夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 第 講 三角比 データの分析 ABC は AB=,BC=,AC= を満たす ⑴ cos B= アイ である 辺 BC 上に点 D を取り, ABD の外接円の半径を R とするとき, AD R = ウであり, 点 D を点 B から点 C まで移動させるとき,R の最小値はエである ただし, 点 D は点 B とは異なる点とする ⑵ ABD の外接円の中心が辺 BC 上にあるとき, R= オ カ キ であり, ACD の面積はクケ コ サ である 6
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 7 7 7 7 [] 人の生徒に数学のテストを行った 次の表 は, その結果である ただし, 表 の数値はすべて正確な値であるとして解答せよ 表 数学のテストの得点 6 88 68 6 86 8 7 6 6 6 7 8 98 66 7 7 8 96 次の表 は, 表 の 人のテストの得点を度数分布表にしたものである 表 人の生徒の得点の度数分布表 階級 ( 点 ) 度数 ( 人 ) 以上 未満 以上 未満 以上 未満 以上 6 未満 6 以上 7 未満 6 7 以上 8 未満 8 8 以上 9 未満 9 以上 未満 合 計 人の得点の中央値は アイ である 7
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 [] A 組から D 組の各組 人の生徒に対して理科のテストを行った 次の図 は, 各組ごとに理科のテストの得点を箱ひげ図にしたものである A B C D 6 7 8 9 図 A 組から D 組の理科のテストの箱ひげ図 ⑴ 次のウ, エに当てはまるものを, 下の のうちから一つずつ選べ ただし, 解答の順序は問わない 図 の箱ひげ図について述べた文として誤っているものは ウ と エ であ る A,B,C,D の 組の最高点の生徒がいるのは B 組である A,B,C,D の 組で比べたとき, 四分位範囲が最も大きいのは A 組である A,B,C,D の 組で比べたとき, 範囲が最も大きいのは A 組である A,B,C,D の 組で比べたとき, 第 四分位数と中央値の差が最も小さいのは B 組である A 組では,6 点未満の人数は 8 点以上の人数よりも多い A 組と C 組で 7 点以下の人数を比べたとき,C 組の人数は A 組の人数以上であ る ( 次ページに続く ) 8
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 ⑵ 次のオに当てはまるものを, 下の のうちから一つ選べ 図 の C 組の箱ひげ図のもとになった得点をヒストグラムにしたとき, 対応するも のはオである ただし, ヒストグラムは [] の表 の度数分布表と同じ階級を 用いて作成した 9 8 7 6 6 7 8 9 9 8 7 6 6 7 8 9 9 8 7 6 6 7 8 9 9 8 7 6 6 7 8 9 9
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 67 7 7 7 7 67 7 7 [] 次の表 は, あるクラスの生徒 人に行った科目 X と科目 Y のテストの得点であ り, これらの平均値, 標準偏差, 共分散をまとめたものが下の表 である 表 科目 X と科目 Y の得点 科目 X 6 6 8 6 8 8 8 7 7 6 6 6 9 6 科目 Y 8 6 6 8 6 9 66 9 6 8 6 科目 X 8 68 9 68 9 9 6 8 6 科目 Y 8 66 69 776 9 8 6 表 平均値 標準偏差 科目 X 7.9 7.8 科目 Y 8.9.7 科目 X と科目 Y の得点の共分散 6.89 ( 共分散とは, 科目 X の得点の偏差と科目 Y の得点の偏差の積の平均値である ) ⑴ 次のカに当てはまるものを, 下の のうちから一つ選べ 科目 X と科目 Y の得点を散布図にしたものはカである 9 8 7 6 Y X 9 8 7 6 Y X 6 6 7 7 8 8 9 8 7 6 X Y 9 6 7 8 9 9 8 7 6 X Y 9 6 7 8 9 ( 次ページに続く )
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 ⑵ 次のキに当てはまるものを, 下の のうちから一つ選べ 表 の得点を にして 点満点の得点に換算した 例えば,6 点であった場合は得点を で割った値である 点とし,6 点であった場合は. 点とする このとき, 科目 X の得点の偏差と科目 Y の得点の偏差は, 換算後, それぞれもとの得点の偏差の になる したがって, 科目 X についてもとの標準偏差と換算後の標準偏差を比較し, さらにもとの共分散と換算後の共分散を比較すると, キ 換算後の標準偏差と共分散の値はともに, もとの値の になる 換算後の標準偏差と共分散の値はともに, もとの値の になる 換算後の標準偏差の値はもとの値の になり, 共分散の値はもとの値の に なる 換算後の標準偏差の値はもとの値の になり, 共分散の値はもとの値の に なる
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト解答第 講 第 講 三角比 データの分析 ⑴ ABC において余弦定理より, cos B= +( ) = = よって, B= より,sin B= ABD において正弦定理より, よって, AD R AD sin B =R = sin B= = より,AD=R したがって, 点 D が辺 BC 上を動くとき,R が最小となるのは辺 AD の長さが最小となるときであり, それは ADB=9 のときである. このとき, 直角三角形 ADB において,R=AD=AB sin B= = ⑵ ABD の外接円の中心が辺 BC 上にあるとき, 辺 BD は外接円の直径であり, BAD=9 である. これと B= より,AD:AB=: よって,R=AD= AB= また,BD=R= 8 = より,CD=BC BD= 8 したがって, ACD= CD AD sin ADC = = = sin = 人の得点の中央値は, 得点の小さい順に並べたときの 番目と 6 番目の人の得点の平均である. 表 の度数分布表より, 番目,6 番目は, それぞれ 6 点以上 7 点未満の階級における小さい方から 番目と 6 番目である. 表 から 6 点以上 7 点未満の得点を抜き出し, 小さい順に並べると 6,6,6,6,66,68 である. よって, 求める中央値は, 66+68 =67 ⑴ のそれぞれの真偽を調べる. について, 明らかに正しい. について, 四分位範囲が最も大きいのは, 箱ひげ図より C 組である. よって, は誤り. について, 明らかに正しい.
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト解答第 講 について, 明らかに正しい. について 箱ひげ図より,A 組の第 四分位数は 6 点, 第 四分位数は 8 点である. 得点を小さい順に並べたとき, 第 四分位数は 8 番目, 第 四分位数は 番目である. よって, 番目 7 番目の 7 人は 6 点以下より,6 点未満の人数は 7 人以下である. また, 番目 番目の 7 人は 8 点以上であり, 番目の生徒を加えると, 少なくとも 8 人は 8 点以上である. さらに,9 番目 番目にも 8 点の生徒がいる可能性がある. したがって,8 点以上の人数は 8 人以上である. ゆえに, は誤りである. について A 組について, 中央値 ( 小さい方から 番目と 6 番目の平均 ) が 7 点より大きいので,7 点以下の生徒は 6 番目 番目には存在しない. よって,7 点以下の生徒は, 多くて 番目 番目の 人, つまり 人以下である. C 組について, 中央値が 7 点ちょうどである. よって, 番目 番目の生徒 人は 7 点以下であり, また,6 番目 番目の生徒にも 7 点の生徒が存在する可能性がある. したがって,7 点以下の生徒は 人以上である. ゆえに,は正しい. ⑵ 箱ひげ図より, 第 四分位数 ( 小さい方から 8 番目 ) の生徒は 6 点以上 7 点未満, 第 四分位数 ( 小さい方から 番目 = 大きい方から 8 番目 ) の生徒は 8 点以上 9 点未満である. ヒストグラム から について, 大きい方から 8 番目の生徒が 7 点以上 8 点未満より, 不適. について, 小さい方から 8 番目の生徒が 点以上 6 点未満より, 不適. について, 適する. について, 大きい方から 8 番目の生徒が 7 点以上 8 点未満より, 不適. ⑴ 表 の科目 X, 科目 Y の得点について, 科目 X の得点の最大値は 8 点で, X,Y = 8,66 科目 Y の得点の最大値は 8 点で, X,Y = 78,8 散布図 から について,Y の最大値が 8 点より大きいので, 不適. について,X の最大値が 8 点より大きいので, 不適. について,X,Y の最大値が 8 点より大きいので, 不適. について, 適する.
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト解答第 講 ⑵ 得点を にしたとき, 平均値および偏差も となる. ここで,( 偏差の 乗 ) の平均である分散は, もとの分散の となるが, その分散の正の平方根である標準偏差は, もとの標準偏差の となる. また,X と Y の共分散については,(X の偏差と Y の偏差の積 ) の平均であり, X の偏差,Y の偏差がともに のとき, その積はもとの積の となり, その平均である共分散も となる. したがって, 正しいのは である. 6