球面三角法

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ゆみかたけくま
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1 球面三角法 Spherical Triangles

2 球面角球の平面での断面は円球の中心を通る円は大円その他の円は小円 P,P は極 PP に直角な円は緯線 ( 平行圏 ) 球の中心を通る緯線は赤道

3 球面上の 2 点 A,B 子午線上の 2 点 A,B 間の距離 ( 辺 ) 2 つの子午線間の角

4 球面三角形 3 つの大円 = 球面三角辺と角弧 = 辺 a,b,c 辺 a = BBB, 辺 b = AAA, 辺 c = AAA 角 A = CCC, 角 B = CCC, 角 C = AAA

5 極三角形 A B C は ABC の極三角形であれば ABC は A B C の極三角形である A = 180 aa B = 180 bb C = 180 cc A = 180 a B = 180 b C = 180 c

6 緯度経度赤道 G 原子午線 G' PN O λ PS φ A の座標 : 緯度 (φ) と経度 (λ) A A' P N : 北極 P S : 南極極 P N, P S をもつ大円は赤道極から離れた地球上の A 点に関し半球 P N AP S は子午線である原子午線又は本初子午線は英国のグリニジ天文台を通る点 A の緯度 (φ) は赤道から点 A まで測る角距離である経度 (λ) はグリニジから西回りに 180 までを西経 (-) 東回りに 180 まで測るのを東経 (+) という

7 大圏航路 ( 測地線 ) 球の場合点 A,B を通る大円を大圏航路 ( コース ) という地球を回転楕円体とした場合には大円 AB は測地線 ( 円ではない ) と呼ばれる

8 球面直角三角形 1)sin A = sin A sin c 2) tan a = tan A sin b 3) tan a = cos B tan c 4) cos c = cos b cos a 5) cos A = sin B cos a 6) sin b = sin B sin c 7) tan b = tan B sin a 8) tan b = cos A tan c 9) cos c = cot A cot B 10) cos B = sin A cos b

9 NAPIER の規則右図において 1 個の要素を選びそれを中部と呼び隣の要素を隣部残りの 2 つの要素を対部と呼ぶことにする 1) 任意の中部の sin= 隣部の tan の積 2) 任意の中部のsin= 対部のcosの積 sin(cc A) = cos cc B cos a cos A = sin B cos a (5) が導けたただし cc A = 90 A, cc c = 90 c, cc B = 90 B とした

10 非直角球面三角形球面三角形において角が直角でないものをいうその三角形で 3 つの要素がわかるときすべての要素が解ける 1)3 つの辺が既知 2)3 つの角が既知 3)2 つの辺とその挟む 1 内角 4)2 つの角とその挟む 1 辺 5)2 つの辺と対角 6)2 つの角と対辺正弦則 sin a sin A = sin b sin B 辺の余弦則 = sin c sin C cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sss b cos C 角の余弦則 cos A = cos B cos C + sin B sin C cos a cos B = cos C cos A + sin C sin A cos b cos C = cos A cos B + sin A sss B cos c

11 半角半辺公式半角 ttt 1 2 ttt 1 2 ttt 1 2 A = tan r sin (s a) B = tan r sin(s b) C = tan r sin(s c) s = 1 (a + b + c) 2 半辺 ccc 1 2 ccc 1 2 ccc 1 2 a = tan R cos (S A) b = tan R ccc(s B) c = tan R cos(s C) S = 1 (A + B + C) 2 tan r = sin s a sin s b sin(s c) sin s tan R = cos S A cos S B cos (S C) cos S

12 ガウスドランブルのアナロジーガウスドランブルネイピアのアナロジー sss 1 2 (A B) ccc 1 2 C = sin 1 2 (a b) sss 1 2 c ttt 1 2 (A B) cct 1 2 C = sin 1 2 (a b) sss 1 2 (a+b) ccc 1 2 (A B) sss 1 2 C = sin 1 2 (a+b) sss 1 2 c ttt 1 2 (A+B) cct 1 2 C = cos 1 2 (a b) ccc 1 2 (a+b) sss 1 2 (A+B) ccc 1 2 C = ccc 1 2 (a b) ccc 1 2 c ttt 1 2 (a b) ttt 1 2 c = sin 1 2 (A B) sss 1 2 (A+B) ccc 1 2 (A+B) sss 1 2 C = cos 1 2 (a+b) ccc 1 2 c ttt 1 2 (a+b) ttt 1 2 c = cos 1 2 (A B) ccc 1 2 (A+B)

13 球面三角形の面積 (K) K = πr2 E 180 ttt E = ttt 1 2 ttt 1 2 s a ttt 1 2 ( s b)ttt 1 (s c) 2

14 正弦比例式の誘導左図で ABC は球面三角形とする C を通り AB に直角な大円の交点を D とするそのとき CD=h とおく直角三角形 ACD において sin h = sin b sin A 1 また直角三角形 BCD において sin h = sin a sin B 2 1=2 より sin b sin A = sin a sin B sin a sin A = sin b sin B 3

15 正弦比例式の証明 ( 続 ) 同様に AC に直角で B を通る大円から sin a sin A = sin c sin C 4 したがって 3 と 4 から sin a sin A = sin b sin B = sin c sin C

16 例題 1 東京 - ロンドン間の距離方位角ロンドン : 経度 λ L = 0 09 W, 緯度 φ L = N 東京 :λ T = , φ T = 地球の半径 R=6,371km ( 解 ) C = λ = λ T λ L = b=90 -φl N Δλ a=90 -φt ロンドン L(λL,φL) c α 東京 T(λT,φT)

17 辺の余弦則より cos c = cos a cos b + sin a sss b cos C =cos(90 φ T )cos (90 φ L ) + sin (90 φ T )sin (90 φ L )ccc λ = sssφ T sinφ L + cccφ T cosφ L ccc λ = ( ) = = c = S TT = = π 6,371kk = 9,563kk

18 正弦比例式より sin b sin B = sin c sin C sin (90 φ L ) sin α T = sin c sin λ sin α T = cos φ L sin Δλ sin c = cos ssssssssss sin 86 = = α T = 東京 - ロンドンの方位角 α TT = 360 α T =

19 天体による真北の算出天球 : 天体 ( 太陽惑星星 ) が存在する半径無限大の球 P N, P S : 地球の北極南極を天球まで延長した時の天の北極天の南極 Z: 天頂 ( 人の頭の真上を天球まで伸ばした点 ) S: 太陽 ZS: 鉛直圏 P N SP S : 時圏 δ: 太陽 ( 天体 ) の位置は赤経赤緯 (δ) で表される地点の位置の経度緯度と同じ

20 天文三角形 ( 球面三角形 ) P N SS AAAとする A = tに対する辺 a = 90 h (t= 時角 h= 太陽高度 ) B = Sに対する辺 b = 90 φ (φ: 観測地点の緯度 )

21 時角左図の中心は地球の中心大きな円は天球グリニジは G G: その天球位置 G は経度の原点経度 λ: 日本は左回りに測り中央子午線 /15=9h 世界時 UT=LT-9(h) (LT: 日本時間地方時 ) 観測時 ( 見かけ )= 視太陽時 AT(h)=UT(h)+E (E: 均時差理科年表で求める )

22 時角と太陽高度午前の太陽 t B = 180 (AA 15 + λ o ) 午後の太陽 t A = AA 15 + λ 180 (λ: 三角点を用いれば三角点の経度 GPS ならば GPS で観測した経度 ) 左図において辺の余弦則を適用して太陽高度 h が次式で求められる cos a = cos bbbb c + sin b sss cccc A ssss = sssφsssδ + cccφcccδcccc

23 太陽の方位角余弦則より cos c = cos aaaaa + ssssssssssss sssδ = sssssssφ + cccccccφcccc sssδ sssssssφ cccc = cccccccφ 正弦則より sin C sin A = sin c sin a sin Z sin t = cos δ cos h sin t sin Z = cos δ cos h 午前の太陽の方位角 α = Z 午後の太陽の方位角 α = 360 Z

24 太陽の高度地点経度 λ = E = 緯度 φ = N = 太陽観測日 2013 年 6 月 15 日 14 時 30 分 0 秒均時差 E=-0.156( 分 ) 太陽赤緯 δ = UU = LL 9 = 14h30m 9h = 5.5h AA = UU + E = 5.5h 0.15m = h t A = AA 15 + λ 180 = = ssss = sssφsssδ + cccφcccδcccc ssss = sssss.75 sssss ccccc.75 ccccc.3139 ccccc.1125 ssss = = h =

25 太陽の方位 sin Z 正弦則より cos δ = sin t cos h sin Z = cos δ sin t cos h = ccccc.3139 sssss.1125 cos = = Z = ( 上の図より南からの太陽の方位 ) 午後なので北からの方位角は α = 360 Z = 余弦則より sssδ sssssssφ cccc = cccccccφ sssss.3139 sssss.0128 sssss.75 = ccccc.0128 ccccc.75 = = Z = 午前 +:Z -:180 -Z 午後 +:180 +Z -:360 -Z 午後で + なのでα = 南からα S = =

26 (1) 経緯度方位角の計算 ( 四等三角 ) 右の図において点 P は既知点点 P は未知点とする点 P,P は球面上にある経度緯度 ;P(λ,φ) P (λ,φ ) P における P の方位角 :α 反方位角 :α 右図直角三角形 PPPP 1 においてネイピアの法則を用いて ttt φ = cccα tan S ここで S Δφ は微小量なので tttt S,ttt φ φ とおけば φ SSSSα 1

27 Δφは縦方向つまり緯度方向の距離なのでこれを回転楕円体面上ならばその曲率は子午線方向なので式 1 をM( 子午線曲率半径 ) で割れば正しい距離になる a(1 e 2 ) M = (1 e 2 sss 2 φ) 3 a: 赤道半径 b: 極半径 e: 第 1 離心率 e 2 = a2 b 2 a 2 φ S M cccα 2 球面直角三角形 PPPP 1 において sin c = sin α sin S c と S は微小量なので sin c c, ssss S と置けるので c SSSS α 3 これは球面 ( 回転楕円体 ) の横方向なので N( 卯酉線曲率半径 ) で割ると横方向の長さ ( 角度 ) になる c S sssα 4 N N = a 1 e 2 sss 2 φ

28 直角三角形 P 1 PPN P において sin φ + φ δδ = cos [90 (φ + φ)] cos c sin φ + φ δδ = sin(φ + φ) cos c 5 この式から δφ が解ける球面直角三角形 P 1 PPN P において sin c = tan [90 (φ + φ)] tan t tan t = tan φ + φ sin c 6 これは P の子午線収差である

29 球面直角三角形 P 1 PPN P において sin 90 φ + φ = tan c tan (90 λ) ttt λ = tan c cos(φ+ φ) 7

30 ( 問題 ) 経緯度及び反方位角を求めよ Pの経緯度緯度 φ = N 経度 λ = E 方位角 α = 球面距離 S= m ( 解答 ) a=6,378,157m,1/f= b=a(1-f)=6,356, e 2 = W = 1 e 2 sss 2 φ = a(1 e2) M = W 3 = 6,335, = 6,355, N = a W = 6,378, = 6,384, φ = S M cccα = 6,355, cccccc " ρ = c S N sssα = ,384, ssssss " ρ =

31 sin φ + φ δδ = sin φ + φ cos c = = sin ( " ) cccc = φ + φ δφ = δδ = φ + φ = tan t = tan φ + φ sin c = tan ( " ) sss = = t = tan c ttt λ = cos(φ + φ) ttt = cos ( " ) = = λ = 経度 λ = λ + Δλ = " = =

32 緯度 φ + φ δδ = = " 反方位角 α = α + t ± 180 = " = " ( 注 ) 1 地球上の地点の位置 ( 経度緯度方位 ) の計算は厳密には楕円体で計算しないといけません 2 しかし従来から四等三角測量 ( 距離 2Km 程度 ) では以上に示したとおりのシュライバーの方法が使われましたしたがって現在でも公共測量の 1 級基準点測量 ~4 級基準点測量に使えます

33 (2) 回転楕円体による経緯度方位角の計算 u = S cos α, v = S sin α a a ここで W = 1 e 2 sss 2 φ t = tan φ, ψ = 1 e 2 とおいて緯度経度及び方位角を表すことができる ( 経度 ) λ λ cos φ = WW + ( 緯度 ) φ φ = W3 ψ u 3W4 e 2 2ψ 2 sin φ cos φ u 2 W4 t 2ψ v2 W5 e 2 [1 2ψ 3 2sss2 φ e 2 sss 2 φ(5 6sss 2 φ)]u 3 W 2 ttt + W3 3 (1 + 3t2 + e2 ψ ccc2 φ)u 2 v W3 t 2 v W5 [1 + 3t2 6ψ2 e 2 t sss 2 φ ]uv 2 1

34 ( 方位角 ) α α = WWW + W2 2 (1 + 2t2 + e2 ψ ccc2 φ)uu + W3 t (5 + 6t2 6 + e2 ψ ccc2 φ 4e4 ψ 2 ccc4 φ)u 2 v ( 注 ) 以下の距離方位の計算はここでの緯度経度計算式を用いたものである順次正確な u,v の値を求めていけば正しい地球上の距離 S が求められる u,v が求まれば方位角は一義的に計算できる W3 t 6 (1 + 2t2 + e2 ψ ccc2 φ)v 3 3

35 (3) 楕円体上の 2 点から距離方位角の計算 2 点を P(λ, φ), PP(λ, φ ) とする前節 (2) の式の係数を以下のように f g で書いておく f 1 = (φ φ) ψ W 3 f 2 = 3We2 2ψ f 3 = WW 2 sin φcccφ f 4 = W2 e 2 [1 2sss2 φ 2ψ 2 e 2 sss 2 φ(5 6sss 2 φ)] f 5 = W2 6ψ [1 + 3t2 e 2 t 2 (13 10sss 2 φ)] g 1 = λ λ cccφ W g 2 = WW g 3 = W2 3 (1 + 3t2 + e2 ψ ccc2 φ) g 4 = W2 t 2 ここで 3 W = 1 e 2 sss 2 φ e 2 = 1 ( b a )2 t = tttφ ψ = 1 e 2

36 以下に示すように u,v の値が解ければ距離方位角が求まるので以下のように u,v を近似的に解く ( 第 1 近似 ) u 1 f 1, v 1 g 1 ( 第 2 近似 ) u 2 f 1 + f 2 u f 3 v 1 v 2 g 1 g 2 u 2 v 1 ( 第 3 近似 ) これで 50km ぐらいの正しい距離が求められる u f 1 + f 2 u f 3 v f 4 u f 5 u 2 v 2 2 v g 1 g 2 uv 2 g 3 u 2 v 2 + g 4 v 2 3 f,g を求める際元々 u,v は u = S a cccα v = S a sssα ここで a: 赤道半径 u 2 + v 2 = ( S a )2 なので S = a u 2 + v 2

37 v u = sin α cos α tan α = v u = tan α 以上距離 S, 方位角 α は P,P の経度緯度から一義的には求められないが係数を 3 回程度繰り返して正確な u,v を求めれば距離と方位角が決定できる

38 ( 例題 )P,P の経緯度から距離方位角の計算 P(λ= "E, φ= N) P (λ = E, φ = N) sssφ = , cccφ = sss 2 φ = a=6,377, m 1/f= b=a(1-f)=6,356, W = 1 e 2 sss 2 φ= W 2 = , W 3 = e 2 = 1 ( b a )2 = t = tttφ= ψ = 1 e 2 = 経度緯度をラジアンに直す λ = φ = λ = φ = φ φ = f 1 = φ φ ψ W 3 = f 2 = 3We2 2ψ = sin φcccφ

39 f 3 = WW 2 = f 4 = W2 e 2 2ψ 2 [1 2sss2 φ e 2 sss 2 φ(5 6sss 2 φ)] = ( = f 5 = W2 6ψ [1 + 3t2 e 2 t 2 (13 10sss 2 φ)] = = g 1 = λ λ cccφ W = g 2 = WW = g 3 = W2 3 (1 + 3t2 + e2 ψ ccc2 φ) = = g 4 = W2 t 2 =

40 ( 第 1 近似 ) u 1 f 1 = v 1 g 1 = ( 第 2 近似 ) u 2 f 1 + f 2 u f 3 v 2 1 = ( 第 3 近似 ) u f 1 + f 2 u f 3 v f 4 u f 5 u 2 v 2 2 = v g 1 g 2 uv 2 g 3 u 2 v 2 + g 4 v 2 3 = v 2 g 1 g 2 u 2 v 1 =

41 S = a u 2 + v 2 a=6,377, m S = 6,377, = 48, m tan α = v u = α = = " この値は東京原点 - 千葉県一等三角点鹿野山を旧座標で Bessel 楕円体で計算したものである

42 ( 例 ) 東京原点 (P)- 筑波原点 (P ) での距離 (S) と方位角 (α) の計算 P(λ= E φ= N) P (λ = E φ = N) ( 上記成果 : 国土地理院基準点閲覧サービスより引用 ) ( 解答 )GRS 楕円体を使用して S=58, m α= ( 実際の数値 ) 方位角の誤差の検討 α = 46.23" =0.021 位置誤差 p = S α = 58,523m /206265" = 0.006m 計算精度 =0.006/58,523 =1/9,750,000 ( したがって上に示した 3 回近似の計算法は少なくとも四等三角測量以上の計算に利用できる )

Microsoft Word - 03基準点成果表

Microsoft Word - 03基準点成果表基準点成果表 ( 情報 ) < 試験合格へのポイント > 基準点成果表 ( 又は基準点成果情報 ) に関する問題である近年では基準点成果表の項目 ( 内容 ) に関する問題よりは平面直角座標系に絡めた問題が出題されているため平面直角座標系の特徴も併せて覚える方か良いここでは水準点を除くものを基準点として記述する基準点について ( : 最重要事項 : 重要事項 : 知っておくと良い )