1 " 数学発想ゼミナール # ( 改題 ) 直径を とする半円周上に一定の長さの弦がある. この弦の中点と, 弦の両端の各点から直径 への垂線の足は三角形をつくる. この三角形は二等辺三角形であり, かつその三角形は弦の位置にかかわらず相似であることを示せ. ( 証明 ) 弦の両端を X,Y とし,M を線分 XY の中点,, をそれぞれ X,Y から直径 への垂線の足とする. また,M の直径 への垂線の足を N とする. このとき,N は線分 の中点であるから M は二等辺三角形である. 三角形の形が弦 XY の位置によらず相似であることを示すために,4M が一定であること, または 4XM が一定であることを示せば十分である. これを示すために半円を含む円周と X の延長との交点を Z とする. このとき,,M はそれぞれ線分 XZ, 線分 XY の中点であるから,MZY であり, この結果 4XM=4XZY を得る. ところが,4XZY は弧 XY に対する中心角の半分の大きさであり, これは弦 XY の長さにのみ依存する. 弦 XY の長さは一定であるから, 以上より4XM は一定である ( 証明終 ) X X M Y M Y N N t ( 証明 ) Z 弦の両端を X,Y とし, 線分 の中点 ( 半円の中心 ) を とする. 弦 XY の長さが一定より, XY は弦 XY の位置によらず, 常に合同な二等辺三角形であるから 4XY=4YX =a とおく. X から線分 への垂線の足を とすると,4X=90, となる. さらに, 線分 XY の中点を M とすると, XY が二等辺三角形であるので,4XM=90, である. よって,4 点,X,,M は,X を直径とする円周上にある. ゆえに,4MN=4MX=a 同様に,Y から線分 への垂線の足を とすると,4 点,,Y,M は,Y を直径とする円周上にあり,4M=4MY=a よって,4MN=4M=a 以上より, M は二等辺三角形であり, 弦の位置にかかわらず相似である.( 証明終 ) -1-
" 01 JJM 予選 4 番 # 四角形 の辺 上に点 があり, 直線 と は平行である.=,=, =5,=,= のとき, を求めよ. ただし,XY で線分 XY の長さを表すものとする. 辺 と辺 の延長線の交点を, 辺 と辺 の延長線の交点を G とする. 5 四角形 は直線 に関して線対称な図形であるので, = G であることがわかる. より :=:=: であるから,= 10 よって,G= 10 より :=G:G= 10 : 8 10 + であるから, 9 = 4 5!!!!!! p G 10 5 10 --
" 197 UM 番 # ( 改題 ) given tetrahedron i iocele,that i,=,=,=. how that the face of the tetrahedron are acute-angled triangle. ( 訳 ) 対辺の長さがそれぞれ等しい四面体 がある. すなわち,=,=,= である. このとき, この四面体の面はすべて鋭角三角形であることを示せ. ( 証明 ) を固定し, 点 が =,= のみを満たし ながら動くときを考える. このとき, が最大となるのは,4 点が同一 平面上にあり, 点 が に対して点 と反対側にあるときであるが, これは平行四辺形であり, 実際にはこの最大値は達成できない. すなわち, 平行四辺形 をつくる点 をとると, 常に > が成り立つ. 以上のことに注意して, 条件をすべて満たす四面体 を考える. 平行四辺形 において + = + が成り立つ ので よって, + = + > + = + > これは, が鋭角三角形であることを示している. 同様にして他の面もすべて鋭角三角形であることがいえる.( 証明終 ) u 平行四辺形 に対して + = + が成り立ちます (parallelogram t law). 三平方の定理を用いれば簡単に示すことができるので 挑戦してみてください. ( 証明 ) 問題の仮定より,4 つの面はすべて合同であり, 各頂点に集まる つの角は, ひとつの面 の つの角から成っていることがわかる M を線分 の中点とする. 三角不等式により M+M>==M また, 6 であるから,M= M である. よって,M>M, すなわち,M>M これは, 平面 内において を直径とする円の半径よりも M の方が大きいことを示して いる. したがって, はこの円の外側にあり,4 は鋭角である. 同様の議論を用いると, 各頂点に集まる つの角はすべて鋭角であることがわかる.( 証明終 ) --
4 四角形 において,== かつ 4=6,,4=6, であった. このとき,4 の大きさを求めよ. 6, は = の二等辺三角形なので 6, 4=4=6, また 4=180,- 6,-6,=108, となるので 点, を, 五角形 が正五角形となるようにとることができる. さらに, は=の二等辺三角形なので 4=180,- 6,- 6,= 168, 6, このとき は 4=168,- 108,=60, = 60, 6, 108, であるから, 正三角形である. 以上のことから, 六角形 は直線 に関して対称な図形であることがわかるので, 4=108,% 1 =54, したがって 4=4-4 6, =54,-6, =18,!!!!!! p 6, 108, -4-
この問題は自宅学習用の問題です 道場の最後に解答を渡しますので 自宅で取り組んでください 5 次の図において,x の大きさを求めよ. x 6, 6, 18, 4, まず, 点 を, 直線 に関して点 と同じ側に点 があり, かつ が正三角形になるようにとる. 次に, 点 -,-, を, 直線 に関して点 と同じ側に点 - があり, かつ五角形 x 6, 18, 4, 6, -- が正五角形になるようにとる. と - に注目すると, 4=4- =0, - 4=4- =1, 辺 は共通 1, 一辺とその両端の角がそれぞれ等しいから 6 - - 0, したがって 点,- は一致する. また, と - に注目すると 4=4-=4, 4=4-=54, 辺 は共通 - 一辺とその両端の角がそれぞれ等しいから 6 - したがって 点,- は一致する. 以上から, 五角形 は正五角形である 54, 4, ことがわかるので,= ゆえに, は = の二等辺三角形であるから, 求める角の大きさは x=4=4=6, p -5-
この問題は自宅学習用の問題です 道場の最後に解答を渡しますので 自宅で取り組んでください 6 " 1998 ulgaria # ( 改題 ) 凸四角形 において =,4=4<90, であるとする. 辺 の中点を M とし, 直線 M と直線 の交点を とするとき, 4=4 であることを示せ. ( 証明 ) 4=4=a とし, 直線, 直線 の交点を とおく. 点 を通り に平行な直線と との交点を とすると 4=4 より == これと M から M:=M:= M: これは, M において,4M の外角の 等分線が であることを示している, 直線 と直線 の交点を T とすれば,T[ も4M の外角の 等分線であるから, 4T=4T ここで, 4=4=x!!!!!! 1 T 4T=4T=4=y とおく. と の内角の和にそれぞれ着目すると a+4= 180, x+y+ 4=180, M これらから,x+y=a であるから x=a-y =4-4 =4!!!!!! 1,から 4=4 ( 証明終 ) u において, 4 の外角の 等分線が直線 と交わる点を とすると,:=: が成 り立ちます. 逆に, 直線 上に :=: となる点 をとると, 直線 は4 の外角を二等分します. -6-
この問題は自宅学習用の問題です 道場の最後に解答を渡しますので 自宅で取り組んでください 7 右の図のように, 点 から円 へ 本の接線を引き, 接点をそれぞれ, とおく. さらに, 直線 上の点で円 の外側にある点 から円 へ 本の接線を引き, 接点をそれぞれ, とおく. このとき, 直線 が点 を通ることを証明せよ. ( 証明 ) 円の接線は, その接点と円の中心を結ぶ半径に 直交するから 4=4[=4==90, である. また, 線分 と線分 の交点を T, 線分 と線分 の交点を U とすると, 対称性から 5,5 であることがわかるので, 4T=4U=90, したがって, T と はともに直角 三角形で, 角がそれぞれ等しいから相似である. よって, T:= : U T すなわち, T = 1 同様にして, U と は相似な直角 三角形であるから, U = = であるから 1, より T =U -7-
この問題は自宅学習用の問題です 道場の最後に解答を渡しますので 自宅で取り組んでください から, 方べきの定理の逆の関係が成り立って いるので,4 点 T,,U, は, 右図のように, 1 つの円周上にある. U T 4 点 T,,U, を通る円について, 4T =90, であるから, 線分 は円の直径である. したがって, 4U=90, また,U5U であるから 4U=90, 以上から, 点 U,, は同一直線上にある. U T ゆえに, 直線 U, すなわち直線 が点 を 通ることが示された.( 証明終 ) u 方べきの定理 円の つの弦, の交点, またはそれらの 延長の交点を とすると %=% が成り立つ 方べきの定理の逆 つの線分,, または の延長と の 延長が点 で交わるとき, %=% が 成り立つならば,4 点,,, は 1 つの円周上にある -8-