[ 三クリア W] 辺が等しいことの証明 ( 円周角と弦の関係利用 ) の の二等分線がこの三角形の外接円と交わる点をそれぞれ とするとき 60 ならば であることを証明せよ 60 + + 0 + 0 80-60 60 から ゆえに 等しい長さの弧に対する弦の長さは等しいから [ 三クリア ] 方べきの定理 接線と弦のなす角と円周角を利用 線分 を直径とする円 があり 右の図のように の延長上の点 からこの円に接線 を引く いま : : が成り立つとき の長さを円の半径 で表せ : : であるから : : また は 90 の直角三角形である 600 また 0-0 ゆえに 方べきの定理から ゆえに すなわち >0>0 であるから 60 [ 三クリア ] 方べきの定理 円に内接する四角形の性質を利用 点 からの 直線が図のように点 で円に交わっていて 90 である 図の と の長さを求めよ 四角形 が円に内接しているから 90 において 三平方の定理から U - U - また から +90 であるから より 90 0 ゆえに は辺の比が :: の直角三角形であるから から 方べきの定理から 0 + 0+ したがって 0 + - 60 - [ 三クリア St87] 円の接線に関する問題. 三角形の面積の最大など 半径 の円について 外部の点 から円に接線を 本引き その接点を とする また 円の中心を とし 点 から に直線を引き その直線と円の交点のうち 点 から遠い方を点 とする また の二等分線と線分 との交点を とする 0 として 次の問いに答え よ () の大きさを求めよ () 線分 の長さを求めよ () 線分 の長さを求めよ () 線分 の長さを求めよ () 円周上に点 をとる の面積が最大になるとき その面積を求めよ () とする は円 の半径であるから は円 の接線であるから 90 90+ ゆえに において +0+090 + 80 これを解いて 0 したがって 90+00 0 ~ () は 60090 の直角三角形であるから () 0 であるから +0+ 0 () 0 であるから は二等辺三角形で は を 等分するから ::: : + + 0-0 + 0 - - () 点 から に下ろした垂線を H とすると H - H H の長さが最大のとき の面積も最大になる H が最大になるのは 図のように H が円の中 心 を通るときで このとき H であるから H+H+ したがって の面積の最大値は - 0 % -7 8 H [ 三クリア St88] 円の交線が共通接線の 接点間を 分の証明など 大小 つの円に関して 次のことを証明せよ () つの円が交わっているとき つの円の共通接線の つの接点を とする このとき つの円の共通弦の延長線は 線分 を 等分する () つの円が外接しているとき その接点を通る接線上の接点以外の点から つの円それぞれに 交わる直線を 本ずつ引く ただし 本の直線が つの円両方と交わることはない このとき つの交点は 同一円周上にある () つの円の 交点を とし 線分 と直線 の交点を とする 方べきの定理から ゆえに 題意は示された () 接点を 接線上の点を とし から大きな円に 点 で交わる直線と小さな円に 点 で交わる直線を引く 方べきの定理から ゆえに 方べきの定理の逆により 点 は同一円周上にある
[ 三クリア l89] 円の内接四角形などから長さ 線分比 面積比 円に内接する四角形 を考える とする と の延長線の交点を とおき を通り に平行な直線と および の延長線との交点をそれぞれ F とする のとき 次の値を求めよ () () F () F () 四角形 F の面積を S とするとき () 方べきの定理から 0+ 8 >0 から () FQ から F Q から F 0 S () () と同様に考えて F と の交点を Q とし Q とする QQ Q から Q:Q: また Q から ::: ゆえに Q また QQ Q から Q Q Q Q F 0 Q+Q 7 0 0Q+Q ゆえに F 0 7 0 9 () の面積を S 0 とおくと S 0S 0 ゆえに 四角形 の面積は S 0 () より Q:Q: であるから 6 S 0 S 0 89 ゆえに F 9 S 0 9 S 0 0 また () より Q:Q: であるから 9 S 0 S 0 ゆえに S 0 6 S 0 したがって 9 6 S + S + F+ 0 + S 0 0 S 0 S 0 7 0 F [ 三クリアW] 直線 (+)+(+)--0が通る定点の座標 平面上の直線 0++0+--0 は実数 の値にかかわらず 定点を通る この定点の座標を求めよ 与式を について整理して 0+-++-0 これを についての恒等式とみなすと +-0+-0 これを解いて 求める定点の座標は 0 [ 三クリア ] を : に内分する点を通り に垂直な直線 点 0-0 を結ぶ線分 を : に内分する点を通り 線分 に直交する直線の方程式を求めよ 線分 を : に内分する点の座標は 0-+ 8 + + + 9 - また 直線 の傾きは -0- 線分 に直交する直線の傾きを m とすると m- ゆえに m- したがって 求める直線の方程式は - - - 8 9 すなわち 8 9 すなわち -+0 [ 三クリア ] の中点を通り に垂直な直線の方程式など 点 0-0 を結ぶ線分 を : に内分する点 の座標は ア 8 イウであり 中点 M の座標は 9 点 M を通り 線分 に垂直な直線の方程式は オ + の座標は 0-8 + + + 9 M の座標は 8 - + + 9 すなわち 0 ウ エ すなわち 0 ア イ エである また である - の傾きは -0- M を通り 線分 に垂直な直線の方程式は -- 0- すなわち オ -+ [ 三クリア St90] 座標平面上の 点を通る円の方程式など 座標平面上の 点 00 006 0 について 次の問いに答えよ 0 直線 と点 との距離を求めよ 0 0 で求めた直線 と点 との距離を使って の面積を求めよ 0 の外接円の方程式と外心の座標を求めよ 0 直線 の方程式は 0-6 -0 0 - すなわち +-60 直線 と点 との距離は + -6 U + U U 0 線分 の長さは U 00- + 06-0 U の面積は U U 0 の外心を 0pq とすると であるから すなわち 0 - p + これを解いて p q このとき q p + 0q-6 0p- + 0q- 8-9 89-8 9 + したがって 外接円の方程式は また 外心の座標は 8 9 + - [ 三クリア St9] 軸 直線 L が三角形を作らない の最小値 直線 -++0+- 0 ( は実数の定数 ) を ^ とする 直線 ^ が 軸に平行になるとき の値を求めよ また 直線 軸 ^ が三角形を作らない の値のうち 最も小さいものを求めよ -++0+- 0 から 0++0-+-0 ^ が 軸に平行になるとき +'0 かつ -0 ゆえに また 直線 軸 ^ が三角形を作らない場合は 直線 ^ が 軸に平行になるとき このとき から -'0 かつ +0 - 直線 ^ が直線 に平行になるとき より ' かつ - + であるから 0 - 直線が 点で交わるとき 軸と直線 との交点は原点 (00) である 直線 ^ が原点を通るとき から -0 ゆえに ~ から 直線が三角形を作らない の値のうち 最小のものは -
[ 三クリア l9] 座標平面上の三角形 の内心の座標など 座標平面上の 点 は 点 が原点 点 の座標が 0であるとする また点 は U を満たす第 象限の点である 0 点 の座標を求めよ 0 三角形 の面積を求めよ また 三角形 の内接円の半径を求めよ 0 さらに 三角形 の内接円の中心 ( 内心 ) の座標を求めよ 0 0 ( <0>0 ) とする U から + 0 から 0- + 0- すなわち + -8-60 を に代入して 整理すると - + 0 を に代入して 整理すると -6-60 すなわち 0-0+0 <0 であるから - に代入して ( >0 を満たす ) したがって 点 の座標は - 8 9 0 直線 の方程式は すなわち -0 直線 と点 との距離は - - U + 0-0 また 線分 の長さは U + したがって 三角形 の面積を S とすると S 0 I 三角形 の内接円の半径を とすると S 0 ++ 0 0 +U + ゆえに - U 0 内心を I 0pq とする - 0より I と直線 との距離が U であるから I は直線 の上方にあるから p-q<0-0p-q - U また 直線 の方程式は - I と直線 との距離が -U I は直線 の上方にあるから p+q>0 p+ q U - U -+ U を解いて p 0 p-q U + 0- すなわち +0 であるから q 0+ U したがって 内心 I の座標は 8 - + U 0+ U 0 9 - U p+ q U + - U [ 三クリア l9] 三角形の 頂点を に関し対称移動. 重なる面積 座標平面上に 辺の長さが の正三角形 がある ただし の重心は原点の位置にあり 辺 は 軸と平行である また 頂点 は 軸上にあって 座標は正であり 頂点 の 座標は正である 直線 に関して 点 と対称な点を それぞれ --- とする () - の座標を求めよ () と --- が重なる部分の面積を求めよ 原点を とし 辺 と 軸との交点を H とする H であり は線分 H を : に内分するから H H H U また HH 0 - U 8-9 8 - U 9 () - の座標は の 座標と 座標を入れ替えて () - 8 9 0-8 - U -9 と --- は合同な正三角形であり を原点の周りに 0 回転すると --- と一致する ゆえに と --- が重なる部分からはみ出した 6 個の直角三角形はすべて合同である したがって 右の図のように 点 をとると 求める面積は - 直線 の方程式は + これに - U 8 - U - - - 8 U 9 H - を代入すると -+ - + また 9 8 - U - U 9 したがって また U > - U - 0 -? > -+ - - 0 - - ゆえに 求める面積は - - - - - 8 U 9? - - [ 三クリア W]^+^--+ の半径が のときの 中心 正の定数 を含む方程式 + --+ が半径 の円を表すとき アであり この円の中心の座標はイである + --+ から これが半径 の円を表すとき これを解くと 6-0 >0 であるから ア 6-8 9 + 0- ++ ++ このとき 中心の座標は 8 9 からイ 0 8 [ 三クリア ] 円が直線から切り取る線分の長さ 円 : + -+-0 と直線 m:+ がある 0 円 の中心と半径を求めよ 0 円 が直線 m と異なる 点で交わるとき の値の範囲を求めよ 0 直線 m が円 に切り取られる線分の長さが になるとき定数 の値を求めよ 0 + -+-0 から - + + 9 0 0 円 の中心の座標は 0 - 半径は 0 円 の中心 と直線 m の距離は -0-+ U + 0- + U 円 が直線 m と異なる 点で交わるとき + <U ゆえに --U <<-+U + < U 0 円 と直線 m の つの交点を 線分 の中点を M とすると MU -M U - U + U ゆえに + U したがって -9
[ 三クリア ] 円が直線から切り取る線分の長さ 直線 + と円 + について 0 直線 と円 の共有点の個数が 個であるとき 定数 の値の範囲を求めよ 0 直線 が円 と 点 Q で交わり QU0 であるとき の値を求めよ 0 から - + 0 円 の中心 000と直線 の距離は U + 0- 直線 と円 の共有点が 個であるための条件は - << 0 線分 Q の中点を M とすると MU -M ] - U 6 したがって $U U0 U 6 U < - Q [ 三クリア St9()] 点 () を通り両座標軸に接する円の半径 平面において 点 0を通り 軸と 軸に接する円の半径を求めよ 軸と 軸に接し 点 () を通るから 円の中心は第 象限にある 円の中心の座標を 0 半径を とすると >0>0 で 円の方程式は 0- + 0- 点 () を通るから 0- + 0- 整理すると -6+0 これを解くと したがって 求める円の半径は [ 三クリア St9()] 中心 () で 直線 --0 に接する円 接点 中心の座標が 0で 直線 ^:--0 に接する円 の半径を求めよ また と ^の接点の 座標を求めよ 円の半径は中心 () と接線 ^:--0 の距離に等しいから -- 0 U U U + 0- また 中心 () を通り ^に垂直な直線の方程式は -- 0 - すなわち - + M - を に代入すると - 8 - + 9-0 したがって 求める接点の 座標は [ 三クリア St9] 円の交点と原点を通る円. に接する直線 つの円 + 6 + --8 の交点と原点を通る円 の方程式を求めよ この円 と直線 + ( は定数である ) は のとき接する つの円の交点を通る円または直線の方程式は + ---8+l0 + -60 ( l は定数 ) と表される この円が原点を通るから -8-6l0 l- ゆえに 円 の方程式は + ---8-0 + -60 すなわち + --80 + --80 から 0- + 0-0 円 の中心の座標は 0 半径は U -+ 円 と直線 + が接するとき U U + 0- - U0 ゆえに -$U0 したがって $U0 [ 三クリア St96] 円の関係と中心間の距離 中心の座標 つの円 + -0 + -6-+60 について 0 のとき 円 と の中心間の距離を求めよ 0 のとき 円 と との交点間の距離を求めよ 0 アのとき 円 は の中心を通る 0 イ のとき円 は に内接し ウ のとき円 と は外接す る を変形して 0- + 円 の中心の座標は 00 半径は である を変形して 0-8 + 0-0-8 円 の中心の座標は 08 半径は -8 である 0 のとき 円 の中心の座標は 08であるから 円 と円 の中心間の距 離は U 08- + 0-0 U 0 円 の中心をそれぞれ Q 円 の つの交点を 線分 の中点を M とする U ここで M とおくと 三平方の定理から M -M - + Q M Q -QM -0U - - +6U -0 - +- +6U -0 これを解いて U M ゆえに M ] U - + U したがって 交点間の距離は M U 0 円 が の中心を通るとき 0-8 + 00-0-8 これを解いて ア 7 0 円 と の中心間の距離は U 08- + 0-0 U + 6 円 が に内接するとき -8 -U + 6 両辺を 乗して 整理すると -8 -+8-8-+8 または -8-8 ゆえに 6 0 このうち を満たすのは 0 イ 0 のとき円 は に内接する 円 と が外接するとき + -8 U + 6 両辺を 乗して整理すると -8-8 -8-8 または -8-+8 ゆえに 0 6 このうち を満たすのは 6 ウ 6 のとき円 と は外接する
[ 三クリアl97] 放物線 ^-と円 ^+^^の共有点の個数 >0 とする 平面上の放物線 - と円 + の共有点の個数を考える 共有点の個数が最大になるのは の値の範囲がア << イ のときである また 共有点の個数が奇数であるのは ウ のときである [ 三クリア l98] 定直線と 軸に接する 円の中心の座標 座標平面上で 点 00 00 を通る直線を ^とする ただし >0>0 である 直線 ^と 軸および 軸に接し 中心が第 象限にある つの異なる円を とする 円 の中心の 座標をそれぞれ とするとき - を と で表せ [ 三クリア l99] 円の接線と 軸の交点が弦の直線上にある証明 >>0 とする 円 + 上の点 0U - における接線と 軸との交点を とする また 円の外部の点 0c からこの円に 本の接線を引き 接点を QR とする このとき 点 QR を通る直線は を通ることを示せ - から + これを + に代入して 0++ +- +0 の解が 放物線と円の共有点の 座標である ( 前半 ) 放物線と円の共有点の最大個数は であり 共有点が 個あるための条件は が - より大きい異なる つの解をもつことである の左辺を f0 とすると f0 + - + f0 のグラフは下に凸の放物線で 軸は直線 軸および 軸に接することから 円 の中心は 0 半径は 円 の中心は 0 半径 である また 直線 ^の方程式は は 0- -0 0 - すなわち +-0 が ^に接することから 0+ + - U + - U + 同様に が ^に接することから 0+ - U + 点 0U - における接線の方程式は +U - この式で 0 とすると >0 から 0 また Q 0 R 0 0' とおくと これ - らの点における接線の方程式は それぞれ + + これらが点 0c を通るから +c + c 点 QR は直線 +c 上にある すなわち 点 QR を通る直線の方程式は +c Q c - R - が - より大きい異なる つの解をも つための条件は - >0 かつ f f0 - <0 f0- >0 から -- +>0 ゆえに < f - 8 <0 から - + 9 <0 ゆえに > したがって < < >0 であるから ア << イ ( 後半 ) 放物線と円の共有点の個数が奇数になるのは 放物線の頂点 00 - が共有点の つになるときである このとき が - を解にもつから -- +0 >0 であるから ウ u のとき 共有点の座標は 00-0 -0 0 0 の 個となる - + - - - - f 0 が異なることから 0+ -U + - 60+ - 7U + とする を解いて + -U + を解いて + + U + >0>0 であるから >0 >0 を満たす したがって - + -U + - + + U + 60+ + U + -0+ -U + 7 0+ -U + 0+ + U + U + U + この式で 0 とすると したがって 点 QR を通る直線は を通る