Microsoft PowerPoint - バスゼミ_ ppt [互換モード]

Size: px

Start display at page:

Download "Microsoft PowerPoint - バスゼミ_ ppt [互換モード]"

しほこぜんじゅう
5 years ago
Views:

1 電気電子システムと複素数東京工業大学大学院理工学研究科電子物理工学専攻松澤昭 4/4/3

2 4/4/3 講演の狙い電気電子工学や制御工学では複素数がやたら多く出てくる複素数を使うと, 複雑なことが簡単になるのだが, 虚数という一見存在しないような数を使うので, 最初はとまどってしまうそこで, なぜ電気電子工学では複素数を使うのか, どんな意味があるかについて説明したい今後学習を進めるための参考にしてほしいこの資料は,hp:// の cur にありますので, 興味のある方はダウンロードしてください

3 4/4/3 電気電子工学に現れる複素数 3 cos sin オイラーの公式 : 解析学 3 学期工学上, 最も重要な公式 i は電流を表すので工学での虚数は i ではなくが用いられる ( 電圧電流の複素表示 : 線形回路 3 学期 F( f ( d フーリエ変換 : フーリエ変換とラプラス変換 3 学期時間領域関数の周波数領域関数への変換 s F( s f ( d ラプラス変換 : フーリエ変換とラプラス変換 3 学期 S は複素数 s 電気回路, 電力工学などの基本通信, 信号処理などに用いられる回路理論 4 学期時間領域関数の複素周波数領域関数への変換微分方程式の解法, 回路解析, 制御におけるシステム設計や安定解析などに用いられる

4 4/4/3 3 種類の電気素子 4 電気素子としてはこの 3 種類しかないこの 3 種類の素子の性質を知ろう容量抵抗 R インダクタ

5 4/4/3 抵抗の性質 5 抵抗では電圧と電流は比例関係にあり, エネルギーを消費する抵抗 R コンダクタンス :G R 電流 : 電圧 : 電圧は電流に比例する ( 比例係数は R R G 電流は電圧に比例する ( 比例係数は G P G R G R 消費電力は電圧の乗もしくは電流の乗に比例する W R Pd 消費エネルギーは消費電力の時間積分

6 4/4/3 容量の性質 6 容量では電圧と電流は時間微積分関係にあり, 電気エネルギーを蓄積する電荷が本質的働きをする容量電流 : 電圧 : Q 電荷は電圧に比例する ( 比例係数は Q d 電圧は電流の時間積分に比例する ( 比例係数は / dq d d d 電流は電圧の時間微分に比例する ( 比例係数は Q W Q 電気エネルギーは電圧の乗に比例し, これを蓄積する

7 4/4/3 インダクタの性質 7 インダクタでは電圧と電流は時間微積分関係にあり, 磁気エネルギーを蓄積するインダクタ電流 : d d 電圧は電流の時間微分に比例する ( 比例係数は電圧 : W d 電流は電圧の時間積分に比例する ( 比例係数は / 電気エネルギーは電流の乗に比例し, これを蓄積する

8 4/4/3 抵抗, 容量, インダクタのまとめ 8 容量抵抗 R インダクタエネルギー W W R ( 保存 G R ( 消失 W ( 保存 d d 電圧 Q 各素子の電圧と電流の関係 d d d R R G d d d dq d 電流

9 4/4/3 容量と抵抗の時間応答 9 電荷が溜まっている容量を抵抗で終端した場合 +Q -Q S R スイッチを閉じた瞬間, 容量の電圧 oと抵抗の電圧 ( は等しいので, ( 抵抗の電圧 ( は電流 ( が流れることで生じるので, ( R S R ( ( 容量から電荷 ΔQ が抜けていくこのことによる容量側の電圧変化と抵抗側の電圧変化 Δ は等しいので Q Q R R 全ての項を時間変化 Δ で割ると

10 容量と抵抗の時間応答の答え 4/4/3 R Q R S ( ( Q 電荷と電流は R Q これより R d d 指数関数を仮定して解いてみる ( d d ( 答えは R ( ( R これを時定数という微分方程式

11 4/4/3 指数関数の性質指数関数は値が一定の比率で時間とともに増減する関数であるリニア表示対数表示.8. x.6 x x 時間 x 時間

12 インダクタと抵抗の回路の時間応答最初にスイッチ S が閉じられ,S は開いておりインダクタには電流が流れていた次に S を開き = で S を閉じると, 電圧, 電流はどうなるか R S S インダクタの電圧電流関係は, 電流の向きを考慮して R インダクタに蓄積されている磁気エネルギー W は W このエネルギー W は急には変化できないので電流は - になるしたがって初期電圧は, R d d 抵抗側では R インダクタの電圧と抵抗の電圧は等しいので, R d d R 微分方程式容量の場合と同様に指数関数になる R R 4/4/3

13 4/4/3 容量とインダクタの回路の時間応答 3 S d ( ( d 容量 : インダクタ : d ( ( d d 容量に初期電荷があり, その電圧をとする S を閉じると回路では A A ( A 容量側の方程式インダクタ側の方程式電流は等しいので d ( d ( ( d 指数関数を想定して微分方程式を解いてみる階の微分方程式にすると d ( ( d d ( d A, A 指数の肩に虚数が現れたしたがって ( A

14 4 容量とインダクタの回路の時間応答 4/4/3 A ( = でなので ( d d ( ( から電流を求める d d ( ( ( 三角関数を用いて微分方程式を解いてみる A ' cos ( と置くと A d d A d d ' cos ' (, ' sin ' ( ( ( d d なので A A ', ' cos ' cos ' = で (= なので cos ( d d d d sin sin cos ( (

15 5 指数応答と正弦波応答の関係 4/4/3 ( ( cos ( sin ( 指数関数から求めた答え三角関数から求めた答え本来は同じ答えなので sin cos sin cos sin cos sin cos 有名なオイラーの公式一般化すると指数関数と三角関数を結びつける公式で複素数で表される指数関数に虚数を導入すると三角関数になる

16 オイラーの公式の複素平面での表現 6 虚軸 : 複素数の極形式 cos sin sin 実軸角度 θ を位相角という大きさが cos オイラーの公式は Z 平面 ( 複素平面上の大きさ, で位相角 θ の点を表し単位円上にある実軸成分が cosθ, 虚軸成分が sinθ である

17 4/4/3 回路の電圧と電流 7 共振回路における電圧と電流の関係は等速円運動上の水平軸への投影と垂直軸の投影と考えることができる cos sin 電流 cos 電圧と電流電圧 sin x ( x ( 時間 ( 位相 x 電流波形電圧波形

18 4/4/3 電気エネルギーと磁気エネルギーの交換 8 共振回路では電気エネルギーを磁気エネルギーに, 磁気エネルギーを電気エネルギーに, 互いに交換しているこれが振動である全エネルギーは一定 W o W W ( W c Wc 4 cos cos 初期電圧 cos 電気エネルギー電流 : 容量 : インダクタ : 電圧 : W 磁気エネルギー ( sin W sin cos 4 W c cos cos 4 W 4

19 エネルギー交換から生じる電気振動 9 電気的振動は電気エネルギーと磁気エネルギーの交換から生じる電気エネルギーと磁気エネルギー磁気エネルギー赤 : 電気エネルギー青 : 磁気エネルギー W c W 4 4 cos cos W W.8 W W W W sin sin sin W W cos c W 電気エネルギー W c cos cos 周期 x

20 抵抗容量インダクタの回路各素子の電圧は同一で, 電流の和はゼロであるので ( A S 抵抗 : /G R 容量 : インダクタ : d d d d とすると G G R d d G したがって G 4 G d R d G d d d G d d 4 G 4 G 流れ出る電流の和はゼロのときは d

21 抵抗容量インダクタの回路の時間応答 4/4/3 A ( G G 4 G G G 4 4 のときは回路の応答は λ が実根の場合は振動成分が生ぜず, λ が複素根のときに振動成分が発生する 4 G G G A A A A ( 複素根の場合は = で (= なので cos ( 減衰項振動項

22 時間応答の違い微分方程式が実根の場合は減衰するだけで振動成分は発生しない複素根の場合は振動成分が発生し, 減衰振動になる ( cos 減衰振動波形. 複素平面上の動き.8.4 青 : 実根の場合赤 : 複素根の場合電圧 (@R ( f3( x -.4 4/4/ u u 5u u 5u 3u 時間 TME (s f( x

23 4/4/3 電気回路の応答の基本 3 G 4 電気回路の応答は, 微分方程式の根 ( ラプラス変換の極の複素平面上の位置で決まる共役複素根 s p 重根 x x p G p c G 減衰振動安定定常振動 ( 発振不安定共役複素根 s p p x

24 電気回路と複素数 4 電気素子 (R は電圧電流の関係が比例積分微分 (PD の関係にあり, その応答は次の微分方程式で表される解は複素数の指数関数となる電気エネルギーと磁気エネルギが交換されるときの解は虚数を含み, 正弦波の振動を発生させる解の実数部分は電磁エネルギーの減衰を表す R 抵抗 : /G R 容量 : インダクタ : d d G d D: 微分項 P: 比例項 : 積分項 d d G ( A G 複素数は電気回路の基本 d d G ( G 4 A A

25 4/4/3 なぜ複素数で電気信号を表すのか? 5 実数だけを用いると, 振動現象の背後にある電気エネルギーと磁気エネルギーの交換を表せない複素数を用いることにより, 総エネルギー量 ( 絶対値と電気エネルギーと磁気エネルギーの比率 ( 位相が表現でき, 振動の本質を表すことができる電流 cos sin sin 電流 : 電圧 : cos 電圧電圧と電流容量 : 電気エネルギーインダクタ : 磁気エネルギー

26 4/4/3 超高速無線通信 6 複素数は電気電子工学, 特に通信や信号処理の基本であるここでは, 高周波信号に情報を載せる変調技術への応用を示す関数の直交性から信号を複素数で捉え, 同一周波数でつの独立した ( 複素情報をおくることができるため, 古典的な変調技術に比べ, 同一帯域で倍の情報を送ることができる研究室ではこの技術を用いて,8Gbps の世界最高速無線通信が可能な 6GHz 帯無線トランシーバー集積回路を開発した

27 3//5 A. Masuzawa, Tokyo Tch. 6GHz MOS トランシーバーの開発 7 研究室で開発した, 超高速無線伝送用集積回路 K. Okada and A. Masuzawa, al., SS

28 3.8. Tokyo Tch アンテナ内蔵パッケージと電波の放出 8

29 3//5 A. Masuzawa, Tokyo Tch. 性能測定系 9 BB chip RF chip wih 6dBi annna [3] BB chip BB board onrol (FPGA Powr supply BB PHY RF board /Q Tx mod RF board /Q Absorbr Rx mod RF board /Q RF board /Q BB board Powr supply BB PHY onrol (FPGA onrol signals onrol signals apop P apop P

30 4/4/3 超高速無線通信 3 世界最高速の 8Gbps 無線通信を実現超高速無線通信ではダントツの世界一 Daa ra [Gb/s] 松澤岡田研の成果 UB Univ. of Torono SiBam ME UB Broadcom NE EA-ET Panasonic Toshiba Toshiba

31 3//5 A. Masuzawa, Tokyo Tch. 研究室の高周波特性評価装置 3 GHz までの最新の高周波評価装置が揃っている

32 3/3/ トランシーバー開発メンバー 3 修士学生が中心の開発メンバー若い力が未来をつくる年月

33 4/4/3 変調技術 33 高周波信号どのようにして無線信号に情報を載せるか? これらの古典的な変調方法は効率が悪い! y ( A( cos ( ( ( 振幅変調 : A( ( 周波数変調 : ω( (3 位相変調 :θ( 正弦波の 3 つのパラメータをデータに応じて変化させれば良い ( 振幅変調 ; AM (Ampliud modulaion ( 周波数変調 ; FM (Frquncy modulaion (3 位相変調 ; PM (Phas modulaion

34 直交という概念 34 関数の直交性つの関数 f(x, g(x が区間 α から β において f ( x g( x dx となる関数は互いに直交している関数である例えば cos x 複素数の直交性と cos x sin xdx sinx sinx は区間 -π から +π において複素数の実部と虚部は独立しており, 直交性を有する z z a b a b z であるので直交している a a b z b 3 A. Masuzawa 34

35 直交変調 35 sin 波と cos 波は直交しているため同一周波数でもつの独立した情報が送れる変調復調 D a D b cos c sin c 送信波フィルタ後元のデータが再現できる 3 A. Masuzawa 35

36 複素変調 ( 直交変調 36 QAM( Quadraur Ampliud Modulaion 位相と振幅の両方に情報を有し狭帯域でも多くの情報を送れる複素数としての取り扱いが可能である ( 虚数 b ( A( ( 極形式 ( 直交加算 y( A( ( y( a( cos b( sin ( ( ( ( ( ( ( a ( ( 実数 cos 波と sin 波を重みを付けて加えることで, 複素形式となる A ( a( b( ( ( ( ( ( an b a 3 A. Masuzawa 36

37 超高速無線通信機の構成 37 直交発振器とミキサを用いることで複素変復調が可能になるこの技術で通信速度を上げた a( cos b( sin c A( cos c ( c a( cos 送信機電力増幅器受信機 c b( sin c 直交ミキサ ( 乗算器 cos c sin c cos c フィルタ発振器フィルタフィルタ a( 直交発振器 b( a( 発振器低雑音増幅器 sin c フィルタ b( 4/4/3

38 4/4/3 複素平面で考えよう 38 次元の価値観勝ち組, 負け組お金複素平面の価値観人間性高い偏差値偏差値低い高い低い高い低い

39 4/4/3 複素の価値で考えると 39 情報 ( ソフトウエアエンターテインメント電気電子 ( ハードウエアエネルギー

例 e 指数関数的に減衰する信号を h( a < + a a すると, それらのラプラス変換は, H ( ) { e } e インパルス応答が h( a < ( ただし a >, U( ) { } となるシステムにステップ信号 ( y( のラプラス変換 Y () は, Y ( ) H ( ) X (

例 e 指数関数的に減衰する信号を h( a < + a a すると, それらのラプラス変換は, H ( ) { e } e インパルス応答が h( a < ( ただし a >, U( ) { } となるシステムにステップ信号 ( y( のラプラス変換 Y () は, Y ( ) H ( ) X ( 第週ラプラス変換教科書 p.34~ 目標ラプラス変換の定義と意味を理解するフーリエ変換や Z 変換と並ぶ信号解析やシステム設計における重要なツールラプラス変換は波動現象や電気回路など様々な分野で微分方程式を解くために利用されてきたラプラス変換を用いることで微分方程式は代数方程式に変換されるまた工学上使われる主要な関数のラプラス変換は簡単な形の関数で表されるのでこれをラプラス変換表