流体地球科学第 7 回力のバランス永遠に回れるバランス ( 以下, 北半球 =コリオリ力は進行方向の右向き ) 慣性振動 : 遠心力 =コリオリ力地衡風 : コリオリ力 = 圧力傾度力東京大学大気海洋研究所准教授藤尾伸三

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せせらとこたに
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1 流体地球科学第 7 回力のバランス永遠に回れるバランス ( 以下, 北半球 =コリオリ力は進行方向の右向き ) 慣性振動 : 遠心力 =コリオリ力地衡風 : コリオリ力 = 圧力傾度力東京大学大気海洋研究所准教授藤尾伸三 fujio@aori.u-tokyo.ac.jp F C F A 旋衡風 : 遠心力 = 圧力傾度力反 F C 高 F C 205//27 F A F A 凹型凸型最終更新日 205//24 反前回のポイント回転系における水平運動流体における水平の圧力勾配は, 斜面沿いの重力と同じ ( 高に動く ) 慣性振動 ( 円運動 ) コリオリ力と遠心力がバランス ( 外力なし ) 北半球 ( コリオリ力が右向き ) ではの等速円運動速度 V, 半径 R とすると, fv = V 2 /R R = V/f 回転する時間慣性周期 2π/f (f = 2Ω sin φ: コリオリ係数 ) 場の自転周期の半分 ( 極で半日, 緯度 30 度で日 ) 地衡風地衡流 ( 直線 / 円運動 ) 圧力傾度力とコリオリ力がバランス北半球では高圧部 ( 山であれば頂上 ) を右に見て, 等圧線 ( 等高線 ) に沿う高気圧では, 気圧では反の運動海洋や大気の大規模な運動旋衡風旋衡流 ( 円運動 ) 圧力傾度力と遠心力がバランス中心は圧部で, も反もある普通にいう渦これらのまざった運動斜面上のサイクロイド ( 慣性振動 + 地衡風 ) 傾度風これから説明コリオリ力が有意に働くためには, 慣性周期程度の持続時間が必要傾度風遠心力 F A +コリオリ力 + 圧力傾度力コリオリ力と圧力傾度力がそれぞれ内向きか, 外向きかで組合わせは 4 通り合力のどちらが大きいかで, さらに 2 通り速度や半径は図で異なる ( ) 遠心力は反常に外向き ( コリオリ外向き ) ( コリオリ内向き ) 気圧 ( 圧力内向き ) 高気圧 ( 圧力外向き ) F C >F A ( 地衡風的 ) F A >F C ( 旋衡風的 ) F A >F C ( 旋衡風的 ) F A F C > ( 慣性振動的 ) なしすべての力が外向き反の高気圧は存在しない高 F C >F A ( 地衡風的 ) F C F A > ( 慣性振動的 ) fujio@aori.u-tokyo.ac.jp fujio@aori.u-tokyo.ac.jp

2 傾度風の分類圧力傾度力に対して, コリオリ力と遠心力のどちらが重要か. ( 圧力傾度力が弱い = 慣性振動的なバランスを除く ) 高気圧は必ずで, 地衡風的気圧はならば, 旋衡風的反ならば, 地衡風的なものと旋衡風的なものがある力を比べてもよいが, 周期を比べる ( 慣性周期は緯度のみで決まる ). 遠心力 F A = mv2 R 回転の周期 T A = 2πR コリオリ力 F C = fmv 慣性周期 T C = 2π f V F A > F C (T A < T C ) 旋衡風的 ( 周が慣性周期より速い ) F A < F C (T A > T C ) 地衡風的 ( 周が慣性周期より遅い ) 傾度風のバランス力は外向き, 回転は反を正とすると, 遠心力 + コリオリ力 + 圧力傾度力 = 0 mv 2 R + fmv + = 0 V = fr 2 ± (fr 2 ) 2 R m = 0 ならば, V = 0, fr ( 静止または慣性振動 ) V > fr 遠心力 > コリオリ力根号の中は 0 以上から, m ( ) 2 fr = mf 2 R R 2 4 高気圧 2 気圧 /mf 2 R V/fR 反黒 : 旋衡風的, 青 : 慣性振動的, 赤 : 地衡風的 ( 色分けは適当 ) 気圧 ( < 0) に上限はないが, 高気圧 ( > 0) には上限がある. ( 上限を超える高気圧は, 安定的に存在できない ) 上限の高気圧では, 慣性振動の半分の角速度 ( 地球の自転角速度 ) で回る大規模な海洋や大気は原点付近地衡風 4 台風強風域 : 風速 5m s (54km/ 時 ) 以上 ( 黄線 ) 暴風域 : 風速 25m s (90km/ 時 ) 以上 ( 赤線 ) 大型の台風強風域の半径が 500km 以上反, 気圧 F A = V2 R, T A = 2πR V F C = fv, T C = 2π f (m=kg とする ) 風速 V 5m s 25m s 半径 R 500km 200km? 遠心力 F A N コリオリ力 F C N 回転周期 T A 58 時間 4 時間慣性周期 T C 2 時間 2 時間地衡風的旋衡風的 2007 年台風 4 号 (7 月 3 日 ) 抵抗が働く場合速度にボールの速度に比例して, 進行方向と逆向きに力が働くとする. 係数 r は時間の逆数. ( 摩擦 µ mg は速度に比例しないので, 空気抵抗等を考える.) 抵抗が働く場合の運動方程式 m dv dt = mrv 一般解は指数関数. 初期 t = 0 の速度を V とすれば v = V e rt velocity (V) time (/r) 速度は指数関数的に減衰し, 時刻 t = /r のとき, /e (=0.37) になる. t = /r をダンピング時間という (t = 0.7/r で速さは半分, 半減期 ). ダンピング時間に比べて, 十分に長い時間が経つと, 止まる. fujio@aori.u-tokyo.ac.jp fujio@aori.u-tokyo.ac.jp 2

3 抵抗が働く斜面での運動 ( 地衡風 ) 運動方程式と一般解 ( コリオリ力も抵抗も速度に比例. 向きが異なる ) m du fmv = mru, dt mdv + fmu = mgs mrv dt u = V e rt sin(ft + θ) fgs f 2 + r, v = V 2 e rt cos(ft + θ) rgs f 2 + r 2 減衰する振動と一定速度の和. 流体力学流体には空間的広がりがある場 ( 速度場, 密度場, ) 流体を微小な部分 ( 流体粒子, 流体要素 ) に分ければ, それぞれは質点として扱うことができる流体粒子同士は力 ( 圧力や摩擦 ) をおよぼし合う定常場が時間変化しないこと静止ではない. 流線ある瞬間の流速ベクトルをつないだもの流体は流線に沿って流れる定常な場では流体粒子の軌跡 ( 流跡線 ) と一致する流速場の表示流速ベクトル十分に長い時間 (rt ) がたつと, 初期条件によらず, 等速直線運動になる u = fgs f 2 + r, v = rgs 2 f 2 + r 2 地衡風 (r = 0) と終端速度の落下 (f = 0) コリオリ力重力抵抗抵抗が働かないと, コリオリ力のため, もとの高さに戻る ( 落下しない ) 流線抵抗が働く場合の気圧高気圧コリオリ力 + 圧力傾度力 + 抵抗 ( 風は陸面海面から抵抗を受ける ) 風向に対して, 抵抗は逆向き, コリオリは右向き合力は右後方 ( 物体は圧部に動くコリオリが右向き, 抵抗が逆向きにかかる ) 気圧 ( 反 ) 高気圧 ( ) 圧高圧高圧回りながら, 気圧には吹き込み, 高気圧からは吹き出る考え方 : 地衡風と圧部への運動の和圧部への運動がコリオリ力で右に曲がった圧回転系での流体運動の基礎方程式ナビエストークスの式 ( 単位質量あたりの運動量保存の式 ) Du + 2Ω u = ρ p + K 2 u + F 連続の式 ( 質量保存の式 ) Dρ + ρ u = 0 位置 (x, y, z), 時間 t 流速ベクトル u = (u, v, w), 密度 ρ 求めるべき値それぞれ u(x, y, z, t) のように 3 次元的な分布を持つ圧力 p 動粘性係数 K ( ギリシャ文字 ν がよく使われるが ) 自転の角速度ベクトル Ω = (0, Ω cos φ, Ω sin φ) ( 単位質量あたりの ) 外力 F ( 重力など ) 物体が斜面を転がれば, 山はくなり, 谷は埋まる斜面が解消運動なし同様に, 空気の移動で気圧差が解消され, 気圧高気圧は消える. fujio@aori.u-tokyo.ac.jp fujio@aori.u-tokyo.ac.jp 3

4 ベクトルの微分スカラー p, ベクトル u = (u, v, w) にナブラ = ( x, y, ) を使うと, 勾配 (gradient) スカラーベクトル ( ) p p = grad p = x, p y, p 発散 (divergence) ベクトルスカラー u = div u = u x + v y + w 回転 (rotation または curl) ベクトルベクトル ( w u = rot u = curl u = y v, u w x, v x u ) y ラプラシアン (Laplacian, 2 = ) スカラースカラー, ベクトルベクトル 2 p = ( )p = ( p) = div (grad p) = 2 p x + 2 p 2 y + 2 p u = ( 2 u, 2 v, 2 w) 質量保存の式 [ 導出 ] 静止した長方形の枠を考える. 枠の中を流体が通過枠の左端と右端での流体の速度を u, u 2. 密度を ρ, ρ 2 とする. t 時間に枠に入る質量それぞれ ρ u A t, 質量の増加 M = (ρ u ρ 2 u 2 )A t 体積 V = A x 長さ x ρ 2 u 2 A t 密度 ρ = M/V の時間変化 (V は時間変化しないので ) ρ t = M V t = (ρ u ρ 2 u 2 )A t A x t = ρ u ρ 2 u 2 = (ρu) x x 速度 u 2 密度 ρ 2 断面積 A 位置を固定した場合 (x や y を変化させずに, t だけを変化させた偏微分 ) 質量の保存 = (ρu) t 入ってくるより出ていく質量が多い ( 発散する ) と, 密度は小さくなる偏微分と全微分偏微分ふたつ以上の変数に従属する関数で, ひとつの変数だけを変化させて, ほかを変化させないときの導関数 t = lim ρ(x, y, z, t + t) ρ(x, y, z, t) t 0 t 場所を動かずに, 値の時間変化を見ている ( 駅のホームで, 通過する電車の込み具合を見る駅ごと ) 全微分 x, y, z が t の関数であるとき, ρ(x, y, z, t) を t で微分する. dρ dt = lim ρ(x(t + t), y(t + t), z(t + t), t + t) ρ(x, y, z, t) t 0 t = t + dx x dt + dy y dt + dz dt (x, y, z) が物体の位置とすると, その時間微分は物体の速度 (u, v, w) を表し, dρ dt = t + u x + v y + w = t + u ( ρ) 物体の値 ρ は, もともと t のみの関数だから, 左辺は, 普通の微分になる. 流体とともに移動しながら, 値の時間変化を見ている ( 電車にのって, 車内の込み具合を見る電車ごと ) 流体の時間の全微分には, 大文字 D を使う場合が多い Dρ 質量保存の式 [ 導出 2] 流体粒子を追跡する ( 伸び縮みする箱 ) 体積 V は変化するが, 質量 M は変化しない左端の水は速度 u, 右端の水は速度 u 2 で動いているので, t での体積の増加 V = (u 2 u )A t DV = V V A x t Dρ = D ( M ) V = ρ u = u 2 u x = M V 2 DV = u x = ρ DV V 膨らむ ( 発散する ) と, 密度が小さくなる全微分であれば, 質点の考え方が使える. 体積 V = A x fujio@aori.u-tokyo.ac.jp fujio@aori.u-tokyo.ac.jp 4 u t 長さ x 体積 V t 時間後 u 2 t 速度 u 2 断面積 A

5 移流項二通りの導出を比べると, 全微分と偏微分の関係を確かめられる. = (ρu) = ρ( u) ( ρ) u Dρ = + u ρ t t Dρ/ 移流項ラグランジュ D = t + u = t + u x + v y + w オイラーオイラー微分 / t 位置を固定 ( 時間についての偏微分 ) ラグランジュ微分 ( 物質微分 ) D/ 流体粒子を固定 ( 時間についての全微分 ) 移流項 u 流速ベクトルと場の勾配ベクトルの内積ベクトルが直交する ( 流れが等値線に沿う ) ならば, 0. ベクトルが同じ向きならば, 流れは値の小さいものを大きい方に運ぶ値は小さくなる. 冷たい西風が吹く (u > 0, T x > 0) 移流項は正移流項は, その場所の気温 T を下げる T < 0 t 空気とともに移動すると, 気温は変化しない DT = 0 u ( ρ) = (u )ρ 黒線 : ρ の等値線赤線 : ρ ベクトル青線 : u ベクトル ρ 大 ρ 小 fujio@aori.u-tokyo.ac.jp fujio@aori.u-tokyo.ac.jp 5

外から中心に投げたボールの動画 1 中心に向かってまっすぐ投げる回転盤でボールをキャッチ円盤の回転速度とボールの速度を合わせれば, 投げたボールを取れる ( 投げた人にはボールが回ってくるように見える ) 投げてからの時間は, 回転の半周期円盤の外から見る図斜めに飛んでいく投げた人が見る図コ

外から中心に投げたボールの動画 1 中心に向かってまっすぐ投げる回転盤でボールをキャッチ円盤の回転速度とボールの速度を合わせれば, 投げたボールを取れる ( 投げた人にはボールが回ってくるように見える ) 投げてからの時間は, 回転の半周期円盤の外から見る図斜めに飛んでいく投げた人が見る図コ流体地球科学第 6 回外から中心に投げたボールは? 回転盤の外から見た図 ( ) 期待される位置, ( ) 実際の位置間違った図 1 間違った図 2 正しい図東京大学大気海洋研究所准教授藤尾伸三 http://ovd.aori.u-tokyo.ac.jp/ujio/215chiba/ ujio@aori.u-tokyo.ac.jp 215/11/2 最終更新日 215/11/24 ボールは左

流体地球科学第 7 回 力のバランス永遠に回れるバランス ( 以下, 北半球 =コリオリ力は進行方向の右向き ) 慣性振動 : 遠心力 =コリオリ力 地衡風 : コリオリ力 = 圧力傾度力 東京大学大気海洋研究所准教授藤尾伸三

流体地球科学第 7 回力のバランス永遠に回れるバランス ( 以下, 北半球 =コリオリ力は進行方向の右向き ) 慣性振動 : 遠心力 =コリオリ力地衡風 : コリオリ力 = 圧力傾度力東京大学大気海洋研究所准教授藤尾伸三