2 4 証券ポートフォリオ 2 証券の 2 銘柄のポートフォリオを作成するとき リスクとリターンはどのように変化するか説明しなさい なお 相関係数が 正 0 負の場合に分けて説明すること また 具体例をあげて説明しなさい (1) 正規分布とは何か説明しなさい (2) 偏差値とは何か説明しなさい (3

Transcription

1 商業数学 後藤 晃範 科目番号 1009 配当学期単位クラス研究室 通年 号館 号室 学修テーマ 経営の意思決定のための数理的手法 学修概要 現実の経済現象を写像し数式化することがモデル化であり これを数理的な手法を用いて解き その解を現実に即して解釈することで われわれは複雑な現実の経済や会計現象の本質を捉えようとしている 他にも 現実の社会では 商行為を行うにあたり 四則演算程度の簡単な計算から 高度な数学知識を用いる計算まで 数学知識は様々に用いられている このように 計算を含めた数学知識の習得は 会計学や経済学を学ぶものにとって 必要不可欠である 本科目は 現実の経済活動のモデル化とその解法に必要な数学的知識の習得を目的とする 到達目標 経営の意思決定に必要な数理的手法を身につける テーマ 課題 テーマ課題 1 集合 集合におけるド モルガンの法則について説明しなさい 2 代値 (1) 平均値 中央値 最頻値 標準偏差 分散の定義を示しなさい (2) 次のデータから平均値 中央値 最頻値 標準偏差 分散を求めなさい < データ > 30,42,24,40,32,22,45,30,15,20 3 証券ポートフォリオ 1 (1) 証券におけるポートフォリオ理論について説明しなさい (2) 1 に示す 2 つの銘柄で ポートフォリオを作る時 2 を作成し この中で もっとも最適なポートフォリオを選択しなさい 1 なお 相関係数は -1 である

2 2 4 証券ポートフォリオ 2 証券の 2 銘柄のポートフォリオを作成するとき リスクとリターンはどのように変化するか説明しなさい なお 相関係数が 正 0 負の場合に分けて説明すること また 具体例をあげて説明しなさい (1) 正規分布とは何か説明しなさい (2) 偏差値とは何か説明しなさい (3) 次のの模擬試験での A B それぞれの偏差値を求めなさい 5 標準偏差 6 利息計算 (1) 時間価値計算について説明しなさい (2) 年率 6% 1 年ごとの複利で 100,000 円を 3 年間預けたとき 3 年後の元利合計はいくらになるか (3) 5 年後に 100 万円もらうのは 現在 いくらもらうのと等価か 年利率を 2% の複利として計算しなさい (4) 毎年の住宅ローンの返済額を 150 万円に抑えたい 借入利子率は 年 3% の複利であるとする 借入期間が 20 年ならば 借入可能額はいくらか (5) 現価 年価 終価について説明し それぞれに変換するための係数について説明しなさい (1) NPV について説明しなさい (2) 次のの投資案について 下の問に答えなさい 年利率を 5% とする 7 NPV 法 問 1 NPV を求めなさい 問 2 IRR を求めなさい 8 IRR 法 (1) IRR について説明しなさい (2) 2 つの投資案 A,B がある それぞれの詳細は のとおりである この時 下の問に答えなさい なお 年利率を 10% とする

3 問 1 NPV を求め どちらの投資案を採択すべきかを判断しなさい 問 2 IRR を求め どちらの投資案を採択すべきかを判断しなさい 問 3 回収期間を求め どちらの投資案を採択すべきかを判断しなさい (1) 回収期間法について説明しなさい (2) のように 3 つの排他的投資案 A B C がある 下の問の方法により どの投資案を採択すべきかを判断しなさい なお 年利率は 10% とする また 投資案の寿命はいずれも 5 年間である 9 回収期間法 問 1 NPV 法問 2 回収期間法 (1) 投資計算に用いられるキャッシュ フローとは何か説明しなさい (2) 次のの排他的投資案 A B のうち 下の問の方法により どちらの投資案を採択すべきかを判断しなさい なお 年利率を 7% とする 10 時間価値計算 1 問 1 すべての CF( 初期投資を含む ) を現価に変換して判断しなさい 問 2 すべての CF( 初期投資を含む ) を年価に変換して判断しなさい 問 3 すべての CF( 初期投資を含む ) を終価に変換して判断しなさい (3) 初期投資額が 6,200 万円 第 1 期末のキャッシュインフローが 3,456 万円 第 2 期末のキャッシュインフローが 3,499.2 万円の投資案がある IRR を求めなさい 11 設備投資 1 (1) 1 年目末 100 円 2 年目末 100 円もらった時 このときの現価を計算しなさい ただし 年利率は 1% とすること (2) 資本回収係数 ([P M]) を示し これを導きなさい なお 現価を P 毎年末のキャッシュ フローを M 年利率を i 年数を n とする (3) 年利率 5% 年数 3 年の時の資本回収係数の値を計算しなさい (4) 500 万円の住宅を購入し 5 年間 毎年末同額を支払っていきたい 毎年末いくらづつ支払っていけばよいか求めなさい 年利率 3% とする (5) ある設備を購入すると毎年の人件費が節約できるという 初期投資 500 万円であり 設備の寿命は 5 年で 年利率は 7% である この設備への投資は 毎年いくら以上節約できるならば採算がとれることになるか まず 節約額を M として その状況を図示し M を求めなさい

4 12 係数 (1) 減債基金係数 ([S M] ) を導きなさい なお 終価を S 毎年末のキャッシュ フローを M 年利率を i 年数を n とする (2) 7 年後に 1,000 万円の社債を償還するために 毎年期首に一定額を積み立てていきたい 積立預金の年利率 5% の複利のとき 積立額はいくらずつにしたらよいか (1) 等比数列の和の公式を示し その公式の導出過程を示しなさい (2) 年金現価係数を示し その係数の導出過程を示しなさい (3) NPV 法 IRR 法 回収期間法について説明しなさい 特に設備投資決定において どのような違いがあるのかを説明しなさい (4) 次のの投資案の採否を下の問の方法によりそれぞれ評価しなさい 年利率を 5% とする 13 時間価値計算 2 問 1 A,B,C 案の CF の状況を図示しなさい 問 2 A,B,C 案を回収期間法で計算し 最もよい案を示しなさい 問 3 A,B,C 案を NPV 法で計算し 最もよい案を示しなさい 問 4 A,B,C 案を IRR 法で計算し 最もよい案を示しなさい なお 34=5.831 であり 69=8.307 である 14 時間価値計算 3 (1) 年金終価係数を示しなさい また どのようにその係数が求められるのか その過程を示しなさい (2) 通常 年金終価係数は 毎期の資金流列 M が期末に起こるとして 定式化されている そこで 毎期の資金流列 M が 期首に起こるものとして 年金終価係数を求めなさい なお 資本の利率は i 年数は n 現価は P とする 15 設備投資 2 (1) DCF による企業価値を求める際に 成長が永続的に続くと仮定し その企業価値の現在価値を以下の変数を用いて導きなさい 必ず導出過程を示すこと CF:1 年目のキャッシュフロー r: 割引率 g: キャッシュフローの成長率 (2) 以下の例の時 企業価値の現在価値を求めなさい 1 年目の CF:240 割引率 :0.04 CF の成長率 :0.02 次の投資案 A,B について NPV と IRR で評価をおこなうが ある割引率でどちらが有利かが入れ替わる 入れ替わる割引率を求めなさい 16 設備投資 3 17 CVP1 (1) CVP 分析とは何か説明しなさい (2) 目標利益 Z 1 を達成するための売上高 (S 1 ) を導きなさい ただし 用いる記号は次のとおりとする 答えだけでなく 必ずその途中経過を詳細に記すこと なお Z 1 = R - E から説明を開始すること

5 (3) 固定費は 350 万円 変動費率は 0.3 の時 以下の問いに答えなさい 問 1 原価 C を売上高 S の関数で示しなさい ( 原価は 直線とする ) 問 2 損益分岐点売上高を求めなさい また 費用の直線と収益の直線を図示し その図の中に 損益分岐点を示しなさい ( 横軸を売上高 縦軸を収益 費用とする ) 問 3 目標利益 70 万円を達成するのに必要な売上高を求めなさい 問 4 固定費が 400 万円に増加したとき 現在と同じ損益分岐点売上高を達成するのに必要な変動費率を求めなさい (1) 売上高利益率 β( 利益 / 売上高 ) を達成するための売上高 (S 1 ) を導きなさい ただし 用いる記号は次のとおりとする 答えだけでなく 必ずその途中経過を詳細に記すこと なお Z = R - E から説明を開始すること 18 CVP2 (2) 固定費は 500 万円 変動費率は 0.4 の時 以下の問いに答えなさい 問 1 原価 C を売上高 S の関数で示しなさい ( 原価は 直線とする ) 問 2 損益分岐点売上高を求めなさい また 費用の直線と収益の直線を図示し その図の中に 損益分岐点を示しなさい ( 横軸を売上高 縦軸を収益 費用とする ) 問 3 売上高利益率 20% を達成するのに必要な売上高を求めなさい 19 CVP3 A 社は製品 α を生産 販売している 販売価格は 120 円 / 個 単位当りは変動費は 72 円 / 個であり 固定費は 42,000 円である また 販売数量は 1,000 個である時 以下の問に答えなさい 問 1 今の利益の金額を計算しなさい 問 2 横軸に数量 縦軸に金額を取るとき 問題の状況を図示しなさい 問 3 損益分岐点における売上高を求めなさい 問 4 損益分岐点における販売数量を求めなさい 問 5 今期の状況が来期も変わらないが 来期の会社の純利益を 3 倍にするために必要な販売数量を求めなさい 問 6 来期の会社の純利益を 3 倍にするため 販売数量を変えず 単位あたり変動費を下げることで 対応したい 単位あたり変動費をいくらまで下げればよいか (1) 逆行列を求める方法について説明しなさい (2) 次の損益分岐分析モデルについて 下の問に答えなさい 一個あたり変動費 :200 円販売価格 :1,000 円固定費 :1,000,000 円なお 変数の定義は 以下のとおりである 20 CVP4 問 1 原価 C を数量 Q の関数で示しなさい ( 関数は一次関数 ( 直線 ) とする ) 問 2 売上 S を数量 Q の関数で示しなさい ( 関数は一次関数 ( 直線 ) とする ) 問 3 問 1 と問 2 の両関数を図示しなさい なお 横軸を数量 縦軸を金額とする また 交点の座標を連立方程式で求めなさい 問 4 損益分岐点販売数量とその時の売上高を求めなさい

6 問 5 問 3 の連立方程式を行列を用いて示しなさい 問 1 の C= を S= に変えてから始めるとよい 問 6 問 5 を行列を用いて解きなさい 問 7 もし 利益が 200,000 円必要な時 損益分岐点販売数量とその時の売上高を求めなさい 問 8 もし 利益が 200,000 円必要な時 このモデルを行列を用いて示し 解きなさい 21 積分 1 (1) 定積分について説明しなさい 特に 積分が可能 であることについて説明しなさい (2) 当社では 定期的に定量の商品を仕入れている 以下のような条件の時 経済的発注量を求めなさい 商品単価 :500 円総需要量 :2,000 個 1 回あたりの発注費 : 800 円 1 期間における在庫維持率 : 経済的発注量 次の変数を用いて経済的発注量を導きなさい ただし 発注は定期定量発注とする また導出過程を明示すること Q : 発注量 C : 総費用 S : 総需要量 v : 1 個あたりの商品単価 r : 在庫維持費率 A : 1 個あたりの発注費 23 積分 2 24 連立方程式 当社では 1 期間を 20 日としたとき その商品の需要をよく観察したところ その傾向が次の関数でモデル化できることがわった f(x)=2x2-30x+200 このとき 以下の問に答えなさい 問 1 関数を図示しなさい 問 2 この製品の需要すべてに答えるためには いくらの製品を仕入れる必要があるかを計算しなさい 次の連立方程式を (1) 逆行列による方法 (2) クラーメルによる方法 (3) ガウス ジョーダンによる方法それぞれによって解きなさい 2x+4z=-1 x+2y-2z=1 -x+y=1 (1) LP について説明しなさい (2) 当社では 製品 X Y の 2 種類の製品を製造販売している 製品 X Y は それぞれ 設備 A B を必要な加工時間を経て完成品となる また 製品 X1 個を製造販売すると 5 万円の利益があり 製品 Y1 個を製造販売すると 3 万円の利益があがることがわかっている 利益を最大にするための製造販売計画を立てたいと考えている 25 LP1 なお 設備 A は 3,600 分 設備 B は 3,000 分までしか製品を製造することができない 問 1 製品 X の製造販売量を x 製品 Y の製造販売量を y として 目的関数 制約条件を示しなさい 問 2 横軸を x 縦軸を y として 制約条件を図示しなさい 問 3 シンプレックスを用いて 最適解を求めなさい

7 (1) ラプラス展開について例を示して説明しなさい (2) 当社は 3 種類の製品 X Y Z を生産している 各製品は共通の工程を用いて生産されている 下の問に従い最適なプロダクト ミックスを求めなさい 各製品の販売価格や一個あたりの加工費 工程での必要加工時間は 以下ののとおりである なお 工程の稼動時間の上限は 分である 26 LP2 問 1 製品 X の製造販売量を x 製品 Y の製造販売量を y 製品 Z の製造販売量を z として 目的関数 制約条件を示しなさい 問 2 最適解を求めなさい 使用テキスト 著者 平井裕久 後藤晃範ほか 書籍名 経済 経営を学ぶための数学入門 発行所 ミネルヴァ書房 参考文献 著者 片岡洋一 門田安弘 書籍名 現代会計学の基礎 管理会計レクチャー基礎編 発行所 税務経理協会 税務経理協会 上記の参考書は 会計知識を補うために用いる リポート課題 書式 : 横書 ワープロ : 不可 第 1 回課題 1. 年金現価係数 ([M P]) を導きなさい なお 現価をP 毎年末のキャッシュ フローをM 年利 率を i 年数を n とする 課題 2. テキスト P.43 第 2 章演習問題 を解きなさい 課題 3. テキスト P.81 第 4 章演習問題 を解きなさい 第 2 回課題 1. 目標利益をπ 1 を達成するための売上高 (S 1 ) を導きなさい ただし 用いる記号は次のとおりとする 答えだけでなく 必ずその途中経過を詳細に記すこと なお π = R - E から説明を開始すること

8 課題 2. テキストP.102 第 5 章演習問題 3を解きなさい 課題 3. テキストP.134 第 7 章演習問題 1 2を解きなさい 課題 4. テキストP.196 第 10 章演習問題 1(1) 2を解きなさい なお 1(2) については解答する必要はない 2は定式化のみでよい リポート作成にあたっての注意 本科目は その性質上 会計用語 特に原価計算 管理会計などの専門用語が多く用いられている そこで これらの用語のある程度の理解が必要となる 用語に不安のある人は 原価計算や管理会計関連の他の参考書をよく読み 用語の概要を理解して欲しい その他 リポートの作成について は 次のことに注意すること 解答に至るまでの過程を 必ず図や 文章などでわかりやく現すること 式番号や図番号 番 号なども入れること 式展開だけの解答は避け 独りよがりな解答になっていないかを十分に注意す ること また 解答の記入は計算問題なので 原稿用紙の枠は無視して構わない リポートの評価基準 リポートは 課題を理解しているかを確認するためのものですので 解答が合っているかが 評価基 準ではありません そのため 導出の課程が重要で 評価のポイントとなります 単位修得試験について 持込 : 電卓のみ可 筆記用具 : 自由 解答に至るまでの過程を 必ず図や 文章などでわかりやく現すること 式番号や図番号 番 号なども入れること 式展開だけの解答は避けること オフィスアワー オフィスアワーについては 随時研究室でおこなうが メール等でアポをとること