05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ四面体 OABC において, 3 つのベクトル OA, OB, OC はどの つも互いに垂直で あり, h > 0 に対して, OA, OB, OC h とする 3 点 O, A, B を通る平面上の点 P は, CP が CA と CB のどちらとも垂直となる点であるとする 次の問いに答えよ () OP OA + OB とするとき, と を h を用いて表せ () 直線 OP と直線 AB が直交していることを示せ (3) PAB は, 辺 AB を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ --
05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 関数 f ( ) e について, 次の問いに答えよ () 関数 y f ( ) について, 増減および凹凸を調べ, そのグラフをかけ ただし, 必 要ならば lim e 0 を用いてもよい - () 不定積分 e d, e dをそれぞれ求めよ (3) 0 に対し, g( ) f ( ) - f ( ) とおく 0 の範囲で, 曲線 y g( ) と 軸ではさまれる部分を, 軸のまわりに 回転してできる回転体の体積を V( ) とする V( ) を求めよ (4) (3) の V( ) が最小値をとるときの の値を とする 最小値 V( ) と, f ( ) の値 を求めよ ただし, の値は求める必要はない --
05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程問題 3 解答解説のページへ関数 y log3 とその逆関数 y 3 のグラフが, 直線 y - + sと交わる点をそれ u ぞれ P(, log 3 ), Q( u, 3 ) とする 次の問いに答えよ () 線分 PQ の中点の座標は, ( s, s ) であることを示せ () s,, u は s + u, u log3 であることを示せ (3) lim su - k 3 が有限な値となるように, 定数 k の値を定め, その極限値を求めよ -3-
05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ > とする 無限等比級数 3 3 + ( - ) + (- ) + (- ) + が収束するとき, その和を S( ) とする 次の問いに答えよ () この無限等比級数が収束するような実数 の値の範囲を求めよ また, そのときの S( ) を求めよ () が () で求めた範囲を動くとき, S( ) のとり得る値の範囲を求めよ (3) 0 I( ) S( ) dとおくとき, 極限値 lim I( ) を求めよ -4-
05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 条件より, OA, OB, OC は, どの つも互いに垂直であ z り, OA, OB, OC h ( h > 0) なので, 右図の h C ように, 点 O を原点としてとり, A (, 0, 0), B(0,, 0), B C(0, 0, h ) とおくことができる y これより, OP OA + OB (,, 0) となり, O A CP (,, -h ) また, CA (, 0, -h ), CB ( 0,, -h ) である すると, 条件から, CP CA 0, CP CB 0 となるので, + h 0, 4 + h 0 よって, - h, - 4 h である OP -h, - h, 0 - h (,, 0) また, AB (-,, 0) より, OP AB - h (- + + 0) 0 () () より, ( ) よって, 直線 OP と直線 AB は直交している OM OA + OB,, 0 すると, OP は OM の定数倍とはならないので, 3 点 O, P, M は同一直線上にない すなわち, 点 P は線分 AB の垂直二等分線上の点ではない よって, PAB は, 辺 AB を底辺とする二等辺三角形ではない (3) 線分 AB の中点を M とすると, ( ) [ 解説 ] 与えられた条件から, 座標系を設定しています すると, 続きは成分計算となります なお, 普通に計算していっても, 記述量はやや多くなる程度です -- 電送数学舎 05
05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () f ( ) e に対し, - - f ( ) e + e ( + ) e f ( ) - - 0 + f ( ) e + ( + ) e f ( ) - 0 + + ( + ) e f ( ) - - すると, y f ( ) の増減および凹凸 e e は右表のようになり, lim e 0, lim e から, y - グラフは右図のようになる () e d e - e d ( - ) e + C e d e - e d ( - ) e + e d ( ) - + e + C 4 (3) 0 に対し, g( ) f ( ) - f ( ) とおくと, g ( ) 0 (0 ), g ( ) 0 ( ) 曲線 y g( ) と 軸ではさまれる部分を, 軸のまわりに 回転してできる回転体の体積 V( ) は, () の結果を利用すると, V( ) { g ( )} d { f ( ) - f ( )} d ( e -e ) d 0 0 0 e d e e d e d 0 0 0 ( ) e e ( ) e e 0 0 - + - - é - + ù - é - ù + 4 êë úû êë úû ( e -)- e + e ( e - e + e - ) 4 4 4 (4) V ( ) (e + e -e - e ) 0 e ( e + e -- ) V ( ) - 0 + e ( + )( e - ) V( ) ここで, e すなわち f ( ) の解は, () から 0< < にただ つあり, これを とおくと, V( ) の増減は上表のようになる すると, V( ) は で最小となるので であり, f ( ) V( ) ( - + e - ) ( 5) 4 4 4 e - - e O - e [ 解説 ] 計算量が標準的な, 微積分の総合問題です (4) は V ( ) の因数分解が気づきにくいのですが, ヒントは f ( ) の値を求めるという設問です -- 電送数学舎 05
05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 3 問題のページへ () y log3 と y 3 のグラフは, 直線 y 3に関して対称である また, 直線 y - + s 4は, 直線 y に関して 対称となっている すると, と4の交点 P(, log 3 ) と, と4の交点 u Q( u, 3 ) は, 直線 y に関して対称である これより, 線分 PQ の中点は直線 y 上にあり, 3 と4を連立すると, - + s, y s である よって, 中点の座標は ( s, s ) となる () () より, + u s となるので, s + uである また, 点 P, Q が直線 y に関して対称であることより, 3 u, u log3 ( log 3 )log3 (3) () より, su - k + -k (log 3) + log3-k -3-3 ここで, 3 のとき 0 となるので, lim su - k 3 が有限な値となるために は, 3 のとき ( log ) + log -k 0 となることが必要であり, さて, 3 3 3 3 ( log 3) + 3log 3- k 0, 3 3 k + 3 4 f ( ) (log ) + log とおくと, f (3) 4 であり, log3 ( ) log 3 log3 + + log3 f + log 3 + log3 log3 log3 よって, su - k ( log 3) + log3-4 f ( )- f (3) となり, lim su - k f (3) + + + 5 3 3log3 log3 3log3 y s O u Q P s [ 解説 ] 関数の極限についての問題です ただ, 上の解答例 ()() は 明らか ということを記しているにすぎません これでよいのかと戸惑ってしまいます -3- 電送数学舎 05
05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ 3 3 () > のとき, 無限等比級数 + ( - ) + (- ) + (- ) + が収束する条件は, - < ( - ) < (*) である (*) の左側の不等式は, - - < 0となり, - + 4 < < + + 4 (*) の右側の不等式は, - + > 0となる, - + 0の D - 4 < 0 から, つねに成り立つ よって, 求める条件は, - + 4 < < + + 4 であり, このとき, S( ) -(-) - + () まず, f ( ) - + ( - ) + - 4 とお y くと, y f ( ) のグラフは右図のようになる また, - + 4, + + 4 とおくと,, は, そこで, - - 0すなわち f ( ) の解となる < < において, f ( ) のとり得る値は, - f ( ) < 4 すると, < 4 より, <S( ) 4 である f ( ) 4-4 - (3) 0 において, - f ( ) となるので, S( ) 4 より, 4 4 - ( ) 4 d S d d, I( ) 4 0 0 0 4-4- よって, I( ) 4 から, lim I( ) である 4 - α O β [ 解説 ] 無限等比級数の収束条件を題材とした問題です () が (3) のストレートな誘導となっている佇まいですが, そうではありませんでした -4- 電送数学舎 05