中学校第 2 学年 数学 - 連立二元一次方程式 - 1 コアについて (1) 連立二元一次方程式 における他単元や他領域等との関連 第 2 学年 (1) 具体的な事象の中に数量の関係を見いだし それを文字を用いて式に表現したり式の意味を読み取ったりする能力を養うとともに 文字を用いた式の四則計算ができるようにする ア簡単な整式の加法 減法及び単項式の乗法 除法の計算をすること 第 1 学年では 一元一次方程式について その中の文字や解の意味を理解し 解き方について学習する (2) 連立二元一次方程式について理解し, それを用いて考察することができるようにする ア二元一次方程式とその解の意味を理解すること イ連立二元一次方程式の必要性と意味及びその解の意味を理解すること ウ簡単な連立二元一次方程式を解くこと及びそれを具体的な場面で活用すること 第 3 学年では 二次方程式 数量関係 ( 一次関数 ) 二元一次方程式の解は座標平面上の2 直線の交点の座標として求められる グラフを用いると 視覚的に連立二元一次方程式の解の意味を理解することができる (2) 指導するための基本的な考え方 積み重ねを生かした指導 第 1 学年で 一元一次方程式について その中の文字や解の意味を理解し 解き方について学習していることや 第 2 学年の式の変形と関連付けながら 既習事項を問題解決に役立てるようにして指導する 3 学年では 簡単な二次方程式を解くことにより これまでより広く問題の解決に方程式を利用できるようになる コアを身に付けるための数学的活動 はじめから式を操作して解くのではなく 具体的な場面で加減法や代入法的な考え方を体験するような数学的活動を設定し 自分が行った具体的操作を式で表すとどうなるかを追うことによって 加減法や代入法について理解し その解法に習熟できるようにする 指導上の工夫 解法の学習に関しては いたずらに複雑な形のものを扱うことは避け 具体的な問題の解決に必要な連立方程式が解ける程度の内容を位置付けるなどの工夫をして指導する 生徒に定着の図られていない内容について 補充的な学習を指導過程に位置付けたりするなどの工夫をして指導する -1-
2 単元名連立二元一次方程式 3 単元の目標及び評価規準 (1) 目標 二元一次方程式 連立二元一次方程式とその解の意味を理解する 簡単な連立二元一次方程式を解くことができ それを利用できる (2) 評価規準 具体的な事象を通して 二つの文字を用いると数量の関係が簡単に式に表せるものがあることに気付き 解を求めようとしたり 代数的な操作のよさに関心をもつ 数学への関心 意欲 態度 二元一次方程式には解が複数あることに気付き 方程式を連立させる意味や連立二元一次方程式の解の意味 一元一次方程式に帰着させる解を求める解き方を考察することができる 数学的な見方や考え方 連立二元一次方程式をつくったり 加減法や代入法を用いて解くことができ その手順や解の適否を説明することができる 数学的な表現 処理 二元一次方程式や連立二元一次方程式とそれらの解の意味を理解し 加減法や代入法による連立二元一次方程式の解き方を理解している 数量 図形などについての知識 理解 4 単元の指導計画 ( 色付きの部分がコア ) 時間 主な学習内容 内容の理解と定着を図るためのポイント 連立方程式とその解 二元一次方程式とその解の 生徒に必要感をもたせる導入を工夫する 例 ) A5 個とB2 個の重さを量ると290gであっ 1 意味 た A Bそれぞれ1 個の重さを求めなさい 連立二元一次方程式とその 解は無数にあることを知り 一元一次方程式との 解の意味 違いに気付き 二元一次方程式への関心を高め 問題解決への意欲を高める A2 個とB2 個の重さを量ると140gであった との条件を加え ともに成り立つAとBそれぞれ1 個の重さを考える など 連立方程式の解き方 二つの文字の一方の文字を消去し 一元一次方程式に変え 2 二つの文字の一方の文字をることで解くことができることに気付かせる ~ 4 消去し 一元一次方程式に 変えて解くこと 加減法による解き方 代入法による解き方 いろいろな連立方程式 かっこを含む連立二元一次 5 方程式を解くこと着を図るようにする ~ 6 係数に小数を含む連立二元 一次方程式を解くこと 係数に分数を含む連立二元 一次方程式を解くこと 分配法則や等式の性質などを活用し いろいろな連立方程 式を解くことによって 加減法や代入法による解き方の定 数学的活動積み重ね指導上の工夫 -2-
時間 主な学習内容 内容の理解と定着を図るためのポイント 連立方程式の利用 問題解決場面で連立二元一次方程式を利用することで 応 7 具体的な問題を連立二元一用場面が広くなり 問題解決が容易になることを実感させ ~ 次方程式を利用して解くとる 10 きの考え方の手順 日常的な問題( 本時案の例 ) 速さについての問題 割合についての問題 求めるものが二つであれば 方程式の解が一通りに定まる ためには方程式も二つ必要であることに気付かせる 数量の関係を等式に表すことを急がず 既知の量や未知の 量などについて 生徒一人一人が自分なりに図や表を用い て数量の関係を表現できるようにする 問題を解決する際に 一元一次方程式や連立二元一次方程 式を見通しをもって的確に用いることができるようにする 連立方程式のまとめとして 個の学習状況に応じるため 個別学習やコース別学習などを設定し 既習事項の定着を 図る 数学的活動積み重ね指導上の工夫 11 学習のまとめ -3-
5 本時 (7/11) (1) 目標 具体的な場面で 数量の間の関係をとらえ 連立二元一次方程式を用いて解を求めることができる (2) 展開指導のねらいと発問学習活動指導のポイント評価 配慮事項等 問題の提示 問題 1 今まで学習してきた方数学的活動あるところに犬とにわとりがいまし程式を用いて解決できな 生徒に身近で具た 頭の数を数えてみると 13 個でいでしょうか 体的な内容を問した 足の数を数えてみると全部で4 2 本ありました 題として設定す犬は何匹 にわとりは何羽いますか る 解決方法の検討 解決への見通しを立てる 積 み 重 ね 一元一次方程式 問題を解決するのに 求めることがら わかっていることが 文章問題を解決 でも連立二元一 必要な情報を集める らを明らかにし どのように解決する する手順は 一 次方程式でも解 問題を整理して考え か見通しをもつ 元一次方程式を 決するまでの手 てみましょう 用いて解決する 順や考え方は同 手順と同様であ じであることを 問題解決 ( 自力解決 ) 生徒が選択した方法で考える ることに気付か 実感させる 今まで学習してきた 連立二元一次方程式を利用する せる 方程式を利用して問題 一元一次方程式を利用する 全員が方程式で を解いてみましょう 表しているかど 問題解決 ( 相互交流 ) 解決方法を発表する 導き出した結果 うか机間指導に どのような結果にな ( 連立二元一次方程式の場合 ) について根拠を より確認する ったか発表してくださ 犬をx 匹 にわとりをy 羽とすると 明らかにし筋道 い x+y=13 立てて説明し伝 4x+2y=42 え合うようにす X=8 y=5となり 犬が8 匹 に る わとりが5 羽 連立二元一次方程式の代入法と ( 一元一次方程式の場合 ) 一元一次方程式 犬をx 匹とすると にわとりは の形が同じであ (13-x) 羽と表すことができる ることに気付く このことから 生徒がいる場合 4x+2(13-x)=42 は このことを x=8となり 犬は8 匹 にわとりは 課題として取り 13-8から5 羽となる 上げ 生徒に説明させることも 問題の提示 問題 2 考えられる 具体的な問題を解決ケーキ屋で Aくんは チーズケー数学的活動するのに 方程式を用キ5 個とショートケーキ3 個を買っ 生徒に身近で具 いると 手際よく解決 て 840 円はらいました Bくんは 体的な内容を問 できます では 先ほ チーズケーキ3 個とショートケーキ4 題として設定す どと同じように方程式 個を買って 680 円はらいました る を利用して次の問題を解いてみましょう 解決方法の検討 このケーキ屋のチーズケーキ ショートケーキそれぞれ1 個の値段はいくらでしょう 解決への見通しを立てる チーズケーキをx ショートケーキを yとして連立二元一次方程式をつくる チーズケーキをxとして 一元一次方程式をつくる -4-
指導のねらいと発問 学習活動 指導のポイント 評価 配慮事項等 問題解決 ( 自力解決 ) 見通しをもとに問題の解決を図る 連立二元一次方 個人で考えたり 問題解決 ( 相互交流 ) ( 連立二元一次方程式で求める場合 ) 程式 一元一次 相談したりする どのような結果にな 方程式を用いて 時間を十分に保 ったか発表してくださ チーズケーキ ショートケーキ 代金 導き出した結果 障する い 1 個の値段 x y について根拠を 連立二元一次方 Aくん 5x 3y 840 明らかにし筋道 程式で解決でき Bくん 3x 4y 680 立てて説明し伝 た生徒は 一元 チーズケーキ 1 個 x 円 ショートケーキ 1 個 y 円とすると 5x+3y=840 3x+4y=680 となる え合うようにす 一次方程式で解 る 決できないか考える 一元一次方程式で解決できた生徒は 連立二元 ( 一元一次方程式で求める場合 ) 一次方程式で解 Aくんの買い方から考えるチーズケーキ1 個 x 円とするとチーズケーキを5 個買ったので チーズケーキの代金は5x 円ショートケーキを3 個買っているので ショートケーキ3 個の代金は (840 ー 5x) 円このことからショートケーキ1 個の値段は 840-5x ( ) 円 3 であることがわかる Bくんも同じお店でチーズケーキ3 個とショートケーキ4 個を買っているので Bくんの買い方から立式すると 840-5x 3x+( )=680 3 となる 決できないか考える ( 一元一次方程式で解決できないと判断した生徒には 連立二元一次方程式で解決するよう指示する ) 一元一次方程式に表すことが難しいことを生徒が実感することをねらっていることから プリント等を用いて教師が説明するようにする 結果の確認と学習の 結論を導き出す まとめ 求める数量が2つの場合 方程式の数 方程式を用いて ( 評価 ) 求める数量が2つあ が2つ すなわち連立二元一次方程式 具体的な問題を 具体的な事象の る場合は どのように を用いると求めやすいことが分かる 解決するにあた 中から数量の関 すると問題を解決しや ( 求める数量が1つの場合 一元一次 っては 変数の 係をとらえ 連 すいでしょうか 方程式を用いていることを確認する ) 数と方程式の数 立二元一次方程 が一致している 式を用いて解を ことが方程式の 求めることがで 解が一通りに定 きる 数学的な見方や考 まるために必要 え方 ( 机間指導 ノート ) であることを理 学習を振り返ってまとめをする 解させる 連立方程式を用 今日の学習から分かったことを自由記 いることのよさ 述する が分かるようにする 生徒の発表をもとに まとめるようにする 教師は生徒の発言を補足しながら学習のまとめを行う -5-