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あかりやすこ
5 years ago
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1 掲示板に書き込んでいただければほかのメンバーから多くの価値ある意見を得られること請け合いだ本書のサンプルハンドを読む際には対象プレイヤーのプレイは必ずしも正しくはないが概ね合理的なアクションを取っていると理解することが重要だそれぞれの問題ではあるハンドのそれまでの流れを説明しその流れを踏まえたうえであなたならどうするか? を問いかけるプレイヤーのアクション全てに合点がいかなかったとしても我慢して付き合ってほしいそれぞれの質問には筆者が勧める解答が用意されているただし筆者の解答と説明を読む前に自分で問題を解いてみることをお勧めするカンニングを防止するために正解は質問の後にレイズコールフォールドなりと短く答え解説を付加している筆者の解答はほとんどの場合に典型的な相手と対戦したときの最善の戦略を紹介しているつもりだこれらサンプルハンドでの典型的なプレイヤーとはあえて明記していない限りシャークでもフィッシュでもないホールデムは複雑なゲームであり多くの状況では単純明快な答えがない例えば 100 人のポーカープロが同じ状況に直面した場合に 3 分の1がフォールド 3 分の1がコール 3 分の1がレイズすることもあり得るだろう本書の問題のほとんどには明確な答えが用意されているが僅差の解答が複数用意されている場合もある重要なのはそれぞれの判断に至るまでの思考プロセスを理解することだ僅差の解答が2つある場合は基本的にはそれぞれの選択に対する説明を加えている How to Calculate Odds and Probabilities 一般的な人が数学を勉強するのは高校かよくて大学 1 年までといったところだろうそれがつい最近という方もいるだろうが我々の多くにとっては遥か昔の話だ! しかし案ずるには及ばない本章ではまず基礎的な数学の計算式を復習しそのうえでさまざまな状況下での確率の計算方法を紹介するこれから登場する計算式はいずれもさほど難解なものではなく普通の電卓があれば事足りるレベルだ数学に熟練している人はこの章を飛ばしてもらっても構わない基礎数学第 1 章オッズと確率の計算方法分数小数パーセンテージ分数は例えば 3 回に 1 回改善する可能性があるといった風に確率を表す方法のひとつである 1/3 と表記する上の数字 ( ここ 18 19

2 では1) が分子下の数字 ( ここでは3) が分母である本書に出てくるほとんどの計算ではこの分数を小数もしくはパーセンテージ ( 百分率 ) に直すことになる単純に1を3で割れば 0.33という小数になる ( ) さらにこの小数に 100を掛ければ 33% というパーセンテージになる例えば 1 枚目に配られるカードがエースである確率は 4/52(1 組は52 枚でエースはうち4 枚 ) である 4/52 = 1/13=0.077 パーセンテージは 7.7%( ) 言い換えれば 1 枚目に配られるカードがエースである可能性は13 回に1 回ありそれは1/ もしくは7.7% の確率で起きるパーセンテージを小数に直すには 100で割ればよいこの場合は 7.7%/100=0.077 であるこれは先ほど小数からパーセンテージを求めたときに100を掛けたのと逆の計算だ分数同士の足し算はまず分数を公分母に直す公分母を求めたら分子同士を足した和を公分母の上に記せばよい例えば 2/4 と 3/5 を足すには 1 まず公分母を求める 2/4 に 5/5 を掛けると 10/20 3/5 に 4/4を掛けると 12/20になる 2 公分母を20と求めたら次は分子同士を足した 22(10+12) を分母 20の上に記す 3 答えは 2/4+3/5=10/20+12/20=22/20 すなわち 11/10 である分数同士の掛け算はそれぞれの分子を掛けて新しい分子を求めさらにそれぞれの分母を掛けて新しい分母を求める例えば 2/4 3/5=(2 3)/(4 5)=6/20 すなわち 3/10 もしくは 0.3 であるそれでは次の式はどうなる? 11/50 10/49 9/48 1 分子を掛け算する = 分母を掛け算する = 117, /117,600= =0.84% 1% より若干低い確率実はこの式は手札に同じ絵札が2 枚あるときにフロップでフラッシュが完成する確率を計算しているこれが確率のカラクリだ! ポーカーテーブルに座っているときに常にこのような複雑な計算をする必要はないここで計算式を紹介するのは物事がどのように計算されているかの基礎を示すためだ計算に興味がない方はよく直面するケースでの確率を一つひとつ暗記してもらえばよいさまざまな確率の計算式は次節で紹介するがここではまず先のフラッシュの事例で分かりやすく解説しようカード1 組は52 枚手札が2 枚配られているのでデッキの残りのカードは50 枚だ同じ絵札のカードはそれぞれ13 枚あるので 11 枚がデッキに残っていることになるフロップの1 枚目のカードが同じ絵札である確率は 11/50 2 枚目の確率は 10/49 3 枚目は9/48となるこれら確率を全て掛け算すれば 3つのイベント全てが連続して発生しフラッシュが完成する確率を求めることができるのだ 20 21

確率とオッズ確率は特定のイベントがどれだけの頻度で発生するかを示す確率は分数で表される場合が多い例えばコインを投げたら表が出る可能性は 1/2 であるこれは 0.5 または 50% と同じことだしかし表が2 回連続で出る可能性を知りたいときはどうしたらよいだろうか? ポイント!

3 確率とオッズ確率は特定のイベントがどれだけの頻度で発生するかを示す確率は分数で表される場合が多い例えばコインを投げたら表が出る可能性は 1/2 であるこれは 0.5 または 50% と同じことだしかし表が2 回連続で出る可能性を知りたいときはどうしたらよいだろうか? ポイント! 2つ以上のイベントが連続して発生する確率を計算するには個々のイベントの確率をすべて掛け算すればよいつまり上記の場合は 1/2 1/2=1/4 = % となるではもう一問夫婦が子供を3 人作って 3 人とも男の子が生まれる確率は? 1/2 1/2 1/2=1/8 = % この考え方をカードのデッキに応用して 2つの例を見てみよう Q: 手札にペアが配られる可能性は? 1 特定のペアを指定していないので 1 枚目のカードは計算に入れない 2 1 枚目が配られた後にはペアを作るカードが3 枚残っていることになるので 2 枚目でペアがそろう可能性は 3/51 である 3 3/51=1/ % より若干低い確率ではエースのペアが配られる確率はどうだろうか? この事例では 2 つのイベントが連続して発生しなければならない 1 1 枚目でエースが配られる確率は 4/52 もしくは 1/ 枚目のエースが配られた後にはエースは残り 51 枚のデッキに 3 枚残っているよって 2 枚目にエースが配られる確率は 3/51 もしくは 1/17 3 これらのイベントが連続して発生する確率を求めるにはそれぞれの確率を掛け算する 4 1/13 1/17=1/221 = % ここまでは両方のイベントが発生する必要があるケースを見てきたそれではいずれかのイベントが発生すればよいケースはどうだろうか? この場合はそれぞれのイベントの確率を足し算すればイベントのうちのひとつが発生する総体的な確率を得ることができる例えばエースが 1 枚だけ配られる可能性は? 1 枚目がエースで 2 枚目でブランク ( エース以外 ) が配られる確率は 2 4/52 48/51= 枚目はブランクで 2 枚目でエースが配られる確率は 48/52 4/51= それぞれの確率を足すと = % よって 7 回に 1 回はエースが配られることになる 1/0.145=6.9. この計算式での 48 は単に残りの 51 枚からデッキにある 3 枚のエースを引いた数である 22 23

4 確率を表すもうひとつの方法としてオッズがあるオッズは特定のイベントがどれだけの頻度で発生しないかを示す例えばアトランタブレーブズがワールドシリーズで優勝するオッズは2:1(2 対 1) だなど言い方を換えればブレーブズがワールドシリーズに3 回挑戦すればそのうち1 回は勝てるはずということだ ( ブレーブズファンには不幸なことに実際はもっと苦労したが ) 確率をオッズに直すには 1を確率で割りその商から1を引けばよいブレーブズの例では 1/0.33-1=2:1 先ほどのエースのペアの確率をオッズに直すと 1/ で 220:1となるオッズはまたイベントが発生しない確率を発生する確率で割ることによって求めることもできる例えばブレーブズがワールドシリーズで優勝する可能性が 0.33 あるのなら負ける可能性が 0.67(1-0.33) あることになる 0.67/0.33 で2:1となるこの方法では確率を100の中で対比して計算する例えば確率が0.25の場合イベントは4 回に1 回発生するよってうち3 回は発生しないことになりオッズは3:1となる上記の例は実は同じ計算を異なる2 通りの方法で行っているだけだ 1/0.33-1=2:1 かたや (1-0.33)/0.33=2:1 確率オッズ :1( 五分五分の確率 ) :2もしくは1.5: : : : : : : : : : :1 次はよく使われる確率をオッズに直した表である確率の計算式例題に進む前にホールデムの計算をする際の基礎的概念をいくつか頭に入れなければならないまずは分かっているカードと分かっていないカードを区別することが重要だ例えばフロップの前では確実に分かっているカードは2 枚しかないフロップに進むとさら 24 25

5 に3 枚のカードが明らかになるこれらの明らかなカードによって自分のハンドを改善させるカードが何枚あるかを導き出すことができるフロップで5 枚のカードが明らかになるのなら当然不明なカードが47 枚あることになるターン後は46 枚これらの数字はホールデムのさまざまな状況での計算に使うことになるその時点で対戦相手が既に手札を捨てていたとしても関係ない相手が自分の手札を改善させるカードを捨てたかもしれないと考え計算を誤ることがあるしかし相手が何を捨てたかは分からない不明なカードは依然 47 枚でありこの数字こそが計算の基準となる確率を計算するプロセスは実はかなり単純だもう少し複雑なケースもこれまで学んだことを応用すればよいこれから出てくるさまざまな練習問題での基本的な思考プロセスさえ理解してしまえばおよそ考えられ得るあらゆるケースの確率を計算できるようになる手札がAKのときにフロップでエースかキングのワンペアのみが完成する確率は? ワンペアが完成するフロップの組み合わせは6 通り Axx xax xxa Kxx xkx xxk つまり1 枚目がエースで残りがブランクの場合 1 枚目がブランク 2 枚目がエースで3 枚目がブランクの場合そして 1 2 枚目がブランクで3 枚目がエースの場合だキングのペアが完成する組み合わせも同様であるそれぞれの組み合わせの確率が分かれば全ての確率を足し算しそれらイベントのうちの1つが発生する総体的な確率を求めることができるそれぞれの組み合わせの確率は今回は同一であるからひとつのケースの確率に6を掛ければよいまずは手札がAKのときにフロップでAxx(xはエースキング以外で重複しない ) が出る確率を求める 1 枚目にエースが落ちる確率は 3/50 2 枚目にブランクが落ちる確率は 44/49 つまり残りの49 枚のうち 44 枚がエースとキング以外最後にブランクが落ちる確率は40/48 気をつけなければならないのはフロップの中でペアができてはいけないのでブランクが40 枚ブランクにならないカードが8 枚あることになる ( エース2 枚キング3 枚そして2 枚目のカードとペアになるカード3 枚 ) 3/50 44/49 40/48 = % xax xxa Kxxなどのほかの組み合わせの確率も同一であるよってフロップでエースかキングのペアのみが完成する確率は = % 次に上とは少しだけ異なるケースを見てみよう手札はまたAK でフロップでエースかキングがヒットしてワンペア以上に発展する確率は? このケースではエースかキングがヒットすれば条件を満たすことになるワンペアに限定されない分確率は随分高くなるツーペアトリップス ( 用語集を参照 ) またはフルハウスに発展する場合が含まれるからだこのケースでは逆の計算を行いフロップでエースとキングがヒットしない確率を求めるのが便利だフロップでエースとキングがヒットしない確率は 44/50 43/49 42/48=67.6% フロップでエースとキングがヒットしない確率が分かったなら 100% から引き算をすればヒットする確率を求めることができる 100%-67.6%=32.4% 発生するオッズはおよそ2:

6 どうりで AK はフロップでヒットする気がしないわけだ! AK の強みはいざヒットした場合にほとんど勝てることなのだ例えば 7 5 のようなヒットしたとしても負けることが多いハンドと比べれば分かるもちろんここにはストレートやフラッシュの確率が含まれていないしかしムキになることはないフロップでストレートが完成する確率はおよそ 0.33% しかないのだから手札が同じ絵札 ( スーテッド ) の場合フロップでフラッシュが完成する確率は 1% にもわずかに及ばない ( これらの計算はのちに登場する ) ほかのタイプの例を見てみよう手札がポケットペアのときにフロップでセット以上に発展する可能性は 3? ここでは TTのポケットペアだとしよう全ての組み合わせを求める AAx AxA xxa エースが1 枚目にヒットする確率は2/50 2 枚目にヒットする確率は 1/49 なのでしかし組み合わせは3 通りあるこの数字に3を掛けると :1 答え: 手札がAAのとき408 回に1 回の確率でフロップでクワッズが完成する 17 回に1 回ペアが配られ 408 回に1 回フロップでクワッズが完成するなら全てのポケットペアをプレイした場合フロップでクワッズが完成する確率は? それぞれの確率を掛け算すればよい 1/17 1/408=1/6936 こういった問題を解くには逆の計算を行うのが一番良いしたがってまずはフロップでTがヒットしない確率を求める 48/50 47/49 46/48 = % 100%-88%=12% よってフロップでセット以上に発展する確率は 12% 12% の発生オッズは 7.5:1 この例はリミットホールデムでスモールペアをプレイするには多くの対戦相手が必要であることを示しているセットがヒットするオッズ 7.5:1が割に合うものとなるには大きなポットが必要になる手札がAAのときにフロップでクワッズ( 手札 2 枚を含むフォーオブアカインド ) が完成する確率は? ここまでの例でホールデムで起こるさまざまな状況での確率がどのように計算されているかのイメージをつかんでいただけたら嬉しい本書の表データ集のセクションには同様のたくさんの例がまとめられているこれら計算式の背景にある基礎的な思考プロセスさえ理解できれば多くの状況での確率を計算できるようになるはずだこれら計算式がまだ完全に咀嚼できていなくとも大丈夫だここでの目的は毎回わざわざ計算をしなくてもオッズを適用するスキルを身につけてもらうことだいくつかの数字を丸暗記していればほとんどのプレイヤーにとっては実戦中に必要な情報として間に合うはずだ. ここではフロップに手札のペアと合致するカードが少なくとも 1 枚あるケースを想定しているボードが 888 のようなフルハウスはこの計算には含まれない 28 29

7 ポーカーオッズ計算機まとめ数学的な計算には限界があるポーカーは非常に複雑なゲームであり計算にコンピュータのシミュレータが必要になることもあるコンピュータのシミュレータは各々のケースを数千や数百万といった単位で試行することによって長期的な結果を求めることができる例えば AQがK5に勝つオッズは? この計算を机上で行おうとしたら非常に時間のかかる作業になってしまう分析すべきボードの組み合わせは 20 万通り以上もあるのだから! コンピュータのシミュレータはこういった複雑な問題を素早く効率的に解決してくれる筆者が運営しているウェブサイト comにはこういったケースに役立つポーカーオッズ計算機がある ITHのポーカーオッズ計算機はインターネット上のブラウザベースの計算機であり最先端のツールである特定のハンド同士のヘッズアップ勝率計算はもちろんランダムなハンドや特定の範囲のハンドに対する勝率を計算することができるしかしその面倒な手間もだいぶ省かれるはずだ本書の巻末にはさまざまなシミュレーションを表やデータにしたものが掲載されているがここまで網羅されたテキサスホールデムの書籍はいまだかつてない上のようなケースのほとんどは巻末の表に載っているので読者の方はその都度シミュレーションを行う必要はない分数は例えば 3 回に1 回改善する可能性があるといった風に確率を表す方法のひとつである 1/3と表記する上の数字 ( ここでは1) が分子下の数字 ( ここでは3) が分母である分数同士の足し算はまず分数を公分母に直す公分母を求めたら分子同士を足した和を公分母の上に記せばよい分数同士の掛け算はそれぞれの分子を掛けて新しい分子を求めさらにそれぞれの分母を掛けて新しい分母を求める確率は特定のイベントがどれだけの頻度で発生するかを示す確率は分数で表される場合が多い 2つ以上のイベントが連続して発生する確率を計算するには個々のイベントの確率をすべて掛け算すればよいオッズは特定のイベントがどれだけの頻度で発生しないかを示す確率をオッズに直すには 1を確率で割りその商から1を引けばよいポーカーオッズ計算機は同じシナリオを何千回さらには何百万回と試行することによって複雑な計算の代わりをしてくれる 30 31

8 練習問題 Q6.AA が 2 回連続で配られるオッズは? Q1. あなたの親友は強運の持ち主だ幸運の女神はさらに彼に味方したようで 1,000 万分の1の確率のくじを当ててしまったあなたは彼に1ドルを託して次のくじを買ってもらうことにした彼がもう一度くじを当てる確率は? Q7. あなたはベガスで8デッキのブラックジャックを楽しんでいるブラックジャック 4 が配られたときにディーラーがインシュランスしますか? と聞いてきたインシュランスを選択するべきだろうか? Q2. このくじが 2 回連続で当たる確率は? Q3. 手札の 1 枚目がエースであるオッズは? Q8. 手札が A K のときフロップでロイヤルストレートフラッシュが完成する確率は? Q4. 親友と誕生月が同じ確率は? Q9. 手札が T 9 のときにフロップでストレートフラッシュが完成する確率は? Q5. デビッドカッパーフィールドに憧れているあなたの従兄弟が賭けを申し入れてきたカード 1 組の中からA を見ないで取り出してみせる成功したら君が $50 払う失敗したら君に1$ 払おうこの賭けに乗るべきだろうか? Q10. あなたは手札 TTでプリフロップでレイズしたフロップが自分に不利になる確率は? ここでの不利なフロップとはオーバーカードが落ちかつセットにならないフロップだとする 4. ブラックジャックもしくは 21 はベット額に対して 1.5 倍が払い戻されるがディーラーもブラックジャックがそろっていない場合に限るディーラーもブラックジャックを持っていた場合何も勝ち取らず何も失わないディーラーはエースを見せる度にインシュランスを提案してくるインシュランスでは基本的にディーラーにベットと同額を払い戻すことを選択しベット額の 1.5 倍を勝ち取るチャンスを放棄することになる 32 33

9 答え A1.1,000 万分の1 この問題は確率の核心をついている昔からある 10 回連続でコインの表が出た次に表が出る確率は? といったクイズと同じ原理だ過去のイベントが将来のイベントに影響を及ぼすことはないカードの流れが良かろうが悪かろうが次のハンドに及ぼす影響は0である A2.1/100,000,000,000,000 先ほどの質問とは少し異なる Q1では友人が既に1 回当てていたが今回は2 回連続で当てなければならない 2つのイベントが連続して発生する確率はそれぞれの確率を掛け算して求めるこの例では 1/10,000,000 1/10,000,000= 1/100 兆くじを当てた人が一週間後にもう一度当てにいくのがどれだけ貪欲かが分かるだろう A5. はい従兄弟がカードを取りだす51:1の可能性に対してあなたは50:1のオッズを得ていることになるこれを52 回試行すれば平均して $1 儲けることになるトリックさえなければこの賭けに乗るべきだ A6.49,383:1 まずはAAが配られる確率を求める 1 枚目にエースが配られる確率は4/52 エースは残り3 枚になったので 2 枚目の確率は3/51 これらを掛け算して両者が連続して発生する確率を求める 4/52 3/51= AAが2 回連続で配られる可能性は = 逆数を求めて1を引くと 49,383:1になるおよそ5 万回に1 回は2 回連続でAAが配られるという幸運に恵まれることになる WSOPのファイナルテーブルでこれが起こったらまさに最高の幸運と言えるだろう! もちろんそれでも勝つ必要があるが! A3.12:1 本章ではエースが配られる確率が4/52もしくは1/ だと計算した確率をオッズに直すには逆数を求めて 1を引く 1/ =12:1 理論的に考えればそれぞれのスーツにはカードが13 枚ありエース1 枚に対してそれ以外のカードが12 枚あることが分かる A4.1/12 もしくは各々の月の日数や日付による出生率の上下の科学的説明を考慮すると複雑になるがある人があなたと同じ月内に生まれていた確率はおよそ1/12 オッズは1:11 A7. 選択するべきではない本来ならば計算をする必要がない自分たちが長期的に見て損するような提案をカジノ側がするわけはないと誰もが知っているからだ! しかしここでは我慢して計算をすることにしようインシュランスを選択した場合期待値はベット額と同一になるインシュランスを選択しない場合取り分が 0 になるかベット額の 1.5 倍を勝ち取るかのどちらかであるディーラーはおよそ 5 13 回に 9 回ブラックジャックを完成させないことになる (T J Q K ではそろってし 5. およそという言葉を使ったのはエース 2 枚とフェイスカードが明確になっているのでより専門的な正確な計算を行うことが可能だからである 34 35

10 まうが Aから9までなら大丈夫 ) 9/13 1.5=1.04ベット 1.04はインシュランスを選択したときの1ベットよりも良い $10を賭けた場合インシュランスを選択するたびに $0.40 を損することになる 6 A もしくは 19,599:1 1 枚目で必要なカードのうち1 枚が出る可能性は3/50 2 枚目で出る可能性は2/49 そして最後に必要な1 枚が出る可能性は1/48 3/50 2/49 1/48 = つまり 19,599:1 Tに対するオーバーカードは16 枚よって残りのデッキのカードは 16 枚のオーバーカード 2 枚のT そして32 枚のアンダーカードに分類される全体の確率は以下の計算の和になる 16/50 47/49 46/48= /50 16/49 46/48= /50 31/49 16/48= = or 63% A もしくは 4,899:1 これはQ8よりも少し難しい問題だストレートフラッシュを完成させる組み合わせは4つある K Q J Q J 8 J この場合の確率は 4(3/50 2/49 1/48) = つまり 4,899:1 A (63%) まずは不利なフロップになるカードの組み合わせがどれだけあるかを見ていかなければならない不利なフロップになるときの3 枚は以下の順に並ぶことになるオーバーカード T 以外のカード T 以外のカードオーバーカードでもTでもないカードオーバーカード T 以外のカードオーバーカードでもTでもないカードオーバーカード以外オーバーカード. カードカウンター達はときに普段よりもフェイスカードの確率が高くこのオッズを破れると分かった場合インシュランスを選択することがある 36 37

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æœ•å¤§å–¬ç´—æŁ°,æœ•å°‘å–¬å•“æŁ°,ã…¦ã…¼ã‡¯ã…ªã……ã…›ã†®äº™éŽ¤æ³Ł 最大公約数, 最小公倍数, ユークリッドの互除法最大公約数, 最小公倍数とはつ以上の正の整数に共通な約数 ( 公約数 ) のうち最大のものを最大公約数といいます. と 8 の公約数は,,,,6 で, 6 が最大公約数つ以上の正の整数の共通な倍数 ( 公倍数 ) のうち最小のものを最小公倍数といいます. との公倍数は, 6,,8,,... で, 6 が最小公倍数最大公約数, 最小公倍数の求め方