第 5 章世代重複モデルにおける外部経済 - 現実的な外部性の度合いと局所的な非決定性 - 本章では第 3 章と同様の生産における外部性 (Externalities in production をライヒリンの世代重複モデル (Overlapping generations model に導入する. 第 3 章のラムゼー型の最適成長モデル (Representative agent s model では労働の需要曲線と供給曲線が誤った形で交わるような非現実的な強い外部性を仮定しなければ, 定常解の安定性は完全安定とはならず, 内生的な経済変動 (Endogenous fluctuations は生じなかった. それに対してライヒリンのモデルでは, はるかにゆるい外部性の大きさ (Realistically plausible values of externalities で内生的な経済変動が発生する. 5-. モデルの基本構造 第 4 章と同様にライヒリン (Reichlin により考案された2 期間の世代重複モデル (JET, 986 を考える. そのモデルとは, 各世代の経済主体について, 彼らは2 期間生存し, 人口規模はに正規化され, 以下で示されるように消費者, 企業家および政府が存在する. 消費者 (Consumers 消費者は2 期間 ( 若年期と老年期 生存するが, 彼らは老年期 (Old period のみの消費に関心があり, それゆえ若年期 (Young period において得た労働所得 (Wage income を全て貯蓄する. 老年期 (Old period において彼らは引退し, 労働は行わない. よって若年期に行った貯蓄を切り崩すことにより老年期の消費を行うのである. 以上の消費者の行動を定式化すると以下のようになる. φ + ζ ct+ lt Max φ + ζ, ( s.t., s t = wl, (2 t t ( δ c = + r s, (3 t+ t+ t ただし
lt = 若年期の労働供給量, t c + = 老年期の消費量, w t = 賃金率, s t = 貯蓄量, r t+ = 資本の レンタル料 ( 貯蓄からの純収益率,δ = 資産の減耗率である. 上記の最適化問題を解くと以下の式が得られる. lt =Ψ ( c t +, c Ψ t+ φ ただし Ψ である. (4 + ξ (2, (3 と (4 式から賃金に対する労働供給の弾力性 (Labor supply elasticity は Ψ/( Ψ となる. よってその値が正となるように以下のことを仮定する. 仮定 : 0<Ψ< (i.e., 0< φ < and ζ > 0. 企業 (Firms 企業の行動について考える. 代表的な企業は資本 ( k t と労働 ( l t を組み合わせて生産物 ( y t を生み出す. 生産はコブ ダグラスの技術 (Cobb-Douglaus technology に従って行われるものとする. y = Ak l, a+ b= (5 a b t また, 第 4 章とは異なり技術パラメータの A t は, 経済における平均的な資本と労働量に依存する. すなわち生産における正の外部性を考える. A t は以下のような式を満たすとする. λ A = k l ε 上式について平均的な資本量は生産経験の尺度となり, 平均的な労働に関してはその値が大きければ企業にあった人材を見つけやすいという理由から (6 式のような定式化が可能となる. 企業の利潤最大化条件より, α β t t r= aak l r( k, l と α β t t w= bak l w( k, l (6 となる. ただし, 企業は外部性である A t を所与のものとして利潤最大化を図っている.( すなわち各企業は外部性の内部化を行っていない. ここでは偏りのない平均的な企業を考えているので,( 対称 均衡において l t = lt かつ kt = kt が成立していると考えられる. 2
市場均衡 (Market equilibrium 政府の予算制約政策の違いに注意して市場の均衡条件を導出する. 消費者が若年期 (t 期 に行った貯蓄 st が資産投資に等しくなるとき財市場は均衡している. 注意すべきはt 期における資産投資は新規投資, k t ( + δ kt とt 期の老人 ( t 世代 から購入する中古の資本,( δ k t の和となることである. ゆえに s. t = k t + が均衡式となり,(2, (3, (4, (6 と (7 を用いてそれを表現すると (, ( ( wk Ψ c Ψ c = k. (7 t t+ t+ t+ となる. (3, (4, (6 と st = k t + を用いて ( ( + r kt, ct δ Ψ + kt = ct, (8 を得る. ゆえに (7 と (8 式から消費と資本ストック ( ct, kt の時間的経路が決定する. また, (7 と (8 式を加え,(6 式を考慮すると財市場の均衡式が得られる. 5-2. 定常状態 (Steady states 本節では定常解が存在するかどうかを考える. 全ての経済変数が時間を通じて一定値をとるとき, 経済は定常状態にあると考えられる. そのとき ct = ct+ = c* と kt = kt+ = k* が成り立つ.( ただし, x * は変数 x の定常値を示す. (7 と (8 式より定常値 ( k*, c* は以下の式を解くことにより得られる. α- ( ( c ba k =, (9- a + ( - k c b δ =. (9-2 上 2 式より定常解の存在に関して以下のように要約できる. 命題 : ただ つだけ定常解 (The uniqueness of steady state が存在する. 証明 : (9 2 式を (9 式へ代入することにより明らかである. 5-3. 外部性とサンスポット均衡 (Sunspots 前節において定常解の一意性が判明した. 本節ではその定常解の安定性 (Local stability について考える. そのためには (7 と (8 式を定常状態 ( k*, c* で線形近似 (Linearization 3
を行うと以下の式が得られる. ( ab β( ab α + δ Ξ Ξ kt+ k* β( ab Ψ Ψ kt k* c c* = a b c c*, (0 ( δ b a t+ t a ただし Ξ + b δ である. (0 式の行列式のトレース (T とディターミナント ( D を計算すると以下のようになる. b D α = + ( δ, a (- T b = + ( δ a (-2 言うまでもなく, D (T は (0 式における行列式の2つの固有値の積 ( 和 に等しい. ここで第 4 章と同じ以下の仮定を述べておく. b 0< <. a 仮定 2: ( δ ここで考えているモデルは世代重複モデルなので 期間のタイムスパンは30~40 年ぐらいの期間と考えるのが妥当であろう. よって資本の減耗率 δ は十分 に近いと考えられるので, 仮定 2は現実的な整合性をもつ. 仮定 2に注意し, 定常状態近傍における安定性と外部性の度合いの関係は図 のようにまとめることができる. 図 は ( α, 平面における定常解の局所的な安定性を示している. この図より以下の命題が得られる. 命題 2: 労働の需要曲線と供給曲線が正しい交わり方をするような外部性の度合いの下, 定常解の安定性は完全安定 (Sink となり, 定常解へ収束する経路は無数に存在する. よって内生的な経済変動が起こりうる. 証明 :(2, (3 と (4 より, 労働の供給曲線は以下のようになる. Ψ ln Rt+ + ln lt = ln wt (2- Ψ ただし Rt+ δ + rt+ である. また (6 式より労働の需要関数は ( β ln A b+ αln k + ln l = ln w (2-2 4
となる. ゆえに < の条件が (2- 式の傾きが正であり (2-2 式の傾きが負であるがゆえに, 前者のほうが後者よりも大きい条件に対応し, 図 からこの外部性の範囲内で局所的な非決定性が起こりうるのである. この事実はラムゼー型の最適成長モデルと大きく異なるものである. 5-4. 直感的な説明 (Interpretation 図 より与えられた資本の外部性の度合い [α ] に対して, 労働の外部性の度合い [ β ] が大きくなれば, また, 労働供給の弾力性 [ Ψ /( Ψ ] が大きいほど定常状態の安定性が完全安 定 (Sink すなわち局所的に非決定 (locally indeterminate となりやすくなることが分かる. 本節ではその理由を労働市場に焦点をあてて説明する.(8 と (9-3 式を以下のように書き直す. k = α β t+ bakt lt, (8 aak l + ( δ k = l (9-3 α β / Ψ t+ t+ t+ t 経済は定常状態にあるとし, 経済主体が来期に高い消費 ( c t+ を享受できると予想しているとする. (4 式の労働供給のオファーカーブよりこのとき今期の労働供給量 ( l t を 増大させる. (9-3 式より労働の外部性 ( β が大きいほど来期の労働供給量 ( l t+ の上 昇がより小さくなり, 循環的な均衡 (Cyclical equilibria が実現しやすくなることが分かる. また, 労働供給の弾力性が大きいほど今期の労働供給量がより大きく増大し, やはり循環的な均衡が生じやすくなる. 5-5. 結論 (Concluding remarks 本稿では第 3 章と同様の生産における外部性をライヒリンの世代重複モデルに導入した. 第 3 章で取り上げたラムゼー型の代表的個人のモデルと異なり, 労働の需要曲線と供給曲線が正常な形で交わるような外部性の度合いの下, 定常状態の近傍において非決定性が発生 (Emergence of indeterminacy することを理論的に示すことができた. 言い換えるなら第 3 章と異なり現実的な外部性の度合いの下, 内生的な経済変動の発生を立証することができたのである. 5
Appendix A ( 図 の証明 (3- と (3-2 を用いて以下の関係式が導出できる. D T + ( ba( δ = + D+ T + α +, (A- α + = + + D ( ba( δ ( ba( δ, (A-2 α = + ( ba( δ. (A-3 (A- から (A-3 より以下のことが理解できる. [ D T + ] sgn [ α β ] = sgn + Ψ, (A- [ D+ T + ] sgn ( ba( δ ( ba( δ α + = sgn, (A-2 β Ψ + sgn[ D ] α = sgn. (A-3 β Ψ ( ba( δ + (A- から (A-3 より ( α, 平面で定常解の安定性は図 のように特徴づけできる. 6
α β Ψ = α = + ( ba( δ ( ( 2+ ba δ α Saddle Source α + = Sink (locally indeterminate ( α Saddle 2 + ( ba( δ ( ba( δ ( ba( δ + α = + 図 : 定常解の安定性 7