システム法 A 法その他 R 法法異常判定予測田口玄一博士が開発タグチ流多変量解析法その他 : S 法マルチ法誤圧などタグチメソッド品質工学の主要な柱のひとつ全体的な解説 : 品質工学会 7 立林手島長谷川 8 本稿 : 法 A 法 R 法法の性質注意点を述べ改良

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ふじよしちとく
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1 システムの諸問題と改良手法早稲田大学創造理工学部経営システム工学科永田靖印のページは配布資料に追記修正しています. /84

2 システム法 A 法その他 R 法法異常判定予測田口玄一博士が開発タグチ流多変量解析法その他 : S 法マルチ法誤圧などタグチメソッド品質工学の主要な柱のひとつ全体的な解説 : 品質工学会 7 立林手島長谷川 8 本稿 : 法 A 法 R 法法の性質注意点を述べ改良手法を示す. 報告者らの研究を中心に紹介. /84

3 . はじめに法マハラノビスタグチ法表. データの形式 No. 良不良良良 n 良 n n n 不良 y y y 不良 y y y m 不良 y m y m y m. データの形式は判別分析. 良品はつの群をなす. 不良品はつの群をなさない例自動販売機の貨幣認識正貨はつの群偽造貨幣はいろいろなタイプ判別分析ではなく法 /84

4 法マハラノビスタグチ法のステップ. 良品でつの群母集団を想定する単位空間と呼ぶ. 単位空間のデータからマハラノビスの距離を算出する. 不良品のデータをで算出したマハラノビスの距離に代入して変数を選択する 4. 良不良を判定するためのデータをマハラノビスの距離に代入して判定する 4 4/84

5 法 vs 判別分析管理図法判別分析多変量管理図良品でつの群母集団を想定する単位空間と呼ぶ単位空間のデータからマハラノビスの距離を算出する不良品のデータより変数選択群を想定正常群を想定群のデータから算出群のデータから変数選択法と同じ通常変数選択しない予測する判定する判別する判定する 5 5/84

6 統計学を学んだ者にとっては法の原型は統計学の枠組みにおける自然な発想という印象. 一方法に関連して田口博士が追加していった新たなアイディアや考え方総じてシステムと呼ぶには興味がある. 統計学と一線を画していた人々へシステムが急速に普及していったことにも興味がある観察研究の必要性田口博士の影響力手法の簡便さ. システムが普及している現在その方法論の妥当性を検討しておきたい. 6 6/84

7 . 法. 法と判別分析システム法 A 法その他 R 法法判別分析つの群を想定する. 法つの群単位空間を想定する. 良品群不良品群といっても良品群はつの群をなすが不良品群は群をなすとは考えにくいなら法を用いる. 田口先生の法の着想のきっかけ : 幸福な家庭は互いにすべて似かよったものであり不幸な家庭はどこもその不幸のおもむきが異なっているものであるトルストイアンナカレーニナ 7/84

8 8 判別分析の考え方母集団 [] 母集団 [] N N 第母集団 [] 第母集団 [] [] [] D D [] [] D D 線形判別関数は第母集団は第母集団 8/84

9 法判別分析単位空間母集団母集団マハラノビスの距離図. 法が有効なデータパターン不良のデータ図. 9 9/84

10 . 法における予測バイアスの問題宮川永田... N n ~... n R D D D ~ 次元正規分布 D D E : 棄却限界値 a 真値 /84 * * D D D 単位空間の名称由来

11 ~ N D n E D n n E D なら n ED bas 表推定量 n>> でないならバイアス調整が必要 /84

12 . A 法マハラノビスタグチアジョイント法システム田口法 A 法その他 R 法法 D R 多重共線性 : R が存在しないサンプル数より変数の個数が多い n 変数間に線形関係がある /84 a a... a 少なくともつのa

13 D R R - を R の余因子行列で置き換える D A ~ R 余因子 : 行列 R から第行第列を取り除いた行列の行列式をと表すとき ~ 余因子行列 R: 要素が R の行列 R を r 次のの余因子 /84

14 . A 法の特徴宮川宮川永田例. / / 単位空間では R / / / / R R の逆行列は存在しない rank R / R / 4 4 / / R / 4 4 4/84

15 5 4 ~ R 4 ~ R D A なら判定の尺度にならない. 単位空間外でなら判定の尺度になる. 単位空間外で単位空間では A A A D D D 単位空間では 5/84

16 6 次の単位行列は I I R R R ~ ~ R R R R が存在するなら R R R D A ~ 一方 6/84

17 R 例 4 単位空間では R rank R R の逆行列は存在しない R R 7/84

18 8 ~ R D A A 法は機能しない. 変数間につ以上の線形関係が成り立つとのランクがつ以上落ちると ~ ~ R D R R A ~ R 8/84

19 D A D A A 法の本質まとめ R R が存在するとき : ~ R R R R 単位空間内 : 単位空間外 : 単位空間外 : D のランクがつだけ落ちるとき : a 単位空間での変数間の線形関係式 D A D D A A D D A A 田口博士 : 分散がゼロの変数に着目しなさい. 単位空間外で変動するなら有効な変数は有効は無効 R のランクがつ以上落ちるとき : 常にとなってA 法は機能しない. D A 9/84

20 . A 法の改良手法宮川永田 R... スペクトル分解 : に対応する長さの固有ベクトル : 固有値 :... R R... が存在するなら /84

21 が線形関係式の係数の固有ベクトル変数間に線形関係式がつ成立のランクがつだけ落ちる R / / / / / /. R 例単位空間では /84

22 の固有ベクトルが線形関係式の係数個成立変数間に線形関係式が個落ちるのランクが q q q q q q R R 例 4 単位空間では /84

23 削除する q q q q q q q q q q R c c c c とみなす. を設定閾値... q q D R D 第種の距離の乗 : 第種の距離の乗 : q q q R... /84

24 4 5 R..5 に基づいて例例 R D /84

25 5 5 D 単位空間では 5/84

26 6 R.4.6 に基づいて例例 R D 6/84

27 7 4 4 D 単位空間では 7/84

28 = 要点 = A 法では情報の一部しか使用しておらずしかも A 法では判別能力を有しない場合もある. A 法は多重共線性の問題を部分的に解決. 多重共線性を構成する変数とそれ以外の変数に基づいて種類の距離を作成することにより法が抱える多重共線性の問題を解決できる. 補足固有値の小さな部分の対処の方法についてはいろいろなアイディアが提出されている. 8/84

29 4. R 法 Recognton aguch 法システム法 A 法その他 R 法法法の中では一番新しい手法 R 法ではパラメータ設計と同様の簡便な計算だけ. 標準 SN 比の考え方を応用して信号のない場合を取り扱う. 独特のアイディアに満ちた方法. 画素データのような値データだけでなく連続量ないしは多値離散量と呼ぶに対しても適用できる. 9/84

30 連続量や多値離散量のデータに R 法 : 注意が必要. R 法で用いられている距離には望ましくない性質本章ではそのような性質について議論改良する方法を提示 /84

31 4. R 法の概要田口 6a No. L S e D n n n nk 平均表 4. 初期データの形式と統計量 m r m m m m L... / k S r L S S S e e e r L / e m m m m m m L S e L S e L n S n en n n /84

32 No. L S e D L S e L S e n n n n L n S n en n n 平均 m m m 表 4. 初期データの形式と統計量 n n S n n n S n n n S n ] [ / D R 法で用いられているマハラノビスの距離 D D D n /84

33 新たなデータの採取と統計量の計算 L S e D 新 L S e D R 法で用いられているマハラノビスの距離 D / [ ] m m... m : 初期データより計算した値を使う初期データより定めた閾値と比較して異常かどうか判定 /84

34 4 4. R 法の適用上の注意永田土居 9 - 変数の単位の問題 - 一番初期に提案されたシステムではマハラノビスの距離では各変数間の単位が異なってもよいマハラノビスの距離は変数の単位に依存しない量... n R D D 4/84

35 5 変数間で単位が異なると r や L などの計算において単位が異なるものを加える加え合わさった量の意味が不明 m r m m m m L... / k S r L S S S e e e R 法の適用では : 全ての変数項目の単位が揃っているまたは無次元数田口 : 個の項目が全て同一次元のデータたとえば画素のデータ時系列のデータなどであるとき田口 6ab では文字認識問題を意図して R 法が提案単位の問題に配慮せずに適用されている事例が散見 5/84

36 全ての項目の単位が揃っていても揃っていなくても大久保永田は次を示した. 他の項目よりも非常に大きな絶対値をとる項目があればその項目により判定結果がほぼ決まる. 他の項目に比べ微小な値しかとらない項目は判定結果にほとんど寄与しない. 6/84

37 4. 統計量の意味と基本的性質永田土居 9 r 少なくともつの m はゼロではないを仮定しているもし r = m = m = = m = ならは定義できない r m L / r 単位空間のn 個の点を次のように表す... m t m t m t m m m... m t t t... t... m t t m m m = の場合 t 7/84

38 8 r t m / / / k S r t m t t S e e e / / r t m r t m n n n n e t t S t m m t t m m m 単位空間 ] [ / D ] [ / D 中心位置でのマハラノビスの距離がでない t 8/84 が抜けていました

39 9 4.4 R 法で用いるマハラノビスの距離の性質永田土居 9 ] [ / D 項目数各項目の従う確率分布各項目間の相関関係を設定組 n= の乱数を発生個の D = の値を求める各データに対して平均ベクトルからのユークリッド距離の乗を求め d E D = の散布図を考察対象... E m m m m m d 9/84

40 例 4. 項目 = ~U ~U45 独立 d E D の散布図図 4. R 法のマハラノビスの距離のプロット = 一様分布独立単位空間 D d E / [ m ] m m m m t 4/84

41 4 例 4. 項目 = ~N ~N 独立図 4. R 法のマハラノビスの距離のプロット = 正規分布独立 m m d E d E D の散布図 ] [ / D m m d E /84 4/84

42 例 4. 項目 = ~N ~N 相関あり d E D の散布図図 4. R 法のマハラノビスの距離のプロット = 正規分布相関 =.5 単位空間 D d E / [ m ] m m m m t 4/84

43 例項目 =5 ~U ~U ~U4 4 ~U45 5 ~U56 独立 d E D の散布図図 4.4 R 法のマハラノビスの距離のプロット =5 一様分布独立 4/84

44 例項目 =5 ~N ~N ~N.5 4 ~N 5 ~N 独立 d E D の散布図図 4.5 R 法のマハラノビスの距離のプロット =5 正規分布独立 44/84

45 R 法で用いるマハラノビスの距離の改良永田土居 9 距離についての望ましい性質単位空間の中心位置では中心位置から離れるにしたがって増加していくと考えられる距離 ] [ / # # # # D n n # / n n # / n n # / ] [ / D 45/84

46 例 4.6 例 4. と同じ乱数項目 = ~U ~U45 独立例 4.7 例 4. と同じ乱数項目 = ~N ~N 独立図 4.6 d E D # の散布図 = 一様分布独立図 4.7 d E D # の散布図 = 正規分布独立 46/84

47 例 4.8 例 4. と同じ乱数項目 = ~N ~N 相関係数 =.5 D # d E a d E D # の散布図 b D D # の散布図図 4.8 d E D # および D D # の散布図 = 正規分布相関係数 =.5 m m D m D 47/84 47 m

48 例 4.9 例 5.4 と同じ乱数 5 項目 =5 ~U ~U ~U4 4 ~U45 5 ~U56 独立例 4. 例 4.5 と同じ乱数 5 項目 =5 ~N ~N ~N.5 4 ~N 5 ~N 独立図 4.9 d E D # の散布図 =5 一様分布独立図 4. d E D # の散布図 =5 正規分布独立 48/84

49 さらなる改良 D # / [ # # # ] DC # # # # { } a l b l k 4.9 d E D # 図 4. d の散布図 E DC # の散布図 =5 一様分布独立 D C # d E 図 d # E DC # の散布図 =5 正規分布独立 49 49/84

50 = 要点 = R 法を適用する際には各変数の単位が同じか各変数が無次元数でなければならない. R 法の距離は単位空間の中心位置で大きめの値を取ってしまい中心から少し離れたところでゼロになるという望ましくない性質がある. 距離 DC # は R 法の望ましくない性質を改良する. 5/84

51 4.6 R 法で用いるマハラノビスの距離の改良大久保永田 R 法 : すべての項目の単位が同じまたは無次元数表 4. 初期データの形式と統計量 No. L S e D L S e L S e r n n n nk 平均 m m m m L n S n en n n L m m m... m L / 通常の標準化 R 法では機能しない r= となるから 5 r 5/84

52 R-PC 法 : : 相関係数行列に基づく第主成分 : 残差の標準偏差 R-SD 法 : 項目ごとにその標準偏差で割って無次元化 R- 法 : 項目ごとにその平均で割って無次元化 R-PC+ 法 : : 相関係数行列に基づく第主成分 : 第主成分 q: 残差の標準偏差 5/84

53 4 項目単位が異なるのベンチマークデータで検討単位空間のサンプルサイズが十分大きい : >R-PC+>R-PC R-SD R- R A>B A 法のほうが B 法より精度がよい単位空間のサンプルサイズが十分大きくない : R-PC+>R-PC R-SD R- R 数理的検討 + シミュレーション R-SD: ベクトルの方向によって検出力に違い R-PC: ベクトルの方向によって検出力に違いはない 5/84

54 5. 法システム法 A 法その他法 R 法サンプル数が項目数よりも少ない場合でも実行可能多重共線性の問題がない計算が簡便である 54/84

55 5. 法の概略田口 5b a 表 5. 全メンバーのデータ No. 項目項目出力値 N 表 5. 単位空間のデータ No. 項目項目出力値中位 a 表 5. 信号メンバーのデータ No. 項目項目出力値残り項目 = 説明変数出力値 = 目的変数 55/84 l

56 表 5. 単位空間のデータ No. 項目項目出力値 a 表 5. 信号メンバーのデータ No. 項目項目出力値 y a a y y y y a 信号データの規準化 a 表 5.4 規準化された信号データ No. 項目項目出力値 y y l l 56/84

57 表 5.4 規準化された信号データ r l l の場合の場合 e e e e S S S r l r 図 5. イメージ l l l l l 項目項目項目メンバーまず項目 vs 57/84

58 表 5.4 規準化された信号データメンバー l 項目 vs 項目 vs 項目 vs 項目項目項目 l l l l 番目のを予測個の予測値を統合の 58/84

59 l l L l S r L S e S S S l S e e e e S r log の統合推定値 : 表 5.4 規準化された信号データ l l l l l 項目項目項目メンバー l 総合推定の SN 比 59/84

60 y y y k 線形予測式 e e S r log 評価指標 : 総合推定の SN 比質量を総合するのと同じである. それを総合している. はかりでいろいろなの推定を次式で行う. を求めて田口つひとつの項目では比例式 l : 6/84

61 E E E y y y 線形予測式重回帰モデル背後のモデルが異なる y y y 線形予測式 6/84 法

62 法 vs 重回帰分析よくある解釈に対して. 評価指標が違う!? 法は総合 SN 比重回帰分析は残差平方和寄与率など残差平方和 resdual sum of squares RSS l l l y y y y 重回帰分析では残差平方和を最小にする. 法では総合 SN 比を評価尺度 : log S r e e r S e l r RSS r e e 総合 SN 比と RSS は数学的に同値 6/84

63 とする. 例項目数が c. 法では重要な項目をすべて予測式に取り入れられる!? 総合推定値 : すべての変数を取り込めているようには見えるものの相関の強い変数を過大評価法 vs 重回帰分析よくある解釈に対して 6/84

64 . 項目間の相関が強いと法の結果の信憑性は低い!? 法を想定したモデル上記モデルでは項目間に強い相関が必然的に生じる. E E E 後のシミュレーションでわかるようにこのモデルの下で法の性能はそこそこよい. 法 vs 重回帰分析よくある解釈に対して 64/84

65 単位空間について単位空間はその平均を計算して規準化するためだけ全データを単位空間と信号データに分ける合理的方法は? 多くのデータを単位空間とすると信号データ数が減る. そこで単位空間のデータ数はでもよいとされている. 出力値 y が中位にあるデータを単位空間とする. これでよいか? 65/84

66 No. y y y 規準化 No 原点を外している SN 比は上がらない /84

67 法における規準化の目的 : 各項目 vs 出力値に対して原点比例式を当てはめしかし少ない個数の単位空間の平均により規準化すると原点を外す項目が出てくる. 項目数が増えると上記の項目の個数が増加適切な規準化をすれば原点を通り SN 比が大きくなる項目であるのに不適切な規準化を行うと SN 比が小さくなる. 67/84

68 法の改良手法の提案 :a 法と b 法法 a: すべてのデータの平均を用いて規準化品質工学便覧 : 全データの平均値そのものを単位空間とすれば単回帰分析を SN 比で重み付けた結果と同じになりシステムの特徴である単位空間を使った信号付けの特徴付けが活かせない. 私たちの見解は上記とは異なる. 68/84

69 No. y 平均 a 法による規準化 No y y 原点を通る SN 比は上がる /84

70 法 b: 各項目で SN 比が最大になるメンバーを用いて規準化項目について Ste. No. のメンバーでと y を規準化しゼロ点比例式を当てはめ SN 比を計算. No. のメンバーでと y を規準化しゼロ点比例式を当てはめ SN 比を計算. 5No.5 のメンバーでと y を規準化しゼロ点比例式を当てはめ SN 比を計算. Ste 項目について Ste で最大の SN 比が得られたメンバーで規準化してを推定 No. y No. y 同様のステップ 7/

71 a a a y y y y y y t t y t t t y * * * * * 法の予測式 : a 法の予測式 : b 法の予測式 : 比により規準化した時のでメンバー項目により規準化した時の比例定数でメンバー項目 SN : : * * * * t t t t 7/84

72 法 a 法 b 法重回帰分析の性能比較評価指標 : 残差平方和の平均の期待値 RSS ERSS E RSS l y y l l : 信号データの個数残差平方和予測平方の期待値 PE E y y 新しいデータの予測誤差こちらが重要な指標 7/84

73 シミュレーションによる検討シミュレーションモデル : A 線形重回帰モデル... ;... ~ ~ Cor N N N b b b y B 法の背後に想定されるモデル... ;... ~ ~... ;... N N N y N y a /84

74 いモデル 4 ERSS 法 a 法 b 法重回帰分析良A : y 図 5. モデル A での ERSS 残差平方和の期待値 N b 5 b 5 b b b a a b b 重回帰重回帰 σ σ σ b 74/84

75 いERSS モデル B : b a a y.. 法 a 法 b 法重回帰分析良重回帰図 5. モデル B での ERSS 残差平方和の期待値 N 5 5 a a a 4 5 : 母分散のパターン σ σ σ σ4 σ5 75/84

76 いモデル 6 A : y 4 b b b PE 8 a 6 4 b 重回帰良σ σ σ5 法 a 法 b 法重回帰分析図 5. モデル A での PE 予測誤差の期待値 N 5 b b b /84

77 モデル A : y 6 b b b 4 a PE 良い8 6 重回帰 4 b σ σ σ5 法 a 法 b 法重回帰分析図 5.4 モデル A での PE 予測誤差の期待値 N 5 5 b b b /84

78 モデル A : y 8 b b b 7 6 重回帰 5 良いPE 4 σ σ σ5 a b 法 a 法 b 法重回帰分析図 5.5 モデル A での PE 予測誤差の期待値 N 57 b b b /84

79 PE 良いモデル B : 重回帰 b a 図 5.6 モデル B での PE 予測誤差の期待値 N 5 a y 5 a a a 4 5 : 母分散のパターン...5 が大きい項目がある σ σ σ σ4 σ5 法 a 法 b 法重回帰分析 a a 79/84

80 まとめ項目と出力がどのような関係にあるのかに着目すべきサンプルサイズが項目数より十分大きいなら重回帰分析がよいサンプルサイズが項目数の倍程度より小さい場合には a 法または b 法を用いるとよい多くの場合に a 法と b 法は同程度の性能を示しておりモデルやパラメータの条件によりその優劣が変化 a 法や b 法は法よりも性能がよい. 実務的には計算の手間とわかりやすさを考えると a 法を適用するのがよいであろう a 法とb 法の優劣の入れ替わりが何に起因しているのかは今度の課題としたい. 8/84

81 6. おわりにシステムは非常に簡便. 簡便性がタグチメソッドの一つの特徴. 簡便だから多くの技術者が応用しシステムが普及. 田口博士はロバストパラメータ設計に関して永年新しいアイディアを提案され続け応用事例を参考にして手法を洗練化. 本質的な部分を残し応用が楽になるよう計算を簡便化する方針. システムについても本質的な部分を残しながら簡便化する方針田口. 田口は 5 年月の田口博士の講演録. 田口博士はこの講演のか月後に病に倒れられた. 8/84

82 本稿で指摘した各手法の問題点は田口博士がお元気であれば指摘されただろう. 田口博士ならこれらをどう克服改良されたかと思いを馳せている. 田口博士がおられないいま統計科学の側面からシステムの本質や発展性を見極めたい. システムの研究を通じてタグチメソッドと SQC がもっと融合できればよいと考えている永田 7. 最後にシステムを開発された田口玄一博士に敬意を表し心からご冥福をお祈りします. 8/84

83 参考文献稲生淳紀永田靖堀田慶介森有紗 : タグチの法およびその改良手法と重回帰分析の性能比較. 品質大久保豪人永田靖 : タグチの R 法における同一次元でない連続量データへの適用方法. 品質田口玄一 : 世紀の S 法と世紀の法. 標準化と品質管理田口玄一兼高達貳編 : システムにおける技術開発. 日本規格協会. 田口玄一 5a: 目的機能と基本機能 5. 品質工学 []6-. 田口玄一 5b: 目的機能と基本機能 6. 品質工学 []5-. 田口玄一 6a: 目的機能と基本機能. 品質工学 4 [] 5-9. 田口玄一 6b: 目的機能と基本機能. 品質工学 4 [] 5-9. 田口玄一 : 世紀のシステム A 法と S 法と法 - 田口玄一システム講演録 - 品質工学 [] 立林和夫長谷川良子手島昌一 8: 入門システム. 日科技連出版社. 永田靖 7: タグチメソッドと SQC の友好的推進クオリティマネジメント 58 8 月号 -7. 永田靖久冨剛 8: 項目数が $n-$ 以上の場合のシステムの第種の距離. 品質永田靖 9: 統計的品質管理. 朝倉書店. 8/84

84 永田靖土居大地 9: タグチの R 法で用いる距離の性質とその改良. 品質品質工学会編纂 7: 品質工学便覧. 日刊工業新聞社. 宮川雅巳 : 品質を獲得する技術. 日科技連出版社. 宮川雅巳 :SQC から見たタグチメソッド. 品質 7-5. 宮川雅巳永田靖 : マハラノビスタグチシステムにおける多重共線性対策について. 品質宮川雅巳 4: 統計的因果推論朝倉書店. 宮川雅巳田中研太郎岩澤智之中西寛子 7: マハラノビスタグチシステムにおける実際の誤判別率. 品質 7-6. 吉野荘平矢野耕也石井ちはる和田唯司 6: システムによる不動産価格の推定. 品質工学 4[] /84

多変量解析 ~ 重回帰分析 ~ 2006 年 4 月 21 日 ( 金 ) 南慶典

多変量解析 ~ 重回帰分析 ~ 2006 年 4 月 21 日 ( 金 ) 南慶典重回帰分析とは? 重回帰分析とは複数の説明変数から目的変数との関係性を予測評価説明変数 ( 数量データ ) は目的変数を説明するのに有効であるか得られた関係性より未知のデータの妥当性を判断するこれを重回帰分析というつまりどんなことをするのか? 1 最小 2 乗法により重回帰モデルを想定 2 自由度調整済寄与率を求め