日 食 による 月 と 太 陽 の 距 離 測 定 大 西 浩 次 ( 長 野 工 業 高 等 専 門 学 校 ) 2009 年 7 月 22 日 日 本 で 46 年 ぶりの 皆 既 日 食 が 起 きた この 現 象 は 月 の 公 転 を 実 感 する 好 機 会 であると 共 に 地 球 の 自 転 現 象 を 体 感 する 機 会 でもあった 月 は 地 球 のまわり を 約 30 日 で 公 転 している すなわち 月 の 公 転 角 速 度 は 0.5 度 /1 時 間 である.これより 月 が 太 陽 ( 視 直 径 0.5 度 )を 横 切 る 時 間 ( 日 食 の 継 続 時 間 )は 約 2 時 間 になるはずである しかし 実 際 の 日 食 の 継 続 時 間 は 3 時 間 弱 である この 違 いは 観 測 者 が 動 いているためで ある 太 陽 までの 距 離 は 十 分 に 遠 いので 月 の 影 の 動 く 様 子 は 実 際 の 月 の 運 動 が 地 球 表 面 というスクリーン に 平 行 投 影 されて 見 えると 考 えて 良 い すなわち 太 陽 の 方 向 から 地 球 を 見 ると 月 の 影 が 地 表 に 投 影 されて 動 いている 速 さは 月 の 公 転 速 度 と 同 じ 秒 速 約 1km である しかし 観 測 者 も 地 表 上 で 共 に 自 転 運 動 している( 秒 速 約 400m) この 結 果 観 測 者 は 月 の 影 を 常 に 追 いかけながら 観 測 していることになる この 自 転 の 効 果 が 日 食 の 継 続 時 間 を 長 くしているわけだ いま 各 地 の 観 測 データから, 地 上 から 月 の 影 が 移 動 している 様 子 を 描 くことで 月 の 地 表 に 対 する 移 動 速 度 が 測 定 できる この 速 度 に 地 球 の 自 転 速 度 の 補 正 をすると 月 の 実 公 転 速 度 が 求 まり ケプラーの 法 則 を 介 して 月 までの 距 離 が 決 定 できる 発 表 では 上 記 の 方 法 による 月 の 距 離 測 定 と 共 に 月 の 影 の 移 動 速 度 と 1 点 の 角 速 度 の 測 定 から 月 までの 距 離 を 決 定 する 新 しい 方 法 も 紹 介 する ところで 太 陽 観 測 衛 星 SOHO は 太 陽 地 球 間 の L1 のハロー 軌 道 にいる このため 背 景 の 恒 星 をバックにすると 地 上 と SOHO で 太 陽 の 位 置 が 異 なって 見 える 2009 年 7 月 22 日 小 笠 原 諸 島 北 硫 黄 島 沖 ( ふじ 丸 )で 撮 影 した 皆 既 日 食 の 画 像 に 写 り 込 んでいる 10 個 の 星 を 使 って 同 時 刻 の SOHO の LASCO C2,LASCO C3 の 画 像 との 比 較 から 太 陽 視 差 の 測 定 した 1.はじめに 月 は 地 球 のまわりを 約 30 日 で 1 周 している( 月 の 公 転 ).これを 1 日 あたりにすると 約 12 度 となる(360 度 30 日 ).いま, 月 を 1 日 おいて 同 じ 時 刻 に 観 察 すると, 見 える 位 置 が 前 日 とは 約 12 度 東 へずれてい ることに 気 づくだろう.この 動 きを 1 時 間 あたりにしてみると, 角 度 で 0.5 度 になる(12 度 24 時 間 ). 月 の 見 かけの 大 きさは 約 0.5 度 なので, 月 は 1 時 間 程 度 でほぼ 自 分 自 身 の 視 直 径 と 同 じくらいの 角 度 を 移 動 する.この 動 きはとてもゆっくりしたものなので,ふつうでは 気 づかないだろう.まさに, 日 食 のとき,この 月 の 公 転 を 実 感 する 絶 好 のチャンスになる. ところで 月 が 1 時 間 当 たり 0.5 度 動 くとすれば 0.5 度 の 太 陽 視 直 径 を 月 が 横 切 る 時 間 ( 日 食 の 継 続 時 間 )は 約 2 時 間 になるはずだ しかし 実 際 には 日 食 の 継 続 時 間 は 3 時 間 弱 である この 違 いはなぜ 起 きるのだろうか? 図 1 のように 宇 宙 から 見 ると( 正 確 には 太 陽 から 見 ると) 月 の 影 が 地 表 に 投 影 されて 動 いている 速 さは 月 の 公 転 速 度 と 同 じ 秒 速 約 1km である しかし 観 測 者 ( 日 本 列 島 )も 時 間 とともに 自 転 している( 秒 速 約 400m) すなわち 観 測 者 は 月 の 影 を 常 に 追 いかけながら 観 測 していることになる (ただし 日 の 出 時 南 中 時 日 没 時 などの 時 間 帯 により 影 との 相 対 速 度 は 常 に 変 化 している) これが 月 が 太 陽 を 横 切 る 継 続 時 間 を 長 くしている 原 因 である
図 1 2009 年 7 月 22 日 の 皆 既 日 食 時 月 の 影 の 動 きと 地 球 の 動 きの 様 子 ( 左 9h37m, 右 12h20m) 相 馬 充 作 成 の 図 (Astro-HS 2009 観 測 ガイド P17, 図 6より 引 用 ) 2. 食 の 同 時 刻 線 から 月 の 影 を 追 う 太 陽 までの 距 離 は 十 分 に 遠 いので 月 の 影 の 動 く 様 子 は 実 際 の 月 の 運 動 が 地 球 表 面 というスクリー ン に 平 行 投 影 されて 見 えている ここで 月 の 影 が 動 いていく 様 子 を 地 上 から 捉 えてみよう. 各 地 の 観 測 データから, 食 の 開 始 時 刻 を 取 り 出 して, 同 じ 時 刻 に 食 が 開 始 となる 点 を 地 図 上 にプロットする.たとえば 食 の 開 始 が 9 時 50 分 になる 点 をとって, 結 んでみよう.(ちょうどその 時 刻 の 地 点 がない 場 合 は,その 前 後 の 時 刻 の 点 から 推 定 しよう).こうして 描 かれた 線 は,その 時 刻 における 月 の 影 ( 正 確 には 半 影 )の 外 縁 の 位 置 を 示 している. 同 様 に,その 後 の,たとえば 10 時 00 分 に 食 が 開 始 になる 同 時 刻 線 を 描 いてみると, その 線 が 西 から 東 へ 移 動 していることがわかる.このようにして, 地 上 から 月 の 影 が 移 動 している 様 子 を 描 く ことができる.さらに 食 の 終 わりの 時 刻 で 同 じように 線 を 描 くと, 日 本 列 島 を 過 ぎ 去 っていく 月 の 影 を 描 くこと ができる.このような 観 測 より 地 球 表 面 に 対 する 月 の 移 動 速 度 V 1 が 決 定 できる 3. 月 の 公 転 速 度 より 月 までの 距 離 を 求 める いま 食 の 同 時 刻 線 の 測 定 から 月 影 の 移 動 速 度 V 1 が 求 まったとしよう 一 方 各 地 の 自 転 速 度 V 2 は 地 球 の 角 速 度 をω 地 球 半 径 を R 緯 度 をθとすれば V 2 =Rω cosθとなる これより 自 転 方 向 と 月 影 の 方 向 の 成 す 角 をφとすれば 月 の 実 公 転 速 度 V は V= V 1 + V 2 cosφと 求 まる このように 月 の 実 公 転 速 度 が 求 まると ニュートンの 万 有 引 力 の 公 式 を 使 うことで 月 までの 距 離 x と 地 球 の 半 径 R の 比 は x/r=(gr/v^2)として 求 められる 1.ただし g は 重 力 加 速 度 9.8m/s^2 である いま V を 約 1000m/s とす れば 距 離 は 地 球 半 径 の 約 60 倍 程 度 になるだろう 1 月 の 円 運 動 の 速 さ V とすれば 向 心 力 の 大 きさは mv^2/x ここで m は 月 の 質 量 一 方 この 向 心 力 の 原 因 が 万 有 引 力 GMm/x^2=mgR^2 /x^2 (g=gm/r^2)であることから 導 出 できる
4. 月 の 視 差 から 月 までの 距 離 を 求 める 図 2 同 時 刻 2 観 測 点 から 見 た 月 の 視 差 図 3 同 時 刻 2 観 測 点 から 見 た 月 の 視 差 測 定 遠 く 離 れた2つの 地 点 から 観 測 すると, 背 景 ( 日 食 の 場 合 は 太 陽 )に 対 して 月 がずれて 見 える.これが 月 の 視 差 p です 月 の 視 差 を 測 定 し, 月 までの 距 離 を 求 めてみよう いま 2 つの 観 測 点 間 の 距 離 を d[km], 月 までの 距 離 を x[km]とする. 2 地 点 間 の 距 離 d が 月 までの 距 離 x を 半 径 とする 円 の 円 周 の 一 部 とみな すと,p[rad]=d/x より x=d/p[rad]= x=(180/(πp[degree]))d となる.2 地 点 間 の 距 離 は 地 図 などを 利 用 して 求 めると. 月 までの 距 離 x[km]が 計 算 できる (ただし こうして 求 めた 距 離 は, 地 球 の 中 心 からの 距 離 ではないことに 注 意 しよう.) 5. 1 地 点 観 測 データから 月 の 距 離 を 測 る I もし 月 の 影 の 移 動 速 度 V 1 がわかっていると(3 章 のように 地 球 の 自 転 の 補 正 をしなくても) あとは 各 地 の 1 点 の 観 測 データから 月 までの 距 離 を 求 めることが 出 来 ます 先 に 示 したように 月 が 実 速 度 で 公 転 している 間 に 観 測 者 は 自 転 しています そのため 太 陽 - 観 測 者 を 軸 とすると 月 は 見 かけの 影 の 移 動 速 度 で 動 いているように 見 えます すなわち 影 の 見 かけの 移 動 速 度 が 判 ると t 秒 後 の 月 と 観 測 者 の 相 対 移 動 量 V 1 t がわかります そこで 観 測 者 の 見 かけの 視 差 p を 測 定 すれば x=(180/(πp[degree])) V 1 t となり 観 測 者 から 月 までの 距 離 がわかります これは 地 上 の 2 点 間 の 距 離 でなく 測 定 対 象 ( 月 )の 2 点 間 の 距 離 を 既 知 とする 視 差 による 距 離 測 定 法 で Parallax の 反 対 の 綴 りをした Xallarap と 呼 ばれる 手 法 の 1 つである[2]
図 4 Xallarap による 月 の 距 離 測 定 の 原 理 6. 1 地 点 観 測 データから 月 の 距 離 を 測 る II 図 5 地 心 と 観 測 者 の 角 速 度 と 距 離 測 定 の 原 理 いま 地 球 の 中 心 から 見 た 角 速 度 と 観 測 者 の 位 置 速 度 を 与 えたとしよう 図 5のように 地 球 中 心 から みた 太 陽 に 対 する 月 の 角 速 度 ω 0 は 1 望 月 (29.53 日 )で 360 度 より ω 0 =2π/(29.53*24*60*60) [rad/s]である いま 観 測 者 の 速 度 V 2 および 太 陽 - 観 測 者 - 地 球 中 心 の 観 測 者 と 地 球 中 心 の 距 離 r は 計 算 できるので 観 測 者 からある 1 点 の 観 測 者 Cが 太 陽 に 対 する 月 の 移 動 角 速 度 ω 1 を 測 定 した としよう ここで Vt=X*ω 0 t V 1 t=vt-v 2 t=(x-r)* ω 1 t より X=V 2 /(ω 0 -ω 1 )- ω 0 r/ (ω 0 -ω 1 ) と 解 ける このように 1 カ 所 の 測 定 だけでも 距 離 は 測 定 できる 長 野 高 専 天 文 部 の 測 定 では 数 %の 精 度 で 月 までの 距 離 を 測 定 できている
7.SOHO と 地 球 (GOUND)による 太 陽 視 差 日 食 による 太 陽 の 距 離 測 定 の 可 能 性 について 書 いておこう 太 陽 観 測 衛 星 SOHO は 太 陽 地 球 間 の L1 ポイント 付 近 のハロー 軌 道 にいる( 図 5) このため 背 景 の 恒 星 をバックにすると 地 上 と SOHO での 太 陽 の 位 置 が 異 なって 見 える この 測 定 から 太 陽 の 距 離 が 測 定 可 能 である この 視 差 は p=(d*10^6km/1.5*10^8km)=(4d/10.8)[degree]であり SOHO の 横 ずれの 最 大 値 d_max=1.6*10^6km を 使 うと 最 大 0.6 度 と 太 陽 の 視 直 径 程 度 ずれる これより 皆 既 日 食 中 の 星 の 写 真 を 使 うと SOHO 画 像 との 比 較 より 太 陽 までの 位 置 が 測 定 できる 図 7は 2009 年 7 月 22 日 の 皆 既 日 食 のとき 撮 影 した 写 真 から 太 陽 の 周 りの 星 が 確 認 できたもの( 星 を 丸 で 囲 っている)である 10 個 の 星 約 8 等 星 までの 星 が 確 認 できる 図 6 SOHO と 地 球 よる 太 陽 視 差 図 7 地 上 による 皆 既 日 食 中 の 星 の 位 置, 2009 年 7 月 22 日 Photo by Kouji Ohnishi
図 8 SOHO LASCO C2( 中 央 ) LASCO C3 による 皆 既 日 食 中 の 星 の 位 置, 2009 年 7 月 22 日 図 8 は SOHOによる 同 日 (ほぼ 同 時 刻 )の 画 像 である 両 者 の 画 像 を 比 較 して 太 陽 までの 距 離 を 求 め て 見 るとオーダーは 十 分 に 求 まったが 画 像 のゆがみの 影 響 で 大 きな 誤 差 があり 現 在 検 討 中 である 7.おわりに 日 食 による 月 と 太 陽 の 距 離 測 定 について 報 告 した ここで 多 観 測 地 点 のデータから 月 までの 距 離 を 求 める 方 法 を 示 した また 月 の 影 の 移 動 速 度 と 1 点 からの 角 速 度 から 月 までの 距 離 を 決 定 する 新 しい 方 法 を 提 案 した 今 後 これらを 実 際 の 教 材 化 して 報 告 する 予 定 である 参 考 文 献 [1] Astro-HS2009 観 測 ガイド 日 食 観 測 ( 編 ) 高 校 生 天 体 観 測 ネットワーク Astro-HS 観 測 ガイドブ ック 編 集 員 2-1-4 観 測 結 果 からわかること pp.15-18 [2] Poindexter, Shawn; Afonso, Cristina; Bennett, David P.; Glicenstein, Jean-Francois; Gould, Andrew; Szymański, Michał K.; Udalski, Andrzej.(2005) Systematic Analysis of 22 Microlensing Parallax Candidates. ApJ 633,914