cos()=1 即ち =0 =0 左辺を解くと α= なので m ( ) =0でも,=0にはならない m 18/3

19 クローニッヒペニーモデルによる解法 sin 3 cos 4 3 A D x=α -1 B C 点 B 右辺 cos=-1 = sin 3 cos 1 を解くと m なので x=α= m ( ) m 19/3

20 sin 3 cos 4 3 クローニッヒペニーモデルによる解法 A D x=α -1 B C 点 C 右辺 cos=-1 = sin 3 cos 1 を解くと x=α= ( m ) 0/3

21 クローニッヒペニーモデルによる解法 sin 3 cos 4 3 A D x=α -1 B C 点 D 右辺 cos=1 = sin 3 cos 1を解くと x=α=6.8319= ( ) m m 1/3

22 sin 3 cos A B C D クローニッヒペニーモデルによる解法この間のみ, 解が存在する x=α -1 A: =0 B: C: D: ( ) m ( ) m ( m ( ) m ) 同じでもは異なる /3

23 クローニッヒペニーモデルによる解法エネルギーの飛び m A C D 0 B 3/3

24 P クローニッヒペニーモデルによる解法 sin cos cos を cos(( n n ) ) ずらす cos( n ) cos( ) ずらしても変わらない 4/3

25 クローニッヒペニーモデルによる解法を n ずらして, 真ん中に集める 0 5/3

26 クローニッヒペニーモデルによる解法第一ブリルアンゾーン許容帯禁制帯許容帯禁制帯 0 還元表示 6/3

27 クローニッヒペニーモデルから, 何が分かるか? sin P P=3のとき A: =0 B: C: D: cos cos ( ) m ( ) m ( m ( ) m ) P mv 0 b 同じでもは異なるが小さくなると ( 格子定数が小さくなると ) 禁制帯幅が大きくなる 7/3

28 格子定数とバンドギャップバンドギャップ [ev] 格子定数 [A ] ダイヤモンドシリコンゲルマニウム T=300[K] 8/3

29 クローニッヒペニーモデルから, 何が分かるか? P sin cos cos P mv 0 b B: C: P=1 のとき ( ) m ( ) m P=3 のとき ( ) m ( ) m P=6 のとき P=9 のとき ( ) m ( ) m ( ) m ( ) m P が大きくなると, 禁制帯幅が大きくなるエネルギー障壁高さ V 0 またはエネルギー障壁幅 b が大きくなると, 禁制帯幅が大きくなる 9/3

30 格子定数とバンドギャップ化合物半導体格子定数バンドギャップ ' 結合長が短いほどバンドギャップが大きい! 30/3

31 ダイヤモンド,Si,Ge の価電子エネルギーバンド構造計算 C( ダイヤモンド ) Si Ge Ge では精度のよい計算ができないため, バンドギャップがないように見える実際は,0.7eV 程度 31/3

32 エネルギーバンド構造計算についてより詳しく知りたい人 * 様々な結晶のバンド構造のデータベースの提供 Professor M. Klintenberg Deprtment of Physics nd Mterils Science, Uppsl University * バンド構造計算の概要の紹介物質材料研究機構物質研究所ホームワーク : バンド構造計算は様々な方法が提案されていますそれぞれの特徴と精度について調べましょう 3/3

Microsoft PowerPoint - 第2回半導体工学

Microsoft PowerPoint - 第2回半導体工学 17 年 1 月 16 日月 1 限 8:5~1:15 IB15 第回半導体工学 * バンド構造と遷移確率天野浩項目 1 章量子論入門何故 Si は光らず GN は良く光るのか? *MOSFET ゲート SiO / チャネル Si 界面の量子輸送過程 MOSFET にはどのようなゲート材料が必要なのか? http://www.iue.tuwien.c.t/ph/vsicek/noe3.html