線形代数問題集 [ 第 版 ] 数理工学社 ( 年 月 6 日 ) 第 3 章行列式 C 発展問題の解答 47 I ( ) とおくと, e I e e e J a 行 列展開 + 行 である a () a e 3 () e a e e J e I a a 4 (3) 3 列展開 a e e J e I a a 5 (4) 4 3 3 3 列展開 (5) a e e J e I a a 列展開 より, a a a a a a だから, 数列 公差が の等差数列である したがって, a ( 3 ) a は初項が a,
48 () a ab b c b e B ac a bc b a bc acb a bc e c c a 3 3 () ak より, a b c すなわち, a bc だから a ab b B ac a bc b c c したがって, ak B (3) ak より, は正則でないので,e a bc したがっ て,a bc に注意しておく また, ak より, ら, a, b, c, のうち, 少なくとも一つはでないので a b c だか a ab b B ac bc b c c よって, ak B である 一方,( 上の ) 行列 B の各列ベクトルの外積を計算すると Bの列 Bの 列 c e, ac e,,, の列 の列 3, e e, e,, B B c a bc ab Bの 列 Bの列 3, be,b e,, より, どの つの列ベクトルも 次独立でないので ( 問題集 3 章例題 3() 参照 ) ak B である したがって,,より, ak B (4) ak より, は正則なので,e だから, ak B 3 したがって, B 3 e e
49 3 次の単位行列を E とおく P Eの 行と 3行と入れ換えた行列 P () P E 3, P の行に行の倍を加えた行列 () PP E (*) より, e P P e P ep e e E ここで, e P, e P だから,e また, の行列式は零でない ので正則であるから,(*) の両辺に を右からかけると, PP PP だから (3) b に同じ基本変形を行って得られるベクトルは,() の結果を利用すると PPb b である これは, 連立方程式 x b の解 x b と一致している 5 ()i 次単位行列を E i, i j 型の零行列を i j と表記する,,, i j B ( ) E ( ) ( ) とおくと, 33 例題 33 より, B E E 同様に, C ( ) とおくと, C E ( ) ( ) E B C より B ( ) ( ) E B C 3 したがって,,を3に代入して, ( ) ( ) 3
() () の結果より, のとき, () ( ) より, () ( ) これは, 行列 の 個の成分 a i, j ij に関する恒等式だから 例えば, E のとき, に注意すると ( 後の 5 の注意参照 ) () ( ) したがって, () ( ) (3) の i, j 余因子を a ij とおくと, 奇数次の交代行列の行列式は だから ( 教科書第 3 章演習問題 B 参照 ), a f, e f e b c a b f また c f a e a b f ebf f af c f af be c 3列展開 c f a b c a f cf f af be f af be c 3列展開 e f, 以上より, () a a a a f af be c a a a a f af bec () したがって, f af be c 4 また, () f f f 5 () () の結果より, 4 のとき, これに4,5を代入して f f af be c したがって, だから ( 後の 5 の注意参照 ), af be c f af be c 4
5 の注意 f x x と g x x,,,, x,, x に関する多項式とする 次の定理が成り立つ, a に対して,,,,, が x,, x x x 定理 ある 個の数 a, f x x g x x を実数係数 ( または複素数係数 ) の変数 f a,, a のとき に関する恒等式ならば g x,, x も,, に関する恒等式となる 注意 : 定理 の証明には, 次の定理 B を用いる 定理 B f x を実数係数 ( または複素数係数 ) の多項式とする 多項式として f x (( x に関する )でない係数がある) ならば 方程式 f x の解は有限個 ( 次方程式ならば 個以下 ) 証明 方程式の次数 に関する帰納法により証明する のとき : f x C 定数 だから, 方程式 () すなわち, 解の個数は () のとき : 次の ( ア ),( イ ) より主張が成り立つ ( ア ) f x が解を持たなければ, 解の個数は f x は解を持たない ( イ ) f x が解 x a を持てば, f a だから, 因数定理により f x x a g x ( g x は次数, g x ) と因数分解する 帰納法の仮定より, 方程式 g x の解は, 個以下だから 方程式 f x の解は, 個以下となる (), () より, 以上の整数 に対して主張が成り立つ 定理 の証明 等式 f x が x に関する恒等式でなければ, 多項式として f x である ことに注意する ( 対偶を考えればあきらか ) 変数の個数 に関する帰納法により, 対偶 : ある 個の数 a, a に対して, f a,, a のとき,,, x g x x が,, x に関する恒等式でないならば f x,, x g x,, x も x,, x に関する恒等式ではない を証明する 5
() のとき : x x とおく 等式 f x および g x f x および g x は, x に関する恒等式ではないので, 方程式 の解は有限個しかない ( 定理 B) したがって, これ ら有限個の解以外の数 c を選べば, f c, gc f cgc より, f x g x は x に関する恒等式ではない () のとき : g x,, x は x,, x る 個の数 b,, b が存在して, gb,, b となる 等式 f a, a, x および gb,, b, x ないので,() と同じ理由により, f a, a, c, gb b c なる数 c がある となる このとき に関する恒等式ではないので, あ このとき, 等式 f x, x, c および g x x c は, x に関する恒等式では 関する恒等式ではないので, 帰納法の仮定により,,,, と,,, は, x,, x に f x, x, c g x,, x, c も x,, x に関する恒等式ではない よって, 個の数 c,, c となるから, f x x g x x が存在して, f c c c gc c c,,,,,,,, は x,, x に関する恒等式ではない (), () より, 以上の整数 に対して主張が成り立つ 5 ( 背理法で示す ) と仮定して矛盾を導く とすると は正則だから, 等式 E E O の両辺に の逆行 列を右から掛けることにより O 従って, O を得るが, これは, となり矛盾する よって, 背理法により 6