紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折る このとき 相似形はいくつできるだろうか? 個 固定固定固定 固定 個 個 固定 固定 個 個 固定 個 4 個 4 個
* 隣り合う辺を結んで折るとき 最大 個 * 向かい合う辺を結んで折るとき 最大 4 個 < 問題 > 固定される場合 その位置はどこか? そのときの相似比はいくらか? 返上を移動する場合 その範囲はどうか? 合同になるときはあるか? それはどんなときか? 4 相似比が :: のようにきれいな比になることはあるか? それはどんなときか? 5 頂点が移動するとき その軌跡はどうであるか? < 正方形 > 長方形では いろいろな形が考えられてまとめにくいから まずは正方形で考えよう * 正方形では 次の つの場合しかない D A D A D S B R R B B 問題 の動く範囲はどうか? は辺 AD 上を動く ( ただし 端点は除く ) D=x として 0<x< 問題 の面積比はどうか? =0 x=5 で考えよう A 5 5 D y R B B
< 渡辺の回答 > RD=x とすると R=R=0-x 5 5 +y =(0-y) これを解いて y= 4 5 よって RD= 4 5 R= 4 5 :=RD:A = :5=:4 4 4 0 したがって A= D = また =5t B =4t B =t B=+B =0-A 0 8t=0- とおけるから これを解いて t= 5 5 5 したがって B = = 4 以上より 5 5 ::=RD:A :B = :5: =5:0:5=:4: 4 4 一般で考えよう A -x x D y R B B < 渡辺の回答 > RD=yとすると R=R=-y -x x +y =(-y) これを解いて y= -x よって RD= R=- -x = +x -x :=RD:A = :-x=+x: A x したがって A= D =x +x=+x RD
A +x また = R = +x = RD +x +x +x ここで B =- =- = x-x +x +x x x-x したがって :=A:B = : =:-x +x +x 以上より ::=+x::-x (0<x<) である < 性質 > の比をグラフに表すと グラフより 面積として << が成り立つ 0 x また 相似比として += が成り立つ < 藤本 > 文字を使わずに 紙を折る動作だけで += を説明できないか? それは無理のようだ < 折れ線は何?> - /(+) (- )/ n (- )/(+) n n ( +)/(+) 0 -:/(+) =n:(- )/(+) n=(-) / よって折れ線 :y=x+(-) / ( +)/
< 長方形 > A D B A= - - D=- AB: D=AB:D=:- - ただし < したがって AB> D (<) が成り立つ 4 つの直角三角形がすべて相似となる はいくらか? A D B すべてが相似になるのは B= B= D=60 のときである よって == B= AB:B=B:B :=: したがって = このとき ::=B:B: = :: である また の相似比は の 辺の比に等しいことがわかる
A R D B AB=A(=) よって である したがって ARは二等辺三角形である ARが正三角形になるのは がいくらのときか? A R D 60 60 60 B B=R=RD AR=B したがって =AD=B+RD=RD+RD=RD RD= よって B=RD= すなわち =AB= B=
つまり = のとき 上記の 7 つの直角三角形は すべて合同である ( 一般に立ち返ると ) A R D B は合同である AR=R より 四角形 AR はひし形である
相似三角形を作らない折り方. どんな三角形にすることができるか? 左図より いつも二等辺三角形である =60 のとき 正三角形である =45 のとき 直角二等辺三角形である どんな四角形にすることができるか? * 向かい合う辺は平行とはならないので 平行四辺形の特別なものにはなり得ない * たこ形になるとき もとの長方形の形による
いろいろな問題. 渡辺の問題 * 平行四辺形を折るとき つの三角形は相似か?. 藤本の問題 * 平行四辺形を折ると相似な三角形が 組できる. 泉の問題 * 二等辺三角形を 図のよう平行になるように折るとき つの三角形にはどんな関係があるか? 4. 対称に折る問題 ( 藤本 ) 正三角形 * 正三角形を折ると つの相似な三角形ができる * 線対称になる折り方はどうか 正方形 * 正方形が線対称になるような折り方はどうか?
< 渡辺の問題 に対する解答 > 図において A D Dはに関して点 Bと対称な点であるから点 Oは対角線 BDの中点である したがって Oは平行四辺形の中心だから O=O よって 対角線が互いに他を二等分するので 四角形 BDは平行四辺形である O よって D=B D= B AD= AD- D B= AB- B B すなわち AD= B また AD=B より AD B B 'D よって AD 'D である <アローナの問題 に対する解答 > DEと GFE において D= F( 平行四辺形の対角 ) B A DE= FEG( 対頂角 ) ゆえに DE GFE ABと IHG において上より DE= FGE D DE= AB( 対頂角 ) FGE= IGH E I よって AB= IGH G また B= H( 平行四辺形の対角 ) F H ゆえに AB IHG <アローナの問題 に対する誤解 > A AB だから つの三角形はみな D と相似だといえる < 藤本のアローナへの反論 > AB とは言えない B 実際 もし AB だと仮定すると = = b とおくと b の内角の和より + b=80 また A= + b=80 から = b これは矛盾である E
<アローナの問題 に対する解答 > = c f = f c= g e g f= e c= d d= b d よって つの三角形は相似である b c b b b c c c +b+c= c = +b -bcos60 = +b -b (--b) = +b -b + +b --b+b= +b -b --b+b=0 b(-)=- - b= - - -- +-+ c=--b=-- = - - +- = - つまり - b= - +- c= (0<< ) -
( 藤本の予想 ) 4 は明らかである さらに とすると 4 と成りそうである 4 < 証明 > とすると b c b c c d= b f 4 一辺の長さは +b+c よって d= したがって よって f=b したがって 4である つまり ならば 4 である ( 追加予想 ) 対称になるには 4 で十分であるが このときも 4 が言えそうである 証明は不明
<Mthemtic の利用 > b c - d e f g i h j 4 k d:e=b: d:f=b:c g:h=:b g:i=:c j:k=b: j: =b:c c= +b d=--c e=d/b f=cd/b g=-b-f h=bg/ i=gc/ j=-e-i k=j/b =jc/b Mthemtic を利用すると h+ +k= ならば 4