弦の場の理論における 位相的構造と反転対称性

弦の場の理論における 位相的構造と反転対称性 小路田俊子 with 畑氏 京都大学 25.4.9 益川塾セミナー

目次 弦の場の理論とは Cubic String Field Theory 弦の場の理論の位相的構造 相関関数の反転対称性 結論

弦の場の理論 p 弦理論には原理が無い固定された背景時空中の on-shell 振幅の摂動論的ルール 弦の場の理論 弦理論の off-shell かつ非摂動論的定式化 c.f. 点粒子の場 : 空間の各点に力学変数 φx を導入し 粒子の生成消滅を行うことで粒子の無限多体系を扱った 力学変数 : 弦の場 弦の配位 X μ σ, τ = を引数に持つ汎関数 Ψ[X μ σ, bσ, cσ] 弦の配位 X μ σ の生成消滅 開弦 閉弦 巻きついた弦 超弦 共変不変な弦の場を構成するために X σ も含む 世界面ゴースト

成分場展開 Fock state 表示 c.f. φ x = d 4 p e ipx a p + e ipx a p Ψ X, b, cσ = 弦座標 d 26 p e ipx t p + α μ A μ p + c p + Yang-Mills 場 + 高階テンソル場 第二量子化 : 展開係数を演算子へ格上げし 弦の場を演算子へ

作用 S = 2 Ψ Q Ψ + 3 Ψ Ψ Ψ + x x2 x2 x3 x3 x Q : A A : A A A : A 数 A : 弦の場の空間 積 は弦の特殊な貼り合わせ方

運動項 場の揺らぎが十分小さい時に 場の運動方程式の解として第一量子化された弦理論の物理的条件を再現せよ 明白に共変な量子化を行えば RST 電荷で物理的状態が与えられる Q Phys = Q = dσ T m + 2 Tgh [Kato,Ogawa] 2 作用の成分場展開 Ψ Q Ψ = 2 d 26 x t x μ μ + t x + 4 Fμν F μν 2 μa μ 2 + タキオン Massless gauge 場

ゲージ対称性 S = 2 Ψ Q Ψ = 2 d 26 x t x μ μ + t x + 4 Fμν F μν 2 μa μ 2 + ゲージ不変性 δψ = Q Λ t x t x A μ x A μ x + μ χx x x 2 χx タキオン場 U 場 Yang-Mills 理論のゲージ対称性の線形部分を含み より高階の足を持つ場の対称性を含む場の理論 相互作用を入れて Yang-Mills 理論の対称性を含むより大きな対称性を持つように構成

Cubic String Field Theory [ 86 Witten] For open bosonic S = 2 Ψ Q Ψ + 3 Ψ Ψ Ψ 作用の中に現れる演算の満たす性質 Q Q 2 Q Q Q これらが作用のゲージ対称性を保証 δψ = Q Λ + Ψ Λ Λ Ψ 2 2 2 Witten s product

product 積 :2 つの弦の場から新しい弦の場を作る演算 A X Y = A [Z] L 2 R X L R L Z L R R Y A Z σ = dy σ dxπ σ σ π 2 π 2 σ π A X σ [Yσ ] δ X σ Yπ σ

Integral symbol : つの弦の場から数を作る演算 π 2 A = σ π dxσ π σ π 2 δ X σ X π σ A[Xσ ] Ψ Ψ Ψ = L R

演算の性質 2 A A Q A A C A C A Q A A Q A Q Q と A C A**C A A

相関関数による定義 S = 2 Ψ Q Ψ + 3 Ψ, Ψ, Ψ 3 PZ 内積 Ψ Ψ Ψ 2 Ψ mid Ψ 2 Ψ 3 Ψ, Ψ 2, Ψ 3 3 = f Ψ, f 2 Ψ 2, f 3 Ψ 3 UHP where f k = h e 2πi 2 k 3 h 2 3 z, h = +i z i z

3point vertex の Fock 表示 3 2 3 2 2 3 2 26 26 3 2 3,, 3, ln ' ln ' 2, ' 2 ' 2 2 2 exp i r r s r r rs s r m s w sr m rs m s r n s w n r z rs nm s r n m s m r n rs nm m n s m r n s nm e iz iz z h s r h h s r h N m w h h w w h i dw m N N m n w h z h w w h i dw z z h i dz nm N p p p b c X N V V 3 Ψ Ψ 2 Ψ 3 = Ψ, Ψ 2, Ψ 3 3 [ 89 LaClair et al]

タキオン凝縮解 [Takahashi&Tanimoto, Schnabl] ボソニックな開弦にはタキオンモードが存在 不安定 D ブレイン D ブレインの崩壊過程は非摂動論的 場の古典解として非摂動論的真空を再現 他の真空解の探索 V t tx V 25 Rolling Tachyon 解 タキオン凝縮解 開弦の励起無し E = V 25

タキオン凝縮解 [Takahashi&Tanimoto, Schnabl] V t ボソニックな開弦にはタキオンモードが存在 不安定 Dブレイン Dブレインの崩壊過程は非摂動論的 86 CSFT 誕生 5 タキオン凝縮解の発見 場の古典解として非摂動論的真空を再現 他の真空解の探索無限自由度のために解析が困難 CSFTの見通しの良いイメージを持つことが望まれる V 25 弦の場の理論が真に弦理論の非摂動論的定式化となっているならば 理論の持つ構造が弦理論の背後に存在する原理 Rolling Tachyon 解 タキオン凝縮解 開弦の励起無し E = V 25 tx

Chern-Simons 理論と CSFT の類似性 Chern-Simons 理論 S = k 2π M tr 2 A da + A A A 3 d 2 d A A d A C A C tr A M da A tr A A da Cubic SFT S = g o 2 2 Ψ Q Ψ + 3 Ψ Ψ Ψ Q Q 2 Q Q Q

The Similarity between CS and CSFT Chern-Simons 理論 S = k 2π M tr 2 A da + A A A 3 d d A A tr 2 記号の置き換え M A C Ax Ψ[X] da A d d Q, A C A tr A A da Cubic SFT M S = g 2 o 2 Ψ Q Ψ + 3 Ψ Ψ Ψ Q X 作用の代数的構造が同じなので ゲージ変換性や 運動 方程式も記号の置き換えで移り合う Q 2 Q Q Q

Winding 数 in CS 理論多様体から群への巻き付き数を数える 整数に量子化された位相的な量 数で得られる作用の有限ゲージ変換 M CS x dg x g N g A d g 3 tr Winding 整数パウリ行列 M M M x i x x d gdg e g : 3 M 3 S M Winding 数の特異性を顕わにする表式

Winding 数 in CSFT 作用の有限ゲージ変換 g d A g で得られるWinding数 一方 CSFTの作用の有限ゲージ変換 トポロジカルな量 N CS tr g x dg U Q x U で得られる量 2 3 Ν U * QU 3 この量も微小ゲージ変換 Q * * で不変な M CS 理論のアナロジー N は整数に量子化されているのだろうか 整数になるとしたらどんな構造がそれを保証しているのか 3

模式図 Winding 数 M gx M N UQ U 多様体 ~S 3 3 群 SU2?? N は整数に量子化されているのだろうか CSFT には多様体 コンパクト 表面積分という概念無し どこからどこへの写像かすら分からない

Winding 数と多重ブレイン解 Pure - gauge型解のエネルギー密度 E N N UQU 2 2 2 g o ブレーン一枚のエネルギー密度 3 多重ブレイン解 Nは整数 多重ブレイン解の構成 = 整数の N を与える U を探ること古典解の構成 解の間の関係の理解

sliver 座標と Kc 代数 UHP ξ sliver z L 中点 R 中点 z = 2 π Arctan ξ L 2 R - 積が簡単に 中点は無限遠点 L R L R L R 短冊を横に並べて行くだけ

sliver 座標と Kc 代数 strip の生成演算子 K ハミルトニアン K = π 2 i i dz 2πi T z I e tk = t 但し I は * 積に対する単位元で幅ゼロの状態 Ψ I = I Ψ = Ψ ゴーストセクター, c π 2 i i dz 2πi b z I c = 2 π c I

sliver 座標と Kc 代数 Sliver 座標のある種のハミルトニアンである K と 反 ゴーストは Kc 部分 代数を満たす 積は * 積 Kc 代数 [Y.Okawa 6] K, =, c = 2 = c 2 = Q K = Q = K Q c = ckc K,, c で構成されたピュアゲージ型解を考える Ψ = UQ U with U = c G K cf タキオン凝縮解 :G K = K +K 解は GK で決まる

sliver 座標と Kc 代数 Ψ = UQ U with U = c G K Ψ = dt Ft c t c 円筒状の相関関数 Kc 代数で構成された解に対して N UQU 解は GK で決まる 3 N[ G K] GK のどのような構造が N の値を変化させるのか c c

N しかしタキオン凝縮解のA[ G K] はK に特異性を持つ Q A 代数的ゼロと特異性の無限大を滑らかに! A d A du u * u where u, u du Q exactは確かに代数的にゼロ Q Q A KK u : interpolating parameter そこでK K 正則化古典解の情報はここに 代数の破れ /K の特異性

多重ブレイン解のトポロジカルな構造 Ψ[GK] = UQ U に対してエネルギーと運動方程式は GK の詳細に依らず K = と K = における振る舞いだけで決まる G K ~K n K G K ~/K n K Energy EOM-test N = n + A n n + An K = K = Ψ Q Ψ + Ψ 2 = n + n Anomaly term: A n = n = for n =, ± N は Kc 多様体上の winding 数か?

多重ブレイン解のトポロジカルな構造 Ψ[GK] = UQ U に対してエネルギーと運動方程式は GK の詳細に依らず K = と K = における振る舞いだけで決まる G K ~K n K G K ~/K n K Energy EOM-test N = n + A n n + An K = K = Ψ Q Ψ + Ψ 2 = n + n Anomaly tern: A n = n = for n =, ±! K = と K = の等価性

多重ブレイン解を与える GK の例 GK Singularity n, n N K/ + K + K Erler&Schnabl, / + K, + /K,, Inv. symm K/ + K 2, 2 + K 2 /K, 2 K,

K = と K = の等価性 Kc 代数を保つ変換 EMNT-transformation K g K, gk K, c c K gk c [Erler,Masuda,Noumi,Takahashi] g K = /K と選ぶと K = と K = を入れ替える変換 Inversion K K, K 2, c ck2 c

K = と K = の等価性 Inversion K K, K 2, c ck2 c 次の定理が成り立つことが分かった 任意の幅の円筒上の相関関数は Inversion map の下で不変 c e t K ce t 2K ce t 3K ce t 4K = c e t K c e t 2K c e t 3K c e t 4K with K = K, = K 2, c = ck 2 c t, t 2, t 3, t 4 その他の EMNT 変換に対する不変性はおそらく無い K [, ] を 対 で移すことが大事

N が n n で不変である理由 Ψ[GK] = c K c GK G K Inversion EMNT 変換でΨの中のG K の引数が Kから gk へ変わるだけ K Ψ G K Ψ G K i. e. n n N EOM test はΨのみで書かれているので N G K N G K Inversion symmetry の定理が示すことは N G K = N G K

重力結合から読み取るエネルギー これまで考えていた N は正準エネルギー重力結合から読み取るエネルギーも考えられる GC = V mid Ψ[GK] 開弦の中点に on-shell graviton vertex GC はゲージ不変量 任意の on-shell vertex に対して V mid ccxx

重力結合 GCもinversion symmetryを持つと期待されるが 2π 2 z z G z V mid Ψ[GK] = lim z G z = n K = からの特異性を拾えない Gravitational coupling canonical energy n n n

正準エネルギーと重力結合の関係 aba and Ishibashi がNとEllwood invの直接的な関係を導いた N 2π 2 = V mid Ψ + EOM term 多重ブレイン解に対して再評価を行うと これまで議論されていなかった新たな項を発見 N 2π 2 = V mid Ψ V end Ψ + EOM term Ellwood inv vanish 新たな項は n = では見えなかった K = の特異性は V mid Ψ に拾われる K = の特異性は V end Ψ に拾われる和 差 がwell-defined

Inversion symmetric な重力結合 N= V mid V end Ψ Well-known New term GK singularity N V mid Ψ V end Ψ K/ + K n, n =, / + K, + /K + K,, K/ + K 2, 2 + K 2 /K, 2 K = singularity is detected by K = singularity is by V end Ψ V mid Ψ

結論 N= QA に書き直せた この表式 もまた 代数的にゼロな量であるが 適切な正則化で正しい値を出した N は GK の詳細依らず K =, における特異的な構造で決まる 一般の Kc 相関関数は inversion symmetry を持つ その帰結として N は K K の入れ替えで不変 Inversion symmetric な Gravitational coupling の発見 V mid V end Ψ. 和は相関関数の計算における Identity-like な不定性を互いの間でキャンセルし well-defined.

K= K= N 結論 UQ U 3? N は Kc 多様体上の winding 数か Kc 多様体 は原点と無限遠が等価な構造を持つ 表面 積分の理解には未だ至っていない Q A = 群の空間の理解には未だ至っていない 行列の足は? A

ack up

N 3 にむけて N = n + A n + m + A m EOM-test= n + m N 3 の解の構成には K の有限の場所にある固有値の特異性が必要 しかし このような G K に対して N が定義できない N は GK のラプラス変換で定義されている K a = dt e tk a a > ex G K = K + 3 KK K

N 3 と パッチ GK が K 全域で計算できないのが問題 K 空間の途中に特異性の無いように分割してそれぞれに N を定義する CUT GK extension G K G 2 K 2 N [G K ] N [G 2 K 2 ] 特異性の無い場所で CUT しても N の値は不変 Extension は 対 写像であれば何でもよい N 2 の多重ブレイン解の定義の拡張になっている パッチの貼り合わせが必要という状況が TFT に似ている

N 3 と パッチ ex G K = K + 3 KK GK M 変換 : K K + K K + K 2 K K, K 2 [, G K = 2K + 3 K K +, G 2 K 2 = K + 23 KK + K, K 2 全域で Well-defined N G K N G K + N G K 2 N 3 が構成可能