シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 () 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります時間は 60 分ですから,3 時間 30 分は, = 20( 分 ) です 2 時間は,60 2 = 20( 分 ) ですよって, 上りと下りの時間の比は

Size: px

Start display at page:

Download "シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 () 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります時間は 60 分ですから,3 時間 30 分は, = 20( 分 ) です 2 時間は,60 2 = 20( 分 ) ですよって, 上りと下りの時間の比は"

めぐのおおふさ
5 years ago
Views:

1 シリーズ 5 年下第 0 回基本問題練習問題の速さの問題は, 図をしっかり書きましょう同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になりますクロス形やピラミッド形をさがしましょう影の問題の場合は, 頭から真横, 光線の最後から真横に補助線を引きます等差数列の N 番目 = はじめ + 増える ( N - ) 等差数列の和 = ( はじめ + おわり ) 個数 2 階差数列 (5, 6, 8,, 5, など ) は,5 番目のときなどを式にして書くとわかりやすくなりますから 0 までの和は 55, から 3 までの和は 9 三角数, 平方数に敏感になりましょう分数の数列の場合は, 段にして書きましょう目次基本 < 第 6 回 > () p. 基本 < 第 9 回 > () p.7 基本 < 第 6 回 > (2) p. 基本 < 第 9 回 > (2) p.8 基本 < 第 6 回 > (3) p.2 基本 < 第 9 回 > (3) p.8 基本 < 第 6 回 > 2 () p.3 基本 < 第 9 回 > 2 () p.9 基本 < 第 6 回 > 2 (2) p.3 基本 < 第 9 回 > 2 (2) p.9 基本 < 第 6 回 > 3 p.4 基本 < 第 9 回 > 3 () p.20 基本 < 第 7 回 > () p.5 基本 < 第 9 回 > 3 (2) p.2 基本 < 第 7 回 > (2) p.5 練習 () p.22 基本 < 第 7 回 > (3) p.6 練習 (2) p.23 基本 < 第 7 回 > 2 () p.7 練習 (3) p.24 基本 < 第 7 回 > 2 (2) p.7 練習 2 () p.25 基本 < 第 7 回 > 3 () p.8 練習 2 (2) p.26 基本 < 第 7 回 > 3 (2) p.9 練習 3 p.27 基本 < 第 8 回 > () p. 練習 4 () p.29 基本 < 第 8 回 > (2) p.2 練習 4 (2) p.30 基本 < 第 8 回 > (3) p.3 練習 5 () p.3 基本 < 第 8 回 > 2 () p.5 練習 5 (2) p.35 基本 < 第 8 回 > 2 (2) p.6 チャレンジ () p.36 チャレンジ (2) p.37 すぐる学習会

2 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 () 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります時間は 60 分ですから,3 時間 30 分は, = 20( 分 ) です 2 時間は,60 2 = 20( 分 ) ですよって, 上りと下りの時間の比は,20 : 20 = 7 : 4 です速さの比は逆比になって,4 : 7 になりますよって, 上りの速さを 4 とすると, 下りの速さは 7 になりますこの問題は, 上りの速さは下りの速さの何倍か, という問題です 4 7 = 4 ということですから, = 4 7 = ( 倍 ) になります 7 < 第 6 回 > 基本 (2) 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります 200 m を走るのに, 兄と弟のかかる時間の比は,28 : 32 = 7 : 8 です速さの比は逆比になって,8 : 7 ですスタート 200m ゴール兄が 200 m を走ってゴールしたとき, 弟はおそいので, まだゴールしていません兄が走った 200m を 8 とすると, 弟が走ったきょりは,7 にあたります兄弟 7 8 あたり,200 8 = 25(m) です兄がゴールしたとき, 弟は, ゴールまであと 8-7= だけ手前にいましたを求める問題ですから, 答えは 25 m になりますスタート兄弟 200m 7 8 ゴール - -

3 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 (3) 速さの差集め算として解く方法もありますが, 比で解説します時速 4 kmと時速 3 kmの速さの比は,4 : 3 ですよって, かかる時間の比は逆比になって,3 : 4 です時速 4 kmのときのかかる時間を 3 にすると, 時速 3 kmのときのかかる時間は 4 です時速 4 kmと時速 3 kmでは, かかる時間に 4-3= のちがいがありますところで, 時速 4 kmのときは予定より 30 分早く着き, 時速 3 kmのときは予定より 40 分おくれたそうです 30 分早く着くのと 40 分おくれるのでは, = 70( 分 ) のちがいがありますよって,70 分がにあたります時速 4 kmのときのかかる時間は 3 にあたりますから,70 3 = 20( 分 ) です時間は 60 分ですから,20 分は,20 60 = 3.5( 時間 ) です君が歩く道のりは, 時速 4 kmで 3.5 時間かかるような道のりであることがわかりましたよって, 君が歩く道のりは,4 3.5 = 4( km ) になります - 2 -

4 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 2 () 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります君が分間 ( = 60 秒 ) で泳ぐ距離を, 君は 35 秒で泳ぎますかかった時間の比は,60 : 35 = 2 : 7 ですよって, 君と君の速さの比は逆比になって,7 : 2 です < 第 6 回 > 基本 2 (2) () がわかれば,(2) は簡単です () で, 君と君の速さの比は 7 : 2 であることがわかりました君が泳いだ距離を 7 とすると, 君が泳いだ距離は 2 になります 2 人が泳いだ距離の差は,2-7=5 にあたりますよって,20m が 5 にあたるので, あたり,20 5 = 24(m) です君が泳いだ距離は 7 にあたるので,24 7 = 68(m) になります - 3 -

5 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 3 速さの比を求めるだけでなく, 道のりを決めることが大切です町から町まで行くのに, 徒歩なら 48 分, 自転車なら 6 分かかります徒歩と自転車の, かかる時間の比は,48 : 6 = 3 : ですよって, 速さの比は逆比になって, : 3 ですここで, 徒歩は分速 m, 自転車は分速 3 m であると決めますすると, 町から町までの道のりは, 分速 m の徒歩で 48 分かかるような道のりですから, 48 = 48(m) になりますあるいは, 分速 3 m の自転車で 6 分かかるのですから,3 6 = 48(m) としても OK ですいま, 最初は分速 3 m の自転車で出発しましたが, 途中で自転車がパンクしたので, そこからは分速 m の徒歩で行き, 全部で 24 分で 48 m を進んだことになりますこの問題は, ( つえも入れて ) 足が 3 本あるおじいさんと, 足が本のかかしが合わせて 24 人いて, 足の数の合計が 48 本になっているというような, つるかめ算になります面積図で書くと, 右の図のようになります点線部分の面積は, = 24 です点線部分のたての長さは,3 - = 2 です 3 よって, 点線部分の横の長さは,24 2 = 2 ですしたがって, 分速 3 m の自転車に乗っていたのは, 24-2 = 2( 分間 ) になります自転車がパンクしたのは, 町を出発してから 2 分後になります

6 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 () 図を書けば, 大変簡単に求められます兄は地を, 弟は地を同時に出発して, 20 分後に兄と弟は出会ったそうです兄兄 20 分弟 20 分弟出会ってから 2 分後に, 兄は地に着いたそうです出会った地点から地までの道のりを, 兄が 2 分かかり, 弟は 20 分かかりました兄兄 20 分兄 2 分弟 20 分弟兄と弟の, かかった時間の比は,2 : 20 = 3 : 5 ですよって, 兄と弟の速さの比は逆比になって,5 : 3 になります < 第 7 回 > 基本 (2) 図をしっかり書きましょう妹が出発して 5 分後に, 姉が出発します姉妹妹 5 分姉が出発してから 25 分後に, 姉は妹に追いついたそうです姉姉 25 分妹妹 5 分妹 25 分姉が 25 分かかる道のりを, 妹は = 40( 分 ) かかりますかかった時間の比は,25 : 40 = 5 : 8 ですから, 速さの比は逆比になって,8 : 5 になります姉 25 分姉妹 5 分妹 25 分妹妹 40 分 - 5 -

7 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 (3) 母は 2 人います走る母と, 自転車の母です光君が家を出発してから 3 分後に, 光光 3 分走る母が出発すると,6 分で追いつくそうです走る母光 3 分光走る母 6 分光 6 分走る母が 6 分で進んだ道のりを, 光君は = 9( 分 ) で進みます走る母走る母 6 分かかった時間の比は 6 : 9 = 2 : 3 ですから, 速さの比は逆比になって,3 : 2 です走る母と光君の速さの比は,3 : 2 であることがわかりましたまた, 自転車の母は, 光君に 2 分で追いつくそうです光光 3 分光 6 分光 9 分自転車の母 2 分自転車の母光光 3 分光 2 分自転車の母が 2 分で進んだ道のりを, 光君は = 5( 分 ) で進みますかかった時間の比は 2 : 5 ですから, 速さの比は逆比になって,5 : 2 です自転車の母光自転車の母 2 分光 3 分光 2 分光 5 分自転車の母と光君の速さの比は,5 : 2 であることがわかりました走る母と自転車の母と光君の速さの比は, 右のように 3 : 5 : 2 になりますから, 母の走る速さと自転車の速さの比は, 3 : 5 になります走る母自転車の母光 3 : 2 3 : 5 : 2 5 : 2-6 -

8 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 2 () 速さの比を求めるだけでなく, 道のりを決めることが大切です家から学校まで, 兄は 20 分, 弟は 28 分かかるのですから, かかる時間の比は, 20 : 28 = 5 : 7 です兄と弟の速さの比は逆比になって,7 : 5 ですここで, 兄の速さを分速 7 m, 弟の速さを分速 5 m に決めます家から学校までの道のりは, 分速 7 m の兄が 20 分かかるのですから,7 20 = 40(m) です分速 5 m の弟が 28 分かかるので,5 28 = 40(m) としても OK です () は, 家から学校までの 40 mを, 兄は家から分速 7 mで, 弟は学校から分速 5 mで進んで, 何分後に出会うか, という問題です ( ) = 40 2 = = ( 分後 ) に, 2 3 兄と弟は出会うことになります兄 7 家 40m 学校弟 5 < 第 7 回 > 基本 2 (2) () で決めた速さを,(2) でも利用しましょう () で, 兄は分速 7 m, 弟は分速 5 m に決めましたこの速さを,(2) でも利用することにします兄が出発するときは, 弟はすでに 4 分間進んでいます弟は分速 5 m ですから,5 4 = 20(m) 先まで進んでいることになります兄は弟よりも速いので, 弟に追いつくことができます 20 ( 7-5 ) = 0( 分後 ) に, 兄は弟に追いつきます兄 7 弟 5 20m - 7 -

9 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 3 () 度目に出会うまでの図を書くと, 速さの比を求めることができます君は P を, 君は Q を同時に出発します 2 人が度目に出会ったところは,P から, PQ 間の距離を 7 つに分けたうちの, P 7 Q 4 つ目のところです P から Q までの距離を 7 にすると,2 人が出会った地点は,P から 4 のところです君は 4 の距離を進んで, P 4 7 Q 君は 7-4=3 の距離を進んで,R 地点で出会いましたよって, 君と君の速さの比は,4 : 3 になります P 4 7 R 3 Q - 8 -

10 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 3 (2) 度目に出会うまでの図と,2 度目に出会うまでの図をくらべますたとえば, 出発してから 0 分後に, 度目に出会ったとしましょう度目に出会うまでに, 君と君を合わせて, PQ 間の距離本ぶんを進んでいます P Q 0 分後そのとき, 出発してから 30 分後に,2 度目に出会うことになります 2 度目に出会うまでに, 君と君を合わせて PQ 間の距離 3 本ぶんを進んでいるので, 時間も 3 倍になったのです P 30 分後 Q この問題の場合は, 出発してから度目に出会うまでに, 君は 4, 君は 3 を進んでいます P 4 7 R Q R から Q までの距離は,3 です 3 出発してから 2 度目に出会うまでに君は 4 の 3 倍の,4 3 = 2 を進みます P S 7 2 Q ( 次のページへ ) - 9 -

11 S から Q までの距離は,2-7=5 になります P S 7 5 Q S から Q までの距離は 5,R から Q までの距離は 3 ですから,R から S までの距離は,7-5=2 にあたります問題に書いてある通り,R から S までの距離は 360 m ですこれが 2 にあたるのですから, あたり, = 80(m) です 7 P S R 5 3 Q PQ 間の距離は 7 にあたりますから,80 7 = 260(m) になります - 0 -

12 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 () 相似図形をさがしましょう右の図のように, 全体の三角形の, 直角でない角に, とを書くと, と合わせて 90 度です 6 cm 2 cm 8 cm 白い直角三角形の, 直角でない角を, と? にすると, と? 合わせて 90 度ですところで, と合わせて 90 度でしたから,? はと同じ角度です 6 cm? 2 cm 8 cm 右の図のようになり, 全体の三角形と, 白い三角形は, 相似です 6 cm 全体の三角形の底辺と高さの比は,8 : 2 = 2 : 3 ですから, 白い三角形の底辺と高さの比も,2 : 3 ですよってアは,6 3 2=4(cm) になります全体の三角形の面積は,8 2 2 = 48(cm 2 ) で, 白い三角形の面積は,4 6 2 = 2(cm 2 ) ですから, かげをつけた部分の面積は,48-2 = 36(cm 2 ) になります 8 cm ア 2 cm - -

13 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 (2) 相似な三角形がいくつもありますどれを利用したら良いでしょう正方形は, たてと横の長さが等しいので, 右の図のように長さを書きこむことができますの直角三角形は, 底辺と高さの比が,3 : ( 5-3 ) = 3 : 2 ですとは相似ですから, の底辺と高さの比も,3 : 2 です 3cm 3cm 3cm 5cm 5cm 5cm 右の図のようになるので,3あたり 5 cmですから, 2 あたり,5 3 = (cm) です 3 2 2のところは, 2 = 3 (cm) です 3 3 よって,Cの長さは,3 + 5 = 8 (cm) になります

14 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 (3) 折る前と折った後の角度は同じです角は 48 度, 角 C は 56 度ですから, 角は, 80 - ( ) = 76( 度 ) です C 折り目をつけて, D 76 E C 右の図のようにおりました D 76 E 48 F 56 C 折る前と折った後の角度は同じなので, 右の図のように, 〇, を書きこむことができます三角形 DE において, は 76 度ですから, 〇との和は,80-76 = 04( 度 ) です D 76 E 48 F 56 C ( 次のページへ ) - 3 -

15 ところで問題には, 右の図のように角アと角イが 76 ありました D アは 80 度, イ〇〇も 80 度ですイ E 〇との和が 04 度であることを利用するためア 56 に, アとイ〇〇を合計して整理すると, 48 C F アイ〇〇が,80 2 = 360( 度 ) になりますよってアとイの和は, = 52( 度 ) ですまた, 問題には, アとイの角度の比が 5 : 3 であることが書いてありましたアは,52 ( ) 5 = 95( 度 ) になるので, 右の図のようになります D 76 三角形 EFC の 3 つの角度の和は 80 度ですから, χ は,80 - ( ) = 29( 度 ) になります 48 イ F E χ C - 4 -

16 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 2 () 街灯の高さを求めるためには, 棒は必要ありませんこの問題は, 右の図のようすだけで解くことができます街灯 3.6m 6m 街灯棒のてっぺんから横に補助線を引くと, 右の図のとは, 相似になりますアの長さは 9 m ですから, との底辺の比は, 9 : 6 = 3 : 2 ですア 3.6m 6m 高さの比も 3 : 2 になるので, 右の図のイの長さは, = 5.4(m) です街灯イ 3.6m 6m よって街灯の高さは, = 9(m) になります - 5 -

17 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 2 (2) 棒と棒は同じ長さであることを忘れないようにしましょう () で, 街灯の高さは 9 m であることがわかりました街灯 (2) は, 右の図のの部分の長さを求める問題です 3.6m 3.6m 6m 5m 建物街灯棒のてっぺんから, ま横に補助線を引きますまた, 光線の最後から, ま横に補助線を引きます右の図の, アとイは相似になりますアの底辺は,9 + 6 = 5(m) で, イの底辺は 5 m ですから, アとイの底辺の比は,5 : 5 = 3 : ですア 3.6m イ 3.6m 6m 5m 建物アとイの高さの比も 3 : です右の図のように, アとイの高さを 3 とにすると,9-3.6 = 5.4(m) が 3 にあたりますあたり,5.4 3 =.8(m) です街灯 3 ア 3.6m イ 3.6m 6m 5m 建物よっての長さは, =.8(m) になります - 6 -

18 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 () 5 番目のときなどのサンプルを書いて考えると, わかりやすくなりますこの数列は, 右のように増えていっています 2, 3, 5, 8, 2, たとえば,5 番目の数である 2 を求めるときに, どのような計算で求めるのかを考えてみます番目の数は 2 ですこの, 番目の数に, 2, 3, 5, 8, 2, , 3, 5, 8, 2, をたして 2 をたして 3 をたして 4 をたせば,5 番目の数である 2 になりますつまり, 番目の数である 2 に, から 4 までの数をたせば,5 番目の数になります 2, 3, 5, 8, 2, 式で書けば,5 番目の数である 2 を求めるときには,2 + ( ) とすることになります 5 番目の数なのに, 式の ( ) の中は, から 5 までの和ではなく, から 4 までの和になっていることに注意しましょう 20 番目の場合は,2 + ( ) という式になります ( ) の中は,( はじめ + おわり ) 個数 2 = ( + 9 ) 9 2 = 90 ですから, 答えは, = 92 になります - 7 -

19 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 (2) 平方数であることに, 気づくようになりましょう数列をはじめから見ていくと,64 = 8 8,8 = 9 9,00 = 0 0, 44 = 2 2,69 = 3 3 と, すべて平方数になっていますですから,4 番目の数は, = 2 で,7 番目の数は,4 4 = 96 になります < 第 9 回 > 基本 (3) 段にして書けば, 分数の並び方がわかりやすくなります 3 番目のをと考え,3 番目のはに, 番目のはのように考えて, 分母が同じ 5 分数は同じ段になるようにすると, 右のようになります = 9 ですから, 段目から 3 段目までの分数が, 全部で 9 個ありますよって 99 番目の分数は,4 段目の, 99-9 = 8( 番目 ) になります, 3 3,3, 3 5 5,5, ,7,7,7, 9, 個 2 個 3 個 4 個 5 個ところで段目の分数の分母はです 2 段目の分数の分母は 3 ですこのようにして, 段目,2 段目, の分母だけを書いていくと,,3,5,7, という, 等差数列になっています 4 段目ならば, はじめの数 + 増える数 ( N - ) = + 2 ( 4 - ) = 27 ですしたがって,4 段目の分数の分母は,27 であることがわかりましたまた, どの段も, 分子は,3,5,7, という等差数列になっています 8 番目ならば, はじめの数 + 増える数 ( N - ) = + 2 ( 8 - ) = 5 です 5 5 したがって,4 段目の 8 番目の分数は, = になります約分しないでが正解と思うかもしれませんが, たとえばは約分してにしているのですから, も約分してを答えにすべきです

20 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 2 () 段にして書けば, 分数の並び方がわかりやすくなります分母が同じ分数は同じ段になるようにして, 右のように書きますすると, 分母がの分数が個, 分母が 2 の分数が 2 個, と並んでいき, 分母が 8 の分数なら 8 個並んでいます段目から 8 段目までで, = 36( 個 ) ありますから, 分母が 9 の分数は,36 + = 37( 番目 ) から, = 45( 番目 ) まで並んでいることになります, 2,2, 3,3,3 4,4,4,4, 5, 個 2 個 3 個 4 個 5 個 8, 8 個 9, 9 個 < 第 9 回 > 基本 2 (2) = 55, = 9 を, おぼえておきましょうから 0 までの和は 55 ですから, からまでの和なら,55 + = 66 ですつまり, 段目までで, 全部で 66 個の分数が並んでいることになりますよって 70 番目の分数は,2 段目の,70-66 = 4 ( 番目 ) の分数になりますところで, 段目の分数は =,2 段目の分数の和は 2 =,3 段目の分数の和は 3 =, のように, 2 3 どの段の分数の和も, 必ずになっていますしたがって, 段目から段目までで, が個あるのでになります 2 段目は, が 4 個だけあるので, 4 = です 2 2 3, 2,2, 3,3,3 4,4,4,4, 5, したがって,70 個すべての分数の和は, + = になります 3 3 個 2 個 3 個 4 個 5 個, 個,2,2,2 2 4 個和 3-9 -

21 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 3 () 段目,2 段目,3 段目,4 段目の整数の和を求めてみましょう段目は, です 2 段目の和は, = 4 ですこの 4 という数は,2 2 = 4 となっています 3 段目の和は, = 9 ですこの 9 という数は,3 3 = 9 となっていますこのように, 段目の和なら, となっているのです段目 2 段目,2, 3 段目,2,3,2, 4 段目,2,3,4,3,2, なぜ, どの段も, このような平方数になっているかを,4 段目を例にして説明します 4 段目は, となっていますこれをタイルにして表すと, 右の図のようになりますタイルをくっつけて書くと, 右の図のようになります左側の ( 個 ) のタイルをくるっと回転させて右側にもっていって, くっつけると, 右の図のように 4 4( 個 ) のタイルになります他の段の場合も同じように考えると, 段目の数の和はになるのです () は 2 段目の数の和ですから,2 2 = 44 になります

22 シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 3 (2) () でわかったことを利用します () で, 段目の整数の和は, という, 平方数になることがわかりました (2) は, が,000 をはじめてこえるようなを求める問題ですこのような問題の場合は, いろいろ数をあてはめてみて求めるしか, 方法はありませんたとえばに 30 をあてはめてみると,30 30 = 900 になり, まだ小さすぎますが 3 なら,3 3 = 96 になり, まだ少し小さいですが 32 なら,32 32 = 024 になり, はじめて 000 をこえますよって, はじめて 000 をこえるのは,32 段目になります - 2 -

23 シリーズ 5 下第 0 回練習 () 5 : 2 : 3 の直角三角形に親しみましょう右の図のアの長さは,36-0 = 26(cm) です 29cm 36cm ア 0cm 24cm アを折ったら右の図のイのところにきたので, イの長さも 26 cm ですよって, 右の図の太い三角形の三つの辺の長さの比は, 0 : 24 : 26 = 5 : 2 : 3 です 36cm ア 0cm 29cm イ 24cm 29cm 右の図のように〇, を書きこむと, 〇との和は 90 度ですと? の和も 90 度なので,? は〇と同じ角度になります 36cm 26cm 0cm 26cm 24cm? 右の図のようになるので, 太線の三角形も, 三つの辺の長さの比は,5 : 2 : 3 です 29cm また, ウの長さは,29-24 = 5(cm) です 36cm 26cm 0cm 26cm ( 次のページへ ) 24cm ウ

24 右の図のようになり, エは 2 cm, オは 3 cm になります 29cm 36cm 26cm 0cm 26cm 24cm オ 5cm エ練習 (2) 5 : 2 : 3 の直角三角形は, まだまだありますところで, 右の図の太線は, 折る前は辺 D だったのですから, 長さは 29 cm ですよって右の図のカの長さは,29-3 = 6(cm) です 36cm 26cm 0cm 29cm 26cm 3cm 24cm 5cm D カ 2cm 右の図の太線の三角形も, これまでと同様に, 三つの辺の長さの比は,5 : 2 : 3 です 36cm 26cm 29cm D 6cm 26cm 3cm 2cm 0cm 24cm 5cm 右の図において,6 cmが2にあたるので, 4 あたり,6 2 = (cm) ですの長さは, 5 = 6 (cm) ですの長さは, 3 = 7 (cm) です

25 シリーズ 5 下第 0 回練習 (3) 台形の上底, 下底, 高さはすでにわかっています右の図の太線の台形の面積を求める問題です 2 台形の上底は 6 cm です 3 下底は 26 cm です高さは 29 cm ですよって台形の面積は, 2 ( ) = = = cm 26cm 0cm 29cm 26cm3cm 24cm 7 cm 3 5cm D 6 2 cm 3 6cm 2cm = (cm 2 ) になります

26 シリーズ 5 下第 0 回練習 2 () から始まる奇数の和は, 平方数になります右の表のように, 分子 + 分母が 2 の分数が個, 分子 + 分母が 4 の分数が 3 個, 分子 + 分母が 6 の分数が 5 個, のように, 分数が並んでいますたとえば, 分子 + 分母が 0 なら, 分数は 9 個並んでいますつまり, 分子 + 分母の数からを引いた数が, 並んでいる個数になります 9 の分子 + 分母は,9 + = 20 ですから, 右の表のアは 20 ですイは,20 - = 9 になりますこの問題は, 全部で何個の分数が並んでいるか, という問題でした分子 + 分母ア, 2 3 3,2,, ,4,3, 2,, ,6,5,4, 9, 9 個 3 個 5 個 7 個 9 個イ個つまり, の計算をすればよいことになりますこの計算のような, から始まる奇数の和を求めるときには, 大変簡単な計算方法がありますそれは, 個数の平方数という方法ですしかも個数を求めるには, はじめと最後の平均を求めればよいのですたとえば, だったら, 全部で 4 個ありますから,4 4 の計算をすれば OK ですたとえば, だったら, 全部で 6 個ありますから,6 6 の計算をすれば OK ですの場合も, まず個数を, はじめと最後の平均を利用して, ( + 9 ) 2 = 0( 個 ) と求め, さらに 0 の平方数にするのですから, 0 0 = 00 が答えになります

27 シリーズ 5 下第 0 回練習 2 (2) 分母が 6 の分数の分子は, 何から何までなのかを考えましょう分母が 6 の分数は, 分母だけで 6 なのですから, 分子 + 分母が 2,4,6 の段には, 分母が 6 の分数はありません分子 + 分母が 8 の段には,8-6 = 2ですから, 2 があります 6 分子 + 分母が 0 の段には,0-6 = 4 ですから, 4 があります 6 いちばん下の段である分子 + 分母が 20 の段には, = 4 ですから, があります 6 分子 + 分母 , 2 3 3,2,, ,4,3, 2,, ,6,5,4, 9, 20 9 このように考えると, 分母が 6 の分数の分子の和は, = ( ) 7 2 = 56 になります 56 よって, 分母が 6 の分数の和は, = 9 になります

28 シリーズ 5 下第 0 回練習 3 グラフの中に, クロス形を発見することができますか? 兄は,6 分のときに出発して, 30 分のときに往復してもどってきました公園ウ兄は,30-6 = 24( 分 ) かかって往復しましたよって, 兄は家から公園まで, 24 2 = 2( 分 ) かかりました兄は 6 分のときに出発したのですから, 右のグラフのウは,6 + 2 = 8( 分 ) になります兄弟家 0 6 アイ 30( 分 ) アの値を求めるには, 右のグラフの斜線をつけたクロス形に注目しますエは 6 分, オは 30-8 = 2( 分 ) ですから, エ : オは,6 : 2 = : 2 です公園弟兄 8 オ家 0 エ 6 アイ 30( 分 ) 右のグラフのカ : キも : 2 です弟は全部で 30 分かかったのですから, グラフのアの値は, 30 ( + 2 ) = 0( 分 ) になります公園カ兄 8 キ弟家 0 6 アイ 30( 分 ) ( 次のページへ )

29 イの値を求めるには, 右のグラフの斜線をつけたクロス形に注目しますクは 30-8 = 2( 分 ), ケは 30 分ですから, ク : ケは,2 : 30 = 2 : 5 です公園兄 8 ク弟家 0 6 アイケ 30( 分 ) 右のグラフのコ : サも 2 : 5 です公園弟は全部で 30 分かかったのですから, グラフのイの値は, 3 30 ( ) 5 = 2 ( 分 ) になります 7 弟サ兄 8 コ家 0 6 アイ 30 ( 分 )

30 シリーズ 5 下第 0 回練習 4 () 兄が弟を追いこした後のようすで, 速さの比がわかります兄と弟の速さの比は, 兄が弟に追いついてから, 兄が地にもどってくるまでのようすで, 求めることができます兄弟 0 km 兄が弟に追いついたのは, 町まであと, 2.8 kmの地点です追いつく 2.8 km 兄が町にもどってきたとき, 弟は町まであと 3.2 kmのところにいたそうです兄 0 km 右の図において, 兄は = 2.8( km ) を進みました弟は兄よりも 3.2 kmおくれたので, 弟の進んだ道のりは, = 9.6( km ) です弟 3.2 km 追いつく 2.8 km 兄が 2.8 km進む間に, 弟は 9.6 km進んだので, 兄と弟の速さの比は,2.8 : 9.6 = 4 : 3 になります

31 シリーズ 5 下第 0 回練習 4 (2) 兄が弟を追いこすまでのようすから, 兄と弟の速さがわかります兄が出発したのは, 弟が出発してから 30 分後でした兄弟 30 分 0 km 追いつく 2.8 km 兄は弟に追いつくまでに,0-2.8 = 7.2( km ) を進みました右の図のアの部分です () で求めた通り, 兄と弟の速さの比は 4 : 3 ですよって, 兄が 7.2 kmを進む間に, 弟は, = 5.4( km ) を進んでいます右の図のイの部分です兄弟 30 分 0kmアイ追いつく 2.8 km よって, 弟が 30 分で進んだ道のりは, =.8( km ) になります弟は 30 分で,.8 km = 800 m を進むのですから, 弟の分速は, = 60(m) です兄と弟の速さの比は 4 : 3 ですから, 弟の分速が 60 m なら, 兄の分速は, =80(m) ですこの問題は, 兄が弟に追いついてから何分後に, 兄と弟が出会ったのか, という問題です兄が弟に追いついてから出会うまでのようすは, 右の図のようになります兄弟出会う 2.8 km 兄の折り返されている線をまっすぐにのばすと, 右の図のようになります兄と弟が,2.8 2 = 5.6( km ), つまり 5600 m はなれていて, 兄は分速 80 m, 弟は分速 60 m の速さで, 何分後に出会うか, という問題ですから, 5600 ( ) = 40( 分後 ) になります弟出会う 2.8 km 2.8 km 兄

32 シリーズ 5 下第 0 回練習 5 () 右から見た図や, 正面から見た図を書いて, イメージしましょう図は, 右から見た図です 8m 図 3m 2m 図 2 のようにすると, アは 8-4 = 4(m), イは = 5(m) ですア : イは 4 : 5 で,4 m: ウも 4 : 5 ですから, ウは 5 m ですウ図 2 アイ 3m 2m 8m 図 3 は, 正面から見た図です 8m 図 4 のようにすると, エは 8-4 = 4(m), オは = 9(m) ですエ : オは 4 : 9 で,4 m: カも 4 : 9 ですから, カは 9 m です 5m 図 3 オエ 8m カ図 4 5m 右から見た図, 正面から見た図は, 次のようになります右から見た図正面から見た図 8m 8m 5m 3m 2m 5m ( 次のページへ ) - 3 -

33 では, 上から見た図を書いていきましょう 2m 3m 5m 右から見た図では, 光線は直方体から 5 m はなれたところまでとどいています右から見た図 8m 5m 3m 2m ですから, 上から見た図でも, 光線は直方体から 5 m はなれたところまで書きます 3m 5m 2m 5m 右から見たまた, 正面から見た図では, 光線は直方体から 9 m はなれたところまでとどいています正面から見た図 8m 5m ですから, 上から見た図でも, 光線は直方体から 9 m はなれたところまで書きます 3m 5m 2m 正面から見た ( 次のページへ )

34 右から見た図と正面から見た図から, 光線は右図のようにとどくことがわかりました 3m 5m 2m 5m また, 直方体のの部分を通る光線は, 2m 3m 5m 5m 右の図の部分までとどくこともわかります 2m 3m 5m 5m よって, 影になる部分は右の図の斜線部分のようになります斜線部分を, アとイに分けますア 2m 3m 5m イ 5m アの部分をふくめた太線の図形は, ピラミッド形になっていますよって右の図のの長さは,3 2 = 6(m) ですアの面積は,( ) 9 2 = 40.5(m 2 ) ですア 3m 5m ( 次のページへ )

35 イの部分をふくめた太線の図形は, ピラミッド形になっていますよって右の図のの長さは,5 2 = 0(m) ですイの面積は,( ) 5 2 = 37.5(m 2 ) 2m 3m 5m イ 5m 5m アは 40.5 m 2, イは 37.5 m 2 ですから, 影の面積は, = 78(m 2 ) になりますア 2m 3m 5m イ 5m

36 シリーズ 5 下第 0 回練習 5 (2) () の図を,(2) でも利用します () では, 右から見た図や正面から見た図も書きましたが, 結局は上から見た図を書いて, 面積を求めました 6m ア 2m 3m 5m イ 5m 0m (2) では,4 m の部分が χm になり, それによって,9 m の部分も変わります 9 m の部分がなぜ変わるかというと, = 9 として 9 m を求めたのですが, その式の 4 の部分が χ になるからです 6m ア 2m 3m 5m イ 5m 0m よって, 右のような図になります影の面積は, 問題に書いてある通り 90 m 2 ですイの面積は,() と変わらず 37.5 m 2 ですから, アの面積は, = 52.5(m 2 ) ですよって, アの高さである ( 5 +χ)m のところをにすると,( ) 2 = 52.5 となります = ( ) = ですから, は (m) ですは ( 5 +χ) のことでしたから,χ は, - 5 = 6 (m) になります 3 3 6m (5+χ)m ア 0m イ 3m 5m 2m χm 5m

37 シリーズ 5 下第 0 回チャレンジ () わかることをもれなくきちんと図に書きこむことが大切です太郎君は,Q 地点で折り返してから 3 分後に次郎君とすれちがいました太 P 3 分 Q 次すれちがったときから次郎君は速さを.5 倍にして, それから 3 分 20 秒後に Q 地点に着きました太次 P 3 分 3 分 3 Q 太郎君が 3 分で進む道のりを, 速くなった次郎君は 3 分 20 秒 = 3 分で進んだので 3 すから, かかった時間の比は,3 : 3 = 9 : 0 になり, 速さの比は逆比になって, 3 0 : 9 になりますそこで, 太郎君の速さを 0, 速くなった次郎君の速さを 9 とすると, 次郎君は速さを.5 倍にしたのですから, はじめの次郎君の速さは,9.5 = 6 になります以上まとめると, 太郎君の速さを 0 とすると, 次郎君のはじめの速さは 6 で, あとの速さは 9 よって, 太郎君と次郎君が出会うまでに, 太郎君が進んだ距離を 0 とすると, 次郎君が進んだ距離は, 6 にあたります太郎君と次郎君の進んだ距離の合計は, = 6 になりますが, これがPQ 間の距離の往復ぶんですから PQ 間の距離は, 6 2 = 8 になります太次 P 3 分 Q 6 0 ( 次のページへ )

38 よって, 右の図のようになります太郎君が 3 分で進んだ距離は, 8-6 = 2 にあたります太 P 8 3 分 Q 太郎君は, 2 にあたる距離を 3 分で進むことがわかりました次 6 PQ 間の距離である 8 は 2 の 4 倍ですから,3 4 = 2( 分 ) かかりますよって, 太郎君が PQ 間を往復して P に帰ってきたのは, 出発してから, 2 2 = 24( 分後 ) になりますチャレンジ (2) () ができた人は, かならず (2) もできるようにしましょう太郎君と次郎君が出会ったときからあとを考えます太郎君は次郎君と出会ってから P にもどってくるまでに, 次郎君は Q を折り返して 765 m 進んでいたそうですところで,() でわかった通り, 太郎君の速さを 0 とすると, 次郎君のあとの速さは 9 にあたります太次 P 出会う m Q 2 人が同じ時間で進む距離の比は 0 : 9 ですから, 太郎君が 6 進む間に, 次郎君は, = 5.4 進みます太次 P 出会う Q 765m 5.4 よって,765 m のところが, = 3.4 にあたります太 P 8 出会う Q あたり, = 225(m) になります求めたいのは,PQ 間の距離である 8 ですから,225 8 = 800(m) になります次 m =

平成 31 年度豊島岡女子学園中学校 < 第 3 回 > 算数くわしい解説すぐる学習会 1 (1) イアウア = = イ = 1 - = ウ = = (2) 工

平成 31 年度豊島岡女子学園中学校 < 第 3 回 > 算数くわしい解説すぐる学習会 1 (1) イアウア = = イ = 1 - = ウ = = (2) 工平成年度豊島岡女子学園中学校 < 第回 > 算数くわしい解説すぐる学習会 () 2-4 8 5 7 9 4 4 = = 5 7 5 2 4 = - = 5 5 8 = = 5 9 40 (2) 工夫して解く方法もありますが, 普通に計算した方が早くできるのでは 7 5 24 28 0 29 + + + + = + + + + = 2 4 8 2 2 2 2 2 2 2 29 5- = なので,

シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 () 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります 時間は 60 分ですから,3 時間 30 分は, = 20( 分 ) です 2 時間は,60 2 = 20( 分 ) です よって, 上りと下りの時間の比は

シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 () 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります時間は 60 分ですから,3 時間 30 分は, = 20( 分 ) です 2 時間は,60 2 = 20( 分 ) ですよって, 上りと下りの時間の比は