1 2 目標円周角と中心角との関係 ( 円周角の定理 ) を理解し角度を求められる ~ 円に関する基本事項の確認 ~ 円周角弧記号中心 (O= origin ) 点(P= point ) 半径(r= ragins ) ( 円 ) 中心から等しい距離にある点の集合 ( 半径 ) 円周上の1 点から

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らむさどひら
4 years ago
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1 2 目標円周角と中心角との関係 ( 円周角の定理 ) を理解し角度を求められる ~ 円に関する基本事項の確認 ~ 円周角弧記号中心 (O origin )点(P point )半径(r ragins ) ( 円 ) 中心から等しい距離にある点の集合 ( 半径 ) 円周上の点から円の中心まで引いた線分の長さ ( 直径 ) 円周上の2 点間の距離の最大値 ( 円周 ) 円を形づくる線 ( 孤 ) 円周上の2 点で分けられたそれぞれの円の部分 ( 弦 ) 円周上の2 点を結ぶ線分課題次の図の x の値を求めなさい二弦 _ 入直径儀中心角 () (2) P とはし In 円町たし 427し ytz z! は A B なり糦嶰蒲 i: 考え式直線 PO を引き延長線上に 2 底角が 4 2 をおくつのの外角性質で 0 0 AP 0 0 BP は二等辺く P と三角形 -.-8 Z が 4. の図ようになる 0 PB 2 2 し十 8480 の外角性質より 2 は Z となる以上から 2 には十 Z 2 0 rio COA 0 P 0 3 より 4 2 に以上から 7 し

2 80 まとめ円周角円周角の定理についてつの弧に対する円周角の大きさはその弧に対する中心角の大きさの半分である 2 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい一 0 中心角 ~ 演習問題 ~ () (2) (3) / 円周月 u 中心角 0 ' 円周角 x は中心角 0 0 死に対する円周角はの半分どこでも等しい x x x ~ 発展問題 ~ () (2) (3) 2 〇円周角外角の性質よりつ. i なので 7 しが 3 6 ' iこ石の円周角円周角は等しいので < y z 0 0 し外角の性質より 6 5 なので 9 0 x 十 ( x 十 3 6 ) 80 く ) に ) に ) ( 4 4 x x x

3 中心角は円周角の 2 倍目標円周角の定理や図形の性質を駆使して正確に解くことができる考えた跡を図に残して解いてみましょう ( 簡単な説明を入れても良い ) ~ 基本問題 ~ 問次の x y の角度を求めなさい () (2) (3), 瀬角な x x y x y 注意メモ欄同じ弧から生まれる円周角はすべて等しい問 2 次の x y の角度を求めなさい () (2) 4 0 円周月は箛 i 円周角 x x y 0 注意メモ欄 ( ) く ACB は中心角 4 A 0 3 の半分なので 0 0 ( 2 ) 中心局 80 より円周再は

4 ~ 発展問題 ( 補助線なし版 )~ が 4 0 () (2) だ " A Ile). く D 7 し鬱 B 2 く 0 0 AC 4 0 t 3 0 二 7 x x (3) x A 殲. 年, 毖頃 2 2 x 橘っしたメラン型 ~ 発展問題 ( 補助線必要版 )~ 2 4 ) ( t 3680 錯角 () (2) 2 に 4 4 ピンに 2 2 ( > しーー " 管齡 " 氎でに 2 0 年一 y 人 ) に B D D ( を結ぶと ADC い ) し円周角の定理より _ さ < DCB も BDC A C x BDC で nrnnr

5 2 知識円に関する知識を利用し円周角の定理を証明しよう () OPA で円の半径なので 0 A また三角形の外角の性質から AOB OPA + OAP 2 0 ON 2より AOB2 OPA したがって APB AOB の POP の 2 4 A B (2) 補助線としてを結ぶ直径を引くと OPA と OPB は二等辺三角形だからそれぞれの底角を図のようにっけ x yとするとっに 2 2 ( 4 0 OPA で AOK AP 十く 0 PA 0 つし 4 OPB で BOK 0 PB t P 2 い, てはななは k AOB BOK- AOK なので x つ 2より AOB 4 に 2 ( 2 し ) 吻また APB y- x だから APB 2 AOB A " B が世

6 (3) 直径 POK をひき三角形を2つに分ける OPA で OP と OA は円の半径なので OP 0 A P よって2 辺が等しいので二 OPA は等辺三角形となるので 2つの底角 O は等しくなる人二つまり 0 PA OAP また三角形の外角の性質から AOK 0 PA + 0 A 2 2より AOK2 0 PA 3 OPB でも同様に考えると BOK2 0 PB 4 A つ 0 x 0 0 '" N B AOB AOK+ BOK なので 3 4から 0 AOB2( PA 0 + PB ) 2 APB したがって APB AOB 2

7 目標弧の比と円周角の大きさの関係を理解し利用して解くことができる課題が 3 つし垬 2 つ ( / / 考え方両の円周月 < AFB 7 ( とおくと同じ孤の長さの円周再 < B FC や 4 CED も等しく x となることを利用てして孤の長さが 3 倍になれば角度も 3 倍でと AFD 3 つし 2 ) し 4 0 なので 7 ににく AED 6 0 ( 2 6 同じ孤の長さの中心角なのでくよ等しい弧に対する円周角についてつの円で弧生 2 2 し, まとめ円周角の大きさ等しいに対するは等しい円周角弧の長さ 2 等しいに対するは等しい 3 弧の長さの比円周角の大きさの比

8 ~ 目標達成問題 ~ 次の図の x y を求めなさい () (2) t 弧の長が等しい孤が 2 : 6 に 3 なので中心角円周月もに 387 ( x y x ~ 発展問題 ~ 右の図で 3 点 A B C は円周上にありえ弧 AB: 弧 BC: 弧 CA2:3:4である ) 4 7し ABC の3つの内角の大きさをそれぞれ求めなさい 27 し 9 等分されたつの孤の円周再を 7 にな - 4 BAC 3 つ ( く ABC 4 7 ( 三角形の内角の和 8 より LA CB し 3 x 十 4 つけ 2 ( 80 ' 9 つし 80 ACB 4 0 K 2 0 以上より ABC 80 BAC 6 0.

9 目標点が同一円周上にあるか判断でき角度を求めることができる課題 4 点 A~D が同じ円周上にある円はどちらでしょうか図図 2 説明同じ円周上にあるならば円周再が等しいのでは < ADB < AC B で等しいので〇はく ADB も 4 ACB なので X 5 0 年 5 円周角の定理の逆についてまとめ 2 点 P P が直線 AB について同じ側にあるとき APB AP ' 3 ならば 4 点 A B P P は同じ円周上にある ~ 目標達成問題 ( 判断問題 )~ 次の図で 4 点 A B C D が同一円周上にあるものを選び番号にをつけなさい 0 8 〇〇ロ O

10 - 円 ~ 目標達成問題 2( 求角問題 )~ 次の図で x y の大きさを求めなさい og TJ V ) にあるのでくに x x y - ( ) 周上 ( 3 9 等しいので A ~ つは同 ~ 発展問題 ( 証明問題 )~ 次の図で ABC90 であるとき B E F D が同一円周上にあることを証明しなさい ABC 敗 9 0 ということは try の AC が直径ということ 2 AC が含まれた三角形 ( 円周上の点 ) の " は直角三角形なので ADC D 2 〇より CBE 4 CDF 9 0 となりこれは BF を直径とした円の円周上に B. E F D があることを示し 2 いる

11 OB 目標接線の性質を理解し問題を解けるようになろう ~ 確認事項 ~ 円と接線について中心円の接線は中心と接線を結ぶ仞線分 ( ) と垂直に交わる半径接線覉課題次の図において PA PB は円の接戦であり点 A B はその接点である ACB70 のとき xの大きさを求めなさい上下の 2 三角形つのは合同! し -.- -_- 半径 OA を引くと両の中心月が 4 0 xt ] AP BO つに 40 一まとめ O 円外から 3 いた 2 の本接線の長さは等しいいし 2 半径接線し主の下直角三角形考え方円の接線についてが合同になる ) " 為

12 ~ 目標達成問題 ~ x の大きさを求めなさい () 島根県 (2) 神奈川県 0 AB はロ AP 3 0 AE8 のとき DEF の周の長さを求めなさい V 二等辺三角形 3 0 しし ' 外角のいに 50 性質より ~ 発展問題 ~ EA DF EC はそれぞれ 2 に 8090 点 A B C で円 O と接する接戦である -66 ED t DB t 3 Ft E F i 8 - y. 二 2 4 ED 十さが十元十 EF 西 _ 十 -_- た ( _ ( 二おさえておくべき作図 () 円の接線の作図 ( 円外の場合 ) 円の接線の作図 2( 円周上の場合 ) 蠟 0 つの周上に垂直潞 X ; 麗学務円 ( P から 20 P 垂線〇 3 交点と (2) 円の中心の作図 (3)3 点を通る円の作図結んで実 3 てきとうな鬱鬱 A 53 B C 円 0 てきとうな 2 点垂直國二等方線の交点の垂直溯線

13 合同目標円の性質や図形の性質などを利用し相似を説明できる課題 x x 円周角 C DE DE C 2 組の角解答欄アイウエ ~ 目標達成問題 ~ 証明 ABC と APD で 43 AC 4 PAD ( 元百の 4 ACB 円周角 ) < ADP ( 市の円周百 ) 以上より 2 組の月がそれぞれ等しいので 0 ABC い AP D ] x 円に関する証明についてまとめ基本的な流れは相似と同じ円周月が等しいことや様な再の性質を用いよう

目標円に関する性質定理が成り立つ理由を理解し利用して問題が解ける私立対策の一つです高校でも使います ~ 円三角形に関する重要語句 ~ 重心の定義 ABC の各頂点から対辺の中点に引いた線 ( 中線 ) は点で交わるこの点のこと重心の性質 ABC の重心を G BC CA AB の中点を各々 L M N とするとき AG:GP2: BG:GQ2: CG:GR2: 外心の定義 ABC

14 目標円に関する性質定理が成り立つ理由を理解し利用して問題が解ける私立対策の一つです高校でも使います ~ 円三角形に関する重要語句 ~ 重心の定義 ABC の各頂点から対辺の中点に引いた線 ( 中線 ) は点で交わるこの点のこと重心の性質 ABC の重心を G BC CA AB の中点を各々 L M N とするとき AG:GP2: BG:GQ2: CG:GR2: 外心の定義 ABC の各頂点が同一円周上にあるときこの円を ABC の外接円といい外接円の中心を外心といいます外心の性質 ABC の辺 BC CA AB の垂直二等分線は外心で交わります内心の定義 ABC の各辺が同一円の接線になっているときこの円を ABC の内接円といい内接円の中心を ABC の内心といいます内心の性質 ABC の角 A B C の二等分線は内心で交わります ABC の内心から各辺に引いた垂線の長さは等しくなるまた ARAQ BPBR CPCQ が成り立つ

15 円に関する性質定理. 円に内接する四角形の性質 2. 円に外接する四角形の性質 3. 接弦定理 4. 方べきの定理. 内接四角形右の図で四角形 ABCD は円 O に内接している () A+ DCB の大きさを求めなさい中心戒巠 A に DCB では 80 2 < DCB なり (2) DCE の大きさを求めなさい : 今の問題より次の定理が成り立つことが分かる円に内接する四角形の性質向かい合う内角の和は80 である 2つの内角はそれに向かい合う内角のとなりにある外角に等しい 2. 外接四角形 AB0cm BC3cm CD 6cm AD 3cmであるとき AB+DC nnnr.hr 0 と AD+BC の長さをそれぞれ冖 - 求めなさいつまり向かい合う AB 十 DC 6 辺の和は AD + BC 6 等しい / し 3 6

16 ー今の問題より次の定理が成り立つことが分かる円に外接する四角形の性質円に外接する四角形の向かい合う辺の和は等しい AB+DCAD+BC 3. 接弦定理 AT は円 O の接線である右の図を利用して ATB BCT であることを証明しなさいく ATB っし, 43 C たよとよと Ty 前の内接四角形の性質より 4 PCT く PTA が成りを 7 く PCB く PTB ( 両の円周月 ) がく PCT. 4 PFA 9 0 ン人上より 4 つに 4 よ今の問題より次の定理が成り立つことが分かる接弦定理円の接線とその接点を通る弦の作る円周角はその角の内部にある弧に対する円周角に等しい 4 3 CA t.ba S

17 4 4. 方べきの定理定理を知ってから問題で慣れてみましょう方べきの定理次の 3 通りの等式が成り立つ PA PBPC PD PA PBPC PD PA PBPT PT () (2) x, (3) 3 X (4+3)2 し x ( っけ 7 ( ) 解くと ( 2 に 2 7( X ( し t 2 ) /- たるさに +2 し - ( xt 6 ) ( 7( ) 0 つに 4 X ( 2 し 4 _ ) x ( ) 27 しを 3 7 し ) に +37 (-20) に 28'-/2

Math-quarium 練習問題 + 図形の性質線分はの二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分はの外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点はの外心である α,βを求めよ α β 70

Math-quarium 練習問題 + 図形の性質線分はの二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分はの外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点はの外心である α,βを求めよ α β 70 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質図形の性質線分に対して, 次の点を図示せよ () : に内分する点 () : に外分する点 Q () 7: に外分する点 R () 中点 M () M () Q () () R 右の図において, 線分の長さを求めよただし,R//Q,R//,Q=,=6 とする Q R 6 Q から,:=:6=: より :=: これから,R:=: より :6=: