1 4 1.1.......................... 4 1.1.1.......................... 7 1.1..................... 14 1.1.................. 1 1.1.4........................... 8 1.1.5........................... 6 1.1.6 n........................... 4 1.1.7........................ 45 1.1.8 Hooke............... 54 1.1.9...................... 58 1.1.10............................. 61 1.1.11.............. 64 1.1.1.................... 66 1.1.1 updated Lagrange 77 1.1.14................... 87 1............................... 97 1..1.............. 98 1................... 100 1................ 104 1..4.......................... 107
114.1................................. 115.1.1................. 115.1....................... 119.1................. 10.1.4................ 1.1.5..................... 11 1.1.................................. 1. 1/............................. 141
4 1, t t, t. Hooke, [1] [7]. 1.1. 1.1. A, B,,.,,,. e e e e p. e e e + e p 1.1
5 σ E. σ Ee e p 1., Hooke. σ C e :e e p 1., σ, e, e p Cauchy,,, C e 4 Hooke, :. 1.,. σ C e :ė ė p 1.4 1.4,, A B e e e p e 1.1:
6. σ C ep : ė 1.5, flow rule,,,. 1......,, 9., vonmises Tresca,.,,, 1.1 A.,, B. von Mises., 1.1.1, 1.1., 1.1., 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6 n, 1.1.7, 1.1.4..
7 1.1.1,. Mises σ. σ σ ij σ ij 1 1.6, σ ij. σ ij σ ij 1 σ kkδ ij 1.7 Mises σ ij J,, σ 11 0 σ σ 11. J tr σ σ ii 1.8 σ ii 1 σ kkδ ii 0 1.9 J 1 { } tr σ tr σ 1.10 1 σ ijσ ij 1.11, σ ij σ ij σ ij 1 σ kkδ ij σ ij 1 σ kkδ ij 1.1 σ ij σ ij σ kkδ ij σ ij + 1 9 σ kk δ ij δ ij 1.1 σ ij σ ij σ kkσ ii + 1 9 σ kk 1.14 σ ij σ ij 1 σ kk 1.15, σ 11 0,. σ ij σ ij σ ijσ ij 1 σ kk σ 11 σ 11 1 σ 11 σ 11 1.16
8,,,.,.,. 1 F σ σ y 1.17 F σ σ y 1.18 σ y. F 0. 1.. σ y σ ij σ ij 1.:,,, λ Ψ. ė p ij λ Ψ 1.19
9 associated flow rule., ė p ij λ 1.0,,. normality rule. 1.0 / t 1.. ė p ij t λ t 1.1 ė p ij σ ij λ F 1., F 0, F 0, 1. ė p ij σ ij λ F 0 1., 0,.,,.. von Mises σ 1 σ ij σ ij 1.4 1 F σ σ y 1.5 F σ σ y 1.6 ė p ij λ 1.7,.
10. σ ij. e p ij 1.: F 0 F 0, σ y. 1.4, 1.7 1.0 / F σ ij 0 1.8 σ ij C ijkl ė kl ė p kl 1.9 C ijkl ė kl λ 1.0 σ kl σ ij C ijkl ė kl C ijkl λ σ kl 1.1 1.1 1.8 0 λ. λ C ijkl ė kl 1. C ijkl σ kl
11 1. 1.0. σ ij C ijkl ė kl C ijkl C ijcd C abcd ė cd C abcd σ cd σ cd C abkl C abcd σ cd σ kl 1. ė kl 1.4 / 1,, 1 F σ σ y F σ σ y 1 σ σ 1 σ kl σ kl σ kl σ kl 1.5 { σ kl 1 } σ σ mmδ kl σ kl 1.6 ij δ ik δ jl 1 δ ijδ kl σ kl 1.7 σ σ ij 1.8 { σ rs 1 } σ σ mmδ rs σ rs 1.9 ij δ ir δ js 1 δ ijδ rs σ rs 1.40 σ ij 1.41 1.8 1.41 /, 1.,, 1.4, 1 F σ σ y λ C ijkl ė kl C ijkl σ ij σ Cijkl ė kl σ σ ij Cijkl σ σ kl σ kl 1.4 1.4
1 σ σ ij C ijklė kl σ ij C ijklσ kl 1.44 F σ σ y σ ij C ijkl C ijcd C ijcd C ijkl C abkl σ cd C abcd σ cd σ σ cd σ σ ab C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abcd C abkl σ ab C abcd σ cd σ σ ab ė kl 1.45 σ σ cd C abkl ė kl 1.46 ė kl 1.47 λ C ijkl ė kl C ijkl σ σ ij σ kl 1.48 ij Cijkl ė kl C ijkl σ kl 1.49 1 σ ij C ijklė kl σ ij C ijklσ kl 1.50 σ ij C ijkl C ijcd C abkl σ cd C abcd σ cd C ijcd σ cd C ijkl σ ab C abcd σ ab C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C abcdσ cd σ cd ė kl 1.51 C abkl ė kl 1.5 ė kl 1.5,,. Hooke C ijkl λ, μ Lamé C ijkl λδ ij δ kl +μδ ik δ jl 1.54
1. μ G. C ijcd σ cd λδ ij δ cd +μδ ic δ jd σ cd 1.55 λδ ij σ cc +μσ ij 1.56 μσ ij 1.57 Gσ ij 1.58 σ abc abkl Gσ kl 1.59 σ abc abcd σ cd Gσ abσ ab 1.60 4G σ 1.61,. 1 F σ σ y F σ σ y λ σ σ jic ijkl ė kl σ ij C 1.6 ijklσ kl σ Gσ ij ėkl 1.6 4G σ σ klėkl 1.64 σ σ ij C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C ė abcdσ kl 1.65 cd Gσ ij Gσ kl C ijkl ė 4G kl 1.66 σ C ijkl Gσ ij σ kl ė σ kl 1.67 λ 1 σ ijc ijkl ė kl σ ij C ijklσ kl 1.68
14 1 Gσ ij ėkl 4G σ 1.69 σ klėkl σ 1.70 σ ij C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C ė abcdσ kl 1.71 cd Gσ ij Gσ kl C ijkl ė 4G kl 1.7 σ C ijkl Gσ ij σ kl ė σ kl 1.7 1.1.. von Mises σ σ ij σ ij 1 1.74 1 F σ σ y 1.75 F σ σ y 1.76 ė p ij λ 1.77, σ y, S y,.,,., S y ē p.,. 1 F σ S y ē p 1.78 F σ S y ē p 1.79
15 σ y σ ij σ ij Sy 1.4:, ē p. 1 ē p e p ije p ij 1.80 ē p ē p dt 1.81, σ He p S y Hē p 1.8. H., S y ē p H 1.8 von Mises σ σ ij σ ij 1 1.84
16 1 F σ S y ē p 1.85 F σ S y ē p 1.86 ė p ij λ 1.87 1 ē p e p ije p ij 1.88. F 0 F 0. F σ ij + S y S y ē ē p 0 1.89 p 1 F σ S y ē p F σ S y ē p F σ ij H ē p 0 1.90 F σ ij S y H ē p 0 1.91 σ ij σh ē p 0 1.9, 1.91 1.9, σ S y. / 1 F σ S y ē p F σ S y ē p σ σ ij 1.9 σ ij 1.94, 1.87,. 1 F σ S y ē p ė p ij λ σ σ ij 1.95
17 F σ S y ē p ė p ij λσ ij 1.96 1.95, 1.96, 1.88, 1 F σ S y ē p ē p λ σ λ 1 σ ij σ σ ij 1.97 λ 1.98 F σ S y ē p ē p 1 λσ λσ ij ij 1.99 σ λ 1.100 1.90, 1.9 1 F σ S y ē p F σ S y ē p 1.4, 1.87, F σ ij H λ 0 1.101 F σ ij 4 σ H λ 0 1.10 σ ij C ijkl ė kl ė p kl 1.10 C ijkl ė kl 1.104 / λ σ kl 1.104 σ ij C ijkl ė kl C ijkl λ σ kl 1.105
18 1.105 1.101, 1.10 λ 1 F σ S y ē p H λ C ijkl ė kl C ijkl λ σ kl 1.106 F σ S y ē p λ C ijkl ė kl 1.107 C ijkl σ kl + H 4 σ H λ C ijkl ė kl C ijkl λ σ kl 1.108 λ C ijkl ė kl 1.109 C ijkl σ kl +4 σ H 1.107, 1.109 1.104 1 F σ S y ē p F σ S y ē p σ ij C ijkl ė kl C ijkl C ijcd σ ij C ijkl ė kl C ijkl C abcd ė cd σ cd + H C abcd σ cd C abkl C abcd σ cd + H C abcd ė cd C abcd C ijcd σ cd σ kl σ cd +4 σ H C abkl C abcd σ cd +4 σ H 1.110 ė kl 1.111 σ kl 1.11 ė kl 1.11, 1.9 1.94 /, 1.107 1.109,, 1.111 1.11,
19 1 F σ S y ē p λ C ijkl ė kl C ijkl σ ij σ Cijkl ė kl σ σ ij σ kl + H 1.114 C ijkl σ σ kl + H 1.115 σ σ ij C ijklė kl σ ij C ijklσ kl + 1.116 4 σ 9 H F σ S y ē p σ ij C ijkl C ijcd σ cd C abkl ė C abcd σ cd + H kl 1.117 C ijcd σ C σ cd σ σ ab C abkl ijkl ė kl 1.118 σ σ ab C abcd σ σ cd + H C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + 4 σ ė kl 1.119 9 H λ C ijkl ė kl C ijkl 1.10 σ kl +4 σ H σ ij Cijkl ė kl 1.11 σ ij C ijkl σ kl +4 σ H σ ij C ijkl C ijkl C ijkl 1 σ ijc ijkl ė kl σ ij C ijklσ kl + 1.1 4 σ 9 H C ijcd σ cd C abcd C ijcd σ cd σ ab C abkl σ cd +4 σ H σ ab C abcd σ cd C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C abcdσ cd + 4 σ 9 H C abkl ė kl 1.1 ė kl 1.14 +4 σ H ė kl 1.15
0,,., Hooke, 1.55 1.61,,. 1 F σ S y ē p λ σ σ σ ij C ijklė kl σ ij C ijklσ kl + 1.16 4 σ 9 H Gσ kl ėkl 1.17 4G σ + 4 σ 9 H σ 1.18 1+ H G σ klėkl σ ij C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C abcdσ cd + ė kl 1.19 4 σ 9 H Gσ ij Gσ kl C ijkl ė 4G kl 1.10 σ + 4 σ 9 H C ijkl Gσ ij σ kl σ ė kl 1.11 1+ H G F σ S y ē p ē p λ σ klėkl σ 1.1 1+ H G λ 1 σ ijc ijkl ė kl σ ij C ijklσ kl + 1.1 4 σ 9 H 1 Gσ kl ėkl 1.14 4G σ + 4 σ 9 H σ ij C ijkl σ klėkl σ 1.15 1+ H G C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C abcdσ cd + 4 σ 9 H ė kl 1.16
1 Gσ ij Gσ kl C ijkl ė 4G kl 1.17 σ + 4 σ 9 H C ijkl Gσ ij σ kl σ ė kl 1.18 1+ H G σ klėkl ē p σ λ σ σ σ klėkl 1+ H σ 1.19 1+ H G G H 0, 1.1., S y,, S y.,,, von Mises.,,. 1 F σ S y W p 1.140 F σ S y W p 1.141, W p. Ẇ p σ ij ė p ij 1.14 W p σ ij e p ijdt 1.14, σ He p S y Hē p 1.144
. 1.140, 1.141 1.85, 1.86. H. S y ē p H 1.145 1.88 Ẇ p σ ij ė p ij σ ē p 1.146, vonmises,.,., 1.88 1.146. 1 F σ S y ē p F σ S y ē p ė p ij ė p ij λ λ σ σ ij 1.147 λ λσ ij 1.148,. 1 F σ S y ē p F σ S y ē p ē p ē p λ σ λ 1 σ ij σ σ ij λ 1.149 1 λσ λσ ij ij σ λ 1.150,. 1 F σ S y ē p Ẇ p σ ij ė p ij σ ij λ σ σ ij λ σ σ ē p 1.151
F σ S y ē p Ẇ p σ ij ė p ij σ ij λσ ij λ σ σ ē p 1.15 1.146 1.88.,,,. 1 F σ S y W p F σ S y W p Ẇ p σ ē p σ ij ė p ij σ ij λ σ σ ij λ σ 1.15 ē p λ 1.154 Ẇ p σ ē p σ ij ė p ij σ ij λσ ij λ σ 1.155 1.147, 1.148,, 1 F σ S y W p F σ S y W p ē p λ σ 1.156 ė p ijėp ij λ σ σ ij λ σ σ ij λ ē p 1.157 ė p ijėp ij λσ ij λσ ij λ σ ē p 1.158. ē p ėp ijėp ij 1/ 1.159 von Mises σ 1 σ ijσ ij 1.160 1 F σ S y W p 1.161
4 F σ S y W p 1.16 ė p ij λ 1.16 Ẇ p σ ij ė p ij σ ē p 1.164. F 0 F 0. 1 F σ S y W p F σ S y W p F σ ij + S y S y W Ẇ p 0 1.165 p σ ij + S y ē p S y ē p W σ p ij λ 0 1.166 F σ ij H 1 σ σ σ λ ij ij σ σ ij 1.167 σ ij H λ 1.168 F σ ij σh 1 σ σ σ λσ ij ij ij 1.169 σ ij 4H λ σ 1.170, σ S y. 1.168, 1.170 1.101, 1.10,,. 1.4, 1.16 σ ij C ijkl ė kl ė p kl 1.171 C ijkl ė kl λ 1.17 σ kl
5 1.17 / σ ij C ijkl ė kl C ijkl λ 1.17 σ kl 1.17 1.168, 1.170 λ 1 F σ S y W p H λ C ijkl ė kl C ijkl λ σ kl 1.174 F σ S y W p λ C ijkl ė kl 1.175 C ijkl σ kl + H 4 σ H λ C ijkl ė kl C ijkl λ σ kl 1.176 λ C ijkl ė kl 1.177 C ijkl σ kl +4 σ H 1.175, 1.177 1.17. 1 F σ S y W p F σ S y W p σ ij C ijkl ė kl C ijkl C ijcd σ ij C ijkl ė kl C ijkl C abcd ė cd σ cd + H C abcd σ cd C abkl C abcd σ cd + H C abcd ė cd C abcd C ijcd σ cd σ kl σ cd +4 σ H C abkl C abcd σ cd +4 σ H 1.178 ė kl 1.179 σ kl 1.180 ė kl 1.181
6, 1.9 1.94 /σ ij, 1.175 1.177, 1.179 1.181, 1 F σ S y W p λ C ijkl ė kl C ijkl σ ij σ Cijkl ė kl σ σ ij σ kl + H 1.18 C ijkl σ σ kl + H 1.18 σ σ ij C ijklė kl σ ij C ijklσ kl + 1.184 4 σ 9 H σ ij C ijkl C ijcd σ cd C abkl ė C abcd σ cd + H kl 1.185 C ijcd σ C σ cd σ σ ab C abkl ijkl ė kl 1.186 σ σ ab C abcd σ σ cd + H C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + 4 σ ė kl 1.187 9 H F σ S y W p λ C ijkl ė kl C ijkl 1.188 σ kl +4 σ H σ ij Cijkl ė kl 1.189 σ ij C ijkl σ kl +4 σ H 1 σ ij C ijklė kl σ ij C ijklσ kl + 1.190 4 σ 9 H σ ij C ijkl C ijcd σ cd C abkl ė C abcd σ cd +4 σ H kl 1.191 C ijcd σ cd σ ab C abkl C ijkl ė kl 1.19 σ ab C abcd σ cd +4 σ H
C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C abcdσ cd + 4 σ 9 H 7 ė kl 1.19,,., Hooke, 1.55 1.61,,. 1 F σ S y W p λ σ σ ij C ijklė kl σ ij C ijklσ kl + 1.194 4 σ 9 H σ Gσ kl ėkl 1.195 4G σ + 4 σ 9 H σ klėkl σ 1.196 1+ H G σ ij C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C abcdσ cd + ė kl 1.197 4 σ 9 H Gσ ij Gσ kl C ijkl ė 4G kl 1.198 σ + 4 σ 9 H C ijkl Gσ ij σ kl σ ė kl 1.199 1+ H G F σ S y W p ē p λ σ klėkl σ 1.00 1+ H G λ 1 σ ij C ijklė kl σ ij C ijklσ kl + 1.01 4 σ 9 H 1 Gσ kl ėkl 1.0 4G σ + 4 σ 9 H σ klėkl σ 1.0 1+ H G
8 σ ij C ijkl C ijcdσ cd σ ab C abkl σ ab C abcdσ cd + ė kl 1.04 4 σ 9 H Gσ ij Gσ kl C ijkl ė 4G kl 1.05 σ + 4 σ 9 H C ijkl Gσ ij σ kl σ ė kl 1.06 1+ H G ē p σ λ σ σ klėkl σ σ klėkl 1+ H σ 1.07 1+ H G G H 0, 1.1.1 1.67, 1.7. 1.1.4,,,, Bauschinger effect.,. back stress,. Prager.. von Mises σ 1 σ ij σ ij 1.08 1 F σ S y ē p 1.09 F σ S y ē p 1.10 ė p ij λ 1.11, S y,,,.
9 1.5:,, Cauchy α ij. 1.1 σ ij σ ij α ij 1.1 1/ σ σ ij σ ij 1.1 1 F σ σ y 1.14 F σ σ y 1.15., σ y.,.. von Mises σ ij σ ij α ij 1.16
0 σ y σ ij α ij σ ij σ ~ ij σ ij α ij 1.6: σ 1 σ ij σ ij 1.17 1 F σ σ y 1.18 F σ σ y 1.19 ė p ij λ 1.0,. ē p ėp ijėp ij 1 1.1 Prager. α ij K p ė p ij 1. K p. α ij, α ij,. ė p ij 0 α ij 0
1. K p. Prager α ij K p ė p ij, α ij ė p ij. K p ė p ij 0 α ij 0.,. α ij C p ė p ij C p 1. F 0 F 0. F σ ij 0 1.4 σ ij / σ ij 1 F σ σ y σ ij σ σ ij 1.5 F σ σ y σ ij 1.6 σ ij, 1.0. ė p ij λ σ σ ij 1.7 F σ σ y ė p ij λ σ ij 1.8 1.7,1.8, 1.1,. 1 F σ σ y { ē p λ σ σ ij λ } 1 σ σ ij 1.9 λ 1.0
F σ σ y ē p { λ σ ij λ } 1 σ ij 1.1 σ λ 1. 1.4, 1.0 σ ij C ijkl ė kl ė p kl 1. C ijkl ė kl λ σ kl 1.4 1.4 α ij, /., σ ij α ij } {C ijkl ė kl λ α ij σ kl 1.5 σ kl 1.6 σ kl σ ij, 1.4, 1.5 0. 0 } {C ijkl ė kl λ α ij 1.7 σ kl 1.0, 1., λ. 1 F σ σ y α ij C p ė p ij 1.8 C p λ 1.9 C p λ σ σ ij 1.40 λ Cp σ σ ij 1.41
F σ σ y α ij C p ė p ij 1.4 C p λ 1.4 C p λ σ ij 1.44 λ C p σ ij 1.45,. 1.7 1.46. α ij λm ij 1.46 0 } {C ijkl ė kl λ σ λm ij 1.47 kl,. λ C ijkl ė kl 1.48 C ijkl σ kl + M ij 1.48 1.4. σ ij C ijkl ė kl C ijkl C abcd ė cd C abcd σ cd + M ab C ijcd σ cd C abkl C abcd σ cd + M ab σ kl 1.49 ė kl 1.50, 1.5 1.6 / 1.6 1.48, 1.50. 1 F σ σ y λ C ijkl ė kl C ijkl σ kl + M ij 1.51
4 σ σ ij σ ij σ Cijkl ė kl C ijkl + σ σ kl σ σ ij 1.5 Cp σ σ ij σ ij C ijkl C ijkl C ijkl F σ σ y σ ij C ijklė kl σ σ ij C ijkl σ kl + C 1.5 p σ ij σ ij C ijcd σ cd C abcd σ cd σ σ ab C ijcd C abcd C abkl + M ab σ σ cd σ σ cd C ijcd σ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + C p σ ab σ ab + ė kl 1.54 σ σ ab Cabkl σ σ ab Cp σ σ ab ė kl 1.55 ė kl 1.56 λ C ijkl ė kl C ijkl σ kl + σ ij C ijkl σ kl 1.57 M ij σ ij Cijkl ė kl 1.58 + σ ij C p σ ij σ ijc ijkl ė kl σ ij C ijkl σ kl + C p σ ij σ ij 1.59, Hooke, 1.55 1.61,. 1 F σ σ y λ σ σ σ ij C ijklė kl ij C ijkl σ kl + C p σ ij σ ij G σ kl ėkl 1.60 { } 1.61 σ G σ kl σ kl + Cp σ G σ klėkl { } 1.6 G σ σ + Cp σ
5 σ σ σ klėkl 1+ Cp G σ klėkl 1.6 1.64 1+ H G C ijcd σ σ ij C ijkl cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + C ė p σ kl 1.65 ab σ ab C ijkl G σ ijg σ kl G σ cd σ cd + ė kl 1.66 Cp σ C ijkl C ijkl C ijkl G σ ij σ kl σ 1+ Cp G G σ ij σ kl σ 1+ Cp G G σ ij σ kl σ 1+ H G ė kl 1.67 ė kl 1.68 ė kl 1.69 ē p λ σ σ klėkl 1.70 1+ H G, Cp H. F σ σy λ σ ij C ijklė kl σ ij C ijkl σ kl + C 1.71 p σ ij σ ij G σ kl ėkl { } 1.7 G σ kl σ kl + Cp σ G σ klėkl 1.7 G σ + Cp σ σ klėkl σ 1+ Cp G 1.74
6 σ klėkl σ 1+ H G 1.75 C ijcd σ σ ij C ijkl cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + C ė p σ kl 1.76 ab σ ab C ijkl G σ ij G σ kl G σ cd σ cd + ė kl 1.77 Cp σ C ijkl G σ ij σ kl σ 1+ Cp G ė kl 1.78 C ijkl C ijkl G σ ij σ kl σ + 1+ Cp G ė kl 1.79 G σ ij σ kl ė kl 1.80 σ + 1+ H G ē p σ λ σ σ klėkl 1.81 1+ H G, Cp H. 1.64,1.69,1.70, 1.75,1.80,1.81,, C p H 0 1.1.1.,,. 1.1.5 1.1., 1.1.,., 1.1.4,.
7,.. von Mises σ ij σ ij α ij 1.8 σ σ ij σ ij 1 1.8 1 F σ S y ē p 1.84 F σ S y ē p 1.85 ė p ij λ 1.86 Prager α ij C p λ C p ė p ij 1.87 1 ē p 1.88 ėp ijėp ij F 0 F 0. F σ ij + S y σ ij S y ē ē p 0 1.89 p 1 F σ S y ē p F σ S y ē p F σ ij S y σ ij ē ē p 0 1.90 p F S y σ ij S y σ ij ē ē p 0 1.91 p σ ij σ ij σ S y ē p ē p 0 1.9, 1.91 1.9 σ S y. / σ ij
8 1 F σ S y ē p F σ S y ē p, σ ij σ σ ij 1.9 σ ij σ ij 1.94 σ kl σ kl σ ij 1.95,. 1 F σ ij S y ē p ė p ij λ σ σ ij 1.96 ē p λ 1.97 F σ S y ē p ė p ij λ σ ij 1.98 1.90, 1.9, 1.97, 1.99 1 F σ ij S y ē p F σ S y ē p 1.4, 1.86 ē p σ λ 1.99 F σ ij S y σ ij ē λ 0 1.00 p F σ ij 4 σ S y σ ij ē λ 0 1.01 p σ ij C ijkl ė kl ė p ij 1.0 C ijkl ė kl λ σ kl 1.0
9 1.0 α ij, / σ ij α ij } {C ijkl ė kl λ α ij σ kl 1.04 1.04 / σ ij σ ij. Prager, 1 F σ ij S y ē p S y ē λ p } {C ijkl ė kl λ α ij σ kl {C ijkl ė kl λ σ kl } λc p 1.05 1.06 F σ S y ē p λ 4 σ S y ē λ p λ C ijkl σ kl C ijkl ė kl + Sy ē p 1.07 + C p } {C ijkl ė kl λ α ij σ kl {C ijkl ė kl λ σ kl C ijkl σ kl C ijkl ė kl +4 σ Sy ē p } λc p 1.08 1.09 1.10 + C p 1.07, 1.10 1.0. 1 F σ ij S y ē p σ ij C ijkl ė kl C ijkl F σ S y ē p σ ij C ijkl ė kl C abcd σ cd C abcd σ cd C abcd ė cd + Sy ē p C ijcd σ cd C abkl C abcd σ cd + Sy ē p + C p + C p C abcd ė cd +4 σ Sy ē p + C p σ kl σ kl σ kl 1.11 ė kl 1.1 1.1
C ijkl C abcd σ cd C ijcd σ cd C abkl +4 σ Sy ē p + C p σ kl 40 ė kl 1.14, 1.9, 1.94, 1.95 1.07, 1.10, 1.1, 1.14. 1 F σ S y ē p λ C ijkl σ kl σ σ ij C ijkl ė kl C ijkl + Sy ē p σ σ kl + C p σ ij σ Cijkl ė kl + Sy + C ē p p 1.15 σ σ ij σ σ ij 1.16 σ σ σ ij C ijklė kl σ ij C ijkl σ kl + 4 σ 9 Sy ē p 1.17 + Cp σ ij C ijklė kl σ ij C ijkl σ kl + 1.18 4 σ 9 H σ ij C ijkl C ijkl C ijkl C ijkl C abcd σ cd σ σ ab F σ S y ē p λ C ijcd σ cd C abkl + Sy ē p C ijcd C abcd σ σ cd C ijcd σ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + 4 σ 9 + C p σ σ cd σ ab σ Cabkl + Sy + C ē p p σ σ ab Sy ē p C ijcd σ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + 4 σ 9 H C ijkl σ kl C ijkl ė kl +4 σ Sy ē p + Cp σ ij Cijkl ė kl σ ij C ijkl σ kl +4 σ Sy + C ē p p σ ij ė kl 1.19 σ σ ab ė kl 1.0 ė kl 1.1 ė kl 1. 1. + C p 1.4 σ ij
41 σ ij C ijkl C ijkl C ijkl C ijkl 1 σ ij C ijklė kl σ ij C ijkl σ kl + 4 σ 9 Sy ē p 1.5 + Cp 1 σ ij C ijklė kl σ ij C ijkl σ kl + 1.6 4 σ 9 H C abcd σ cd σ ab C ijcd σ cd C abkl +4 σ Sy ē p C ijcd σ C abcd σ cd C ijcd σ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + 4 σ 9 + C p σ cd ab Cabkl +4 σ Sy Sy ē p C ijcd σ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + 4 σ 9 H, H Sy ē p + C ē p p σ ab + Cp C + Cp. ė kl 1.7 σ ab ė kl 1.8 ė kl 1.9 ė kl 1.0, Hooke, 1.55 1.61,. 1 F σ S y ē p λ σ σ σ ijc ijkl ė kl σ ij C ijkl σ kl + 1.1 4 σ 9 H G σ kl ėkl 1. 4G σ + 4 σ 9 H σ klėkl σ 1. 1+ H G σ ij C ijkl C ijcd σ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + ė kl 1.4 4 σ 9 H G σ ij G σ kl C ijkl ė 4G kl 1.5 σ + 4 σ 9 H
4 C ijkl G σ ij σ kl σ ė kl 1.6 1+ H G F σ S y ē p ē p λ σ klėkl σ 1.7 1+ H G λ 1 σ ij C ijklė kl σ ij C ijkl σ kl + 1.8 4 σ 9 H 1 G σ kl ėkl 1.9 4G σ + 4 σ 9 H σ klėkl σ 1.40 1+ H G σ ij C ijkl C ijcd σ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + ė kl 1.41 4 σ 9 H G σ ij G σ kl C ijkl ė 4G kl 1.4 σ + 4 σ 9 H C ijkl G σ ij σ kl σ ė kl 1.4 1+ H G σ klėkl ē p σ λ σ σ σ klėkl 1+ H σ 1.44 1+ H G G,. H 0, C p 0 α ij 0,. 1., 1.0 C p 0 α ij 0, S y / σ p 0 1.1.6 n,,,,, 10%
4 n [8]., n,. Hē p c 1 ē p + c n 1.45 c 1, c, n 0. 0.,. n, H ē p c 1 nē p + c n 1 1.46. 1 F σ S y ē p 1.47 F σ S y ē p 1.48 S y S y Hē p 1.49, n., n., α ij σ ij σ ij α ij 1.50 σ 1/ σ ij σ ij 1.51, 1 F σ σ y 1.5 F σ σ y 1.5
44 σ y. Prager α ij C p λ C p ė p ij 1.54.. 1 F σ σ y ė p ij λ σ σ ij 1.55 F σ σ y ė p ij λ σ ij 1.56, trė p ij 0,, Prager, α ij C p ė p ij 1.57, tr α ij 0. α ij α ij, ė p ij ėp ij 1.58 α ij C pė p ij 1.59 α ij α ij C p ėp ij ė p ij 1.60 ᾱ C p ē p 1.61, Mises ᾱ α ij α ij 1.6 H Prager C p H C p 1.6
45. n, H ē p c 1 nē p + c n 1 1.64 C p c 1nē p + c n 1 1.65, 1 F σ S y ē p 1.66 F σ S y ē p 1.67 S y S y 1 rσ y + rhē p 0 r 1 1.68. S y ē p r H ē p rh 1.69 C p 1 rh 1.70, r 0, r 1. 1.1.7,. Ziegler.. von Mises σ ij σ ij α ij 1.71 σ σ ij σ ij 1 1.7
46 1 F σ σ y 1.7 F σ σ y 1.74 ė p ij λ 1.75,. ē p ėp ijėp ij 1 1.76 Prager, Ziegler Ziegler. Prager α ij K p ė p ij 1.77 Ziegler α ij K z σ ij 1.78 Ziegler α ij K 1 σ ij K α ij 1.79 K p,k z,k 1,K. α ij, α ij,. ė p ij 0 α ij 0. K p,k z,k 1,K. i Prager α ij K p ė p ij α ij ė p ij. K p ė p ij 0 α ij 0. ii Ziegler α ij K z σ ij ė p ij 0 σ ij 0 ė p ij 0 K z 0.. K z C z ē p C z 1.80,. α ij C z ē p σ ij 1.81
47 ii Ziegler α ij K 1 σ ij K α ij ė p ij 0 σ ij 0,α ij 0 ė p ij 0 K 1 0,K 0.. K 1 C 1 ē p C 1 1.8 K C ē p C 1.8,. Prager α ij C p ė p ij C p 1.84 Ziegler α ij C z ē p σ ij C z 1.85 Ziegler α ij C 1 ē p σ ij C ē p α ij C 1,C 1.86 F 0 F 0. F σ ij 0 1.87 σ ij 1 F σ σ y σ ij σ σ ij 1.88 F σ σ y σ ij 1.89 σ ij, 1.75. ė p ij λ σ σ ij 1.90 F σ σ y ė p ij λ σ ij 1.91
48 1.90,1.91, 1.76,. 1 F σ σ y { ē p λ σ σ ij λ } 1 σ σ ij 1.9 λ 1.9 F σ σ y ē p { λ σ ij λ } 1 σ ij 1.94 σ λ 1.95 1.4, 1.75, σ ij C ijkl ė kl ė p kl 1.96 C ijkl ė kl λ σ kl 1.97 1.97 α ij, /., σ ij α ij } {C ijkl ė kl λ α ij σ kl 1.98 σ kl 1.99 σ kl σ ij, 1.87, 1.98 0. 0 } {C ijkl ė kl λ α ij 1.400 σ kl 1.9, 1.95, λ.
49 1 F σ σ y Prager α ij C p ė p ij 1.401 C p λ 1.40 C p λ σ σ ij 1.40 λ Cp σ σ ij 1.404 Ziegler α ij C z ē p σ ij 1.405 C z λ σij 1.406 λ C z σ ij 1.407 Ziegler α ij C 1 ē p σ ij C ē p α ij 1.408 C 1 λ σij C λαij 1.409 λ C 1 σ ij C α ij 1.410 F σ σ y Prager α ij C p ė p ij 1.411 C p λ 1.41 C p λ σ ij 1.41 λ C p σ ij 1.414 Ziegler α ij C z ē p σ ij 1.415 C z σ λ σ ij 1.416 λ C z σ σ ij 1.417 Ziegler α ij C 1 ē p σ ij C ē p α ij 1.418 C 1 σ λ σ ij C σ λα ij 1.419 λ C 1 σ σ ij C σα ij 1.40
50,. 1.400 1.41. α ij λm ij 1.41 0 } {C ijkl ė kl λ σ λm ij 1.4 kl,. λ C ijkl ė kl 1.4 C ijkl σ kl + M ij 1.4 1.4. σ ij C ijkl ė kl C ijkl C abcd ė cd C abcd σ cd + M ab C ijcd σ cd C abkl C abcd σ cd + M ab σ kl 1.44 ė kl 1.45, 1.88 1.89 / 1.99 1.4, 1.45. 1 F σ σ y λ C ijkl ė kl C ijkl σ kl σ σ ij + M ij 1.46 σ ij σ Cijkl ė kl C ijkl + σ σ kl σ σ ij M ij 1.47 σ ij C ijklė kl σ σ ij C ijkl σ kl + σ kl M ij 1.48 σ ij C ijkl C ijcd σ cd C abcd σ cd C abkl + M ab ė kl 1.49
C ijkl F σ σ y C ijkl σ σ ab C ijcd C abcd σ σ cd + σ σ cd C ijcd σ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + σ σ ab M ab σ σ ab Cabkl σ σ ab M ab 51 ė kl 1.40 ė kl 1.41 λ C ijkl ė kl C ijkl σ kl + σ M ij 1.4 ij Cijkl ė kl σ ij C ijkl σ kl + 1.4 σ ij M ij σ ij C ijklė kl σ ij C ijkl σ kl + σ ij M ij 1.44 σ ij C ijkl C ijkl C ijkl C ijcd σ cd C abcd σ cd σ ab C abkl C ijcd σ cd C abcd σ cd C ijcd σ cd σ ab C abkl + M ab σ σ ab C abcd σ cd + 1 σ ab M ab ab Cabkl + σ ab ė kl 1.45 M ab ė kl 1.46 ė kl 1.47, Hooke, 1.55 1.61,. 1 F σ σ y λ σ ij C ijklė kl σ σ ij C ijkl σ kl + σ ij M ij G σ kl ėkl σ G σ kl σ kl + σ ij M ij G σ klėkl σ G σ + σ ij M ij 1.48 1.49 1.440
5 σ klėkl σ + 1 G σ ij M ij 1.441 σ ij C ijkl C ijkl C ijkl C ijkl C σ ijcd σ cd σ ab C abkl σ σ ab C abcd σ cd + σ ab M ė kl 1.44 ab σ G σ ijg σ kl σ G σ cd σ cd + σ ab M ė kl 1.44 ab σ G σ ijg σ kl G σ σ + σ ab M ė kl 1.444 ab G σ ij σ kl σ + σ G σ ab M ė kl 1.445 ab ē p λ σ klėkl σ + 1 G σ ij M ij 1.446 F σ σ y λ σ ijc ijkl ė kl σ ij C ijkl σ kl + σ ij M ij G σ kl ėkl G σ kl σ kl + σ ij M ij G σ klėkl 6G σ + σ ij M ij 1.447 1.448 1.449 σ klėkl σ + 1 G σ ij M ij 1.450 σ ij C ijkl C ijcd σ cd σ ab C abkl σ ab C abcd σ cd + σ ab M ė kl 1.451 ab C ijkl G σ ij G σ kl G σ cd σ cd + σ ab M ė kl 1.45 ab C ijkl G σ ijg σ kl 4G σ + σ ab M ė kl 1.45 ab
C ijkl ē p σ λ σ G σ ij σ kl σ + 1 4G σ ab M ab σ klėkl σ + 1 G σ ij M ij 5 ė kl 1.454 σ klėkl σ + 1 4G σ σ ij M ij 1.455 Prager, M ij Cp σ σ ij F σ σ y, M ij C p σ ij F σ σy,. 1 F σ σ y λ σ klėkl σ + 1 G σ ij M ij 1.456 σ klėkl σ + 1 G σ ij σ σ σ klėkl 1+ Cp G σ klėkl Cp σ σ ij 1.457 1.458 1.459 1+ H G σ ij C ijkl G σ ij σ kl σ + σ G σ ab M ab ė kl 1.460 C ijkl G σ ij σ kl σ + σ G σ ab Cp σ σ ij ė kl 1.461 C ijkl σ ij σ kl σ 1+ Cp G ė kl 1.46 σ ij σ kl C ijkl σ ė 1+ H kl 1.46 G ē p λ σ klėkl σ 1+ H G 1.464
54, Cp H. F σ σy λ σ klėkl σ + 1 G σ ij M ij 1.465 σ klėkl 1.466 σ + 1 G σ ij Cp σ ij σ klėkl 1.467 σ 1+ Cp σ ij C ijkl σ klėkl σ G 1+ H G G σ ij σ kl σ + 1 4G σ ab M ab 1.468 ė kl 1.469 G σ ij C ijkl σ kl ė σ + 1 4G σ ab Cp σ kl 1.470 ab C ijkl G σ ij σ kl σ 1+ Cp G ė kl 1.471 C ijkl G σ ij σ kl σ ė 1+ H kl 1.47 G ē p σ λ σ σ klėkl 1.47 1+ H G, Cp H. 1.441,1.445,1.446, 1.450,1.454,1.455,, M ij 0 1.1.1.
55 1.1.8 Hooke, Hooke. Hooke. F Cauchy T elastic material. T t ff t 1.474 f. ff fq F Q ff Q T 1.475 F, F O,O, O O Q., P ff ff P 1.476. V. T fv 1.477. fv fq V Q T Q fv Q T 1.478 V, V O,O, O O Q. fv isotropic tensor function. 1.478 T, V, T fv φ 0 I + φ 1 V + φ V 1.479
56., φ i i 0, 1, V. representation theorem. 1.477 V B 1/. T gb 1.480 gb gq B Q T Q gb Q T 1.481, gb,., B. T ψ 0 I + ψ 1 B + ψ B 1.48 ξ 0 I + ξ 1 B + ξ 1 B 1 1.48 Hooke., E L V I + 1 {u x + x u} 1.484 E L 1 {u x + x u} 1.485, 1.479 E L T φ 0 + φ 1 + φ I +φ 1 +φ E L 1.486 η 0 I + η 1 E L 1.487, η 0, η 1 E L. T E L, Hooke. T λtr E L I +μe L 1.488
57, λ, μ Lamé., Hooke. 1.477, 1.480, B Almansi A A 1 I B 1.489,.. T ha 1.490 ha hq A Q T Q ha Q T 1.491 A, A O,O, O O Q. ha,. T ha ζ 0 I + ζ 1 A + ζ A 1.49 Hooke T λ tr AI +μa 1.49. A E L 1.494, λ, μ Lamé. 1.49. W, T, A T, Å. T Ṫ W T + T W 1.495 Å Ȧ W A + A W 1.496
58. T λtr ÅI +μå 1.497,,,,,.,, ÅC D, F t τ R t τ, U t τ I 1.498 T J T O T C T G 1.499 Å J ÅO ÅC ÅG 1.500 T J Ṫ W T + T W 1.501 T J T O + D T + T D 1.50 T J T C D T T D 1.50 T G Ṫ Ω T + T Ω 1.504 W Ω 1.505 T λ tr DI +μd 1.506. T Kirchhoff ˆT t τ J t τt τ ˆT t t λ tr DI +μd 1.507., ˆT t t J T J + T tr D 1.508 ˆT t t O T O + T tr D 1.509 ˆT t t C T C + T tr D 1.510 Hooke 1.507.
59 1.1.9. v v e v p v v e + v p 1.511, L D D D e + D p 1.51. σ ij T ij, e p ij D p ij., C ep ijkl T ij C ep ijkld kl 1.51.,,, 1.51, Cauchy Kirchhoff ˆT ij C ep ijkld kl 1.514., Kirchhoff ˆα t τ J t τατ 1.515. Kirchhoff, Jaumann.., T ij ˆT ij ˆα ij 1.516,,. G T T C ep ij kl ijkl C ijkl σ 1 + H G 1.517
60 T ij, T ij T ij 1 T kk δ ij., 1F σ S y ē p, F σ S y ēp. pe. 1F σ S y ē p λ T kl D kl σ 1.518 1+ H G T kl D kl σ 1.519 1+ H G F σ Sy ēp T kl λ D kl σ 1.50 1+ H G Ziegler, Ziegler, M ij 1F σ σ y Ziegler M ij C z Tij 1.51 Ziegler M ij C 1 Tij C α ij 1.5 F σ σ y Ziegler M ij C z σ T ij 1.5 Ziegler M ij C 1 σ T ij C σα ij 1.54,,,. 1F σ σ y C ep ijkl C ijkl G T ij T kl σ 1+ 1 T 1.55 G σ ab M ab ē p T kl D kl σ 1+ 1 T 1.56 Gσ ij M ij
61 λ T kl D kl σ 1+ 1 T 1.57 Gσ ij M ij F σ σ y C ep ijkl C ijkl G T ij T kl σ 1+ 1 4G σ T ab M ab 1.58 ē p λ T kl D kl σ 1+ 1 4Gσ ij M ij 1.59 T kl D kl σ 1+ 1 4Gσ ij M ij 1.50. Pager ˆαij K p D p ij 1.51 Ziegler ˆαij K z Tij 1.5 Ziegler ˆα ij K 1 Tij K α ij 1.5 1.1.10,,., t e p ij t 0 τė p ij dτ 1.54 t σ ij t 0 t τ σ ij dτ 1.55 τ C ep ijkl τ ė kl dτ 1.56 0 t t σ ij t σ ij τ C ep ijkl τ ė kl dτ 1.57 t
6. t C ep ijkl, 1.56, 1.57,. forward-euler t t backward-euler t. forward-euler explicit,,,. backward-euler implicit,.,,, forward-euler. i t 1. t 1 t, 1.1.1, 1.1.1.. t 1 t t 1, t t 1 C e ijkl. t σ ij t 1 σ ij + t 1 C e ijklδe ij 1.58 Δe ij t 1 t. t σ ij, t t.. ii t 1. t 1 t
6.. t 1 t t 1, t 1 t t 1 C ep ijkl. Δσ ij t 1 C ep ijklδe ij 1.59 Δē p, F σ S y,,. 1 Δē p t 1 σ kl Δe kl t 1 σ 1+ t H μ Δλ 1.540 Δα ij Δλ C p t1 σ ij 1.541 σ Ziegler Δē p t 1 σ kl Δe kl Δλ 1.54 t 1 σ 1+ 1 G t 1 σ t 1 σ t 1Mij ij Δα ij Δλ t 1 M ij 1.54 t 1 M ij C 1 t1 σ ij C t 1 α ij 1.544 Δλ Δē p, t t. Δλ Δē p,.,. Δσ ij t 1 C e ijkl 1.545, t t., forward-euler.
64,. Kirchhoff.,, 1.551 t C ep ijkl, t C e ijkl. t T ij t T ij + t T ij + t T ij + t T ij + t T ij + t t t t t t t t t t τ T ij dτ 1.546 {τ ˆTτ ij tr τ D τ T ij } dτ 1.547 {τ ˆTτ ij + τ W ik τ ˆTτ kj τ ˆTτ ik τ W kj tr τ D τ T ij } {τ ˆTτ ij + τ W ik τ T kj τ T ik τ W kj tr τ D τ T ij } dτ 1.548 dτ 1.549 { τ C ep ijkl τ D kl + τ W ik τ T kj τ T ik τ W kj tr τ D τ T ij } dτ 1.550 t T ij + {t C ep ijkl t D kl + t W ik t T kj t T ik t W kj tr t D t T ij } Δt 1.551, 1.551 Cauchy, t t Kirchhoff.,. t α ij t α ij + t α ij + t α ij + t α ij + t t t t t t t t t τ α ij dτ 1.55 {τ ˆατ ij tr τ D τ α ij } dτ 1.55 {τ ˆατ ij + τ W ikτ ˆα τ kj τ ˆα τ ik τ W kj tr τ D τ α ij } {τ ˆατ ij + τ W ik τ α kj τ α ik τ W kj tr τ D τ α ij } dτ 1.554 dτ 1.555 } t α ij + {C t λt Tij + τ W τ ik α kj τ α τ ik W kj tr τ D τ α ij dτ 1.556 t } t α ij + {C t λt Tij + t W t ik α kj t α t ik W kj tr t D t α ij Δt 1.557
65 1.1.11. V,v, S, s. s t, u, v g.. T Cauchy. x T + ρg 0 1.558 T T n t 1.559 u u 1.560 D ij 1 ui + u j 1.561 x j x i ˆT ij C ep ijkl D kl, T ij t 0 T ij dt 1.56 1.558,1.559 T T, 1.560 u U. Ť T, ǔ U,. x Ť + ρg ǔ dv 0 1.56 v 1.56,., s t,s u t, u s, s s t + s u. Ť :ǔ x dv t ǔ ds + n Ť u ds + v s t s u v ρg ǔdv 1.564, s u w 0 w W. ǔ U, w W ǔ + w U., Cauchy T, 1.564. T :ǔ x dv t ǔ ds + n T u ds + ρg ǔdv 1.565 v s t s u v
v T : {ǔ + w x } dv t ǔ + wds + n T u ds + s t s u v 66 ρg ǔ + wdv 1.566 1.566 1.565. T :w x dv t w ds + ρg wdv 1.567 v s t v. T : δa L dv v δv t w ds + v ρg w dv 1.568 δa L, w W Almange. δa Lij 1 wi + w j 1.569 x j x i 1.1.1 1.568,,.,.,. find u h W h such that w h Qu h F 0 w h W h 1.570, W h W, W h W. Q, F,. 1.570, Qu n F 1.571
67, 1.571. F {F k }., 0F 0 < F 1 < F < < F n F 1.57 Qu k F k 1.57 u k u k 1. F 0 0 u 0 0. a. forward-euler u k 1, F k F k 1 u k. K k u k u k 1 F k F k 1 1.574 K k Q u uu k 1 1.575 F k F k 1 K k Q u k u k 1 1.7: u k
68 K., forward-euler, step n, F ΔF 1 n F, Δuk. K k Δu k ΔF 1.576 u k. u k u k 1 + Δu k 1.577 k Δu i 1.578 i1 1.8.,step,., 1step step, forward-euler.
69 K ΔF ΔF K Q K 1 ΔF u 1 u u Δu 1 Δu Δu u 1.8: forward-euler b. Newton-Raphson Newton-Raphson. u k 1, u k 1.9.,
70 F k F F k Q k 0 K k 1 F k Q k 1 F k Q k Q k 1 K k Q k Q k F k 1 Δu k 1 Δu k u k 0 u k 1 u k 1 u k u k u 1.9: Newton-Raphson. K., u k 0 u k 1 1.579 Q k 0 Qu k 0 1.580 K k 1 Q 1.581 u uu k 0 K k 1 Δuk 1 F k Q k 0 1.58 u k 1 uk 0 +Δuk 1 1.58 u k 1, uk 0 uk 1 uk., u k i 1 Q k i 1 Quk i 1 1.584
K k i Q u 71 uu k i 1 1.585 K k i Δuk i F k Q k i 1 1.586 u k i uk i 1 +Δuk i 1.587 u k i. u k i 1 uk i uk, Q F k, F k Q k 0, u k i u k, F k Q k i 0., F k Q k i 0,., F k, step n, F k k n F 1.588.,,,, step.,. u k 1, u k. K k Δu k F k Qu k 1 1.589 u k u k 1 + Δu k 1.590 1.10. forward-euler. forward-euler. forward-euler,, forward-euler.
7 ΔF ΔF F F F 1 K K K Qu K F Qu 1 Qu F Qu ΔF K 1 Qu 1 u 1 u 1 u u u u Δu 1 Δu Δu Δu 1 Δu Δu 1.10: forward-euler c.??, forward-euler newton-raphson.,. Prager, n. Young 1959 kgf/mm, Poisson 0., 5 kgf/mm,n0.,c 0.001. 1.11, forward-euler Newton-Raphson,, 1 100 step,.
7 Newton-Raphson load-stroke, forward-euler load-stroke. 1.1.. 1.1. 14 1 10 forward-euler Newton-Raphson without iteration 8 load ton 6 4 0 - -4-6 -40-0 -0-10 0 10 0 0 40 stroke mm 1.11: load-stroke
74 14 1 forward-euler Newton-Raphson without iteration 10 8 load ton 6 4 0 - -4-40 -0-0 -10 0 10 0 0 40 stroke mm 1.1: load-stroke
75 4 1 load ton 0-1 - - -4-5 forward-euler Newton-Raphson without iterarion -6-40 -0-0 -10 0 10 0 0 40 stroke mm 1.1: load-stroke forward-euler, Newton-Raphson, step. 1 10 1000 step. forward-euler 1.14, Newton-Raphson 1.15. 1.16 1000 step forward-euler, Newton-Raphson. 1.15, Newton-Raphson, 1 100 step 1000 step. 1 100 step. 1.14, forward-euler step. 1.16, forward-euler, 1 1000 step.
76,, Newton-Raphson. 14 1 10 100 step 1000 step 8 load ton 6 4 0 - -4-6 -40-0 -0-10 0 10 0 0 40 stroke mm 1.14: load-stroke forward-euler
77 5 4 100 step 1000 step load ton 1 0-1 - - -4-5 -6-40 -0-0 -10 0 10 0 0 40 stroke mm 1.15: load-stroke Newton-Raphson
78 6 4 forward-euler Newton-Raphson without iteration load ton 0 - -4-6 -40-0 -0-10 0 10 0 0 40 stroke mm 1.16: load-stroke 1000step 1.1.1 updated Lagrange Newton-Raphson,. 1.1.11 updated Lagrange.. δa ij T ij dv δr 1.591 v, δr, A ij, Almange
79. δa ij 1 δui + δu j 1.59 x j x i T ij 1.1.10. 1.591 δa ij T ij., δa ij T ij. δa ij T ij δa 11 T 11 + δa 1 T 1 + δa 1 T 1 + δa 1 T 1 + δa T + δa T + δa 1 T 1 + δa T + δa T 1.59 δa 11 T 11 + δa T + δa T +δa 1 T 1 +δa T +δa 1 T 1, δa ij,t ij i, j., 1.594 {δa} T {δa 11 δa δa δa 1 δa δa 1 } T 1.595 {T } {T 11 T T T 1 T T 1 } 1.596, 1.591. δa ij T ij dv {δa} T {T } dv 1.597 v, δa ij. δa ij. v δa 11 δu 1 x 1 1.598 δa δu x 1.599 δa δu x 1.600 δa 1 δu 1 + δu x x 1 1.601 δa δu + δu x x 1.60 δa 1 δu x 1 + δu 1 x 1.60
80, u i N k u k i 1.604 u i x j Nk u k i 1.605 x j, δu i δu i N k δu k i 1.606 δu i x j Nk δu k i 1.607 x j., {δu} { } T δu 1 1 δu 1 δu 1 δu 1 δu δu δu n 1 δu n δu n 1.608,. {δa} [B][δu] 1.609, [B] [B k ],. [ ] B [[ B 1][ B ] [B n]] 1.610 ] [B k N k x 1 N k x N k x N k x N k x 1 N k x N k x N k x N k x 1 1.611,. δa ij T ij dv {δu} T [B] T {T } dv 1.61 v v
81 1.1.1 Q, Q [B] T [T ]dv 1.61 v., 1.591 V, δa ij. δa ij 1. δui X j + δu n X i 1.614 1.1.1, Newton-Raphson, Q u K. K Q u, 1.61 u, Q Q t Q u 1.615 u t Q u 1.616 u,, 1.591,. 1.591,. F, J. F x i X j e i e j 1.617 J detf 1.618, Piola-Kirchhoff S. T 1 J F S F T 1.619
8 S Green-Lagrange E δe. E 1 ui + u j + u k u k e i e j 1.60 X j X i X i X j δe 1 δui + δu j + δu k u k + u k δu k 1.61 X j X i X i X j X i X j δa δe. δe F T δa F 1.6, δe : S dv F T δa F :JF 1 T F T 1 dv 1.6 v v J δa : T dv 1.64 v. 1.64. Total-Lagrange. δe : Ṡ + 1 δf T Ḟ + Ḟ T δf : S dv 1.65 v. Piola-Kirchhoff S t t S t t Ṡ. Ṡ JF 1 S t t F T 1.66 1.65 1, δe : Ṡ F T δa F :JF 1 S t t F T 1.67 JδA : Ṡtt 1.68, δe : Ṡ δa : Ṡttdv 1.69 v v
8, Ḟ δf,., L, Ḟ L F 1.60 δf δf t t F 1.61 L u i e i e j 1.6 x j., 1.65, 1 δf T Ḟ + F T δf : S 1 F T δf t t T L F + F T L T δf t t F : JF 1 T F T 1.6 J 1 δf t t T L + L T δf t t : T 1.64 V 1 δf T Ḟ + F T 1 δf : S dv δf t t T L + L T δf t t : T dv v 1.65 updated Lagrange. δa : Ṡtt+ 1 δf t t T L + L T δf t t : T dv δṙ 1.66 v. { } 1 δa ij Ṡ t t ij dv + δf tt ki L kj + L ki δf t t kj T ij dv δṙ 1.67 v v, 1., Ṡ t t ṠF tt F. δa ij T ij. { } δa ij Ṡ ij {δa} T Ṡ } Ṡ {Ṡ11 Ṡ Ṡ Ṡ 1 Ṡ Ṡ 1 1.68 1.69
84, Ṡ ij D ij. D ij 1 ui + u j x j x i,. Ṡ ij C ijkl D kl 1.640 1.641 Ṡ ij C ij11 D 11 + C ij1 D 1 + C ij1 D 1 + C ij1 D 1 + C ij D + C ij D + C ij1 D 1 + C ij D + C ij D 1.64 C ij11 D 11 + C ij D + C ij D + 1 C ij1 + C ij1 D 1 + 1 C ij + C ij D + 1 C ij1 + C ij1 D 1 1.64, } [ }, {Ṡ C]{ D. C ijkl 1 C ijkl + C ijlk 1.644 Ṡ 11 Ṡ Ṡ Ṡ 1 Ṡ Ṡ 1 C 1111 C11 C11 C111 C11 C111 C 11 C C C1 C C1 C 11 C C C1 C C1 C 111 C1 C1 C11 C1 C11 C 11 C C C1 C C1 C 111 C1 C1 C11 C1 C11 D 11 D D D 1 D D 1 1.645 δa ij, {D} [B] { u} 1.646
{ u} 85 { } T u 1 1 u 1 u 1 u 1 u u u n 1 u n u n 1.647, 1. [ ] δa ij Ṡ t t ij dv {δu} T [B] T D [B] { u} dv 1.648 v v. T ij T ji,. 1 δf kil kj + L ki δf kj T ij 1 T ijl ki δf kj + 1 T ijδf ki L kj 1.649 δf ki T ij L kj 1.650., δf ki T ij L kj {δf} T [Σ] {L} 1.651 {δf} {δf 11 δf 1 δf 1 δf 1 δf δf δf 1 δf δf } 1.65 {L} {L 11 L 1 L 1 L 1 L L L 1 L L } 1.65 T 11 T 1 T 1 [T ] T 1 T T 1.654 T 1 T T [T ] [0] [0] [Σ] [0] [T ] [0] 1.655 [0] [0] [T ], δf ij,l ij. δf ij δu i x j 1.656 L ij u i x j 1.657
86. { } δu {δf} [Z] {δu} 1.658 x { } u {L} [Z] { u} 1.659 x, { } { } δu δu1 δu 1 δu 1 δu δu δu δu δu δu 1.660 x x 1 x x x 1 x x x 1 x x { } { } u u1 u 1 u 1 u u u u u u 1.661 x x 1 x x x 1 x x x 1 x x [ ] Z N 1 x 1 N x 1 N 1 x N x N 1 x N x N 1 x 1 N x 1 N 1 x N x N 1 N x x N 1 N x 1 x 1 N 1 N x x N 1 N x x N n x 1 N n x N n x, δf ki T ij L kj. N n x 1 N n x N n x N n x 1 N n x N n x 1.66 δf ki T ij L kj {δf} T [Σ] {L} 1.66 [Z] T [Σ] [Z]. ] { } T N i N [G i N i 11 T 1 T 1 ij T x 1 x x 1 T T T 1 T T {δu} T [Z] T [Σ] [Z] { u} 1.664 N i x 1 N i x N i x 1 0 0 0 1 0 1.665 0 0 1
87 [G 11 ] [G 1n ] [Z] T [Σ] [Z].. [G] 1.666 [G n1 ] [G nn ] v δf ki T ij L kj dv v {δu} [G] { u} dv 1.667. [ ] δa ij S t t ij + δf ki T ij L kj dv {δu} T [B] T D [B]+[G] dv { u} 1.668 v 1.67 V, δa ij 1.614, Ṡ t t ij Caushy.. 1.61, 1.668,.,. 1 1 dv, v 1 [ ] J 1 1 1 v det J dr 1 dr dr 1.669 x 1 x 1 x 1 r r x x x r r x x x r r [J]. x i r j Nk x k i Nk X k i r j r j, [B], Nk x j [J]. N k x 1 N k x N k x r r x 1 x 1 x 1 r r x x x r r x x x + u k i 1.670 1.671 N k N k r N k r 1.67
88 [ ] 1 J r r x 1 x 1 x 1 r r x x x r r x x x, [J] [ ] J X 1 X 1 X X X 1 r r X r r X X X r r 1.67 1.674,. X i r j Nk X k i 1.675 r j 1.1.14,. Ṡ ij C ijkl D kl 1.676 D kl D lk, C ijkl 1 C ijkl + C ijlk 1.677. D, D ij [ C]. Ṡ 11 Ṡ Ṡ Ṡ 1 Ṡ Ṡ 1 C 1111 C11 C11 C111 C11 C111 C 11 C C C1 C C1 C 11 C C C1 C C1 C 111 C1 C1 C11 C1 C11 C 11 C C C1 C C1 C 111 C1 C1 C11 C1 C11 D 11 D D D 1 D D 1 1.678
89 [ C], Cijkl C klij,. Hooke Cijkl e λδ ij δ kl +μδ ik δ jl 1.679 C ijkl e λδ ij δ kl + μ δ ik δ jl + δ il δ jk 1.680 C klij e λδ kl δ ij + μ δ ki δ lj + δ kj δ li 1.681 λδ ij δ kl + μ δ ki δ lj + δ il δ jk δ mn δ nm 1.68 C ijkl e 1.68, Hooke 6 6.. C 1111 e λδ 11δ 11 + μ δ 11 δ 11 + δ 11 δ 11 λ +μ 1.684 C 11 e λδ 11δ + μ δ 11 δ 11 + δ 11 δ 11 λ 1.685 C 11 e λδ 11δ + μ δ 1 δ 1 + δ 1 δ 1 λ 1.686 C 111 e λδ 11δ 1 + μ δ 11 δ 1 + δ 1 δ 11 0 1.687 C 11 e λδ 11δ + μ δ 1 δ 1 + δ 1 δ 1 0 1.688 C 111 e λδ 11δ 1 + μ δ 1 δ 11 + δ 11 δ 1 0 1.689 C e λδ δ + μ δ δ + δ δ λ +μ 1.690 C e λδ δ + μ δ δ + δ δ λ 1.691 C 1 e λδ δ 1 + μ δ 1 δ + δ δ 1 0 1.69 C e λδ δ + μ δ δ + δ δ 0 1.69 C 1 e λδ δ 1 + μ δ δ 1 + δ 1 δ 0 1.694 C e λδ δ + μ δ δ + δ δ λ +μ 1.695 C 1 e λδ δ 1 + μ δ 1 δ + δ δ 1 0 1.696 C e λδ δ + μ δ δ + δ δ 0 1.697
90 C 1 e λδ δ 1 + μ δ δ 1 + δ 1 δ 0 1.698 C 11 e λδ 1 δ 1 + μ δ 11 δ + δ 1 δ 1 μ 1.699 C 1 e λδ 1 δ + μ δ 1 δ + δ 1 δ 0 1.700 C 11 e λδ 1 δ 1 + μ δ 1 δ 1 + δ 11 δ 0 1.701 C e λδ δ + μ δ δ + δ δ 0 1.70 C 1 e λδ δ 1 + μ δ δ 1 + δ 1 δ 0 1.70 C 11 e λδ 1δ 1 + μ δ δ 11 + δ 1 δ 1 μ 1.704 Hooke.. λ +μ λ λ 0 0 0 λ λ+μ λ 0 0 0 [ C λ λ λ+μ 0 0 0 e ] 1.705 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ Lamé λ, μ E, ν. νe λ 1 + ν1 ν E μ 1+ν 1.706 1.707
91, 1.705,. Eν1 ν Eν1 ν 0 0 0 1+ν1 ν 1+ν1 ν [ C e ] E1 ν 1+ν1 ν Eν1 ν 1+ν1 ν Eν1 ν 1+ν1 ν E1 ν 1+ν1 ν Eν1 ν 1+ν1 ν Eν1 ν 1+ν1 ν 0 0 0 E1 ν 1+ν1 ν 0 0 0 E 0 0 0 0 0 1+ν E 0 0 0 0 0 1+ν E 0 0 0 0 0 1+ν 1.708. Ziegler C p ijkl C p ijkl G σ ij σ kl σ 1+ H G 1.709 G σ σ ij σ kl σ 1+ 1 σ G σ ab M 1.710 ab,,.,,., G 1 A σ 1+ H G 1.711 G Ziegler A σ 1+ 1 σ G σ ab M 1.71 ab C p ijkl 1 C p ijkl A σ ij σ kl 1.71 C p ijkl + Cp ijlk C p ijkl 1.714, C p ijkl C p klij 1.715
9, C p ijkl 6 6,. C p 1111 A σ 11 σ 11 1.716 C p 11 A σ 11 σ 1.717 C p 11 A σ 11 σ 1.718 C p 111 A σ 11 σ 1 1.719 C p 11 A σ 11 σ 1.70 C p 111 A σ 11 σ 1 1.71 C p A σ σ 1.7 C p A σ σ 1.7 C p 1 A σ σ 1 1.74 C p A σ σ 1.75 C p 1 A σ σ 1 1.76 C p A σ σ 1.77 C p 1 A σ σ 1 1.78 C p A σ σ 1.79 C p 1 A σ σ 1 1.70 C p 11 A σ 1 σ 1 1.71 C p 1 A σ 1 σ 1.7 C p 11 A σ 1 σ 1 1.7 C p A σ σ 1.74 C p 1 A σ σ 1 1.75 C p 11 A σ 1 σ 1 1.76
9. A σ 11 σ 11 A σ 11 σ A σ 11 σ A σ 11 σ 1 A σ 11 σ A σ 11 σ 1 A σ σ 11 A σ σ A σ σ A σ σ 1 A σ σ A σ σ 1 [ C A σ p ] σ 11 A σ σ A σ σ A σ σ 1 A σ σ A σ σ 1 A σ 1 σ 11 A σ 1 σ A σ 1 σ A σ 1 σ 1 A σ 1 σ A σ 1 σ 1 A σ σ 11 A σ σ A σ σ A σ σ 1 A σ σ A σ σ 1 A σ 1 σ 11 A σ 1 σ A σ 1 σ A σ 1 σ 1 A σ 1 σ A σ 1 σ 1 1.77 {S} { } σ 11 σ σ σ 1 σ σ 1 1.78,. [ Cp ] A {S}{S} T 1.79, Kirchhoff Jaumann, D. t t ˆT J C ep : D C 4 1.740 t tṡ C : D. t tṡ t t ˆT J D T T D 1.741 C ep : D D T T D 1.74 t tṡij C ep ijkl D kl D ik T kj T ik D kj 1.74 C ep ijkl D kl δ il T kj D kl T ik δ jl D kl 1.744 { C ep ijkl 1 δ ijt kj + δ ik T lj 1 } T ikδ ij + T il δ jk D kl 1.745
94. C ep ijkl Cep ijkl 1 δ ilt kj + δ ik T lj 1 T ikδ jl + T lj δ jk 1.746 t tṡij. t tṡij C ij11 D 11 + C ij1 D 1 + C ij1 D 1 + C ij1 D 1 + C ij D + C ij D + C ij1 D 1 + C ij D + C ij D 1.747 C ij11 D 11 + C ij D + C ij D + 1 Cij1 + C ij1 D1 + 1 Cij + C ij D + 1 Cij1 + C ij1 D1 1.748,. 1 C 1111 C11 C11 C111 + C 111 C1 + C 1 t tṡ11 t tṡ t tṡ t tṡ1 t tṡ t tṡ1 C 11 C C 1 C 11 C C 1 C 111 C1 C1 1 C 11 C C 1 C 111 C1 C1 1 C1 + C 1 C11 + C 11 C1 + C 1 C11 + C 11,. 1 C11 + C 11 C + C 1 1 1 1 1 C + C C1 + C 1 C + C C1 + C 1 1 1 1 1 1 1 C111 + C 111 C1 + C 1 C1 + C 1 C11 + C 11 C1 + C 1 C11 + C 11 1.749 D 11 D D D 1 D D 1 C 1111 C 1111 1 δ 11T 11 + δ 11 T 11 1 T 11δ 11 + T 11 δ 11 C 1111 T 11 1.750 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T 1 δ 1 C 11 1.751 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T 1 δ 1 C 11 1.75 C 111 C 111 1 δ 1T 11 + δ 11 T 1 1 T 11δ 1 + T 1 δ 11 C 111 1 T 1 + T 1 C 111 T 1 1.75
95 C 111 C 111 1 δ 11T 1 + δ 1 T 11 1 T 1δ 11 + T 11 δ 1 C 111 1 T 1 + T 1 C 111 T 1 1.754 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T 1 δ 1 C 11 1.755 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T 1 δ 1 C 11 1.756 C 111 C 111 1 δ 11T 1 + δ 1 T 11 1 T 1δ 11 + T 11 δ 1 C 111 1 T 1 + T 1 C 111 T 1 1.757 C 111 C 111 1 δ 1T 11 + δ 11 T 1 1 T 11δ 1 + T 1 δ 11 C 111 1 T 1 + T 1 C 111 T 1 1.758 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T 1 δ 1 C 11 1.759 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C T 1.760 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1.761 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ 1 T 1 T 1δ + T δ 1 C 1 1 T 1 + T 1 C 1 T 1 1.76 C 1 C 1 1 δ 1T + δ T 1 1 T δ 1 + T 1 δ C 1 1 T 1 + T 1 C 1 T 1 1.76 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T C T 1.764 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T C T 1.765 C 1 C 1 1 δ 1T + δ T 1 1 T δ 1 + T 1 δ C 1 1.766 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ 1 T 1 T 1δ + T δ 1 C 1 1.767 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T 1 δ 1 C 11 1.768
96 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1.769 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C T 1.770 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ 1 T 1 T 1δ + T δ 1 C 1 1.771 C 1 C 1 1 δ 1T + δ T 1 1 T δ 1 + T 1 δ C 1 1.77 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T C T 1.77 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T C T 1.774 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T C T 1.775 C 1 C 1 1 δ 1T + δ T 1 1 T δ 1 + T 1 δ C 1 1 T 1 + T 1 C 1 T 1 1.776 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ 1 T 1 T 1δ + T δ 1 C 1 1 T 1 + T 1 C 1 T 1 1.777 C 111 C 111 1 δ 11T 1 + δ 11 T 1 1 T 11δ 1 + T 11 δ 1 C 111 1 T 1 + T 1 C 111 T 1 1.778 C 1 C 1 1 δ 1T + δ 1 T 1 T 1δ + T 1 δ C 1 1 T 1 + T 1 C 1 T 1 1.779 C 1 C 1 1 δ 1T + δ 1 T 1 T 1δ + T 1 δ C 1 1.780 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ 11 T 1 T 11δ + T 1 δ 1 C 11 1 T 11 + T 1.781 C 11 C 11 1 δ 11T + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T 11 δ C 11 1 T 11 + T 1.78
97 C 1 C 1 1 δ 1T + δ 1 T 1 T 1δ + T 1 δ C 1 1 T 1 1.78 C 1 C 1 1 δ 1T + δ 1 T 1 T 1δ + T 1 δ C 1 1 T 1 1.784 C 11 C 11 1 δ 11T + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T 11 δ C 11 1 T 1.785 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ 11 T 1 T 11δ + T 1 δ 1 C 11 1 T 1.786 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T 1 δ 1 C 11 1.787 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T C T 1.788 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T C T 1.789 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ 1 T 1 T 1δ + T δ 1 C 1 1 T 1 1.790 C 1 C 1 1 δ 1T + δ T 1 1 T δ 1 + T 1 δ C 1 1 T 1 1.791 C 1 C 1 1 δ 1T + δ T 1 1 T δ 1 + T 1 δ C 1 1 T 1 1.79 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T 1.79 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T 1.794 C C 1 δ T + δ T 1 T δ + T δ C 1 T + T 1.795 C 1 C 1 1 δ 1T + δ T 1 1 T δ 1 + T 1 δ C 1 1 T 1 1.796 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ 1 T 1 T 1δ + T δ 1 C 1 1 T 1 1.797 C 111 C 111 1 δ 1T 11 + δ 1 T 11 1 T 1δ 11 + T 1 δ 11 C 111 T 1 1.798 C 111 C 111 1 δ 1T 11 + δ 1 T 11 1 T 1δ 11 + T 1 δ 11 C 111 T 1 1.799
98 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ T 1 1 T δ 1 + T δ 1 C 1 1.800 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ T 1 1 T δ 1 + T δ 1 C 1 T 1 1.801 C 11 C 11 1 δ T 11 + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T δ 11 C 11 1 T 1.80 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ T 11 1 T δ 11 + T 1 δ 1 C 11 1 T 1.80 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ T 1 1 T δ 1 + T δ 1 C 1 1 T 1 1.804 C 1 C 1 1 δ T 1 + δ T 1 1 T δ 1 + T δ 1 C 1 1 T 1 1.805 C 11 C 11 1 δ 1T 1 + δ T 11 1 T δ 11 + T 1 δ 1 C 11 1 T 11 + T 1.806 C 11 C 11 1 δ T 11 + δ 1 T 1 1 T 1δ 1 + T δ 11 C 11 1 T 11 + T 1.807. T 11 0 0 T 1 0 T 1 0 T 0 T 1 T 0 0 0 T T 1 T T 1 T 1 T 1 0 1 T 1 11 + T 1 1 T 0 T T 1 T 1 1 T + T 1 T 1 T 1 0 T 1 1T 1T 1 1 T 11 + T 1.808 1.,. following force follower force, load stiffness matrix.
99. load stiffness matrix,. 1..1 following force. load stiffness matrix,.,, δ W ext t δ uds 1.809 Sṫ δ W ext Sṫ t u X X : : : : :X. :X., current configuration tds reference configuration, ds.,. t t, t t ds ds t ṫ ds ds + t ds ds 1.810 1.811., u, C t u D t u
100. t C t + D t u 1.81, self-adjoint. D t u D t u ds 0 1.81 u, u Sṫ u u u on S u 1.814 D t u, D t u., D t D t u, D t D t u 1.815, u u Δ u, D t D t Δ D t 1.816, 1.81, Sṫ D t Δ u Δ D t u ds 0 1.817. 1.817 Δ Δ u δ,. D t δ u δ D t u ds 0 1.818 Sṫ D t u, 1.818 δ Δ 1.817. 1.818, D t δ uds δ D t uds 1.819 Sṫ Sṫ 1.809 δ W ext D t, D t δ uds 1 D t δ uds + Sṫ Sṫ Sṫ δ D t uds 1.80
1 δ Sṫ 101 D t uds 1.81, D t,. W ext Sṫ C t + 1 D t uds 1.8,, 1.8 1.818. D t u δ Δ.,, D t u. 1... p. t ds. t pn ds ds pjf T N 1.8, Nanson 1.84. nds detf F T NdS 1.84 n N F x i X j e i e j J detf : : : :
10 1.8 1,. 1.85 t ṗjf T N pjf T N pjf T N 1.85 F T, İ F T F T,. F T F T + F T F T 0 1.86 F T F T F T F T 1.87, J, L L Ḟ F 1 1.88 J JtrL 1.89, J Jtr Ḟ F 1 1.80 1.85, 1.87, 1.80 t ṗjf T N pjtr Ḟ F 1 F T N + pjf T Ḟ T F T N 1.81 1.8 1.85, u. x x i e i 1.8 1. t t ds t f. Δt t / t f t t t ds f t Δt ds / t f t ṫ t ds f t Δt ds.
10 trl u 1 + u + u x u u x x 1 x x 1.8 L u i e i e j u x x j 1.84 L T u i e j e i x u x j 1.85 C t ṗjf T N 1.86 D t pjtr Ḟ F 1 F T N + pjf T F T F T N 1.87, J 1, F I, N n, 1.86, 1.87. C 0t ṗn 1.88 D 0t ptr F t t n + p F T t t n 1.89 p trl n + pl T n 1.840 Ḟ u L 1.88, 1.87, 1.840 D t, D 0t u. 1.818. D t δ u δ D t u ds Sṫ sṫ D t0 δ u δ D t0 u ds 1.841 1.8 1.85, 1.841 1.840, D 0t δ u δ D 0t u ds 1.84 Sṫ p [ δ u { trli + L } T u {δtrli + δl }] T nds sṫ sṫ 1.84 pn { x u δ u + δ u x u x δ u u u x δ u} ds
104 1.844 pn rot u δ u ds rot 1.845 sṫ p u δ u dr 1.846 C 1.845 1.846 Stokes 1.847. rotv nds v dr 1.847 S C dr S C 1.846 0, load stiffness matrix. 1.846 0. 1. sṫ C δ u 0. u δ u 0 u δ u. u δ u dr 4. C 1.17.,.
105 P P1, 1: P 1 C C 4: P C u z a u b u u 1/8, : a x dr y : b y z 1.17: 1..,, N, n., 8. N n 1.848 1.855. N 1 1 8 1 r 11 r 1 r 1.848 N 1 8 1 + r 11 r 1 r 1.849 N 1 8 1 + r 11+r 1 r 1.850
106 N 4 1 8 1 r 11+r 1 r 1.851 N 5 1 8 1 r 11 r 1+r 1.85 N 6 1 8 1 + r 11 r 1+r 1.85 N 7 1 8 1 + r 11+r 1+r 1.854 N 8 1 8 1 r 11+r 1+r 1.855 8 7 5 r r 6 4 r 1 1 1.18: X u. X r 1,r,r u r 1,r,r 8 N n X n X n 1.856 n1 8 N n u n 1.857 n1 r 1,r,r 1 1, 1 1. 1.18 5-6-7-8,, r 1
107 1.848 N n 0 n 1 4 1.858 N 5 1 4 1 r 11 r 1.859 N 6 1 4 1 + r 11 r 1.860 N 7 1 4 1 + r 11+r 1.861 N 8 1 4 1 r 11+r 1.86 4.,.,, 4. dr 1 dr, dr 1,dr dx 1 X dr 1 dx 1 x dr 1 dx X r dr 1.86 dx x r dr 1.864 X x. load stiffness matrix NdS, nds. NdS dx 1 dx X X dr 1 dr 1.865 r X i X j e ijk dr 1 dr e k 1.866 r x nds dx 1 dx x dr 1 dr 1.867 r
108 e ijk e ijk x i x j r dr 1 dr e k 1.868 1..4 Hibbit [9]... δ W p Sṫ t δ uds 1.869, updated Lagrange. 1.869. C δ W p t 0 δ uds t 0 + D t 0 δ uds 1.870 sṫ 1.870 1.88, 1.840. { δ W p ṗn δ uds + p trl n + plt n } δ uds 1.871 sṫ sṫ. 1.871 1 1.868 1.871 1 e ijk ṗ x j x k δ u i dr 1 dr 1.87 r 1.871 D t 0.. { D t 0 kds p u1 x 1 + u x + u x k 1 [ D t 0 1ds p u1 x 1 + u x + u x sṫ x i x j e ijk + p u } c x a x b e abc dr 1 dr r x k r 1.87 x x x x r r
{ u1 + p x 1 + u x 1 x x x x r r x1 x r x x 1 r + u x }] 1 dr 1 dr x x 1 x 1 x r r 109 1.874 p u 1 x 1 x x r u x x x r u x x x r + u 1 x 1 x x r + u x x x r + u x x x r + u 1 x 1 x x r + u x 1 x x 1 r + u x 1 x 1 x r u 1 x 1 x x r u x 1 x 1 x r u x 1 x x 1 r + u x x u x x x r x r + u x x x r u x x x r dr 1 dr 1.875 1.875 4.,. { t 0 1ds p x1 u + x u + x u x x 1 x x r x1 u + + x u + x u x x 1 x x r x x1 u + x u + x u r x 1 r x r x + x x1 u + x u + x } u dr 1 dr r x 1 r x r x 1.876 1.876 1.878. u i x 1 u i x 1 + x u i x + x u i x
110 u i r x 1 r u i x 1 + x r u i x + x r u i x 1.877 t 0 1ds p u x + u x x u + x u dr 1 dr r r r r 1.878 e ijk,. D 0t uj x k 1 ds pe 1jk + x j u k dr 1 dr 1.879 r r D t 0, D t 0. 1.879, 1.871 { δ W p e ijk ṗ x j x k xj u k + p + u } j x k δ u i dr 1 dr 1.880 r r r 1.880,., ṗ 0 1.880, δ W pii. δ W pii e ijk xj u k p + u j x k r r δ u i dr 1 dr 1.881 1.881,. [K] [ δu n i T ] [K] [ ] u n i load stiffness matrix. 1.881 p e ijk xj u k r + u j x k r 1.88 δ u i 1.88
111 1. δ u 1 x u r x u r +δ u x u 1 r x 1 u r. 0 ] [δ x x x u 1 δ u δ u 0 x 1 x x 1 0. δ u 1 u x r u x r [ ] u [δ u] [A] r 1 1 1.88. u x 1 +δ u u 1 x r r. 0 ] [δ u 1 δ u δ u x r 0 x r x r x 1 r x r x 1 r 0 x1 u +δ u x u 1 r r 1.884 u 1 r u r u r 1.885 1.886 u1 x +δ u u x 1 r r 1.887 u 1 u u 1.888. [ ] u [δ u] [B] 1 1 1.889
11 N n [ u]. u 1 N 1 N N 4 u N 1 N... N 4 u N 1 N N 4. [ u] 1 [ [N] 1 ] u n i 1 1 [δ u] [N]. [ ] u u 1 u u N 1 N N 4 N 1 N... N 4. [ ] [ ] u N [ N 1 N N 4 1 1 ] u n i 1 1 u 1 1 u 1 u 1 u 1. u 4 1 u 4 u 4 1.890 1.891 u 1 1 u 1 u 1 u 1. u 4 1 u 4 u 4 1.89 1.89
11, 1.88 1 1.88 [ δ W pii [ δ u n i δ u n i [ [ δ u n i δ u n i [ ] [ ] u N [ r r 1 1 T ] [ N T ] [A] [ N r T ] [ N T ] [B] [ N ] { T [N T p ] [A] ] T [ ] [ K 1 L n n ] u n i [ ] N r ] u n i 1 1 ] [ ] u n i ] [ ] u n i, loadstifness matrix : [ K 1 L]. [ K 1 L] + [ N ] [ ]} N [ T [B] dr 1 dr 1.894 1.895 1.896 ] 1.897 u n i 1.898 {α ij } [ ] [ ] N T N [A] r {α 11 } {α 1 }... {α 14 }. {α 1 }.. {α4 }. {α ij }. {α 41 }...... {α 44 } 0 N i x N j r N i x N j r N i x N j r 0 N i x 1 N i x N j r N i x 1 N j r 0 [ ] [ ] N T N [B] N j r {β 11 } {β 1 }... {β 14 }. {β 1 }.. {β4 }. {β ij }. {β 41 }...... {β 44 } 1.899 1.900 1.901
114 {β ij } 0 N i x r N j N i x N i x N j r 0 N i x 1 N i x r N j N i x 1 r N j 0 N j r N j r 1.90 x i, x i r. i 1,, N n x i N1 x 1 i + N x i +... + Nn x n i 1.90 [ K 1 L].