23 M R M ϕ : R M M ϕt, x) ϕ t x) ϕ s ϕ t ϕ s+t, ϕ 0 id M M ϕ t M ξ ξ ϕ t d ϕ tx) ξϕ t x)) U, x 1,...,x n )) ϕ t x) ϕ 1) t x),...,ϕ n) t x)), ξx) ξ i x) d ϕi) t x) ξ i ϕ t x)) M f ϕ t f)x) f ϕ t )x) fϕ t x)) f t f U, x 1,...,x n )) dϕ t f)x) f d ϕ x )ϕ i) t x) i t f ) x)) x ϕ i t x)) ξ iϕ t x)) ξ f ξf) dϕ t f)x) ) t0 ξf) dϕ t f)x) )t0 f ) x x) ξ ix) i T x M),..., t x 1 x n x 1,...,x i 1,x i + t, x i+1,...,x n ) Tx M) dx 1,..., dx n d x j x x j x j t x 1,...,x i 1,x i + t, x i+1,...,x n ) δ ij, i j 1 i j 0 T x M), Tx M) T xm),...,, Tx M) dx 1,...,dx n x 1 x n dx j )δ ij f d f, df f dx i ξf) ξf) f ) x) ξ ix) df)ξ) U, x 1,...,x n )) α f i dx i ϕ t α f i ϕ t x)) dϕ i) t d ) f t0 iϕ t x)) f i x j ξ j 67
d ϕ i) t d )t0 d ϕi) ϕ i) t x j t d ) ϕ t0 t α dx j d ) ϕ i) t dx t0 j x j d ϕ i) ) t x j dx t0 j f i x j ξ j dx i + ξ i x j dx j f i ξ i x j dx j d ) ϕ t0 t α α ξ L ξ α p α ϕ t α t x Tx M) p p Tx M) d ) ϕ t0 t α p 23.1 p α p d ) ϕ t0 t α α ξ L ξ α 23.2 p α, q β, ξ L ξ α β) L ξ α) β + α L ξ β) 23.2 d L ξ α β) ` ϕ t0 t α β) ` d ϕ t0 t α ϕ t β) d ` t0 ϕ t d α) β + α ` ϕ t0 t β) L ξ α) β + α L ξ β) 23.3 p α, ξ 23.3 dl ξ α)l ξ d α d dl ξ α)d` t0 ϕ t d α)` ϕ t0 t d α) L ξ d α) α L ξ α d ) ϕ t0 t α f i x j ξ j dx i + f i ξ i x j dx j T x M) ξ Tx M) α M αξ) f i ξ i dαξ)) dαξ)) d f i ξ i f i ξ i x j dx j + f i x j ξ i dx j 68
L ξ α dαξ)) α d α ξ i f i dx j L ξ α d ) x j t0 ϕ t α f i x j ξ j dx i f i dx i d f i dx i f i x j dx j dx i f i x j ξ i dx j ξ ξ i x i 2 Tx M T x M dx i dx j, x k ) δ ki dx j k1 δ kj dx i d α ξ dx i dx j dx i x k i ξ d α) L ξ α dαξ)) + i ξ d α) k1 23.4 ) Tx M) p p Tx M) dx i 1 dx ip T x M) p 1 Tx M) x k i x k dx i1 dx ip ) 1) j 1 n k1 δ kij dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip p α f i1 i p dx i1 dx ip, ξ i 1 < <i p ξ i i ξ α i 1 < <i p 1) j 1 f i1 i p ξ ij dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip 23.5 23.4 23.6 1) p α, q β α β, i ξ α β) i ξ α) β + 1) p α i ξ β) 2) F : U V U, V V 1 α, V ξ F i ξ α)i F 1 ξf α 69
3) F : U V U, V V p α, V ξ F i ξ α)i F 1 ξf α 23.6 1) α f i1 i p dx i1 dx ip, i 1 < <i p β g j1 j q dx j1 dx jq, ξ ξ i j 1 < <j q i ξ α β) i ξ p i 1 < <i p k1 i 1 < <i p + q f i1 i p g j1 j q dx i1 dx ip dx j1 dx jq ) j 1 < <j q 1) k f i1 i p g j1 j q ξ ik j 1 < <j q dx i1 dx ik 1 dx ik+1 dx ip dx j1 dx jq 1) p+k f i1 i p g j1 j q ξ jk k1 i 1 < <i p j 1 < <j q dx i1 dx ip dx j1 dx jk 1 dx jk+1 dx jq i ξ α) β + 1) p α i ξ β) 2) F y 1,...,y n )x 1,...,x n ) α f i dx i, ξ ξ i i ξ α f i ξ i F α f i F ) x i dy j, F 1 ξ ξ i y j F ) y j y j i F 1 ξf α f i F ) ξ i F ) y j y j f i F )ξ i F )F i ξ α) 3) V p α, q β, V ξ F i ξ α)i F 1 ξf α, F i ξ β)i F 1 ξf β, F i ξ α β)) F i ξ α) β + 1) p α i ξ β)) F i ξ α) F β + 1) p F α F i ξ β) i F 1 ξf α F β + 1) p F α i F 1 ξf β i F 1 ξf α F β) i F 1 ξf α β) 2) f i1 i p dx i1 dx ip p f, α 69 L ξ f ξf) dfξ) i ξ d f) L ξ α dαξ)) + i ξ d α) di ξ α)+i ξ d α) 23.7 ) p α, ξ L ξ α di ξ α)+i ξ d α) p q 70
p α q β di ξ α β)) + i ξ dα β)) di ξ α) β + 1) p α i ξ β)) + i ξ d α) β + 1) p α d β)) di ξ α) β + 1) p 1 i ξ α) d β + 1) p d α) i ξ β)+α di ξ β) +i ξ d α)) β + 1) p+1 d α) i ξ β)+ 1) p i ξ α) d β)+α i ξ d β)) di ξ α) β + α di ξ β)+i ξ d α)) β + α i ξ d β)) di ξ α)+i ξ d α)) β + α di ξ β)+i ξ d β)) L ξ α) β + α L ξ β)l ξ α β) 69 f i1 i p dx i1 dx ip p ξ ξ i, η η i x i x i η j ξ j ) [ξ,η] [ξ,η] ξi η i x j 23.8 α, ξ, η L ξ L η α L η L ξ α L [ξ,η] α ` f 23.8 i ξ j α f i dx i L ξ α ξ j + f j dxi x j L ξ L η α L η L ξ α k1 k1 k1 k1 ` f i η j η j + f j ξk + ` «f j η k ξ j η k + f k dx i x k x j x k x j 2 f i η j ξ k + f i η j ξ k + f j η j 2 η j ξ k + f j ξ k x j x k x j x k x k x k + f «j ξ j η k ξ j η k + f k dx i x k x j ` f i ξ j ξ j + f j ηk + ` «f j ξ k η j ξ k + f k dx i x k x j x k x j 2 f i ξ j η k + f i ξ j η k + f j ξ j 2 ξ j η k + f j η k x j x k x j x k x k x k + f j x k ξ k η j + f k ξ k x j η j «dx i L ξ L η α L η L ξ α L ξ L η α L η L ξ α fi η j ξ k ξ j η k )+f j 2 η j ξ k x j x k x k x k k1 +f k η k ξ j ξ «k η j ) dx i x j x j fi η j ξ k ξ j η k )+f j η j ξ k ξ j x j x k x k x k k1 L [ξ,η] α 2 ξ j x k η k ) «η k ) x k dx i 23.8 p 23.9 p α, ξ, η L ξ L η L η L ξ )α L [ξ,η] α 71
23.9 f L ξ L η f L η L ξ f ξηf)) ηξf)) [ξ, η]f) L [ξ,η] f 23.8 p α, q β L ξ L η L η L ξ )α L [ξ,η] α,l ξ L η L η L ξ )β L [ξ,η] β α β L ξ L η L η L ξ )α β) L ξ L η α β)) L η L ξ α β)) L ξ L η α) β + α L η β)) L η L ξ α) β + α L ξ β)) L ξ L η α)) β +L η α) L ξ β)+l ξ α) L η β)+α L ξ L η β)) L η L ξ α)) β L ξ α) L η β) L η α) L ξ β) α L η L ξ β)) L ξ L η α) L η L ξ α)) β + α L ξ L η β) L η L ξ β)) L [ξ,η] α) β + α L [ξ,η] β) L [ξ,η] α β) p α, ξ, η i ξ i η α) i η i ξ α) 23.10 i ξ L η α L η i ξ α i [ξ,η] α 23.10 α f i dx i i ξ L η α L η i ξ α ` f i η j i ξ η j + f j dxi ) x j ` f i η j η j ξ i + f j ξ i x j i [ξ,η] α `fj ξ i η j η i ξ j ) η i f j ξ j ) η i f j ξ j + f j ξ j ) p α, q β i ξ L η L η i ξ )α i [ξ,η] α,i ξ L η L η i ξ )β i [ξ,η] β α β i ξ L η L η i ξ )α β) i ξ L η α β)) L η i ξ α β)) i ξ L η α) β + α L η β)) L η i ξ α) β + 1) p α i ξ β)) i ξ L η α)) β + 1) p L η α) i ξ β)+i ξ α) L η β)+ 1) p α i ξ L η β)) L η i ξ α)) β i ξ α) L η β) 1) p L η α) i ξ β) 1) p α L η i ξ β)) i ξ L η α) L η i ξ α)) β + 1) p α i ξ L η β) L η i ξ β)) i [ξ,η] α) β + 1) p α i [ξ,η] β) i [ξ,η] α β) 23.11 1) R 3 ω dx 1 dx 2 dx 3 3 ξ a ij x j L ξ ω 0 i, 2) R 3 α x 1 dx 2 dx 3 x 2 dx 1 dx 3 + x 3 dx 1 dx 2 3 ξ a ij x j L ξ α 0 x i, i 23.11 1) L ξ ω di ξ ω)+i ξ d ω) di ξ ω) dξ 1 dx 2 dx 3 ξ 2 dx 1 dx 3 + ξ 3 dx 1 dx 2 ) 3 ξ i 3 ω a ii ω 72
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P k, Q k π S 1 π N ) α k 2 u 2 2 u 1 2 )P k u 1,u 2 ) 2u 1 u 2 Q k u 1,u 2 ) u 12 + u 22 ) 2+k du 1 + 2u 1u 2 P k u 1,u 2 )+u 1 2 u 2 2 )Q k u 1,u 2 ) u 12 + u 22 ) 2+k du 2 k 0 2k +4 u 1,u 2 )0, 0) k +2 0 P k Q k 0 S 2 23.13 ) p α, ξ 1,..., ξ p αξ 1,...,ξ p )i ξp i ξ1 α f i ξ d f ξf) 23.14 αξ 1,...,ξ p ) 1 p! i ξ p i ξ1 α 23.15 p α, ) q β α β)ξ 1,...,ξ p+q ) 1 p + q sign αξ j1,...,ξ jp )βξ k1,...,ξ kq ) j j 1 j p k 1 j p k 1 k q 1 k q ) 1 p + q j 1 j p k 1 k q 1 p+q sign j 1 j p k 1 k q 23.15 i ξp+q i ξ1 α β) 23.6 i i ξj p ξ j1 α)i i ξk q ξ k1 β) ±1 i ξ i η i η i ξ i i ξk q ξ k1 i i ξj p ξ j1 α β) i i ξj p ξ j1 α)i i ξk q ξ k1 β) i ξp+q i ξ1 α β) i i ξj p ξ j1 α)i i ξk q ξ k1 β) «1 p + q sign j 1 j p k 1 k q 23.16 23.7, 23.10 1) α d α)ξ 1,ξ 2 )ξ 1 αξ 2 )) ξ 2 αξ 1 )) α[ξ 1,ξ 2 ]). 2) p α d α)ξ 1,...,ξ p+1 ) p+1 1) i 1 ξ i αξ 1,...,ξ i 1,ξ i+1,...,ξ p+1 )) + i<j 1) i+j α[ξ i,ξ j ],ξ 1,...,ξ i 1,ξ i+1,...,ξ j 1,ξ j+1,...,ξ p+1 ) 3) L ξ α)ξ 1,...,ξ p ) ξαξ 1,...,ξ p ) αξ 1,...,ξ i 1, [ξ,ξ i ],ξ i+1,...,ξ p ) 23.16 1) 23.10 i ξ1 L ξ2 α L ξ2 i ξ1 α i [ξ1,ξ 2 ]α 23.7 i ξ1 i ξ2 d α + i ξ1 d i ξ2 α i ξ2 d i ξ1 α d i ξ2 i ξ1 α i [ξ1,ξ 2 ]α α 23.13 d α)ξ 2,ξ 1 )+ξ 1 αξ 2 )) ξ 2 αξ 1 )) i [ξ1,ξ 2 ]α ξ 1, ξ 2 d α)ξ 1,ξ 2 )ξ 1 αξ 2 )) ξ 2 αξ 1 )) α[ξ 1,ξ 2 ]) 75
2) 23.10 i ξ2 i ξ1 d α i ξ1 d i ξ2 α i ξ2 d i ξ1 α +di ξ1 i ξ2 α i [ξ1,ξ 2 ]α i ξp+1 i ξ1 d α p+1 1) i 1 i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ1 α) + i<j 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ1 i [ξi,ξ j ]α p p 1 α p p 1 i ξ1 α i ξp+1 i ξ2 d i ξ1 α p+1 1) i i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ2 i ξ1 α) i2 + 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ2 i [ξi,ξ j ]i ξ1 α 1<i<j p 1 i ξ2 α i ξp+1 i ξ3 i ξ1 d i ξ2 α p+1 i ξ1 di ξp+1 i ξ3 i ξ2 α) 1) i i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ3 i ξ1 i ξ2 α) i3 2<j 1) j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξ3 i [ξ1,ξ j ]i ξ2 α 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ3 i ξ1 i [ξi,ξ j ]i ξ2 α 2<i<j p 1 i ξ1 i ξ2 α i ξp+1 i ξ3 d i ξ1 i ξ2 α i ξp+1 i ξ3 d i ξ2 i ξ1 α p+1 1 i 1 i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ3 i ξ2 i ξ1 α) i3 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ3 i [ξi,ξ j ]i ξ2 i ξ1 α 2<i<j i ξp+1 i ξ3 i ξ2 i ξ1 d α) i ξp+1 i ξ3 i ξ1 d i ξ2 α i ξ2 d i ξ1 α +di ξ1 i ξ2 α i [ξ1,ξ 2 ]α) p+1 1) i 1 i ξi di ξp+1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ1 α) + i<j 1) i+j i ξp+1 i ξj+1 i ξj 1 i ξi+1 i ξi 1 i ξ1 i [ξi,ξ j ]α 3) i ξp i ξ1 L ξ α i ξp i ξ2 i [ξ1,ξ]α + i ξp i ξ2 L ξ i ξ1 α i ξp i [ξ1,ξ]α + i ξp i ξ3 i [ξ2,ξ]i ξ1 α + i ξp i ξ3 L ξ i ξ2 i ξ1 α... i ξp i ξi+1 i [ξi,ξ]i ξi 1 i ξ1 α + L ξ i ξp i ξ1 α ξαξ 1,...,ξ p ) p αξ 1,...,ξ i 1, [ξ, ξ i ],ξ i+1,...,ξ p ) 24 G G G G C G 76
G G C 4.3.3 G g L g : G G L g h) gh G 1 v T 1 G h G L h ) v T h G ξ L g ) ξ ξ) g T 1 G ξ, η [ξ,η] 8.2.6 1 T1 G p p T1 G a L h) a p Th G h 1 G L 1 h ) a p α L g ) α α) 24.1 α ξ i ξ α 24.1 23.63), L g ) i ξ α)i Lg 1 ) ξl g ) α i ξ α α d α g T 1 G {e 1,...,e n } [e i,e j ] [e i,e j ] c k ije k T 1 G k {e 1,...,e n } {e 1,...,e n} de k ) 23.161) de k))e i,e j )e i e ke j )) e j e ke i )) e k[e i,e j ]) e k e j)δ kj, e k e i)δ ki e i e k e j)), e j e k e i)) 0 de k))e i,e j ) e k[e i,e j ]) e k k c k ije k ) c k ij GLN; R) G A T 1 G) T 1 GLN; R) R N 2 A g G ϕ A t B) Be ta A g B G A B) d ) t0 BetA BA T B G T B GLN; R) R N 2 A 1, A 2 [A 1,A 2 ] B) d ) t0 ϕa 1 t) A 2ϕ A 1 t B)) d ) t0 ϕa 1 t) A 2Be ta 1 ) d ) t0 BetA 1 A 2 e ta 1 )BA 1 A 2 A 2 A 1 ) A 1, A 2 [A 1,A 2 ] A 1 A 2 A 2 A 1 24.2 1) SO3) so3) T 1 SO3) 3 3 77
0 0 0 0 0 1 t A + A 0) e 1 0 0 1, e 2 0 0 0, 0 1 0 1 0 0 0 1 0 e 3 1 0 0 [e i,e j ] 0 0 0 e 1, e 2, e 3 d e i 2) SL2; R) sl2; R) T 1 SL2; ) R) ) 0 2 2 ) 1 0 0 0 0 1 Tr A 0) H, S, U 0 1 1 0 0 0 H, S, U 24.2 1) [e 1,e 2 ]e 3,[e 1,e 3 ] e 2,[e 2,e 3 ]e 1. d e 1 e 2 e 3,de 2 e 1 e 3,de 3 e 1 e 2. 2) [H, S] S, [H, U] U, [S, U] H. d H S U,dS H S,dU H U. G G G m M n G. ev : G M g, x) L g x M L g1 L g2 x)l g1 g 2 x, L 1 x x G G n n dimg 1 e 1,...,e n µ e 1 e n µ µ 1 µ h G R h µ µ M p α ev α G M p p + n π G µ) ev α) G M G p α mα) mα)x) π G µ) ev α) G {x} G G M L h g, x) gh 1,h x) ev L h ev L h π G µ) ev α)) L h π G µ) L h ev α) π G R h 1 µ) ev α) π G µ) ev α) L h mα)))x) L h ) π G µ) ev α)) G {L h x} L h π G µ) ev α)) G {x} π G µ) ev α) G {x} mα)x) α p G p c mα) c π G µ) ev α) π G µ) ev α). G G c G {g} c G 78
α α L g c) c π G µ) ev α)π G µ) {g} c π G µ) c c {g} c L g c) ev α) α π G µ) α mα) α mα) α M G M M G G G 24.3 0 d R[1] 24.21) SO3) d R[e 1] R[e 2] R[e 3] d R[e 2 e 3] R[e 1 e 3] R[e 1 e 2] d R[e 1 e 2 e 3] c d 0 24.21) H DR k SO3)) R k 0,3),HDR k SO3)) 0k 0,3) 25 M α x Tx M) Tx M) T x M) α x M 0 ker α T x M) n 1 M f d f x 0 0 x {x fx) fx0 )} n 1 x 0 n 1 ker d f g d f gx 0 ) 0 n 1 α g d f x 0 0 α d α 0 α d α g d f d g d f) 0 25.1 M α x 0 0 α d α 0 x 0 f, g g d f 0 α g d f α x 0 U, ϕ x 1,...,x n )) α f i dx i f n 1 n 1 ξ 1,...,ξ n 1 ) ξ i f i i 1,..., n 1) x n 79
α d α 0 f i dx i ) d f k dx k ) k1 k1 f i f k x j dx i dx j dx k [ξ i,ξ j ][ f i, f j ] x n x j x n f j + f i f j f i ) + f i f j x j x n x n x n α d α dx i dx j dx n f j + f i f j f i + f i f j x j x n x n [ξ i,ξ j ]0 ξ 1,..., ξ n 1 R n 1 x R n 1 x 0 ϕ 1 0,...,0,fx)) x n ξ 1,..., ξ n 1 ker d f n 1 α d f g α g d f α g d f x 0 0 d α dg d f d g g α α d α 0, β d α β α 25.2 M α, p β α 0 α β 0 p 1 γ β γ α Tx M) dx 1,..., dx n e 1 α x e 1,..., e n p p Tx M) p Tx M) {dx i1 dx ip } i1 < <i p {e j1 e jp } j1 < <j p x e 2,..., e n T M C α e 1, β g j1 j p e j1 e jp α β 0 1 <j 1 j 1 < <j p g j1 j p 0 β e 1 g 1j2 j p e j2 e jp ) j 2 < <j p M U i λ i U i β α γ i p 1 γ i γ i λ i γ i α γ α i λ i γ i i λ i α γ i i λ i β β 25.1 α d α 0 1 β d α β α 80
x F : U R x F : U R q F q ϕ : U R n F R n R p R q p + q n) R n R q R p x 1,...,x p ), R q y 1,...,y q ) ker dy 1 ker dy q a ij ) i,,...,q U GLq; R) dy 1,..., dy q 1 α i a ij dy j j 1,..., q) ker α 1 ker α q dy j a 1 ) jk a kl dy l a 1 ) jk α k k1 k1 k1 d α i d a ij dy j d a ij a 1 ) jk α k ) k1 k1 a 1 ) jk d a ij ) α k d α i β ik α k 1 β ik k1 ker α 1 ker α q kerγ 1 ker γ q γ i c ij α j GLq; R) c ij d γ i δ ik γ j 1 δ ik k1 d γ i d c ij α j d c ij α j + c ij d α j d c ij c 1 ) jk γ k )+ k1 c 1 ) jk d c ij + k1 c ij k1 c ij β jk ) α k β jk α k p ker α 1 ker α q 1 α 1,..., α q d α i β ik α k 1 β ik q 1 α 1,...,α q 25.3 ) M p+q p x M U 1 α 1,..., α q ker α 1 ker α q x V q F : V R q p k1 81
d α i β ik β ik α k 1 U, x 1,...,x p ; y 1,...,y q )) p y 1,...,y q ) + b li i 1, y l l1..., p) α 1,..., α q ker α 1 ker α q α l dy l b li dx i l 1,..., q) p ξ i + b li i 1,..., p) ξ p y l l1 [ξ i,ξ j ] p [ξ i,ξ j ] ξ i i 1,..., p) 1 [ξ i,ξ j ] k 1,..., p) 0 1 0 ξ i + b li i 1,..., p) y l l1 [ + m1 l1 b mj b mj m1 b li, + y l x j y m l1 b mi x j + b li x j l1 m1 b mj y l + b li b mj y l k1 ] y m b mj b li y l l,m1 l1 x k y m b lj b mi y l ) y m l,m1 b mj b li y m y l α l dy l b li dx i l 1,..., q), β li g lij dy j f lij dx j + ddy l b li dx i ) b li x j dx j dx i f lij dx j + b li dy j dx i y j g lij dy j ) dy i b ik dx k ) k1 g lij g lji b li f lji + g lkj b ki y j k1 b li b lj f lkj b ki f lki b kj x j k1 82
b mj b mi b mj b mi + b li b lj x j y l y l l1 l1 f mkj b ki f mki b kj ) k1 + b li f mlj + g mkl b kj ) b lj f mli + l1 k1 l1 g mkl b li b kj g mkl b ki b lj l1 k1 l1 k1 g mlk b li b kj l1 k1 l1 k1 g mkl g mlk g mkl b ki b lj 0 g mkl b ki ) k1 p α x ker α ker α {v T x M) iv α 0 p 1 T x M)} ker α α f i1 i p dx i1 dx ip i 1 < <i p ξ ξ i, η η i i ξ α f i1 i x i x p ξ ij dx i1 i dx ij 1 dx ij+1 dx ip 0,i η α f i1 i p η ij dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip 0 a, b R i aξ+bη α f i1 i p aξ ij + bη ij )dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip a +b f i1 i p ξ ij dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip f i1 i p η ij dx i1 dx ij 1 dx ij+1 dx ip 0 25.4 1) n 0 n Ω ker Ω 0 2) T 0 R 4 kerd x 1 d x 2 +dx 3 d x 4 ) 0. T 0 R 6 kerd x 1 d x 2 d x 3 +dx 4 d x 5 d x 6 )0. n M 0 Ω ξ Ω div ξ L ξ Ω divξ)ω. R n n d x 1 d x n, ξ div ξ ξ i ξ i 25.5 M 0 n Ω 0, Ω 1 F 0 F t : M M F 1 Ω 0 Ω 1 25.6 R n ω ker ω 0 n 83
n 2m) T 0 R n e 1,..., e 2m ω0) e 1 e 2 + + e 2m 1 e 2m 25.7 ω ker ω 0 n 2m) U, ϕ x 1,...,x 2m )) ω dx 1 dx 2 + +dx 2m 1 dx 2m 25.8 ω ker ω 0 ξ ω L ξ ω 0 L ξ ω di ξ ω + i ξ d ω di ξ ω i ξ ω 1 R 2m ω i ξ ω df f ξ ξf) df)ξ) i ξ i ξ ω 0ξ f f α i ξ ω α ξ ξ L ξ ω 0 R 2m ω dx 1 dx 2 + +dx 2m 1 dx 2m fx 1,...,x 2m ) d f ω f f + + f f x 2 x 1 x 1 x 2 x 2m x 2m 1 x 2m 1 x 2m 84