本書の目的 B 本書の難易度 50 本書の内容 B A

数列 漸化式問題を得意分野に! 漸化式は 0 パターン完全解説 別解満載! ライバルを置き去りにする 冊! 数列問題の基礎完全対策難関大 医大の数列 漸化式問題の極意 第 章数第 章漸化式 0 種パターンの完全対策第 章数列 漸化式の応用問題第 4 章数列 級数の極限値の問題第 5 章三角関数と微積分の漸化式第 6 章数列 漸化式の融合問題 i

本書の目的 B 0 0..6 0 0 本書の難易度 50 本書の内容 B A 0 0 0 0 05

CONTENTS 第 章数. 等差数列 等比数 基本例題. ( 公差と部分和を求める問題 )008.008 4 基本例題. ( 等差数列と等比数列の公式証明問題 )009 4 基本例題. ( 等差数列と等比数列の融合問題 )006 6.04 7.00 8 8.40 0. 自然数の数列の 乗和 基本例題.4 ( 自然数の数列の 乗和の問題 )00.49890040060 4.505 5.6 6.7006 8. 格子点の数を数える問題 0.805 0.904.0998 4.4 さまざまな数列の計算問題 6 6.00 6.007 7 8.05 8.4008 9 0.50 0.60.5 群数 4.7008 4.80 5.904 6.004 7.00IIB 9.0 4.5007 48 第 章漸化式 0 種パターンの完全対策. 漸化式の分類 4 0 4 4. 階差数列型 項間漸化式型の漸化式 44 44 44 基本例題. ( 等比 等差数列 [] 階差数列[] 項間特性方程式型 []) 44 49 基本例題. ( 指数型 [4] 対数型[5] の漸化式 ) 50 5 基本例題. ( 公比型 [6] 割り算型[7] の漸化式 ) 5 55 基本例題.4 ( 逆数型漸化式 ) 55. 階差数列型 項間漸化式型の漸化式の入試問題 58 58.008 58.0 59. 60 6.404 6.5007 6.6007 6.700 6

CONTENTS.80 65.4 分数型の漸化式の問題 66 66 67 7 基本例題.5 ( 分数型漸化式 ) 7 67.9008 7.005 7.7 項間漸化式の問題 76 76 76 基本例題.6 ( 項関漸化式 ) 77.0 78.0 79.0 80.8 フィボナッチ数 8 基本例題.7 ( フィボナッチ数列の一般項 ) 8 基本例題.8 ( フィボナッチ数列が満たす関係式 ) 84 基本例題.9 ( フィボナッチ数列が満たす関係式 ) 86.400 87.50 88.6007 89.704 9.8 漸化式と数学的帰納法から求める数列 94.8 94.9007 95.005 96 第 章数列 漸化式の応用問題. 数列の部分和をあつかう問題 00 00 基本例題. ( 部分和を含む漸化式の問題 ) 00 0.04 0.04 0.008 04.400 05. 連立漸化式の問題 06 06 06 基本例題. ( 連立漸化式の問題 ) 08.5008 0.600 0. 数列の不等式を示す問題.70.80.4 センター試験の複合問題 6.90IIB 6.004IIB 8.05IIB 0.0IIB 第 4 章数列 級数の極限値の問題 4. 数列 級数の極限の7つのパターン 6 6 基本例題 4. ( 極限値計算の典型問題 ) 7 4.008 8 4.00 9 4.0 4. ネピアの数 eに収束する数 4 基本例題 4. (eに収束する極限) 5 4. 区分求積法を利用する問題 6 基本例題 4. ( 区分求積法の問題 ) 6

CONTENTS 4.40040009 8 4.50 40 4.60 4 4.700 4 4.4 区分求積法を使う図形や確率の問題 46 46 4.8009 46 4.9007 46 48 4.000 48 4.00 48 4.5 はさみうちの原理を利用する入試問題 5 5 5 4.99 5 4.0 54 4.404 55 57 4.5000 57 4.60 58 第 5 章三角関数と微積分の漸化式 5. チェビシェフの多項式の問題 6 6 5.008 6 5.008 64 5.008 67 5. 積分漸化式の問題 70 70 基本例題 5. ( 不定積分の漸化式の問題 ) 70 7 7 5.4 7 5.50 74 75 5.6004 75 5.704 76 5.804 78 80 5.9004 80 5.0006 8 5.997 85 第 6 章数列 漸化式の融合問題 6. 図形と方程式と漸化式の問題 6.00 88 6.007 90 6.006 9 6.404 9 6.50 96 6. 複素数と漸化式の問題 98 6.6005 98 6.7004 00 6.80 0 6. 確率と数 04 04 6.90 04 6.004 06 6.0 08 09 6.006 09 6.0 6.40 6.5006 4 6.4 確率漸化式の問題 8 8 6.604 8 6.70 0

6.80 0 6.90 4 6.005 6 8 6.0 9 6.04 6.05 5 8 6.4008 8 6.50 4 6.605 44 6.705 46 第 章 数

. 等差数列 等比数 入試問題. ( 難易度 B) 数列の基本 ある等差数列の第 項を とするとき 0 + + + + 4 65 5 + 7 + 9-6 が成立している このとき 次の問いに答えよ () この等差数列の初項と公差を求めよ B () この等差数列の初項から第 項までの和をS とするとき S の最大値を求めよ (008 年岩手大 / 教育 ) 等差数 () () 基本例題. ( 公差と部分和を求める問題 ) 解法 初項と公差に関する 元 次方程式を解く 9 () 4 74 9 49 である等差数列 { } の公差と åを求めよ + ( -) d (008 年大阪工大 改題 ) 4 4 4 å k å é ( k ) dù + - 5 + då( k - ) 5 + dåk 0 0 0 9 ( 9 + ) 5 5 + d 5 + 55d 65 5 + 7 + 9 ( + 4d) + ( + 6d) + ( + 8d) + 48d -6 ì5 + 55d 65 ì + d 7 解法初項と公差に関する 元 次方程式を解く Þ Þ 5d -75 Þ d -5 î + 48d - 6 î + 6d - - + 5 6 8 8-5 + ( -) d ì () 4 + d 74 Þ 5d 49-74 45 Þ d 49 î 9 + 8d 49 74- d 7 + ( - ) d 8-5( - ) > 0 8 å å é ( ) dù + - å + då( -) < + 6.9 Þ 6 5 æ( + ) ö d d 6 8-5 5 + d ç - ( ( ) ) ( ) + + - + - çè ø 6 9 49 6 9 7 9 8 4 49 6 007 ( + 6) 6 å + + åk ( 8 + ) 8 008

数 é + ( - ) dù é 8-5( - ) ù S å k () æ 49ö S - 5 + 49 º -5 ç - + A çè 0 ø 49 解法等差中項 等比中項を利用する 6.4, 6 or 7 0 () 67 ì + ( -) d 6 : S å 6 8-5 5 > 0 k î 7 : 6 8-5 6 - < 0 S 6 ì + ( -) d 6 ( + 6) 6 S å k ( 8 + ) 8 008 S åk î S å k ( + + + ) + ( + + + ) 等差数列 等比数列の入試問題 ì + + + é + ( - ) dù 基本例題. ( 等差数列と等比数列の公式証明問題 ) + ( -) d + - [ + d] + é + ( ) dù - + ( -) d k + -k + [ + d] + é + ( ) dù - + ( - î ) d 以下の問いに答えよ. () 初項 公差 d の等差数列 { } (,,, ) において { + ( -) d} S ( + ) + + + é + ( -) dù となることを証明せよ \ S ( + ) ( + ( - ) d + ) ()(i) は自然数とする このとき - x ( - x)( + x + + x - ) ()(i) x が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ -x +x (ii) 初項 公比 r の等比数列 { } (,,, ) において (-x)x ì (r のとき ) - ( - x)( + x + + x ) + ( - x) x + + + ( - r ) (r のとき ) + ( - x)( + x + + x ) - x + ( - x) x - x î - r となることを証明せよ + \ - x ( - x)( + x + + x (009 年佐賀大文系 ) ) 4 5 解法 総和を平方完成する

()(ii) rr(i) - ì r k- S åk å r î r : S 解法 等差中項 等比中項を利用する + - r r ¹ : - r ( - r)( + r + + r ) ( - r) S rr Þ S - r 0 r ì ( r ) \ S - r ( r ¹ ) () rr r+r r -r+(r-)0 r î - r () rr r+r r +r-(r-)(r+)0 r,- 補足 () r r r +r r -r-(r+)(r-)0 r,-/ ()(ii) r () r- () r-/ () r- - - - r S - rs ( + r + + r )-( r + r + + r ) - r Þ S - r 4 () -4 - rr 4, -, -8 p-8, q- ( ) + () 4 rr -8, 4, 6 p-8, q- p-8, q6 () 44 rr -,, 4 p-, q - r r - - r r - (p, q) (-8,-), (-8,6), (-,) 入試問題. ( 難易度 B) 基本例題. ( 等差数列と等比数列の融合問題 ) bc 04 正の実数 b c( b b c c ) について考える / /b /c が この順で等比数列であり b c がこの順で等差数列となるとき /c の値 p q を実数とし p<q とする さらにつの数 4 p q をある順に並べると等比を求めよ 数列になり ある順に並べると等差数列となるとする このとき p q の組 (p,q) (04 年自治医科大 6 改題) をすべて求めよ (006 年小樽商大 ) bc bc bc 解法等差中項 等比中項を利用する, r, r Þ r r + ( + d), + d, + d Þ + d c/ /c

ì æö ì 数 4c b c çè bø Þ Þ 6c ( b) ( + c) + c b c b î î + b c /c + k- k k- Þ - 0c + 9c ( - c)( - 9c) 0, ¹ c Þ 9c Þ 9 c åkk åk Þ c å k å( k - ) c ìc - c -c Þ + k- k- 入試問題. ( 難易度 B) c - c å k -å( k - ) î + k- k- å k -å( k - ) + k- k- k- k- åk - å ( k - ) + å ék -( k - ) ù 数列 { } に対し, ê ú + + + + + + + k- k- - b, c (,,, ) - + å å - - -- - とする \ - c -- ( - ) - () 数列 { } が初項 公比 の等比数列のとき, b c の一般項を求めよ ( - ) + \ c () 数列 {b } が初項 公差 の等差数列のとき b, c の一般項を求めよ (00 年聖マリアンナ医科大 改題) ()b b c c b + ( - ) - å k () () c S å k ( -) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )( ) 4 S - S - - - - - - - - - - - 解法総和記号を使いこなす ( + )( + ) ( + ) ()b c å k( 4k - ) 4å k - å k 4-6 - k- - - ( + ) ( + ) b åk å é4( + ) - 9ù ( 8-5 - ) 6 6 c ( + )( 8-5) \ c C 6 補足 c + + + S S 0 - ì c + + + 4 + + S -S - - î c + + + + ( - ) + c - c -c S 0 - + ( - ) + ( - ) + ( 4 - ) + + ( - + ) - 8 9

S - + Þ S 数 S - S- ( - + ) - é( -) -( - ) + ù ( ) 0 ê ú - Þ ì ( ) \ î ( - ) ( ³ ) 入試問題.4 ( 難易度 B) 初項が共通で公比の異なる つの無限等比数列 { } {b } があり それぞれの無限級数は 6 と 4 に収束する またそれぞれの項の比を各項とする無限等比数列 { b の無限級数は に収束する { } } {b } の初項とそれぞれの公比を求めよ (0 年順天堂大 / 医 改題) 解法初項と公比の 元 次方程式を解く + + k ( - r ) r å r lim lim - lim 0 k r r - - - r - r ì k k r 6 Þ 6( - r ) å å 0 0 - r k åbk å rb 4 Þ 4( - rb ) 0 0 - rb k b æ k r ö b rb rb Þ- å å r 0 ç k 0 r Þ çè ø b r r - î r 6( - r ) 4( - rb ) Þ- rb ( - r ) - r æ ö r 5 ç - çè ø r - Þ r ( r < ) Þ rb r ( rb < ) 6 5 5 æ ö 6( - r ) 6ç - çè 5ø 5 0

. 自然数の数列の 乗和 数 () D 基本例題. ( 自然数の数列の 乗和の問題 ) D D º å k 以下の問いに答えよ 答えだけでなく 必ず証明も記せ () 和 ++ + を の多項式で表せ ì é ( k + ) - k ù ( + ) - ( + + ) 他の項はすべて相殺しあって å ê ú () 和 + + を の多項式で表せ この項だけが残る () 和 + + + を の多項式で表せ é( k + ) - k ù ék + k + ù D + S + (00 年九州大文系 ) å ê ú å ê ú î D ( + + ) - [ S + ] ( + )( + ) () ( + )( + ) \ D. 00 6 + 00 0, + 99 0,, 50 + 5 0 0 50 ()T 4 5050 T 6 T º å k + ( -) d ( + ) ( + ) ì 他の項はすべて S é 4 4 å k ( k + ) - k 4 ù å ê ú ( + ) - ( + 4 + 6 + 4) 相殺しあって この項だけが残る é 4 4 ( k + ) - k ù å ê ú é4k + 6k 4k ù + + 4T + 6D + 4S + å ê ú î 4T + 6D + 4S + 4T + ( + )( + ) + ( + ) + 4T + é( + )( + ) + ( + ) + ù 4T + ( + 5 + 4) S D 4T ( + 4 + 6 + 4) - ( + 5 + 4) T 解法 乗上の関係式から計算する ( + + ) ( + ) () S é( + ) ù \ T ê ú ì é ( k ) k ù ê + - ( + ) - 他の項はすべて相殺しあって å ú この項だけが残る k k é( k ) k ù å ê + - ( k + ) k + S ú å å å + î + ( + ) \ S å

入試問題.4 ( 難易度 B) ( ) ( ) B + S - A + - - é - + ù ê ú 数 é ( ) ù 数列 { ê + - - ú -- ( - + ) - } が初項 公比 の等比数列であるとき () åkk () åk k を で表せ (989 年東北学院大 004 年甲南大 006 年東京電機大 0 年関西学院大 改題 ) 入試問題.5 ( 難易度 C) - j 数列の和 å j を求めよ j P.8 (05 年横浜市大 / 医 4) 05 - - - åk S + + + + + - - j - - åkk º A + + + + ( - ) + -j - - åk k º B + + + + ( - ) + ì - j j S º j å å j r ] j j A j B T º å j î j 解法 乗上の関係式から計算する解法 乗上の関係式から計算する A S -j -A k- + k- k k- k- æ j j ö A - A å k - å k å k -å( k -) S - S S - j j+ ç å å çè j j ø é ù k- k- k- k- æ + j ( j -) ö æ j ( j -) ö å k - ( k - ) + ék -( k -) ù - êå ú å ê ú - - - j j j j + å å ç j j å å ç j j è ø è ø k- - å - - ( - ) - j -( j -) j - - å - - j å j \ A j j ( - ) + + j - + j B \ S å - - - -B S A j å j å j- j j j + k- k k- k- B - + æ ö - B åk - åk åk -å( k -) + 4T - - 4T - - - 4T ç çè - + - ø - k- k- åk -å( k -) - T k- k- ék ( k ) ù å ê - - - ( k -) - ú å æ j j ö T - T T - k- k- k A j j+ å -å - ç å å - S - -B çè j j ø 4 5 + + - + - - é - + ù ( ) æ - ö æ - ö ç ç

æ j j -ö æ j j - ö + 数- - - j j j j + çå å j j çå å S + + - + + é + 6 + 6 - + 5 ù è ø è j j ø ê ê ú ú + ( ) j - j - - é ù ( )( ) - - ê + + ú + + Þ S ( )( + ) 6 å - - - j å j- j j - ()S æ ö ç - - çè -- ø + \ T - - S ( + + + ) + ( + 4 + + ) + + ( -) + + + \ S 4T - + - 4( - - ) - + - é ù é( ) S ù æ ö k S + - - 4-6 6 - - 4-6 ê + + + + - - ú ê ç å è ø ú é ( ) ( )( ) ù æ ö + + + ( + ) ( ) ( ) - é ù 6 4 + - + ê ç çè ø ú 入試問題.6 ( 難易度 B) ( + ) ( + )( - )( + ) é ù 4 ê - - ú 4 個の自然数,, の構成する数列 { } について 次の和を求めよ ()S () 数列の各項の 乗の和 S ( ) - - - () 相異なる つの項の積の和 S ( ) S + + + ( - ) å k( k + ) å k + å k () 互いに隣り合う つの項の積の和 S ( ) ( -) ( -) ( -) ( -) ( - )( + ) + é ( ) ù (4) 互いに隣り合わない異なる つの項の積の和 S 4 ( ) 6 6 - + ( 新作問題 ) (4)S 4 S -S S4 ( + 4 + + ) + ( 4 + 5 + + ) + + ( - ) S S 4 5 ( - ) ( + )( + ) ( - )( + ) ()(4) S - S - 4 5 ( -) ( -) ì S + + + 4 + 5 ( )( ) ( ) S4 é 8 ù é 6ù 4 + + - + 4 ê - - ú S ( + + 4 + 5) + ( + 4 + 5) + ( 4 + 5) + 4 5 ( ) ( )( )( ) - é ù - + - S + + 4 + 4 5 8 ê - - ú 8 î S4 + 4 + 5 + 4 + 5 + 5 補足解法 乗上の関係式から計算する ()S ( + )( + ) S 4 + + 6 S + + + + åk ( + )( - )( + ) S + + 4 é ( k + ) - k ù å ê ú ( + ) - + + ( + + ) ( - )( + ) S 8 + é å k + k + ù ê ú S + å k + S + ( + ) + ( - )( + )( - ) S 6 4 8 7 é ( ) ( ) ù é ù ( ) ( ) ( ) ( )

入試問題.7 ( 難易度 B) A(+,+) + + 数 は自然数とする 次の問いに答えよ A( +, + ) ( + ) + () 等式 k を証明せよ å å é( ) kù é( ) ( k ( ) ) ù - + å ê - + + + ú + () + 個の項からなる公差 の等差数列を考える 初項から + 個の項の平 å é( ( ) ( ) ) kù é( ) kù ê - + + + + + 方の和と その後に続く 個の項の平方の和が等しいとき この数列の初項 ú å を を用いて表せ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + (006 年佐賀大 ) åk + åk + + + + D( ) ( + ) é( ) ( ) ù + + + + D( ) ( + )( + + ) + D( ) A(, + ) A( +, + ) () ) Þ ( + )( - ) ( + + ) + D( + ) ( + )( + + ) + D( ) 解法 乗上の関係式から計算する () D(+)-D() () k k S()D() ( + ) åk + D( + ) - D( ) åk - åk ( + ) ì S( ) º k é( k + ) - k ù ( - ) + ( - ) + + é( + ) - ù å å ê ú ê ú k ( + )( - )( + - ) - ( + )( + + ) D( ) º åk ( + ) - å[ k + ] S( ) + \ ( + )( - )( + + ) + ( + ) ( + )( + + ) î ( + ) \ S( ) é( + ) -- ù ê ú ++ ì + º N () k A(,) î + º M Þ N ( M - N)( M + ) + N ( N - ) M ( M + N ) ì k + ( k - ) ( k + ) N ( M - N)( M + ) + N N é( M N )( M ) Nù - + + A(, ) º å k Þ A(, + ) A( +, + ) N ém M NM ù î ê + - ú NM ( M + - N ) N ( M - N)( M + ) + N -( N - ) M ( M + N) A(,) A(,+) A(+,+) NM ( M + - N) -( N - ) M ( M + N) M én ( M N) ( N )( M N) ù + - - - + A(, ) é( - ) + kù é( - ) + ( - ) k + k ù å å ê ú M énm N N NM N M Nù ê ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + - - - + + ú + - + - S + D - + - + D( ) M ( N - N - M ) 0 ( -) é( - ) + ( + ) ù + D( ) ( - )( + ) + D( ) Þ M 0 or M N - N N ( - N) Þ + 0 or + ( + ) + A(, + ) ( + )( - ) ( + + ) + D( + ) Þ -, ( + ) 8 9

. 格子点の数を数える問題 数 P( 0, y) ì y ( x ) Þ + y + x y ( x) - - Þ - - Þ Q ( x, y) y ( x ) î ± - î AP+PQ 0 C y () - 入試問題.8 ( 難易度 C) O x を 以上の整数の定数とする xy 平面上に定点 A(,0) がある y 軸上の点 P を通り x 軸に平行な直線上で AP+PQ をみたす点 Q を考える y ( - x) - Þ y + - x - P が y 軸上を動くとき Q の存在範囲を D () とする このとき 次の問い Þ y + ( - x) Þ y ( - x) - y :S()5 に答えよ x y () D () に含まれる点 (x,y) を表す不等式を示し D () を xy 平面上に図示 - せよ x0 y O x () xy 平面上で x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ D () に含 [ ] - S( ) - まれる格子点の個数 S() を を用いて表し lim を求めよ x 0 : y + Þ y - ( + ) - < Þ - < Þ é - ù ê ú - (05 年慈恵医大 ) y :S() S(,0) ( - ) + - - y xk>0 Q y S() S(,k) P(x,y) Q O x x k : y + ( - k) Þ y ( - k) - - A - O x é ù ( - k) - < ( - k) Þ ( - k) - < - k Þ ( - k) - - k - ê ú S(, k) ( - k - ) + ( - k) - - - - x-[x]x[x]x[x]+ S(, k ³ ) å é( - k) - ù ( -) å- å k 解法領域を求めて格子点の数を数える ( -) ( -)( -) - ( -) () x0y0 S() x S(,k ) x - x 0 x0y0 S( ) S(, k ³ ) + S(,0) ( ) ì A,0

( ) - + - - 4 + + - - + + b +b 数 S( ), S( ) 5, S( ) S() c +b c0,,- S( ) - + - + c0+b0 + b lim lim lim ( ) 4 4 + + + 4 4 + + b- 0,(,b,c)(0,0,0)(,-,0) (-,,0) c+b- + b 入試問題.9 ( 難易度 C) +b- + + + 0,-(,b,c)(0,-,) 04 (-,0,) c-+b + b +b - + - 0,(,b,c)(0,,-) b c は整数 は0 以上の整数とする 座標空間において 次の条件 (i)(ii) を (,0,-) 満たす点 (,b,c) の個数を S() とする S() (i) +b+c0 () S()+b+c0 ck (ii) + b + c 次の設問に答えよ +b+c0 + b + c b () S() を求めよ - k () S() を求めよ + b + c + b -k - k+ 個 (04 年早稲田大 / 商 ) +b+c0 b-+k k - + b -k b-+k k +b+c0 (,b,c) ck k - b - +k +b+c+b+c(,b,c)(,,)0 -k+ k bc c k k bc + bc +b+c k +b + b -k k + + 0 + ck O b 解法領域を計算し格子点の数を数える + - () S() ì s( k) - k + +b+c0 + b + c S( ) s( 0) s( k) å î s( 0) + b + +b Þ S( ) ( + ) + å( - k + ) ( + ) + ( + ) - åk ( + )

( + ) 4 + 4 + - 4 + 4 -- + + + ( ) f() 数5 ì + k ³ 0 -( + k) f ( ) æ + öæ 4 + 4 + ö 8 lim lim Þ - k ç ç 4 - k ³ 0 y ³ x -( + k) è øèç ø () S() S()7 ++5+5+5++ ( -,k) ( - k,) - k 入試問題.0 ( 難易度 C) x (+)+5 zk y>0 k O k (, - k) を正の整数とする 連立方程式 (k, - ) k+ ì x + y + z f() - x + y - z -( + k) ì y x + ( + k) Þ x + ( + k) - x + ( - k x - y - z ) î y - x + ( - k) Þ x - k, y ( - k) - î - x - y + z を満たす xyz 空間の点 P(x,y,z) で x y z がすべて整数であるものの個数を f() ì y x + ( + k) Þ x + ( + k) -x -( - k) とおく 極限 î y -x -( - k) Þ x -, y k - k f ( ) lim -k (-k) k- k f() k+ を求めよ (998 年東大理科第 問 ) fk ( ) º é + + 5 + + ( - k -) ù + é( - k) + ù ( k + ) + ( - k -) ( - k) ( - k)+ 解法領域を計算し格子点の数を数える + ( - k + )( k + ) zk xy y x + ( + k) ( - k) - ék -( + ) ù ( k + ) y ék - k + ù - é4k - k( ) -( + ) ù ê ú ê ú + k - k + ( + + ) ì ìì x y z + + y x + ( + k) - k f() - x y z + - y x ( k) z k î ³ - + Þ y - x + ( - k) x - y - z ì y - x + ( - k) f ( ) å fk ( ) ( + + )( + ) - å k - - -x - y + z x î y x ( k) î î ³- - - ( + )( + ) O å k å k - yx y-x y ³-x -( - k) ( + )( + ) -( - k) \ f ( ) ( + + )( + ) - + é + ( + + ) - ( + ) ù ( 4 + 4 + ) ê ú î y

.4 さまざまな数列の計算問題 ()()() 数() 分数数 k -( k - )( k + ) - > 0 ( k - ) k( k + ) k ( k - ) k ( k + ) ( k - ) k ( k + ) () S - () A - ( k + ) k k k + ì ( - )( + ) S º + + + + æ ö 4 4 5 ( - ) ( + ) 4( + ) - ( k - ) k( k + ) çè ( k - ) k k( k + ) ø A º + + + + æ ö î - ( k - ) k( k + ) çè ( k - ) k k( k + ) ø é ù A - S + å - < k ( k - ) k( k + ) k + - k ê ú k + - k k + + k ( k + ) - k 5 A < S + Þ A - < S - 4 4 入試問題. ( - )( + ) ( + - ) - ( + ( 難易度 B) ) æ ö S - - ç - < 0 4 4( + ) 4 4 ( + ) çè ø ( + ) を正の整数とする 5 \ A < 4 () + + + + ( ) を求めよ 4 4 5 ( - ) ( + ) 5 () + + + + < が成り立つことを示せ 入試問題. ( 難易度 B) 4 (00 年一橋大 ) p>q>0 とし 初項 p 末項 q 項数 m の等差数列 { } を考える () この数列の公差を求めよ () + + + + + + + 4 m- + m () () の値を求めよ 解法 つの分数に分解する (007 年武蔵工大 ) () é ù - ( - ) ( + ) ( ) ( ) ê - + ú () () + + + + 4 4 5 ( - ) ( + ) 解法分母を有理化する é ù é ù é ù () m - + - + + - ê ú ê 4ú ( - ) ( + ) ê ú q - p m p + ( m - ) d q Þ d ( ) ( )( ) é ù + - + - - + m - - 6 ê ( + ) ú ( + ) 4( + ) 4( + ) 7 ê ú () ()

S º + + + + ækpö \ åcosç 0 çè m 数 6 ø + + + 4 m- + m m m m k- - k k- - k å å å () å q p k k k- + k - - - k m - é ækpöù ækpö ækpö å k å k + cos k + k cos + cos ç ê k k è 6 øú å å ç k k è 6 å m ø ç k è 6 m - m - ø å( k- - k ) ( - m ) q - p q - p ( + )( 4 + ) å k ( + )( 4 + ) m - m - 6 ( p - q) q - p p + q ækpö éæ ö æö ù cos + æö æ ö kp å + 0 ç æ ö ç è 6 ø ç çè ø çè ø + +ç + 6 \ cos 6 ê ç è ø å ç çè ø ú çè 6 ø 三角関数数 ækpö å k cosç + + 0-4- 5-6 çè 6 ø - 7-8 + 0 9 + 0 + + ækpö ( -5-7 + ) + ( - 4-8 + 0) - 6 + 6 \ å k cosç çè 6 6 ø 入試問題. ( 難易度 C) \ å k ( + )( 4 + ) + 8 ækpö 数列 { k } を k k + cos ç で定める を正の整数とする çè é( + )( 4 + ) + 9ù 6 ø ( 88 + 6 + 0) 4( 44 + 8 + 5) () åk を求めよ 入試問題.4 ( 難易度 C) () åk を求めよ (05 年一橋大 5) - 自然数 に対して ( cos )( cos ) ( cos )( cos) とおく ただし 角の大きさを表すのに弧度法を用いる このとき 次の問いに答えよ si 4 () を示せ 4si k π + si kπ/6π () を示せ + si () < + を示せ (008 年九大文系 ) 解法周期性を利用する () 0 é ækpöù k cosθ siθ cosθ は siθ k k cos æ pö k cos å å + + ê ç 6 ú å å ç 6 è ø è ø siθ ( + ) 解法 6 ( ) siθの倍角公式を利用する åk + () siθ ækpö åcos ç + + 0- - -- - + 0 + + + 0 si q si q siq cosq Þ cosq çè 6 ø 8 siq 9 å æ pö

siq cos cos si 4 si si 4 ( )( ) 数 si si 4si 0 () siθ + x-[x]x[x]x[x]+ + si q si q siq cosq Þ si q si q cos q Þ cos q si q 解法具体例から始める - ( )( cos cos ) ( cos )( cos) () + + si si si 4q si q si - + si si si q si q si é ù é 4ù é8ù é0ù 0,, [ ], 4, 5, 6 [ 4] 4 ê ú ê ú ê ú ê ú () si () p p p é ù æ ö > > 0.8 Þ > si> si Þ < < m m < m + ( m < m + ) 4 4 si ê ú çè ø + si < m é ù é ù é ù å k m- + m- + m ( m - ) + ( m - ) + ( m) ê m- ú ê ú ê ú \ < + + é 4ù é ù m - + m - + [ m] ( m - ) + ( m - ) + ( m) 6m - ê ú ê ú ガウス記号を使う数 () ()() m m m m m( m + ) 入試問題.5 ( 難易度 C) åk å( 6k - ) 6å k - å 6 - m m [x] (4) ()() 実数 x に対して x 以下の最大の整数を [ x ] と表す 例えば m é5ù å kk ( m - )( m - ) + ( m -)( m - ) + m( m) [ ], m- ê ú é ù である 正の整数 に対して ( 6m - 0m + 4) + ( 6m - 5m + ) + 6m 8m - 5m + 5 とするとき 次の問いに答えよ ê ú m m m m m () åkk å( 8k - 5k + 5) 8å k - 5å k + 5å から 6 までの 6 つの項を求めよ m () 正の整数に対して m( m + )( m + ) m( m + å ) k を求めよ 8-5 + 5m m- m 6 () å k を求めよ m é m 6( m + )( m + ) - 5( m + ) + 0ù ém + m + ù ê ú m (4) å kk を求めよ (0 年関西学院大 ) 入試問題.6 ( 難易度 C)

x-[x]x[x]x[x]+ ì Þ 0 < 数 xx-[x] Þ < < Þ < < > Þ < î 実数 x の小数部分を 0 y< かつ x-y が整数となる実数 y のこととし これ ì æ ö - < ç を記号 x で表す 実数 に対して 無限数列 { è ø } の各項 (,,, ) を次 のように順次定める æ ö - ç < < çè ø (ⅰ) î (ⅱ) 0 のとき, + / 0 のとき, + 0 ì () のとき, 数列 { } を求めよ < Þ < : () 任意の自然数 に対して となるような / 以上の実数 をすべて求めよ < Þ Þ - (0 - 年東大文科 ) î Þ + - 0 Þ - ± + - ± < < Þ - x[x] 解法具体例から始める ì < < Þ < < () < < : Þ Þ - - - î + - ± 5 Þ + - 0 Þ - 5 - + - - < < Þ () () 0 x ì Þ î 0 < Þ 0 < / / Þ Þ 0 Þ ¹

.5 群数 m m- (m-)/ (8-)/ 8 55/56 () 55 8 - - - - - - - k - é ù é ( + ) ù - - k - k - - å å k k å å ê ú ê ú 8 8 8 k- k- - 8 55 å å ( - ) - 入試問題.7 ( 難易度 B) 分母が の累乗 分子が奇数であって 0 より大きく より小さい分数を次の 入試問題.8 ( 難易度 B) ように並べた数列を考える 5 7 5 7 9 5 5,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 4 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 6 6 以下の問いに答えよ () 8 は第何項であるか () 第 55 項を求めよ () このとき, 数列 { } において q/p は第何項か ただし q/p は 例え () 初項から第 55 項までの和を求めよ ば /4/ のように 約分しないものとする (008 年北見工大 ) () 第 00 項 00 を求めよ (0 年横浜市大 / 医 改題) - - 解法 群ごとの項数に注目する () / 8 87+ 解法 群ごとの項数に注目する 7 7 k- - 7 () q/p p+q- q mm å - 7 k - m 7 7 + 8( ) m m( m + ) å k () - - - q/p p+q- +q 8 55 - -Þ 8 7 8 8 ( p + q - )( p + q - Þ 8 55-55 ) + q 55 8 ( 8 -)/ 8 55/56 () m

( m - ) m m( m + ) ( ) ( ) 670 7 /7- /79 () 8 数7 < 00 Þ m m - < 00 m m + 6 7, 9, 7, 8, 4, 79, 87 Þ 79 < 87 Þ 7 6 00 m( m + ) Þ 00 0 4.4 m( m + ) Þ m ³ 4 - - - ì - 46 4 m( m + ) 4 5 + 8 Û + 464 - Û m 4 : 9< 00 05 î ³ 465 00-9 9, 9, 7, 8, 4, 79, 87, 656Þ 8 8-8 - 87 - - 00 4 9 p q Þ + + 094 8 80 Þ 8-094 + 089 ì p + q 4 + ì p 6 Þ 8 8 089 7 î q 9 î q 9 7 8 入試問題.9 ( 難易度 C) 089 4 7 + 8 Þ 7 + 7 + 7 5 4 4 次の数列を考える 入試問題.0 ( 難易度 C),,,,,,,,,,,,,, 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 () この数列の第 670 項を答えよ 自然数の列を, 次のように奇数個ずつの群に分ける. () この数列の初項から第 8 項までの和を答えよ,, 4, 5, 6, 7, 8 9, 0,,,, 4, 5 6, (04 年慶応大 / 商 ) 第 群 第 群 第 群 このとき, 次の問に答えよ () 第 群 (,,, ) の最初の自然数と第 群の最後の自然数を求めよ () 第 群に含まれるすべての数の和 S を求め 不等式 S + /S </ を満たす最 小の自然数 を求めよ 解法 群ごとの項数に注目する () 04 が第何群の何番目の自然数であるかを答えよ () 9 (4) 自然数 k の平方根の整数部分を k とする このとき, および k の第 5 項 - までの部分和 第 04 項までの部分和を求めよ 670 (04 年関西学院大 / 理工 ) k- - - å N ( k) + + 9 + å - - - - ì - 407 + 670 Û + 40 - Û î ³ 4 解法 群ごとの項数に注目する (), 4, 9, 6 + (+) - +

() S 数8 9 ( -) æ ö ( - )( + [] k 5 + 5+ ) + ( - ) ( - ) ç + çè ø 4 4 4 + S åk( k + ) + 44 79 åk + åk + 476 S å k + ( + ) + + ( + ) 4 44 ( 4 + ) 4 44 + + 476 + ( + ) 6 ( ) + é ù ( ) ê + - + + ú 4 44 ( 87 + ) + 476 4 ( 9 + ) + 476 59 90 ( + )( + ) 6 S 入試問題. ( 難易度 C) S å( + k) å+ å k ( + ) + å k 0 0 0 自然数の列,,, 4, を 次のように群に分ける. +,, 4, 5 6, 7, 8, 9, 0,, ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + )( + ) 第 群第 群第 群 ここで 一般に第 群は (-) 個の項からなるものとする 第 群の最後の項を で表す S ( + )( + )( + ) ( + )( + + ) < () 5 である 4 を答えよ S ( + )( + ) ( + ) () - - を を含む式で表し 一般項 (,,, ) を求めよ Þ ( + )( + ) - ( + ) () 600 は第何群の小さい方から何番目の項であるか答えよ ( 4 + 4 + ) -( 6 + ) y (4),,, に対し, 第 (+) 群の小さい方から 番目の項 b を を含む - + + < 0 Þ - - > 0 - - 0 式で表し b の逆数を部分分数に分解して å を求めよ b 6 7 k ± + 4 4 ± 7 Þ (00 年センター試験数学 IIB) 4 4 O x 4 96 < 7 < 5 5 Þ 4 < 7 < 5-7 + 7 4 4 5 + 7 6 Þ 6 < < < < 7 Þ 7 4 4 4 04 () 04044496 解法 群ごとの項数に注目する 450544449604 () 470 5+4 04-96+794479 +4+7 4 +4+7+0 (4) k k (),, 4, 5, 6, 7, 8 9, 0,,,, 4, 5 6, - - - - - -,,,,,,,,,,,, 4, å( k - k- ) - å( k - ) å( k + ) å k + å 74 04 k(k-) ( )( ) - + - - + -

çè ø ( )( ) - + - - + - + () 600 第何群の何番目の項かを る めには 何群かを す の を求める かに を するには な の 方 に対して を し て 方 を す ら 0 では は さ を す のは の です ( ) ( ) - - - - + 600 Þ - 7 + 5 00-00 - Þ - - 00 0 Þ > 0 4400 0» 0 6 6 ì Þ > - Þ ³ î Þ 0-7 0 + 5 < 00 0-0 Þ 0 Þ 0 590 0 00 0 0 ± + 4400 6 し て 600 は第 群に し 第 0 群の最 項 590 なので 600 は第 群の小さい方から数えて 0 番目とな す (4) 第 (+) 群の小さい方から 番目の項は 第 群の 項から 番目の項であ b は次のように ら す の逆数は部分分数に分解で て の部分 も に ら す 第 章漸化式の 0 種パターンの完全対策 - - + 4 + k k k ( ) ( ) b + + æ ö ç - b + çè + ø å æ ö æ ö å - - b èç k k + ø çè + ø + 40