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くうしょうおうじ
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1 Robut and Otimal Control, Srin 5 Intructor: Prof. Maayuki Fujita (S5-B) R: Flexible Beam: Mixed Senitivity Reference: M. Fujita, F. Matumura and M. Shimizu, Robut Control Dein for a Manetic Suenion Sytem, nd International Symoium on Manetic Bearin, 49-56, July -4, 99, Tokyo, Jaan.

2 Real Phyical Sytem 柔軟ビーム磁気浮上システム図柔軟ビーム

3 Ideal Phyical Model 図柔軟ビーム磁気浮上系

4 モデリングのための仮定. 磁気飽和, ヒステリシスがない.. うず電流は無視できる.. もれ磁束がない. 4. 鉄心の透磁率は無限大である. m, M 5. 質量からなる集中定数系として近似する. 6. インダクタンスは一定, 速度起電力の項は無視. 4

5 パラメータ MTLB roram m = 5.8 ; M =.6 ; X = 5e- ; X =.e- ; R = 57 ; L =.6; I =.885 = 9.8 パラメータ記号値単位ビームの長さ質量質量定常ギャップビームのたわみ固有振動数電磁石抵抗電磁石インダクタンス l m M X X f n R L m k k mm mm Hz H 定常電流 I. 885 重力加速度 9. 8 m/ 5

6 H 制御系設計 ( 混合感度 ) Ideal Mathematical Model O B 柔軟ビーム d x m m f ma f beam dt d x M M f beam dt f ma 電磁石 L I k X di dt Ri e i x, f beam k X x ( X x) d ( ( X x) x ) (( X x) x) dt [Nm / [N/m] [N/m] ] 図 4 数式モデル x MTLB roram k =.4; alha = 64; beta =.7 ( X x x) 6

7 Reduced Mathematical Model 線形化 d x M m ( M m) dx dx m x x i dt X I dt dt d x dt dx dx x 4x 4 dt dt M 出力 y x i P() x 図 5 柔軟ビーム磁気浮上系 7

8 8 状態空間表現 u B x x y C x T i x x x x x ] [ : e u : h M M f d c m m b a / 4 / / / j B C, : X m M m a, : m b, : mi m M c, : M d, 4 : M f, : L R h L j : * は修正箇所

9 MTLB roram Ma = ( ( ( M+*m )/X )* alha ) / m ; Mb = *alha / m ; Mc = -( ( M+*m ) / ( m*i ) )* ; Md = *alha / M ; Mf = -4*alha / M ; Mh = -R / L ; Mj = / L ; = [ ; ; Ma Mb -beta *beta Mc ; Md Mf *beta -4*beta ; Mh ] B = [ ; ; ; ; Mj ] C = [ ] D = 9

10 CO = ctrb(,b); CO_rank = rank(co) OB = obv(,c); OB_rank = rank(ob) B B B B B CO 4 制御対象は, 可制御, 可観測である 5 ) ( rank CO 5 ) ( rank OB 4 C C C C C OB 可制御性, 可観測性 MTLB roram '

11 伝達関数表現 P( ) C ( I ) B.(.654 j8.) P( ) ( 84.4)( 84.)( 8.)(.697 j8.8) 不安定極振動モード 5 次の線形時不変系 (LTI システム ) であり, 不安定系振動系極 84.,.697 j8.8 8., 84.4, 零点.654 j8. MTLB roram P_ = (, B, C, D ) ; [ P_num, P_den ] = tf (, B, C, D ) ; P_tf = tf ( P_num, P_den ) ; zk( P_tf ) P_ole = ole ( P_ ) P_zero = zero ( P_ )

12 MTLB roram omea=loace(-,,5); bode ( P_, omea ) ; Pzma (P_) ゲイン [db] 位相 [de] 周波数 [rad/ec] 図 6 プラント P() 図 7 プラント P() の極零点

13 混合感度問題 w u K () P() W S W T () () y z z w u G() P() W S W T () () z z y 図 9 ブロック線図 K() 図一般化プラント W S ( ) S( ) ( ) T( ) W T G() K () 図一般化プラント

14 周波数重み () W ( ) Wˆ ( ), S S W S Wˆ S ( ) f.6,.98, S k S MTLB roram k f 7. f =.6 ; k =.98 ; amma_ = 7. ; W_num = k ; W_den = [ /(*i*f) ] ; W _tf = tf (amma_ *W_num, W_den ) ; bodema(w_tf,omea); 6 W S ( ) db / dec S ゲイン [db] 4 S k 4 [rad/ec] W S ( ) 図周波数特性 W S () 8 f S [rad/ec] 図周波数重みW S () 4

15 周波数重み W T () W T ( ) kt f T f T f T f T., f T 6, T, 4 f k T ゲイン [db] 8 4 T W T ( ) MTLB roram ft =. ; ft = 6 ; ft = ; kt = e-4; Wt_num = [ *i*ft];wt_den = [*i*ft]; Wt = tf(wt_num,wt_den); Wt_num = [ *i*ft];wt_den = [*i*ft]; Wt = tf(wt_num,wt_den); Wt_num = [ *i*ft];wt_den = [*i*ft]; Wt = tf(wt_num,wt_den); Wt = Wt*Wt*Wt*kt; bodema(wt,,omea); ゲイン [db] [rad/ec] 図 4 周波数特性 W T ( W T f T () [rad/ec] 図 5 周波数重み W T ) k T () 5

16 一般化プラント MTLB roram ytemname = 'W_tf PWt_'; inutvar = '[ dit; control ]'; u oututvar = '[ W; PWt_(); PWt_() + dit]'; inut_to_w_tf = '[ PWt_() + dit ]'; inut_to_pwt_ = '[ control ]'; youtname = G'; cleanuyic = 'ye'; yic; * PW T () の構成方法は付録参照 w u G() P() K() PW T () P() W T W S W T () () () 図一般化プラント y WT z z y y y 図 6 周波数重み W T () の合併 6

17 コントローラ K () K ( ) 5. (.97)( 8.)( 84.4)(.699 j8.9) (.)( 4)( 76 j4)(.655 j8.) 4 極零点 j4.655 j.8 安定 j8.9 ゲイン [db] 位相 [de] [rad/ec] 図 7 コントローラK () 7

18 MTLB roram [ K_mix_, Cloo,am ] = hinfyn ( G,,, 'max',, 'min',, 'tolam',. ) ; [K_,K_B,K_C,K_D] = data(k_mix_); [ K_num, K_den ] = tf ( K_, K_B, K_C, K_D ) ; K_tf = tf ( K_num, K_den ) ; zk(k_tf) minfo(k_mix) [ K_ole, K_zero ] = zma ( K_tf ) bode(k_mix_,omea); 8

19 開ループ伝達関数 MTLB roram L_ = P_*K_mix_; bode(l_,omea) [ Gm, Pm, Wc, Wc ] = marin( L_ ) ゲイン余裕.69 [db] 位相余裕 7. [de] ゲイン交差周波数 58. [rad / ec] 位相交差周波数. 6 [rad / ec] ゲイン [db] 9 W S L W T 位相 [de] 8 7 [rad/ec] 図開ループ伝達関数 9

20 MTLB roram nyquit ( L_ ) 図ベクトル軌跡図 4 ベクトル軌跡

21 閉ループ系の特性極 ,.6 j.8 j.89 j.8,,, 8.44,,,, 4 5 図 8 閉ループ系の極零点 MTLB roram T = feedback(l_,); cloe_ = ole ( T ) cloe_z = zero ( T ) zma ( T ) 図 9 閉ループ系の極零点 ( 拡大図 )

22 閉ループ系の周波数特性 MTLB roram nom_erf_ = Cloo(,); rob_tab_ = Cloo(,) bodema(nom_erf_,omea) bodema(rob_tab_,omea) MTLB roram ima(cloo,omea) W S S ゲイン [db] 4 W T T 8 図閉ループ系の周波数特性 W S S, W T [rad/ec] T.9 [rad/ec] 図閉ループ系の周波数特性 ( T zw )

23 感度関数 S MTLB roram S = feedback(,l_); bodema(s,omea) hold on bodema(inv(w_tf),omea) 相補感度関数 T MTLB roram T = feedback(l_,); hold on bodema(t,omea) bodema(inv(wt)) 6 W S 8 4 W T S T [rad/ec] 図 5 感度関数 4 [rad/ec] 図 6 相補感度関数

24 ステップ応答線形モデルに対する応答 Linear_model.mdl MTLB roram x [K_,K_B,K_C,K_D] = data(k_mix_); Time [ec] 4

25 シミュレータ応答 x Time [ec] >> imu_etu nonlinear_model.mdl. 外乱応答. 外乱応答 m=5.8 --> 外乱応答 M=.6 -->. 4. 外乱応答 R=57. --> 6.7 から 4 のいずれかを選ぶ x Time [ec] 5

26 実験結果外乱応答約 [N] に相当する電圧定常吸引力約 [N] 変位 x [mm] 変位 x [mm] 時間 [] 図 7 ステップ状外乱に対する時間応答 6

27 m 5. 8 [ k] [k] () 電磁石側の質量をからにする. 変位 x [mm] 変位 x [mm] 時間 [] 図 8 ステップ状外乱に対する時間応答 m 6.95 [k] に変動した場合 7

28 M. 6 [ k]. [k] () ビーム中央部の質量をからにする. 変位 x [mm] 変位 x [mm] 時間 [] 図 9 ステップ状外乱に対する時間応答 M. [k] に変動した場合 8

29 R 57. [] 6. 7 [] () 電磁石部の抵抗をからにする. 変位 x [mm] 変位 x [mm] 時間 [] 図ステップ状外乱に対する時間応答 R 6.7 [Ω] に変動した場合 9

30 [ 参考 ] 過去の実験結果積分型 LQG 制御系外乱応答約 7.5 [N] に相当する電圧定常吸引力約 [N] 変位 x [mm] 変位 x [mm] 図時間 [] ステップ状外乱に対する時間応答

31 閉ループ系の周波数特性 7.. S S.9 4 [rad/ec] 図閉ループ系の周波数特性 ( T zw ).9 4 [rad/ec] 図閉ループ系の周波数特性 ( T zw )

32 閉ループ系の周波数特性 S 7. S. W S S, W S S, ゲイン [db] 4 W T T ゲイン [db] 4 W T T 8 4 図閉ループ系の周波数特性 W S S, [rad/ec] W T T 8 図 4 閉ループ系の周波数特性 W S S, W T [rad/ec] T 4

33 感度関数 S 8 S 7. S. 8 4 S W S 4 S W S S S 4 4 [rad/ec] 図 5 感度関数 4 [rad/ec] 図 6 感度関数 4

34 感度関数 S と相補感度関数 T 8 4 S 7. S. 8 4 W T 4 4 T 8 4 [rad/ec] 図 7 相補感度関数 8 [rad/ec] 図 8 相補感度関数 4 4

35 開ループ伝達関数ゲイン [db] 位相 [de] S 7. S. 4 4 図 9 開ループ伝達関数 4 [rad/ec] ゲイン [db] 位相 [de] W S W T 4 図 4 開ループ伝達関数 4 L [rad/ec] 5

36 6 制御対象コントローラ閉ループ系の極共振ピークが閉ループ系の極になっている 8.8) )( 84.)( 84.4)( ( 8.) )(.654.( ) ( j j j P 8.).655 4)( 76 4)(.)( ( 8.9) )( 8.)(.97)( ( 5. ) ( j j j K, 4.9,.6,., 8.44,.8,., j, j,.8. j

37 付録 7

38 周波数重み W S () x y WS WS C WS WS x x WS B WS D u WS WS u WS u G() y 周波数重み W T () W ( ) y W W T ( ) a a a a 周波数重みは状態空間表現できない () W T 周波数重み W ( ) の合併制御対象と周波数重み W T () を合併周波数重み W S () まで含んだ一般化プラント D のフルランク条件を満たすように決定. 制御対象の相対次数が次であるので周波数重みW T () の分子の次数が分母の次数より次高ければフルランク条件を満たす. 8

39 9 初期値をとして制御対象の状態方程式をラプラス変換 ) ( ) ( ) ( B U X X T T T WT X W C W Y W GU Y ) ( ) ( X C Y C X a a a a ) ( X C a X a C X C a X C a U B X B U X X ) ) ( ( U 定常状態を考え, 制御入力がほとんど変化しないとする U B X 周波数重みの合併 G() ) ( W u y y W ) ( W 同様にして U B X X

40 4 WT B I a a a C D WT WT WT U D X C Y I a a a a C C WT 制御対象と重みを含んだ系 WT WT WT u D x C C y y () W T u B x x

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Microsoft PowerPoint - ce07-13b.ppt 制御工学 3 第 8 章 : フィードバック制御系の設計法 8. 設計手順と性能評価キーワード : 設計手順, 性能評価 8. ID 補償による制御系設計キーワード : ( 比例 ),I( 積分 ),D( 微分 ) 8.3 進み遅れ補償による制御系設計キーワード : 遅れ補償, 進み補償学習目標 : 一般的な制御系設計における手順と制御系の性能評価について学ぶ. ループ整形の考え方を用いて, 遅れ補償,