[ 証明 ] この証明を論理的に厳密に行うには 何回か三角形 四角形の合同を証明しなくてはなりません 以下では 直感的な分かりやすさを重視して この証明を行いません 三角形 において であるとする 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 Fを三角形 の外側につくる 直線 と直線 との交点を J とし 直線 と直線 F との交点を K とする 点 K を通り 直線 に平行な直線と直線 との交点を L とする 点 を通り直線 に平行な直線と直線 との交点を とする 直線 と直線 との交点を P とする 点 から直線 に下ろした垂線の足を Q とする 線分 P 上に PR を満たす点 R をとる 点 R を通り直線 に平行な直線と直線 との交点を N とする 直線 と直線 との交点をS とする K L J F S P Q 次の図形の組は合同である KFと Q KL と NR Jと P 四角形 KLと四角形 Q 四角形 Jと四角形 NPR 以上より R N ゆえに ( 四角形 ) ( 四角形 ) ( 四角形 F)
[ 証明 ] この証明を論理的に厳密に行うには 何回か三角形 四角形の合同を証明しなくてはなりません 以下では 直感的な分かりやすさを重視して この証明を行いません 三角形 において であるとする 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 Fを三角形 の外側につくる 直線 と直線 との交点を J とし 直線 と直線 F との交点を K とする 点 K を通り 直線 に平行な直線と直線 との交点を L とする 点 を通り直線 に平行な直線と直線 との交点を とする 直線 と直線 との交点を P とする 点 から直線 に下ろした垂線の足を Q とする 線分 Q 上に R K を満たす点 R をとる 点 R を通り直線 に平行な直線と直線 との交点を N とする 直線 と直線 との交点をS とする K L J F S P Q R N 次の図形の組は合同である KFと P KL と NR Jと P 四角形 KLと四角形 Q 四角形 Jと四角形 NQR 以上より ( 四角形 ) ( 四角形 ) ( 四角形 F) ゆえに
[ 証明 ] この証明を論理的に厳密に行うには 何回か三角形 四角形の合同を証明しなくてはなりません 以下では 直感的な分かりやすさを重視して この証明を行いません 三角形 において であるとする 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 F を三角形 の外側につくる 直線 と直線 F との交点を K 点 を通り直線 に平行な直線と直線 Fとの交点を L とする 直線 K と直線 L との交点を J とする 線分 上に P J を満たす点 P をとる 線分 上に N J を満たす点 N をとる 線分 上に JK を満たす点 をとる 線分 上に Q JLを満たす点 Q をとる 線分 QP 上に QS を満たす点 S をとる 線分 SN 上に SR を満たす点 R をとる K F L J Q S P R N 次の図形の組は合同である PQ と J 四角形 PNS と四角形 KJ 四角形 NR と四角形 LJKF Q と JL 四角形 RSQ と四角形 以上より ゆえに ( 四角形 ) ( 四角形 ) ( 四角形 F)
[ 証明 5] この証明を論理的に厳密に行うには 何回か三角形の合同を証明しなくてはなりません 以下では 直感的な分かりやすさを重視して この証明を行いません 三角形 において であるとする 辺 を一辺とする正方形 FJをつくる ( ただし 直線 に関して点 と同じ側につくるものとする ) 辺 を一辺とする正方形 をつくる ( ただし 直線 に関して と反対の側につくるものとする ) 点 F から直線 に下ろした垂線の足を とする F を一辺とする正方形 Fをつくる ( ただし 直線 F に関して点 と同じ側に作るものとする ) J L F K 次の図形の組は合同である と J FL と FK K と JL したがって 仮定より ( 四角形 FJ) ( 四角形 F) ( 四角形 ) ( 四角形 FJ) ( 四角形 ) また と F は合同であるから F したがって ( 四角形 F) 以上より
[ 証明 6] 三角形 において であるとする 辺 の中点をそれぞれ N とする 一辺が線分 の長さと等しい正方形 をつくる それぞれの辺の中点 を図のようにとる 直線 と直線 との交点を O とする 三角形 Nと合同な三角形 O O O O を図のようにつくる 直線 と直線 との交点を F とする 図のように F F F も同様に定める 平面上に点 P をとり 四角形 F の頂点 が点 P に重なるようにおき これを四角形 P とする 次に四角形 F を辺 が線分 P と重なるようにおき これを四角形 P とする 次に四角形 F を辺 が線分 P と重なるようにおき これを四角形 P とする 次に四角形 F を辺 が線分 P に重なるようにおき これを四角形 P とする ( 以下で示すように P かつ P であるから と P は重なる ) N P F F O F F 四角形 において // であるから この四角形は平行四辺形であり 同様にして // // より四角形 O は平行四辺形である このことと より 四角形 O は正方形である 他のつの四角形についても同様のことが言えるので四角形 O 四角形 O 四角形 O 四角形 O は正方形で 一辺が線分 の長さに等しい より 上述のように三角形 O O O O をつくることができて O O O O N 5 5より 四角形 OF は正方形である 他のつの四角形についても同様のことが言えるの 5
で四角形 O F 四角形 O F 四角形 O F 四角形 O F は正方形で 一辺が線分 N の長さに等しい 6 より 前述のように四角形 P P P P をつくることができる 仮定より F F であるから F 80 したがって F P P 80 が成り立つので は直線 上にある についても同様である 仮定と6より F F N N 7 F F N N 8 78より N N N N N である 四角形 の他の辺についても同様で が成り立つ 内角はすべて 90 だから四角形 は正方形で 一辺は の長さに等しい 9 仮定より ( 四角形 ) 0 ( 四角形 ) ( 四角形 ) ( 四角形 ) 6より ( 四角形 F F F F ) 9 より ( 四角形 ) 0 より 6
[ 証明 7] 三角形 において であるとする 線分 の の側の延長上に を満たす点 をとる 三角形 と合同な三角形 をつくる ( ただし 直線 に関して点 と同じ側につくる ) 線分 を一辺とする正方形 をつくる ( ただし 直線 に関して点 と同じ側につくるとする ) 線分 を一辺とする正方形 をつくる ( ただし 直線 に関して点 と同じ側につくるとする ) 三角形 と合同な三角形 F をつくる ( ただし 直線 に関して点 と逆の側につくるとする ) F 三角形 と三角形 F において F F F F F であるから F と仮定より F F は合同である と より より F F F より F F 四角形 F は正方形 仮定と 5 より より 5 ( 四角形 F ) ( 四角形 ) 67 より ( 四角形 ) ( 四角形 F ) ( 四角形 ) ( 四角形 ) 7 6 7
[ 証明 8] ( 証明としてはかなり大雑把です 適宜 補って読んでください ) 三角形 において であるとする 辺 の中点を とする 点 を を満たすようにとる ( 点 は直線 に関して点 と逆側にとるものとする ) 点 を を満たすようにとる ( 点 は直線 に関して と逆側にとるものとする ) 線分 の中点を N とし 線分 の中点を P とする P N 直角三角形の外心は斜辺の中点である から より 5 より 6 7 8と より 70 より 0 59と より 8 9 80 したがって // 中点連結定理より P // PN // 8
P PN より点 P は直線 N 上にあり より P NP N N 656 より これと より 5 6 9
[ 証明 9] 三角形 において であるとする 辺 の中点を とする を満たすように点 をとる ( 点 は直線 に関して点 と逆の側にとるものとする ) を満たすように点 をとる ( 点 は直線 に関して点 と逆の側にとるものとする ) 線分 の中点を P とする P より より 5 6 7と より 9 より 7 8 80 6 より // 0 9 仮定と より 中点連結定理を用いて P // P // P P 0 より点 P は直線 上にあって より 0
直角三角形の外心は斜辺の中点である から 5 55 より ゆえに
[ 補題 ] O 上の図において O O O O O O O であると する 点 は直線 O と直線 との交点である このとき であり O と O の面積は等しい ( 証明 ) を示せば O と O の面積が等しいことは明らかである 以下で を示す 線分 O の O の側の延長上に O を満たす点 をとる O O より O O O O したがって O O O と O において 仮定より O O O より O O であるから O O 同様にして より より O O O O O O 5 5 より四角形 O は平行四辺形であり ( 証明おわり )
[ 証明 0] 三角形 において であるとする 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 Fを三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 点 から直線 に垂線 J を引き 直線 J と直線 との交点を K とする F J K F F であるから [ 補題 ] より = F K // より より より = K F= K ( 四角形 F)=( 四角形 KJ) 同様にして 5 より 6 より ( 四角形 )=( 四角形 KJ) 5 ( 四角形 F)+( 四角形 )=( 四角形 ) 6