07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 以下の問いに答えよ () 0 のとき, si + cos の最大値と最小値, およびそのときの の値 をそれぞれ求めよ () e を自然対数の底とする > eの範囲において, 関数 y を考える この両 辺の対数を について微分することにより, y は減少関数であることを示せ また, e< < bのとき, () 数列 { } b の一般項が, ( ) > b が成り立つことを証明せよ ( -) であるとき, + - を の式で表し, が最大となる正の整数 をすべて求めよ () 複素数平面上の点 P( z ) が, 原点を中心とする半径 の円の周上を動くとき, w z+ i で表される点 Q( w ) はどのような図形を描くか z --
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 空間内の 点 A, B, C を頂点とする ABC を考える 辺 BC, AC の中点をそれぞれ M, N とし, 中線 AM と BN の交点を G とする 以下の問いに答えよ () AG を, AB と AC を用いて表せ () 点 P, Q が PA + PB + PC PQ を満たすとき, 点 P, Q, G は同一直線上にある ことを示せ () ABC の頂点の座標が A (0, 0, ), B(7, 0, 6), C(,, 5) であるとき, y 平面上を動く点 P(, y, 0) を考える このとき PA + PB + PC の最小値とそのと きの P の座標を求めよ () () において, 特に点 P(, y, 0) が, y 平面上の円 + y の周上を動くもの とする PA + PB + PC の最大値とそのときの P の座標, および最小値とそのと きの P の座標を, それぞれ求めよ --
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 放物線 C : y と定点 A (0, ), B(0, ) および C 上の第 象限の点 P(, ) が与えられている 自然数,,, について, 以下の操作を繰り返す C 上の第 象限の点 P( p, p ) に対し, 手順 直線 PA と C との交点のうち, 第 象限にあるものを Q ( q, q ) とし, 手順 直線 QB と C との交点のうち, 第 象限にあるものを P ( p, p ) + + + とする このとき, 以下の問いに答えよ () を定数とする 直線 y + と C との交点のうち, 第 象限にあるものを P( p, p ), 第 象限にあるものを Q( q, q ) とする このとき, pq -が成り立つことを示せ また, 点 Q の座標を求めよ () 点 P, Q および P の座標を求めよ () 数列 { p } および数列 { q } の一般項をそれぞれ求めよ () 0 の範囲において, C と直線 PQ および y 軸で囲まれた図形の面積 S を求 S めよ さらに, 極限値 lim + を求めよ S --
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ y 平面上に, 原点 O を中心とする半径 の円がある この円の周上に 点 A (cos, si ) と B(cos, si ) をとる ただし, 0 < < < とする さらに, 点 A, B から 軸に垂線を下ろし, 軸との交点をそれぞれ C, D とする 扇形 OAB の面積を S, 弧 AB と線分 BD, DC, CA で囲まれた図形 F の面積を S とするとき, 以下の問いに答えよ () S を と で表せ () S を と で表せ () S Sのとき, を の式で表せ また, このときt cos -cos のとりうる 値の範囲を求めよ () () のとき, 扇形 OAB および図形 F を 軸のまわりに 回転してできる回転体の体積を, それぞれV およびV とする さらに, V V-Vとする V を t の式で表せ (5) () において, V の最大値, およびそのときの A, B の座標を求めよ --
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 0 のとき, t si とおくと, 0 t となり, f ( ) si + cos si + -si t - t + ここで, g( t ) f ( ) とおくと, - - g ( t) t 6t 6 t(t ) これより, g( t ) すなわち f ( ) の増減は右 t ( ) 表のようになり, のとき最大 値 をとり, t (, 5 ) のとき最小値 6 6 をとる () > eのとき, y に対して log y log となり, 両辺を で微分すると, y log log - log - + -, y y - - < 0 よって, > eにおいて, y は減少関数である これより, e< < bのとき b b b > b となり, 両辺を b 乗すると, ( ) ( b b > b ), > b ( ) + + ( + ) となり, + - ( ) { ( ) ( ) } - - 7 () ( ) - のとき, ( ) + - - ( ) ( ) すると, 6 のとき + >, 7 のとき +, 8 のとき となるので, が最大となる正の整数 は, 7, 8 である () 点 P( z ) は原点を中心とする半径 の円の周上を動くので, z 条件よりw z+ i からwz z + i となり, ( w- ) z iより, z z i ( w ¹ ) w - をに代入すると, i から となり, w - w - w - + < よって, 点 Q( w ) は点 を中心とする半径 の円を描く なお, このときw ¹ は満たされている t 0 g ( t ) 0-0 + g ( t ) [ 解説 ] 独立した基本小問 題の構成です 次数学ではあまり見かけないスタイルです ただ, 一昨年にもありましたが -- 電送数学舎 07
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 条件より, 点 G は ABC の重心なので, AG AB+ AC A () () から, PG - PA ( PB- PA ) + ( PC-PA ) となり, N PG ( PA + PB + PC) G PG PA + PB + PC B M C ここで, 与えられた条件 PA + PB + PC PQ に, を代入すると PG PQ とな り, これより 点 P, Q, G は同一直線上にある () A (0, 0, ), B(7, 0, 6), C(,, 5) に対して, ABC の重心は G(,, ) となり, P(, y, 0) とすると, から, PA + PB + PC PG ( - ) + ( y- ) + 6 すると, PA + PB + PC は, P(,, 0) で最小値 6 をとる () P(, y, 0) が y 平面上の円 して cos, y si とおき, () と同様にすると, PA + PB + PC (cos - ) + (si - ) + 6 + y の周上を動くことより, 0 < と -6cos - 8si + ここで, ベクトル (-6, -8), p ( cos, si ) を 設定し, と p のなす角を (0 ) とすると, -6 cos - 8si p p cos 0cos より, PA + PB + PC 0cos + すると, PA + PB + PC は, cos ( 0) すなわち ( ) P -, -, 0 のとき最大値 0+ 6 をとり, 5 5 cos - ( ) すなわち P (,, 0) 5 5-6 のとき最小値 - 0+ をとる p - O y -8 [ 解説 ] ベクトルと図形を題材にした基本的な問題です 誘導が細かいので, 方針に迷うことはないでしょう なお, () では と p を設定し, つのベクトルの内積を用いて図形的に処理をしています もちろん, サインでの合成でも構いませんが -- 電送数学舎 07
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () C : y と A (0, ) を通る直線 y + を連立して, +, -- 0 の解を p, q ( p> q) とすると, pq - すると, P(, ) より, 点 Q の 座標は- となり, ( ) Q -, である () C と B(0, ) を通る直線 y b + を連立して, () b+, -b- 0 の解を p, q ( p> q) とすると, pq - すると, Q (, ) - より, 点 P の 座標は となり P(, 6) である 同様にして, から点 Q の 座標は- となり Q ( -, ) である さらに, 6 から点 P の 座標は 8 となり P(8, 6) である P( p, p ), Q ( q, q ) に対して, p, q - のもとで, より, p+ q - 6 pq - 5, p 56より, + p となり, p+ pから, p - p, q - p -q p q p -q () 直線 PQ は, 傾きが ( ) y - + + - から, その方程式は, 0 で C と直線 PQ および y 軸で囲まれた図形の面積 S は, {( ) } é ò ê ( ) 0 ë ( ) + 0 S - + - d - + - + ù úû - + - + ( + ) 6 6 + + - S+ ( + ) ( + ) すると, となり, S - ( + ) + S + lim 8 S Q y O P P [ 解説 ] 図形と数列の問題です 与えられた条件は簡明で誘導も詳しいので, 計算ミスだけ要注意です -- 電送数学舎 07
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () A (cos, si ), B( cos, si ) に対して, 扇形 OAB の面積 S は, AOB - より, ( ) S - ( ) A () C( cos, 0), D( cos, 0) に対して, 弧 AB と線分 - O D C BD, DC, CA で囲まれた図形 F の面積 S は, S S + cos si - cos si - ( - ) + ( si - si ) () S Sのとき, () より si - si 0となり, cos( + )si( - ) 0 ここで, 0 < < < より + となり, - さて, t cos -cos に対して, から, ( ) - si ( + ) t cos -cos - cos si すると, 0 < < - < から 0 < < となるので, 0 si( ) < + < より 0< t < である () 扇形 OAB および図形 F を 軸のまわりに 回転してできる回転体の体積を, それぞれV およびV とすると, V ( si )cos + V- ( si )cos すると, V V-Vに を適用して, ( si cos si V - cos ) cos si ( cos si ) - ここで, (cos si si cos ) - t -cos si から cos si -t となり, V -t t ( t- t ) 6 (5) () より, V ( - t ) となり, 0 < t < に 6 おける V の値の変化は右表のようになる これより, t のとき V は最大となり, 最 大値は ( ) - である このとき, 6 7 t 0 B V + 0 - V y -- 電送数学舎 07
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 cos - si, cos si より cos si + となり, に代入すると ( si + ) si から, si + si - 0 0< si < より si - + 5, cos - + 5 + + 5 6 6 6 また, より, cos si, si cos となるので, 求める A, B の座標は, + 5 - + 5 ( ), B - + 5 5 (, + ) A, 6 6 6 6 [ 解説 ] 微分と最大 最小問題ですが, 設問が 5 題もあり, かなりの量になっています ただ, 難しい計算はありませんが -5- 電送数学舎 07