(1) 3 連続関数と逆関数 定義 3.1 y = f (x) のグラフが x = a でつながっているとき f (x) は x = a において連続と いう. 直感的にはこれが わかりやすい x = a では連続 x = b ではグラフがちぎれているので 不連続 定義 3. f (x) が x = a の近くで定義され lim f (x) = f (a) をみたす時 x a f (x) は x = a において連続という. 定義 3.3 f (x) が x = a の近くで定義され ε>0 δ > 0 x a < δ = f (x) f (a) < ε f (x) がある区間 I 上の全ての点で連続な場合 f (x) は区間 I において連続という 連続関数の代表例 (1) 多項式 f (x) = c0 + c1 x + + c x () 三角関数 f (x) = si x, cos x (3) 指数関数 f (x) = ex () 対数関数 f (x) = log x 定義 3. f (x) と g(x) は連続とする (1) f (x) + g(x) は連続 () f (x) g(x) は連続 (3) f (x) g(x) は連続 f (x) (g(x) 6= 0) は連続 () g(x)
() ): (1) f(x) g(x) x = x 0 f(x) + g(x) x = x 0 lim f(x) = f(x 0 ), lim g(x) = g(x 0 ) x x 0 x x0 lim {f(x) + g(x)} = f(x 0 ) + g(x 0 ) x x0 lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) ε > 0 δ 1 > 0 x x 0 < δ 1 = f(x) f(x 0 ) < ε lim x x 0 g(x) = g(x 0 ) ε > 0 δ > 0 x x 0 < δ = g(x) g(x 0 ) < ε ε > 0 δ 1 > 0 δ > 0 x x 0 < δ 1 = f(x) f(x 0 ) < ε x x 0 < δ = g(x) g(x 0 ) < ε δ = mi(δ 1, δ ) x x 0 < δ f(x) + g(x) f(x 0 ) g(x 0 ) f(x) f(x 0 ) + g(x) g(x 0 ) < ε + ε = ε lim x x 0 {f(x) + g(x)} = f(x 0 ) + g(x 0 )
(3) 定義 3.5 y = f (u) u = g(x) とする (f と g は連続) 合成関数 y = f (g(x)) は x について連続 例 3.1 y = f (x) = si(x + 1) は連続か? y = f (u) u = g(x) = x + 1 = si u 合成関数なので連続 定理 3.1 (中間値の定理) f (x) は [a, b] で連続とし f (a) f (b) < 0 とする この時 f (c) = 0 となる c (a, b) が少なくとも１つ存在する. 証明):S = {x f (x) < 0, x [a, b]} とする すると x S に対して x [a, b] より x < b + 1 S は上に有界 sup S が存在 そこで c = sup S とする 示すべきこと f (c) = 0 を示す 補題 f (x) は x = a で連続かつ f (α) > 0 とする すると十分小さい δ をとると f (x) > 0, x [α ε, α + ε] 証明):f (x) は x = α で連続なので ε > 0 δ > 0 x α < δ = f (x) f (α) < ε f (α) とすると x α < δ ならば ε= f (α) f (x) f (α) < f (α) f (x) > >0 この補題はしっかり 理解すること グラフを ること
() 1) f(c) > 0 δ > 0 c δ x c f(x) > 0 c = sup S c δ x c S sup ) f(c) < 0 δ > 0 [c δ, c + δ] f(x) < 0 c = sup S, f(c + δ ) < 0 c < c + δ sup. 3. f(x) [a, b]. f(a) f(b) k f(c) = k c [a, b]
(5) 例 3. [a, b] 上の連続関数 f (x) が a f (x) b を満たすとする. このとき f (x) = x をみたす x が少なくとも１つ存在する. 証明):F (x) = x f (x) とすると F (a) = a f (a) 0, F (b) = b f (b) 0 中間値の定理より F (x) = x f (x) = 0 をみたす x が存在 定理 3.3 ワイエルシュトラウス 閉区間 [a, b] で連続な関数は必ず最大値と最小値をもつ. 例 3.3 f (x) = x とする.f (x) は (0,1) で最大値も最小値も取らない 証明): A = (0, 1) とする 最大値を取るとする M A f (M ) が最大値とする m A より M < 1 f (M ) = M α= 1+M 1+1 0<α< = 1 より α A かつ f (α) = α = 矛盾 とする 1+M >M 最小値も同様に存在しないことを示せる. 中間値の定理とワイエルシュトラスの定理は連続関数の理論において非常に重要 教科書 p.31 系 1 では次のように一般している 定理 3. 有界閉集合で連続な関数は必ず最大値と最小値をもつ この証明は難しい!! 解析学で最も重要 な定理の つ
(6) f(x) [a, b] f(x) [a, b] sup f(x) x [a, b]. {x } (x [a, b]) f(x ) +. Bolzao-Weirstrauss ( ) {x p } ({x } ) x p α a x p b a α b α [a, b] f f(x p ) f(α) f(x p ) + f(x) sup f(x) = M(x [a, b]) sup m N( ) f(x m ) > M 1 m x m. {x } {x } (a x b) B-W {x p } x p c a x p b a c b c [a, b] (f(c) ) f(x p ) > M 1 p f(x p ) M p + lim f(x p ) = f(c) = M p + f(x) x = c ( ) [a, b] (p.31 )
(7) 定義 3.6 x が集合 M の集積点とは {x } M (x 6= x) x x( ) 定義 3.7 M { M の集積点全体 } = M と表わし M の閉包 (closure) という 定義 3.8 M が閉集合 M = M すると {x } M x α α M 閉集合の性質はこれを用いる. 一様連続について 定理 3.5 一様連続 f (x) が区間 I で一様連続とは ε δ(ε のみで決まる) > 0 x x0 < δ(x, x0 I) f (x) f (x0 ) < ε f (x) が区間 I で連続とは a I ε δ(ε と a によって決まる) x x0 < δ(x, x0 I) f (x) f (x0 ) < ε 様連続との違いをしっかり と理解せよ
(8) 例によって違いを具体的に示す. 例 3. f (x) = x I = [0, 1] ε ε > 0 δ = とすると ε 0 x x < なら ε ε f (x) f (x0 ) < = < ε よって,f (x) は I で一様連続 例 3.5 1 I = (0, 1] = {x 0 < x 1} x f (x) は I で連続であるが 一様連続ではない f (x) = x = 0 で f (x) は発散するので背理法で矛盾を導く. f (x) は I で一様連続とする. ε>0, δ>0 0 x x < δ f (x) f (x0 ) < ε δ そこで > 1 となる をとり 1 1 δ x =, x+1 = + とする. δ すると x x+1 = < δ 1 しかし f (x ) f (x+1 ) = 1 + 1 = < 1 + δ 1 + δ すると, f (x ) f (x+1 ) > はいくらでも大きく取れるので > ε とできる 矛盾 δ f (x) が一様連続であることを次のように考えるとわかりやすい. 重要な例なのでグラフをみながら しいかりと理解せよ なお演習書のＰ３３に同じ問題 がある
(9) φ(δ) = sup f(x) f(x ) x x < δ x, x I 3.6 f(x) I lim φ(δ) = 0 δ 0 ): :f(x) I. ε > 0 δ 0 0 < δ < δ 0 φ(δ) < ε lim φ(δ) = 0. δ 0 :lim φ(δ) = 0 δ 0 ε > 0 δ 0 0 < δ < δ 0 φ(δ) < ε ε > 0 δ 0 0 < δ < δ 0 x x < δ f(x) f(x ) < ε f(x) I 3.7 f(x) [a, b] f(x). b a f(x)dx
(10) 証明): φ(δ) 0 (δ 0) でないとすると φ(δ) 0 (δ 0) m ε0 > 0 ε0 > 0 δ0 δ < δ0 φ(δ) < ε0 否定 δ0 δ < δ0 φ(δ) ε0 そこで δ1, δ,, δ として φ(δ ) ε0 かつ δ 0 ( + ) となるのを選ぶ すると x x0 δ sup f (x) f (x0 ) ε0 ( x x0 < δ ) sup の定義より x, x0 ( x x0 < δ ) ε0 f (x ) f (x0 ) (1) {x } は [a, b] に含まれるので有界 B-W より xp xp α a xp b より a α b α [a, b] このとき δ 0 より x0p α. f (x) は x = α で連続 (α [a, b]) より 適当な δ00 を取ると x α δ00 f (x) f (α) x α δ00, 常にヘビーな証明 ε0 8 x0 α δ00 なら f (x) f (x0 ) = f (x) f (α) + f (α) f (x0 ) f (x) f (α) + f (α) f (x0 ) ε0 ε0 ε0 + = 8 8 xp α, x0p α より xp は cauchy 列 K xk α < δ00 x0k α < δ00 f (xk ) f (x0k ) (1) に矛盾 ε>0 N k1 k > N これは証明で使わないが 付録で書いておきます xk1 xk1 < ε ε0 教科書では有界閉集合と一般の場合を扱っている 証明は難しいが閉集合の性質を どこで使うかに注意するとわかりやすい
(11) D 1 D D 1 D f(d 1 ) = {f(x) x D 1 } f D 1 (Image). f(d 1 ) f(d 1 ) = D y D x D 1 f(x) = y f D 1 D y = f(x) x D 1 f x 1 x y = f(x 1 ) = f(x ) f x 1 x f(x 1 ) f(x ) x 1 D 1 x D 1 x 1 x f(x 1 ) f(x ),f D 1 D.
(1) 3.9 f : D 1 D f. 3.10 f : D 1 D. y D f(x) = y x D 1. y D x D 1 x = f 1 (y). y = f(x) x = f 1 (y) x = f 1 (y) x y y = f 1 (x). f 1 (x) 1 f(x) 3.11 f(x) [a, b] x 1, x [a, b] x 1 < x f(x 1 ) < f(x ) ( f(x 1 ) > f(x )) 3.8 D 1 = [a, b] D = f(d 1 ) = {f(x) x [a, b]}. f(x) D 1 f. f 1 : D D 1.
(13) ): f D = f(d 1 ). f x 1, x x 1 x f(x 1 ) = f(x ) f(x) 3.6 D 1 = [0, 3] y = f(x) = x D = f(d 1 ) = [0, 9] x 1 > x f(x 1 ) f(x ) = x 1 x = (x 1 + x )(x 1 x ) > 0 f 1 y = x x = ± y x 0 x = y x y y = x = f 1 (x) y = x f 1 (x) = x 1 f(x) = 1 x
(1) ( [ 3.7 y = si x x π ]), π si 1 x arcsi x. si 1 x = 1, arcsi x. si x :) arcsi 1 arcsi 1 = α si α = 1 α [ π, π ] α = π y = cos x (x [0, π]). cos 1 x arccos x
(15) ( ( y = ta x x π )), π. ta 1 x arcta x. 3.8 ) 3 si ( 1. ) 3 3 si ( 1 = α si α = π α π α = π 3 3.9 ta(arcta3). Arcta3 = α ta α = 3 π α π ta(arcta3) = ta α = ta α 1 α = 3 3.10 x 0 Arcsix = Arccos 1 x. Arcsix = ( α si α = x π x π ) 1 x = 1 si α = cos α = cos α (cos α 0) Arccos 1 x = Arccos(cos α) = α
(16) ta 1 例 3.11 3 + ta 1 1 7 を求めよ. ポイント 逆関数は適当に α や β とおき 考える.α と β の範囲に注意!! ta 1 3 =α 3 π とすると ta α = 0 < α < ta 1 17 = β とすると 0 < β < π ta α + ta β =1 ta(α + β) = 1 ta α ta β 0 < α + β < π α + β = π ta β = 1 7 指数関数と対数関数 ax は単調増加 (a > 1) 又は単調減少 (0 < a < 1) なので逆関数が存在する. これを loga x と表わす. 1 ) ネイピア数 の場合 loge x を log x と表し 自然対数とよぶ. atural logarithm a = e = lim (1 + そこで 例 1. で定義した e の指数関数 ex の逆関数 loge x を log x と表し 自然対数とよぶ. なお 物理では log x ではなく l x とも書かれる. a = としよう, 3,, は定義できる. そこで m = m m, N とすると有理数では何とか定義出来る では はどう定義するか sup を用いて次のように定義する Q : 有理数全体の集合 = sup r r Q r この定義によって x (x R) を定義する. 教科書の70ページに 詳細な指数関数の定義が あり
(17) a, b Q (a < b) (a, b) c, d (c < d), (c, d) x, y R(x < y) (x, y) 3.1 (1) sih x = ex e x (hyperbolic sie) () cosh x = ex + e x (hyperbolic cosie) (3) tah x = sih x cosh x = ex e x (hyperbolic taget) e x + e x cot x = 1 ta x (cotaget) sec x = 1 cos x (secat) cosecx = 1 si x (cosecat)