Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 図形の性質 線分 に対して, 次の点を図示せよ () : に内分する点 () : に外分する点 Q () 7: に外分する点 R () 中点 M () M () Q () () R 右の図において, 線分の長さ を求めよ ただし,R//Q,R//,Q=,=6 とする Q R 6 Q から,:=:6=: より :=: これから,R:=: より :6=: よって = =,=,= である において, の二等分線と辺 との交点を とし, の外角の二等分線と辺 の延長との交点を とする 線分 の長さを求めよ
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 線分 は の二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分 は の外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点 は の外心である α,βを求めよ α β 70 0 右の図のように, 点, を結ぶ = より = - =70-0 =0 70 = より α=0 =, + + + + =80 より 0 +70 +0 +β+β=80 α β 0 よって β=0 β の別解 円周角の定理により = = 70 =0 =, + + =80 より β+β+0 =80 よって β=0
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 () 右の図において, 点 I は の 内心である αを求めよ 0 I () =,=,= である α において, 内心を I, 直線 I と辺 と の交点を とするとき,I:I を求めよ I () I= I=, I= I=y とおく + + =80 より 0 ++y=80 0 +(+y)=80 よって +y=70 I において I+ I+ I=80 α++y=80 したがって α=0 () 直線 I は の二等分線であるから :=:=: よって = = = 9 9 9 また, 直線 I は の二等分線であるから I:I=:=: =9: 9 I α 0 y y I 6 右の図において, 点 G は の重心, =90 である 線分の長さ を求めよ G
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 = より =,=8 において, 三平方の定理により = -8 = 0 また, において, 三平方の定理により = ( 0) + = G:G=: より G= よって = = 7 右の図において, 線分の長さ を求めよ 6 R Q 7 メネラウスの定理により よって =8 7+ 6 = 8 右の図において, 線分の長さ を求めよ R Q 6 チェバの定理により よって =9 6 =
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 9 () 右の図において,,y を求めよ ただし, 点 は円の中心, = とする y () 右の図において, 点,,, は同一円周上にあるといえるか 60 () 同じ弧に対する円周角の大きさは等しいから = つの弧に対する中心角の大きさは, その弧に対する円周角の 倍であるから y= ( + )=0 () の内角と外角の関係より, =60 - = であるから = よって, 円周角の定理の逆により, 点,,, は同一円周上にある 0 右の図において, を求めよ 6 = =90 であるから, において 90 +6 +=80 より = 右の四角形 は, 円に内接するか 0 80
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 の内角と外角の関係から =0-0 =80 よって, つの外角が, それと隣り合う内角の対角に等しいから, 四角形 は円に内接する 右の図において, 円 は =90 の直角三角形 の内接円, 点 は辺 と円 との接点である =,= のとき, 辺, の長さを求めよ 円 と辺, の接点をそれぞれ Q,R とすると =R= =Q= ここで,Q=R= とおく において, 三平方の定理により (+) + =(+) -=-0 =0 したがって =,= +++= +6+9 R Q 右の図において, 直線 T は円 の点 における 接線であり,= である を求めよ 6 T 点, を結ぶ このとき, 円の接線と弦の作る角の定理により =6 また,= であるから =6 よって, において + + =80 すなわち 6 +6 +=80 したがって =0 6 T 6
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 次の図において, の値を求めよ ただし,() の直線 T は接点を T とする円の接線である () () () 8 9 6 T () = から 9 8= 6 よって = () = から (+)= (+) よって +-=0 (-)(+6)=0 >0 より = () =T から (+)= よって =6 右の図において, 直線 は つの円,' の共通接線で, 点, が接点である 7 ' 線分 の長さを求めよ 点 から線分 ' に垂線 H を引く,' であるから, 四角形 H は 長方形である よって =H,=H また ' H=' -H=-= 直角三角形 ' H において, 三平方の定理により 7 H ' H= - H したがって =H= = 7 - = 6 () と辺 上の点 が与えられている 点 を通り, の面積を 等分する直線を作図せよ () 右の図のような四角形 がある 頂点 を通り, 四角形 の面積を 等分 する直線を作図せよ 7
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 作図 () 辺 の中点 M をとる 点 M を通り, 直線 に平行な直線と, 辺 との交点を Q とする 点 と点 Q を結んだ直線 Q が求める Q M 直線である () 頂点 を通り, 直線 に平行な直線と直線 の交点を とする 線分 の中点を M とする 頂点 と点 M を結んだ直線 M が求める直線である M 7 長さ の線分が与えられているとき, 長さ の線分を作図せよ 作図 同一直線上に =,= となる ような 点,, を, この順にとる 線分 の中点を M とし,M を中心 とする半径 M の円をかく 点 を通り, 直線 に垂直な直線と,でかいた円との交点を,' と M する このとき, = ', =' より, 線分 および ' の 長さが である ' 別解 ==, =90 の 直角二等辺三角形 をかく 半直線 上に,= と なる点 をとる =, =90 の直角三角形 をかく このとき,= より, 線分 の長さが である 8
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 8 右の図のような 辺が である 正八面体 F において, 直線 と F のなす角を求めよ F //F より, 直線 と F のなす角は, 直線 と のなす角と同じである よって 60 9 右の図のような, 辺が長さが の 正四角錐 - において, 直線 と平面 のなす角をθとするとき, cosθの値を求めよ 直線 は平面 と点 で交わる 対角線 と の交点を とすると, よって, 点 から平面 に引いた垂線は であるから θ= ここで =,= = したがって cosθ= = 注意 すなわち, = である 9
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 0 辺の長さが の正四角錐 - において, 平面 と平面 のなす角を θ とする とき,cosθ の値を求めよ 平面 と平面 の交線は直線 である 辺 の中点を M とする は = の二等辺三角形と考えること ができる よって M 辺 の中点を N とすると MN したがって θ= MN M N ここで,M=N=,MN= であるから M +MN -N cosθ= M MN = + - = = 互いに垂直な線分,, があり,=,=, = である 点 から線分 に垂線 H を引くとき, 次の問いに答えよ () 線分 H の長さを求めよ () 線分 H の長さを求めよ () の面積を求めよ H () の面積に着目すると = H =,=,= + = 0 であるから より = 0 H よって H= 0 0 = 0 H 0
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 () H は H=90 の直角三角形であるから H= +H = 0 + = = 0 0 0 () 平面,H であるから, 三垂線の定理により H したがって, の面積は H= 0 = 0 右の図のような多面体において, オイラーの多面体定理が成り立つことを確かめよ 頂点の数 v は 8 個辺の数 e は 本面の数 f は 6 個であるから v-e+f=8-+6= よって, オイラーの多面体定理は成り立つ 研究 次の問いに答えよ () =90 である直角三角形 において, 辺 上の点を とするとき, > であることを証明せよ () 辺の長さが次のような三角形は存在するかどうかを調べよ,,7,, () において, =90 であるから < は の外角であるから = + よって >,から > したがって, 三角形の辺と角の大小関係により > 小 大中 () +>7,+7>,7+> であるから, 辺の長さが,,7 の三角形は存在する =+ であるから, 辺の長さが,, の三角形は存在しない