二次関数 二次関数とは ともなって変化する つの数 ( 変数 ) x, y があります y 0 9 6 5 つの変数 x, y が, 表のように変化するとき y は x の二次関数 といいます また, つの変数を式に表すと, x となります < 二次関数の例 > x y 0 7 8 75 x ( 表の上の数 ) を 乗して 倍すると, y ( 表の下の数 ) になります x y 0 - -8-8 - -50 x ( 表の上の数 ) を 乗して - 倍すると, y ( 表の下の数 ) になります ( x のような式も二次関数ですが, ここでは ax という形のみを扱います ) 二次関数の変域 x で, x が負の数の場合もあります x の変化する値の範囲が- から までとするとき, この ことを - x と表します x - - - 0 y 9-0 このような, x の変化する値の範囲を x の変域 といいます このとき, 表のように y の値も変化します y の値は x =0 のとき最小で 0, x =- のとき最大で 9 と なります したがって, y の変域 は,0 y 9 と表すことができます < 変域の例 > x で x の変域が- x のとき, y の値は x =- のとき最小で-8, x =0 のとき最 大で 0 となります したがって y の変域は,-8 y 0
二次関数の変化の割合 x の表で,x が から まで増加するところに着目すると,y は から 8 に増加しています このとき,x の増加量 -= に対する,y の増加量 8-=6 の割合を 変化の割合 といいます したがって, x が から まで増加するとき, 6 ( 変化の割合 )= =8 y 0 7 8 75 < 変化の割合の例 > x で x が- から まで増加するとき, y の値は, x =- のとき 8 8 とき =8 なので,( 変化の割合 )= ( ) 0 = 5 =- =8, x = の < 変化の割合を簡単に求める > x で x が- から まで増加するとき,( 変化の割合 )=(-+) =- と求める方法が あります ax で, x が s からt まで増加するとき,( 変化の割合 )= a( s t) 二次関数のグラフ x で表の x, y の値の組を座標とする点をとります x - - - 0 y 9 0 9 さらに点と点の間に, x となる値の組を座標とする 点をとっていくと, 図のようになめらかな曲線になります この曲線を x のグラフといいます また, このような曲線を 放物線 といいます このグラフは x <0 の範囲では y の値は減少し,x >0 の範囲では y の値は増加します また,x =0 のとき, y の値は最小になります グラフの形は 上に開いている という言い方をします
5 二次関数の式とグラフの交点 二次関数では, y は x に比例 します したがって, 関数の式を このことから, 二次関数のグラフ上の点の座標がわかっているとき, 二次関数の式を x と y の値を代入することによって, 式を求めることができます ax とおくことができます ax とおいて, < 例 > (,- ) を通る二次関数の式 二次関数のグラフと一次関数のグラフの交点は, つの関数の式から方程式をつくり, これを解くことによって求められます ax a a x < 例 > x と, x+ との交点 x x x x 0 ( x )( x ) 0 x =-, x =- のとき y =, x = のとき y =9 したがって, 交点の座標は,(-, ),(,9 ) 6 二次関数の応用問題 () 三角形の面積 ax のグラフと直線 lが, 点 A,B で交わって l います 点 A の座標が (-, ), 点 B の x 座標が であるとき, AOB の面積を求めましょう a を求める (-, ) を ax に代入して a ( ) a
点 B を求める a であることから, 点 B の x 座標 を したがって,B(, ) x に代入して, 直線 AB の式を求める A(-, ),B(, ) から,( AB の傾き )= ( ) AB の式を x b とすると,(-, ) を代入して, ( ) b からb 6 したがって,AB の式は x 6 AOB の面積を求める AB の式が x 6 であることから,OP=6 したがって, AOB= AOP+ BOP であることから, AOB= AOP+ BOP= AH OP+ BI OP = 6+ 6 =6+=8 () 文字 ( パラメータ ) を用いる x と x 0 y のグラフが 交わっています 長方形 ABCD で, CD= のとき, 点 B の座標を求めま しょう 点 A の座標を文字で表す 点 A の x 座標をt とすると, x のグラフ上の点であることから,
y 座標は t 点 B の座標を文字で表す 点 B の座標は CD= なので,B( t, t ) t を求める 点 B は x 0 のグラフ上の点なので,( t, t ) を代入して, t ( t ) 0 t t 6 0 ( t 6)( t ) 0 点 B の座標を求める t= であることから,B( 7, ) t =-6, () 面積の二等分線を求める平行四辺形 ABCD があります 点 D は x のグラフ上の点, 点 B,C は x のグラフ上 の点で, 点 C の x 座標が とします このとき, 平行四辺形 ABCD の面積を 等分する 傾き の直線の式を求めましょう 点 C,B の座標を求める 点 C の x 座標が なので, =- から,C(,-),B(-,-) 点 A,D の座標を求める BC=AD= から, 点 D の x 座標は なので, = から,D(, ) 面積の二等分線を求める平行四辺形 ABCD の対角線の交点は BD の中点なので, x 座標は =, y 座標は = 5
平行四辺形の対角線の交点を通る直線は, 平行四辺形の面積を 等分する したがって, 傾き の直線の式を x b とおくと,(,) を通るので, bから,b =- したがって, 直線の式は x 補足 () 平行四辺形の二等分線 A E D 平行四辺形 ABCD の対角線 AC,BD の交点を O とします このとき, 平方四辺形 ABCD は, 点 O を O 中心として点対称になっている このとき, 点 O を通るように直線 EF をひくと, B F C 四角形 ABFE 四角形 CDEF となる したがって, 直線 EF は平方四辺形 ABCD の面積を 等分する () 変化の割合 ax で, x の値が, s からt まで増加するとします as at このとき,( 変化の割合 )= s t x s t y as at a( s t ) a( s t)( s t) = a( s t) s t s t < 例 > x で, x が-.5 から.5 まで増加するとき, ( 変化の割合 )= (.5.5) = = 6