第 章 テイラー展開 次の図のように関数のグラフをのグラフ ( 積み木のようなものと考えます ) を積み重ねて作ってみましょう ただ単純に足すだけではうまく作れません 色々と削ることが必要になります 次のように半分にしたり, 分のに削らなくてはなりません どうですか? たった枚の積み木を積み重ねただけで, ほぼのグラフに近づきまし たね これから学ぶのがこのテイラー展開のお話です
初等関数の微分 初等関数の微分まずは これまでに習った微分の公式をおさらいしておきましょう その前に三角関数の逆数について 次のように定義しましょう 三角関数の逆数 微分公式 次の関数を微分せよ ( 解答 ) 問題 次の関数を微分せよ 次の関数を微分せよ ( 解答 ) 問題 次の関数を微分せよ
双曲線関数の微分 指数関数を用いて 次の各式によって定義される関数を双曲線関数といいます 双曲線関数 はハイパボリックサインまたはハイパーサインと呼びます などにつ いても同様です 双曲線関数に関する定理 ( 証明 ) と同様でとする 双曲線関数の微分 ( 証明 ) は を満たすことを証明せよ ( 解答 ) 問題 について を求めよ
逆三角関数の微分 の逆関数は無限多価 ( 無限に多くの値をとる点が存在 ) であるが その値を主値 : に制限したものを または ( アークサイン ) で表す 同様に の逆関数で主値を に制限したものを または ( アークコサイン ) の逆関数で主値を に制限したものを または ( アークタンジェント ) で表す 逆三角関数 逆三角関数の微分 ( 証明 ) でであることに注意すると 次の関数を微分せよ ( 解答 ) 問題 次の関数を微分せよ
次の関数を微分せよ 次の関数を微分せよ 次の関数について を求めよ 関数 逆関数 について 次の問いに答えよ を求めよ を微分せよ
平均値の定理 ロールの定理まずは 世紀のフランスの数学者ロール ( ~ ) が証明したごく当たり前の定理 ロルの定理から始めましょう この定理は 両端でになる関数のグラフについて 接線の傾きがになる点が開区間上に少なくとも個は必ずあることを述べています ロールの定理 関数は閉区間で連続 開区間で微分可能なとき ならば を満たす が存在する ( 証明 ) が恒等的に つまり ならば は恒等的に なので 全ての で が恒等的に でないときは の値が正または負になると ころが存在する いま となる場合を考える このとき が最大となる が存在する で最大であるから のとき 区間 における の平均変化率は負である よって 右微分係数 は 一方 のとき 区間におけるの平均変化率は正 となる区間がある場合は が最小となるが存在し 同様に のときロールの定理を満たす を求めよ ( 解答 ) は閉区間で連続 開区間で微分可能でよってロールの定理よりを満たすが存在する ( はとの間 ) 問題 次の関数について ロールの定理を満たすを求めよ
平均値の定理ロールの定理から 平均値の定理が導かれます 平均値の定理関数が閉区間で連続 開区間で微分可能なとき を満たす が存在する 証明 ) 点 を通る直線の方程式 を考える 関数 とこの直線の式との差を とおくと は閉区間で連続 開区間で微分可能で が成り立ち はロールの定理が成立するための条件を満たす したがって ロールの定理より を満たす が存在する よって を満たす が存在し 平均値の定理が示された 平均値の定理は 関数のグラフにおいて 開区間にある曲線上のある点で その点における接線の傾きが区間におけるの平均変化率と一致するような点があることを意味します またこの平均値の定理はとの役割をとりかえることによって のときも成り立ちます 更にとおき式変形することで 次の式が得られます 平均値の定理 ( 証明 ) 平均値の定理より ここでとおくと が成り立ち であるから さらに とおけば となるので のとき 平均値の定理の式を満たす と の値を求めよ ( 解答 ) なので 平均値の定理より また 問題 次の関数について 平均値の定理の式を満たすとの値を求めよ
平均値の定理の応用 平均値の定理を拡張して 次の定理が得られます 平均値の定理の応用 関数 が閉区間 で連続 開区間 で微分可能なとき ならば は定数 ( 証明 ) 平均値の定理によって 任意のに対して を満たすが存在する 定理の仮定より であるから は任意なので は定数 が で連続で で ならば ( は定数 ) であることを証明せよ ( 証明 ) とすると は で連続で なので 平均値 の定理の応用より ( は定数 ) 問題 平均値の定理の応用を用いて 次を証明せよ ( 一定 ) ならば ( は定数 ) ( は定数 ) ならば ( は定数 ) ( 一定 ) ならば ( は定数 ) コーシーの平均値の定理ロピタルの定理を導くのに用いられるのは フランスの数学者コーシー ( ~ ) による コーシーの平均値の定理といわれるものです コーシーの平均値の定理関数が閉区間で連続 開区間で微分可能で のとき を満たす が存在する ( 証明 ) とおくと が成り立つ よって を満たす が存在する 次に を示す の条件は開区間 の全ての について成り立つ よって 平 均値の定理より を満たすが存在し より
次の関数は開区間においてロールの定理の条件を満たしている この区間内でロールの定理 を満たす の値を求めよ 次の関数は開区間において平均値の定理の条件を満たしている この区間内で平均値の定理 を満たす の値を求めよ 関数について 等式を満たすの値 を求めよ のとき コーシーの平均値を満たす の値を求めよ
ロピタルの定理 ロピタルの定理ロピタル ( ~ フランス) の定理を証明します ロピタルの定理 関数 は を含む区間で連続で 高々 を除いて微分可能で であり のとき 有限な極限値 が存在するならば ( 証明 ) との場合に分けて考える 閉区間でコーシーの平均値の定理を適用すると に注意して を満たすが存在する ここで のときで このとき 同様に 閉区間 ここで でコーシーの平均値の定理を適用して が存在する場合を考えているので ロピタルの定理を用いて 次の極限値を求めよ ( 解答 ) 問題 ロピタルの定理を用いて 次の極限値を求めよ を求めよ ( 解答 ) とおくと
問題 を求めよ ロピタルの定理の拡張形ロピタルの定理で を無限大に近付けた場合も成立します ロピタルの定理の拡張形関数 は十分大きな全てのについて微分可能で のとき 有限な極限値が存在するならば ( 証明 ) の関数 が閉区間で連続 開区間で微分可能で のとき ならば ロピタルの定理を導いたときと同様にして ここで とおいて とすると よって ここで のときだから 同様に を負の無限大にした場合も成立する を求めよ ( 解答 ) ここで より ロピタルの定理を用いて 問題 を求めよ
ロピタルの定理の拡張形ロピタルの定理で が正または負の無限大のときも成立します ロピタルの定理の拡張形関数 ははを含む区間で を除いて微分可能で であり のとき 有限な極限値 が存在するならば ( 証明 ) コーシーの平均値の定理より を満たす または が存在する よって が成り立つ ここで のときなので または となり または が得られる このとき は 以外で微分可能なので のとき とすると または 次に 上式で の極限を考える 左辺は に依存しないので 右辺のみに関係する のとき なので が得られ のときも が成立する ロピタルの定理を用いて 次の極限値を求めよ ( 解答 ) 問題 ロピタルの定理を用いて 次の極限値を求めよ 問題 は任意の自然数 を示せ
ロピタルの定理を用いて 極限値 を求めよ ( 解答 ) 問題 ロピタルの定理を用いて 次の極限値を求めよ 問題 を求めよ 問題 を求めよ
ロピタルの定理を用いて 次の極限値を求めよ ロピタルの定理を用いて 次の極限値を求めよ のグラフを描け
テイラーの定理 高次導関数関数の次導関数については既に学びました. がさらに微分可能なときは次 次 次導関数が存在します. 関数が回まで微分可能なとき は回微分可能であるといい の次導関数を記号 などで表します 初等関数の高次導関数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 証明 ) したがって とおいてを利用すると 次の関数の第 次導関数を求めよ ( 解答 ) 問題 次の関数の第次導関数を求めよ 問題 の第次導関数を求めよ
多項式のテイラー展開 一般の 次の多項式は 常に の形に書くことができます 実際 をで割り 次に その余りをで割り と 続けていくと 上の形が得られます を のベキで表せ ( 解答 ) 問題 をのベキで表せ このとき 係数を高次の微分係数を用いて表すことができます まず 次に より より より これを続けていって であることがわかります よって 多項式のべき展開 次の多項式については次のように表示できます を のベキで表せ ( 解答 ) より 問題 をのベキで表せ 問題 をのベキで表せ
テイラーの定理テイラーの定理は 平均値の定理を一般化し 一般の関数についても上の表示と類似のものが成り立つことを示します テイラーの定理関数は閉区間で次導関数が連続で 開区間で回微分可能ならば を満たす が存在する ( 証明 ) と仮定してみたとき であることを示す とおくと より が成り立つ ( ) よって ロールの定理より を満たすが存在する ここで を計算して 条件を示す のとき とおくと よって より と仮定しても 証明はまったく同様なので テーラーの定理は わかります また平均値の定理と同様に の場合にも成り立つことが とおくと でテイラーの定理は次の様にも書くことができます テイラーの定理 ( 別表現 ) テイラーの定理に現れる最後の項を 重要になります 剰余項 で表し剰余項といいます 関数の近似の誤差を評価する際に
マクローリンの定理テイラーの定理において が成り立つので の代わりに を用いることもあ ります 特に の場合はマクローリンの定理とも呼ばれます とおいて より を用いると 次の式が得られます マクローリンの定理 テイラーの定理の初等関数への応用 ( 証明 ) ゆえに マクローリンの定理より となるので のときなので マクローリンの定理でをに置き換えると ここで が偶数のとき が奇数のとき
となるので のときなので マクローリンの定理でをに置き換えると ここで が偶数のとき が奇数のとき だから よって マクローリンの定理より マクローリンの定理を用いて を展開せよ また 剰余項も求めよ ( 解答 ) また 問題 マクローリンの定理を用いて 次の関数を次の項まで展開せよ 問題 マクローリンの定理を用いて 次の関数を展開せよ また 剰余項も求めよ
コーシーの剰余項 テイラーの定理の剰余項 について コーシーの剰余項と呼ばれる別表現を 見てみましょう この表現は対数関数の近似を考えるときに用います コーシーの剰余項 テーラーの定理における剰余項 は つぎのように表現できる ( 証明 ) 剰余項をを固定したときのの関数とみなしてとく また と定義します より にコーシーの平均値の定理を 用いて は と の間 を微分して ここで とおくと より に代入して
次の関数の第 次導関数を求めよ を回微分可能な関数とすると これらの積は回微分可能で 次が成り立つ これを用いて の第次導関数を求めよ ( ライプニッツの公式 ) マクローリンの定理を用いて 次の関数を与えられた次数まで展開せよ 次 次 マクローリンの定理を用いて 次の関数を 次の項まで展開せよ マクローリンの定理を用いて 次の関数を展開せよ
関数の近似式 近似 テイラーの定理 を用いて それから剰余項をとり除いて得られる 関数の 次の近似式 を考えます 次近似式 関数の次の近似式を次のように定める 特に とすると とするとき のにおける次近似式を用いて の値を求めよ ( 解答 ) 問題 とするとき のにおける次近似式を用いて の値 を求めよ 問題 次の関数のにおける次近似式を求めよ また この近似式を用いて指定され た値の近似値を求めよ 問題 次の関数のにおける次近似式を求めよ また この近似式を用いて指定され た値の近似値を求めよ が十分小さいとき を証明せよ ( 証明 ) ( ) 問題 が十分小さいとき を証明せよ
誤差 次近似式は整式であり 整式はいくらでも精度よく計算できる ことが重要です マクローリンの定 理の剰余項は整式ではなく その絶対値 は近似の誤差といわれます 誤差の大きさを評価しましょう 分母はが大きくなると 急速に増大します ( は自然数 ) とすると が成り立つので 十分に大きな をとれば は十分に小さくなります よって が の増加と共に急速に増大することがない場合には 十分に大きな に対して 誤差 は十分に小さく なることが期待されます 誤差 は未知の を含むのでその大きさを精確に評価することはできず 実用上は より大き な誤差の限界と呼ばれる計算可能な量 を考え それを誤差の代用とします 誤差の限界 が十分に小さいと評価できる場合には 関数 の 次近似式 は十分に意味があります とするとき のにおける次近似式による誤差を求めよ ( 解答 ) より ) 問題 とするとき のにおける次近似式による誤差を求め よ のとき なる近似式の誤差はより小さいことを証明し による誤差を評価せよ ( 解答 ) ここでとすると 問題 のとき なる近似式の誤差はより小さいことを示せ
指数関数の近似と誤差の評価 指数関数 だから の近似を考えましょう マクローリンの定理で が得られます. 誤差の限界はより 例えば のようにとると評価できます. のとき は十分に小さくなりま す として 対数の底の近似 を考えてみましょう この場合 ですが なので 誤差の限界を と評価しましょう ちなみに のとき つまり始めの 項を計算する と なので 上の近似式は のとき有効数字が少な くとも 桁の精度で の近似値を与えます. 実際 で計算すると が得られ 知られている値 と 比べると有効数字 桁の精度で一致します は の増加と共に急速に に近づいていくことに注意し ましょう ここで 関数 の 次近似式 を直接用いて が と共に近似され ていく様子を見てみましょう 右の図からわかるように 分かります になると既にほぼ近似できているのがみて の値を四捨五入によって 小数第位まで求めよ ただし であることは使ってもよい ( 解答 ) とすると のとき はより よって誤差は を超えない より もしとすると となり誤差が大きく小数第位まで求めることができない のときは となり 小数第位に少し誤差が残ることになる 問題 の値を四捨五入によって 小数第位まで求めよ
三角関数の近似と誤差の評価 次に三角関数の近似を考えましょう 先ほど見たように にマクローリンの定理を適用して が得られます よって 誤差 は となります ここで誤差は および の周期がなのでと制限でき に依存しない形で とすることができます のとき となるので この近似は有効数字が少なくとも桁の精度になります についても 同様に が得られ 誤差は とできます のとき となり 誤差は微々たるものになります ここで 関数の次近似式を直接用いて がと共に近似されていく様子を三角関数を例にとって見てみましょう まず ですが 次の図からわかるように これは次式によってを原点付近で近似しようというわけですから での接線になります 次に は付近での近似がよくなり また近似の範囲も広がります 次の近似になると 区間においては肉眼ではもうと区別がつきません これらの様子は誤差の式からもわかるように を定めればそこでの近似は近似式の次数と共によくなっていき また近似できる範囲もその次数と共に広がっていきます の値を四捨五入によって 小数第 位まで求めよ ( 解答 ) を代入して のとき よって誤差は を超えない 問題 の値を四捨五入によって 小数第位まで求めよ
対数関数の近似と誤差の評価 対数関数の近似は注意が要ります 議論がしやすいように としましょう 対数関数の近似対数関数 をマクローリンの定理における誤差 は において のとき となる ( 証明 ) マクローリンの定理より 誤差は とおくと のとき だから が大きくなるとき 全ての について誤差が小さくなるとは限りません よって のとき となるための条件は その の範囲は, より に注 意すると θ θ となります は に依存するので上の不等式を正確には解けませんが を利用すると, が大きいとき 誤差 が小さくなるための 安全な の範囲が得られます より 同様にして が得られます よって ならば確実にが小さくなるこ とがわかります コーシーの剰余項を用いると この範囲を まで広げることができます マク ローリンの定理とコーシーの剰余項より のときだから となる条件は より より より のときは のときは 満たす のときは より満たす より なので より において のときとなる
とするとき における次の近似式を求めよ また この近似式を用いての値を求めよ さらとの誤差を評価せよ ( 解答 ) を代入すると よって との誤差はかなり大きいといえる 問題 とするとき における次の近似式を求めよ また この近似式を 用いての値を求めよ さらとの誤差を評価せよ このようにのマクローリンの展開式は収束がかなり遅いといえます そのために別な展開式を考えましょう また のマクローリン展開を用いてやの値を計算することはできません 何故ならいま見たようにマクローリン展開における誤差はのときにのみ成り立つからです ではやの値を計算するのにはどうしたらよいでしょう を用いて 次の等式を示せ さらにこの等式を用いて の値を求めよ ( 解答 ) 理において をに変えると であり マクローリンの定 を代入すると を代入すると なので 比較的良い近似を与えているといえます 問題 の値を求めよ
が十分小さいとき近似式が成り立つことを証明せよ とするとき 次の問いに答えよ 数第 のにおける次近似式を用いての近似値を求めよ 答えは四捨五入して小 位まで求めよ を用いることで の近似値を求めよ せよ にマクローリンの定理を適用することで の値を小数点以下第位まで決定 の値を小数第 位まで求めよ より小さい鋭角に対する正弦の値を計算するのに 近似式 を用いると 誤差は以下であることを示せ また これを用いて の値を小数第位まで求めよ
テイラー展開 テイラー展開 指数関数や三角関数の次式近似において 誤差はの極限でになることがわかりまし た また 対数関数についてはのときにそうなりました 一般に テイラーの定理 より 関数が無限回微分可能で のとき で誤差が消滅するとき が成り立つならば は次のようなべきの形の無限級数の形に表すことができます この表式を関数のテイラー展開またはテイラー級数といいます テイラー展開 ( テイラー級数 ) 特に の場合をマクローリン展開またはマクローリン級数といいます マクローリン展開 ( マクローリン級数 ) テイラー展開において 変数変換を行えばマクローリン展開に帰着するので これからは簡単のためにの場合を考えます このとき テーラー展開可能であるための条件は誤差を用いて 次のようになります マクローリン展開可能なための条件 マクローリン展開可能なための条件 は で無限回微分可能で をみたすに関係しない定数が存在すれば はでテイラー展開可能である ( 証明 ) より ここで の内部に任意に固定したに対して を満たす自然数が存在するから
初等関数のテイラー展開 初等関数のテイラー展開 ( 証明 ) とおくと 任意の正数に対して よって テイラー展開可能なための条件より成り立つ また は任意の正数なので で成り立 つ とおくと よって テイラー展開可能なための条件より成り立つ とおくと よって テイラー展開可能なための条件より成り立つ 初頭関数の近似 の頁参照 関数 のマクローリン展開を求めよ ( 解答 ) とおくと だから マクローリン展開は ここで とおくと よって マクローリン展開可能 よって 問題 次の関数がマクローリン展開可能であることを示せ また マクローリン展開を求めよ ( はコーシーの剰余項を用いよ )
関数 のマクローリン展開を求めよ また この展開式を利用して のマクローリン展開を求めよ 次の関数のマクローリン展開を求めよ マクローリン展開を利用して 次の極限値を求めよ
複素数の極形式と複素指数関数 極形式と指数関数複素数の学習で, 複素数 の絶対値を, 偏角を とすると θ θ と表されることを学 びました これまでに学んだ無限級数表示の結果を用いると, オイラーの公式と呼ばれる非常にきれいな 公式を導くことができます 絶対収束する無限級数は項の順序を自由に変えても収束値が変わらないことを 利用します. オイラーの公式 ( 証明 ) 三角関数のマクローリン展開より ここで, なので 1 三角関数のマクローリン展開は絶対収束級数なので 和をとる順を変えることができ 指数関数のマクローリン展開においてをで置き換えると 2 12 より 特に のときには,, を結ぶ神秘的な関係式が得られます オイラーの公式 ては の無限級数は ですから 全ての実数に対して収束します また その導関数につい より 指数関数として満たすべき性質 を満たします ここことから 複素数の絶対値を, 偏角をとすると と表すことができます
複素変数の指数関数 三角関数と複素微分 複素数 ( は実数 ) の無限べき級数によって定義される複素指数関数 を考えましょう この無限級数は任意の複素数に対して絶対収束します 以下, は, 微分学の立場に おける 指数関数の定義 を満たすことを示しましょう まずは複素関数の微分係数の定義から. 複素平面上の点を とし, の α からの 増分 を, 対応するの 増分 を としましょう 複素平面上で, 点が点に任意の経路を通って限りなく近づくことを または 増分を用いて, で表しましょう のとき, 有限な が存在するとき を複素関数のにおける微分係数といいます 上式はが任意の方向からに近づいても極限値が存在して その極限値が近づく方向に依存しないことを要求しているので 非常に強い条件になっています が存在するとき が成り立つので はで連続であることに注意しましょう ^ は微分可能 よっての多項式も微分可能です このことは 代数学の基本定理の証明の際に必要であった条件 つまり 複素数の多項式は連続関数であることが厳密に示されることを意味します マクローリン展開はべき級数なので 微分係数を求めるにはの導関数を調べれば済みます ( は自然数 ) この結果は全ての複素数 について成り立ちます よって 項別微分の定理より 三角関数のマクローリン展開で実変数を複素変数で置き換えた複素三角関数 を考えると 容易に確かめられるように次の微分関係が成り立ちます また 指数関数との関係 を複素数で置き換えた関係式 も成り立ちます さらに, が成り立つので のように, 三角関数は指数関数を用いて表すことができます 以上, 指数関数 三角関数で例解したように 複素関数の導関数は実数の場合と同じです 実数の微分公 式はそのまま複素数の公式になります 実数で微分可能な範囲は複素平面上の領域に拡張されます