レッド・ゲート演習

Transcription

1 力学 電磁気学 熱力学 波動 Lv 赤門をくぐる前にやっておくべき課題 レッド ゲート演習 見たことない現象でもびっくりしない柔軟な力を 問題の誘導に乗れる, 空気の読める物理頭に 難問過ぎない問題を確実にこなすための 1 題 最高のパフォーマンスを発揮したいあなたに つばさを授けて欲しいあなたに 同じレッドなら, レッドな門をくぐりたいあなたにも なぜか赤壁の戦いを思い出しているあなたにも

2 はしがき 三宅唯学生の要望で最後の演習課題を作成したが, すでに他の演習課題で近年の良難問を使い果たした感があり, 問題選定に苦労した. 特に東京大学を意識し, 東京大学の過去問からの出題は避けた. 過去問によって, 東京大学の出題の特徴をしっかり掴みつつ, チャレンジして欲しい題材である. 一部を除き, 収録のほとんどの問題は煩雑な計算を要さない. 現象をしっかりイメージして, 計算などせずとも, 現象外観を感じられるように物理の感性を高めておくこと. 計算も重要だが, 感じる力がなくては, それが正しいか思考実験で検証することすらできない. サイエンスを切り開く, 未来を拓く人は感じなければならない.

3 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 01 円板の偏心回転モデルとピストンの安定 from 滋賀医科大学 007 前期 以下の設問に答え, 文中のの中に入る適当な式を記入せよ. Ⅰ 図 1 のように, 水平な板の上に質量 m の物体が置かれ, 板が水平を保ったまま鉛直方向に運動する. 鉛直上方を z 軸の正方向とし, また重力加速度の大きさを g として以下の問に答えよ. (1) 大きさ a で鉛直下向きの一定の加速度をもって板が下方に 動くとき, 物体が板から離れないための条件を運動方程式か ら求めよ. () 物体が板から離れず板といっしょに動くように, 板を振動させる. 時刻 t での物体の位置座標 ( 位置 ) が振幅 A, 角振動数 ω を用いて z= Asinωt で表されるとき, 運動エネルギーと重力による位置エネルギーの和である物体の力学的エネルギーは E= アとなる. 角振動数 ω が十分小さい場合を考えると, 力学的エネルギーが 最大となるときの物体の位置は z= イ であり, このときの E の値は E= ウ であることが分かる. なお, 位置エネルギーは時刻 t= 0 での物体の位置 z= 0 を基準 とする. 3

4 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Ⅱ 図 のように, 半径 r の円板の上に板 A がある. 別の板 B が板 A とともに棒に水平に固定され, さらに板 B の上に質量 m の物体が置かれている. 棒は固定枠に沿って鉛直方向に滑らかに動き, また つの板は棒と一体となって上下に動き固定枠と衝突しないものとする. なお, 鉛直上方を z 軸の正方向とし, また重力加速度の大きさを g とする. 円板をその中心 O から距離 b だけ離れた点 P のまわりに鉛直面内で一定の角速度 ω で回転させるとき, 円板の回転運動は板の上下運動に変換される. ただし, 運動中に板 A は円板から離れない仕組みになっているものとする. (1) 板 A はどのような上下運動をするのか, 理由と共に述べよ. () 時刻 t= 0 において点 O が, 回転の中心 ( 点 P ) と同じ高さにあるとする. そして, このときの物体の位置をz= 0 とする. 図 のように, 円板をこの状態から一定の角 速度 ω で左回りに回転させると, 板 B は板 A とともに鉛直上方に動き出す. 角速度 ω が小さい場合, 物体は板 B と一体となって動くが,ω の値がエより大きい場合 には, ある時刻に物体は板 B から離れる. この場合, 板 B から離れる時刻を T とする と, このときの物体の速度は v= 1 オであり, 加速度は a= 1 カである. そ の後, 物体は重力だけの作用による運動をする. 時刻 T での物体の位置をz 1 として, 物体が再び板 B と接触する以前の時刻 T + t における物体の速度は v 1 と t を用いて v = キと表され, 物体の位置はz 1, v 1 と t を用いて z = クと表される. 4

5 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 0 回転するリングに通した物体 from 首都大学東京 008 後期 図 1 のように, 穴の空いた質量 m の小さな物体が, 鉛直面内におかれた半径 R の円形 のリングに通してあり, 物体はリングに沿って運動する. リングの中心を O, 物体の位 置を P, 鉛直線と OP のなす角度を θ, 重力加速度の大きさを g とする. ここで, 物体が 最下端にあるときをθ = 0 とする. Ⅰ リングは固定されており, リングと物体との間には摩擦がなく, 物体はリングに沿 って自由に動くことができるものとする. いま, θ = 0 の位置を物体が通過したときの 速さが v 0 であったとする. (1) 物体がθ= θ1 の位置に達したとき, 物体の速さを求めなさい. () 物体がθ= θ1 の位置に達したとき, 物体がリングから受ける垂直抗力を, 重力, 及び遠心力を考慮して求めなさい. ただし, P から O に向かう向きを正として符号を含めて答えなさい. (3) v 0 の大きさによっては, リングから受ける垂直抗力の大きさがゼロになる点が現れ る. そのような点が存在するために必要な v 0 の値の範囲を求めなさい. 5

6 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Ⅱ 次に, 図 のように, 点 O を通り紙面に垂直な軸のまわりに鉛直面内でリングを回転できるようにする. リングと物体との間には, 各位置での垂直抗力に比例する摩擦力が働くものとし, 静止摩擦係数, 動摩擦係数をそれぞれ µ,µ とする. 物体に働く遠心力は無視できるものとする. (1) 物体をθ = 0 の位置におき, リングをゆっくり回していったところ, 物体は滑るこ となくリングに乗って動いたのち, ある角度 θ= θ に達したところで滑り出した. tanθ を求めなさい. () 次に, 回転しつづけるリングに対して, 物体をθ= θ3 の角度の位置で静かに放したところ, 物体はリングに対して滑りながらもθ= θ3 の角度を保った. tanθ 3 を求めな π さい. ただし, 0< θ3< とする. (3) リングを回転させながら, 前問 () で求めたθ 3 の位置から θ の角度だけわずかにず らした位置, すなわち, θ 3 + θ の角度の位置で静かに物体を放した. 放した直後の 物体に働く力のリングに沿った接線方向成分の大きさを求めなさい. 解答にはθ 3 を用 いてもよい. (4) その後, 物体はθ 3 の位置を中心にして単振動を始めた. 三角関数の加法公式と, θ が微小角度のときの近似式 sin θ θ,cos θ 1を用いて, このときの単振動の周 期を求めなさい. ただし, リングの回転速度は十分大きく, 単振動の最中, 物体はつ ねにリングに対して滑り続けるものとする. 解答にはθ 3 を用いてもよい. 6

7 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 03 水平レールに取り付けられた振り子の運動 from 名古屋工業大学 001 前期 図 1 に示すように, 質量 M の台車 B が水平にとりつけられたレールにそって摩擦な B しに移動できるようになっている. 台車 B の重心の位置 P を支点として棒がとりつけら れており, その棒の先に質量 M A ( M A< M B) の小さいおもり A がついている. 支点 P か らおもり A までの長さは R である. 棒は支点 P を中心になめらかに回転するようになっ ており, おもり A の大きさおよび棒の質量は無視できるものとする. x 座標は図に示す ようにとるものとする. 初期状態では, 図 1 に示すように台車 B の重心の位置は x = 0 に あり, 棒は水平に支えられ, おもりも台車も静止しているものとする. このとき重力加 速度を g として以下の設問に答えよ. また, 解答は特にことわらない限り M, M,g, R および以下の設問にでてくる M の中から必要なものを用いて表せ. C A B まず台車 B を水平方向に動かないようにして, おもりの支えを解放した. (1) おもり A が最下点に達したとき, おもり A の速度の x 成分 V 0 を求めよ. 7

8 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 つぎに, 台車 B を水平方向に自由に動けるようにして, 上と同じ初期状態からおもり の支えを解放した. 今度はおもり A が落下すると同時に台車 B も水平方向に運動を始め る. 図 を参考にして以下の問に答えよ. () おもり A が最下点 Q に達したとき, おもり A の速度の x 成分 V1 と台車 B の速度の x 成分 V を求めよ. (3) おもり A と台車 B を一つの物体と見なすと, この物体には水平方向の外力が働いて いないので, 両者の運動にもかかわらず, その重心の位置は水平方向には変化しない. このことを用いて, おもり A が最下点に達する点 Q の x 座標を求めよ. 8

9 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv 前問で求めた水平な床上の点 Q に, 図 に示すように質量 M の小さい物体 C をおい ておもり A と衝突させる. ただし, 物体 C を質点と見なせるものとし, おもり A と物体 C は完全弾性衝突をするものとする. C (4) 衝突直後のおもり A, 台車 B, 物体 C の速度の x 成分をそれぞれV 3, V 4, V 5 とす る. おもり A, 台車 B および物体 C を一つの物体とみなすとき, この物体には水平方 向には外力が働いていない. このことを使って, この物体に関する運動量保存則とエ ネルギー保存則を M A, M B, M C,g,R, V 3, V 4 およびV 5 を用いて表せ. ただし, おもり A と床との間や物体 C と床との間に摩擦はないものとせよ. (5) 衝突直後にV 3 = 0 となった. このときの物体 C の質量 M を求めよ. C V 3= 0 となっても台車 B の運動のために, おもり A はこの後台車 B に対して振り子の ようにゆれる運動を続ける. この運動によっておもり A が到達する高さを求める. (6) おもり A が最高点に達するとき, おもり A と台車 B の速度の x 成分は等しくなる. そのときのおもり A の速度の x 成分 V 6 を求めよ. (7) おもり A と物体 C の衝突直後, また, おもり A が最高点に達するとき, これら二つ の瞬間のおもり A と台車 B の運動エネルギーの和をそれぞれ E 1, E とする. このと き E= E E1 を求めよ. (8) 前問の結果を用いて, おもり A が到達する高さ h を求めよ. ただし,h は最下点 Q よ りはかるものとする. 9

10 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 10

11 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 04 アメリカン クラッカー from 首都大学東京 007 前期 図 1 のように, 長さ L の糸で原点 O につながれた二つの小球 a と b が,x 軸と y 軸を含 む鉛直平面内を運動する. 二つの小球を点 A ( y= L) で静止させた後, 互いに逆方向に 初速度 v0 で運動させ, その後, 点 C で衝突させたい. 二つの小球の大きさは無視でき, 質量は共に m である. 糸は伸び縮みせず, その質量は無視できる. 重力加速度の大きさ を g とし, 空気抵抗は考えない. まず, 二つの小球が点 C で弾性衝突する場合を考える. (1) 小球 a が座標 ( x, y) にあるときの速さを v として, 小球 a の力学的エネルギーを v 0 を使わずに書き表しなさい. 位置エネルギーの基準点を点 A にとるものとする. () 二つの小球が点 C で衝突する時, 衝突直前の小球 a の速さ v C を v 0 を用いて書き表し なさい. (3) 小球が点 C にある時, 糸にはたらく張力 T の大きさを v 0 を用いて書き表しなさい. この結果を利用して, 糸がたるむことなく小球 a が点 C に到達するための v 0 の条件を 求めなさい. 11

12 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 (4) 二つの小球は点 C と点 A で弾性衝突しながら, 周期的な運動を繰り返した. 点 A で衝突した時刻を基準とし, 小球の y 座標の時間変化を測定してグラフに表した. この小球の運動を表しているものとして最も適切なものを, 図 のア~オの 5 つの曲線の中から選び, 記号で答えなさい. 次に, 二つの小球が反発係数 e ( 0< e< 1) の非弾性衝突をする場合を考える. 二つの 小球は, 点 C において, それぞれ v C の速さで互いに衝突した. 衝突直後, 糸の張力はゼ ロとなり, 二つの小球の軌道は, 半径 L の円周上から外れた. (5) 点 C で衝突した時刻を t= 0 とする. 小球 a が円周上から外れた運動をしている時の 位置を, x 成分と y 成分に分けて, 時間 t の関数として書き表しなさい. (6) 点 C での衝突の後, 小球 a は円周上を運動することなく点 B に達した.g,L, v C を 用いて反発係数 e を書き表しなさい. 1

13 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 05 斜面上の円錐振り子と軸における糸の巻取り from 東北大学 007 後期 厚みが一様で平らな底板を持つ箱を用意し, その底板上の点 O に回転軸を垂直に立てる. この軸上の点 O に長さl の糸を固定し, 糸の反対の端に質量 m の小球を取り付ける. 小球が, 糸をたるませず底板上から浮き上がらずに, 軸の回りを回転する運動について考える. ただし, 小球と底板の間に摩擦は無く, 軸の質量は無視でき, 軸はぶれずに摩擦無く回転するものとする. また, 糸は伸び縮みせず, 糸の太さおよび質量, 小球の大きさ, 空気の抵抗は無視できるものとする. 重力加速度の大きさを g とする. 以下の問いに答えよ. (1) はじめに, 図 1 のように, 箱を水平面上に固定した. 小球を, 糸がたるまないよう に底板上に置いた位置を X とする. ここでは, 軸の太さは無視する. 糸の長さは OX = l で, 糸と軸のなす角 XOO は θ ( 0 < θ < 90 ) であった. 小球に対して, 三角 形 OXO を含む平面 ( 以下 OXO 平面とよぶ ) と垂直な方向に初速 v0 ( v 0 > 0) を与えた ところ, 小球は底板上で O を中心として軸とともに円運動を始めた. 小球が浮き上が らずに円運動するためには, 初速 v0 は v max 以下でなければならない. v max を,m,g, l,θ の中から必要なものを用いて表せ. 13

14 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 () こんどは, 図 のように, 箱を傾斜角 α 傾けて固定した. その際, 静止した小球の位置を X とする. ここでも, 軸の太さは無視する. 糸と軸のなす角をθ とする. 位置 X で,OXO 平面と垂直な方向に初速 V 0 ( V 0> 0) を与えたところ, 小球は底板上で O を中心として軸とともに円運動を始めた. (a) 運動を始めたのち, 小球が再び位置 X にきた. 底板 糸 小球を枠内に記入し, 小球とともに動く観測者の立場から, このときの小球にはたらくすべての力を, 矢印で図示せよ. また, それぞれの力の名称も記せ. (b) 小球が浮き上がらずに円運動するためには, 初速 V 0 はV い. V を, m, g, l,α,θ の中から必要なものを用いて表せ. max (c) 糸がたるまずに小球が円運動を続けるためには, 初速 V 0 はV max 以下でなければならな らない. V を, m, g, l,α,θ の中から必要なものを用いて表せ. min min 以上でなければな 14

15 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv (3) つぎに, 問 () と同様に小球が静止した位置を X とし, 図 3 のように, 変形しない棒を OXO 平面内で軸と垂直に取り付け, 軸が回転しないように, 軸の中心から距離 r の棒上の点を OXO 平面に垂直な力 F で支える. 小球に位置 X で, OXO 平面と垂直な方向に初速 V1 ( V 1 > 0) を与えたところ, 小球は底板上で O を中心とする回転運動を始めた. ここでは, 軸の半径を無視せずに d とする. 回転とともに糸は軸に巻き付き, 回転半径は徐々に小さくなる. この間, 糸と軸のなす角はθ に保たれ, 糸はたるまず, 小球は浮き上がらなかった. l 小球から軸と糸が接する点までの長さがになったときの一回転を考える. 棒の端 点を支える力 F の, この一回転中での最大値 Fmax を,m,g,l,α,θ,r,d, V 1 の中から必要なものを用いて表せ. ただし, d は l および小球の回転半径と比べて十分に小さく, 一回転する間の小球の回転半径の変化は無視できるものとする. 15

16 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 参考 :()(a) の解答欄 16

17 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 06 二重惑星と探査機の運動 from 名古屋大学 008 前期 Ⅰ 図 1 のように宇宙空間を進む探査機が, 点 P で探査機から n モルのアルゴンガス ( 単 原子分子気体,1モルの質量 M Ar ) を, 探査機の進行方向に瞬間的に噴射した. 探査機は 点 P で速さが v 0 から v 1 に減速され, その後, 星 1 のまわりを等速円運動した. ここで, アルゴンガス噴射前の探査機の質量 m は星 1 の質量 M1に比べじゅうぶんに小さいもの とする. また, 万有引力定数を G, 気体定数を R とし, 星 1 は静止しているものとする. 以下の問いに答えよ. (1) 探査機が星 1 のまわりを半径 h で等速円運動するための速さ v 1 を求めよ. () 噴射されたアルゴンガスの平均速度の大きさは, 星 1 から見て v であった. 探査機 の速さを v 0 から v 1 に減速するために噴射されるアルゴンガスのモル数 n を M Ar, m, v 0, v 1, v を用いて表せ. ただし, 噴射による探査機の質量変化も考慮せよ. (3) 絶対温度 T のアルゴンガスにおける気体分子の熱運動の 乗平均速度 v を M Ar, R, T を用いて表せ. 17

18 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Ⅱ 図 のように, 質量 M の星 と質量 M 3 の星 3 が, 点 A を中心に, 同じ角速度 ω で 等速円運動している. ここで, 星 と星 3 の距離をL, 点 A から星 までの距離をl と し, M > M 3 とする. また, 星 と星 3 以外の天体の影響は無視できるものとして以下 の問いに答えよ. (1) 星 と星 3 について, それぞれ遠心力と万有引力のつりあいの式を G, M, M 3, L, l,ω を用いて表せ. () 距離 l を M, M 3,L を用いて表し, 角速度 ω を G, M, M 3,L を用いて表せ. 18

19 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv 次に, 質量 m の探査機を操作し, 図 3 のように, 点 A と星 3 を結ぶ線分上に置き, 点 A を中心とする半径 x で, 星 と星 3 と同じ角速度 ω で等速円運動させた. ただし, 探査機の質量 m は星, 星 3 の質量に比べじゅうぶんに小さいものとし, 探査機の操作にともなう質量 m の変化は無視できるものとする. (3) 探査機に働く遠心力 F ω を m,ω,x を用いて表し, 探査機に働く万有引力の合力 FG を G, m, M, M 3,L, l, x を用いて表せ. 力の符号は点 A から星 3 への向き を正とする. (4) M = 4M 3 とするとき, 点 A と星 3 を結ぶ線分上では探査機に働く遠心力と万有引 3 力の合力 F= Fω+ FG がゼロとなる位置が 0 x < L の範囲には1つある. その位置 5 を求めるため, 合力 F を G,m, M 3,L,x を用いて表せ. さらに, F = 0 となる x が存在する範囲を次の ( ア )~( ウ ) の中から選び, その記号を記せ. ( ア ) 1 0 x < L ( イ ) 1 L x < L ( ウ ) L x < 3 L

20 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 0

21 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 07 弦を伝う波と連鎖小球の対応 from 北海道大学 000 前期 正弦波, 単振動, 円運動は互いに密接な関係がある. このことを利用して弦の運動を 考察し, 横波の伝わる速さを求めてみよう. Ⅰ 図 1 のように, x 軸上に張られた弦の上を伝わる横波を考える. この図は x 軸の正 の方向に進んでいる横波の時刻 t= 0 [s] における変位を y 方向に表したグラフである. この波が振幅 A [m], 波長 λ [m], 周期 T [s] の正弦波であるとすれば,t 秒後における位 置 x [m] での変位 y [m] は y= Asin( ア ) と表される. また, 波の伝わる速さ v [m/s] は, λ, T を用いて v= イと表すことができる. さて, 速さ v は弦の線密度 ρ [kg/m] と張力 S [N] で決まるが, これを求めるために, 弦を小さい部分に区切ってそれらの運動を考察する. 図 のように, 間隔 a [m] で並んだ 質量 m = ρa [kg] の小球のつらなり P 1, P, と考え, 隣接する小球は張力 S の軽いひもで つながっているとする. 振幅 A が λ に比べてじゅうぶん小さいときには, 小球は y 方向 のみに動くとしてよい. したがって, 上に述べた正弦波が弦を伝わるとき, それぞれの 小球は y 方向に角振動数 ω= ウ [rad/s] の単振動をしていることになる. ただし, 隣接する小球の振動には θ= エ [rad] の位相差がある. (1) 上の文章のの中に適切な数式を入れよ. 1

22 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 一方, 単振動をおこす復元力は両側のひもから受ける張力の合力である. 小球は y 方向にのみ動けるとしているから, 張力の y 成分を考えればよい. この力を調べるためひとつのひもに着目し, 図 3 のように, その向きが x 軸となす角度をϕ [rad] とする. 振幅が小さいときにはϕ はじゅうぶん小さく, ひもの張力 S は一 定としてよい. このとき, 張力の y 成分の大きさ S [N] はひもをはさむ つの小球の変 位の差 y [m] に比例していることがわかる. このように, 小球どうしはひもを通して互いに力を及ぼしあいながら, 横波を伝えている. () ひもの張力の y 成分の大きさ S y [N] が S y S y = y a と表されることを示せ. ただし, ϕ がじゅうぶん小さいときになりたつ近似式 sinϕ ϕ, tanϕ ϕ を用いてよい. 波は, 上で求めたような力を及ぼしあう小球 P 1, P, が, 同一の角振動数 ω で位相差 θ ずつずれた単振動をすることによって伝わるが, その速さを求めるためには,ω, θ, S,m の間の関係を知る必要がある. そこでつぎのステップでは, 単振動が等速円運動 を真横から見たものであることを利用し, これらの関係を調べてみよう.

23 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv Ⅱ 半径 A [m] の円周上に中心角 θ [rad] の間隔で並んだ小物体が一定の角速度 ω [rad/s] で回転していると考える. 図 4 のように, 小球 P 1, P, の変位の時間変化を, 対応する小物体 QQ 1,, の y 座標の時間変化と一致させるためには, A, θ,ω をⅠ と同じにすればよい. そこで, 以下ではしばらく単振動を離れ, この円運動の様子を調 べることにしよう. この等速円運動において, 小物体の質量をすべて M [kg] とし, 隣接する小物体が長さ l [m] の軽い糸でつながっていて, 一定の張力 S [N] で引きあっているとする. 小物体はこの糸の張力だけで等速円運動をすることができる. なぜなら, それぞれの小物体が両側の糸から受ける力の合力は円の中心を向き, その大きさ F [N] は一定であるからである ( 図 5). このとき, 角速度 ω は S, A, M, θ によって決まる. (1) F = S l であることを示せ. A () ω と S, A, M, θ の関係を求めよ. ただし, θ がじゅうぶん小さいとして l A θ を用いてよい. 3

24 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 最後に, この円運動を y 軸に射影して得られる単振動が, 糸の張力の y 成分に相当す る力を受けた運動であることに注意しよう. 図 6 からわかるように, ひとつの糸の張力 の y 成分の大きさ S [N] は, その両端の小物体の y 座標の差 y [m] と S,l を用いて y S y = オ y と表される. したがって,Ⅰ の場合と同様に, 張力の y 成分 S y は変位 の差 y に比例することがわかる. このことから, 小物体の等速円運動の y 軸への射影と,Ⅰ における小球の単振動とを, 完全に対応させることができる. とくに, 小物体の質量を M y y = m とし, 糸の張力 S を S = S がなりたつように設定すれば, 両者の運動方程式はまったく同じになる. その とき, 小物体の円運動でなりたつ設問 () の関係は, 小球の単振動の ω, θ,s,m の 間でもなりたつ. この関係式を弦の横波についての量 T, λ, ρ, S で表せば, 最終的 に周期 T と波長 λ の関係がわかり, 弦を伝わる横波の速さを ρ と S で表した式 v= カが得られる. (3) 上の文章のの中に適切な数式を入れ, 文章を完成させよ. 4

25 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 08 磁気双極子と永久磁石のモデル化 from 名古屋大学 001 前期 図 1 に示すように, 両端に N 極 ( + 極 ) と S 極 ( 極 ) を持つ棒磁石を分割すると, 各々 の両端には新たに N 極と S 極が生じる. この分割を繰り返すと, 原子の大きさ程度のミ クロな磁石に到達する. この 原子磁石 の由来を考える. 以下の問いに答えよ. (1) 図 1 の左端に示すような棒磁石の作る磁力線を, 向きが解るように描け. ただし, 棒磁石の外側の空間だけでよい. () 磁気量 ( 磁極の強さ ) が q m の N 極と q m のS 極とが図 のように 配置している場合を考える. 磁極間の距離を l としたとき M = q l m を磁気モーメントの大きさと呼ぶ. 両極の中心 O と q m の点 P ( 点 O からの距離は z ) における磁場の大きさH が M H= 3 πµ z と表せることを示せ. 0 を通る直線上 ただし, 磁気に関するクーロンの法則における比例定数 km は, 真空の透磁率 µ 0 を 用いて次のように表わされる. k m = 1 4πµ 0 また, l は z に比べて充分小さいとして次の近似公式を用いよ. 1 1 l ( 1 ) ( 複号同順 ) l ( ) z z z± 5

26 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 次に, 原子内の電子の運動を考えよう. 電子は図 3 に示すよ うな半径 r の円軌道上を運動するものとする. (3) 電子の速さを v, 電荷を e とするとき, 円形電流の大きさ I を求めよ. (4) 電子の運動の方向が図 3 に示すようであるとき, 円形電流 が作る磁力線を描け. (5) 円軌道面の中心 O から垂直上方に z だけ離れた点 P の磁場の大きさを測定したところ, 次の結果を得た. ただし, z は r に比べて充分大きいとする. r I H= 3 z これが, 点 O に配置された図 の磁気モーメントが作る磁場と等しいとき, 磁気モーメントの大きさ M をI を用いて表せ. ( この関係から, 磁石と円形電流は等価であり, ミクロな 原子磁石 の正体は電子の回転運動であることが推測される.) 原子内の電子の描く軌道を, 図 4 に示す点 O を中心とする半径 r の円形コイルに置き換えて考える. コイルの電気抵抗は無視できるとし, はじめコイルには正味の電流は流れていないとする. コイル面に垂直に磁場を徐々に加えていくとき, 以下の問いに答えよ. (6) 磁束密度の大きさ B が t の時間に B だけ増加したとき, コイルに生じる誘導起電力の大きさ V を求めよ. (7) 矢印の方向の磁場の大きさが増加していくとき, コイル上を流れる誘導電流の向き を図示せよ. (8) 誘導電流が作る磁場と等価な磁場を作るためには, 点 O に棒磁石をどの様に配置す 6

27 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv れば良いか図示せよ. ただし, コイルを流れる誘導電流の向きは (7) で求めた通りであるとし, 点 O と磁場を測定する点との距離は, コイルおよび棒磁石の大きさに比べて充分大きいとする. ( 磁場に対する誘導電流に等価な磁石の振る舞いは, ある種の原子内電子において実際に観測されている.) 参考 : 解答欄 (1) (4) (7) (8) 7

28 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 8

29 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 09 一様でない磁場中のリングの落下 from 東京工業大学 000 後期 図 1 に示すように つの磁極間の中心に原点をとり, 座標軸を定める. 磁束密度 B は x 軸の正方向を向き, その強さは z 軸に沿って図 に示すように直線的に変化し, 最大値 B 0, z z 0 でB= 0 であるとする. いま, 変形しない小さな円形金属リング ( 抵抗値 R, 直 径 a ) を z 軸に沿って自由落下させた. リングの直径 a はz 0 に比べて十分小さいとする. 空気抵抗, 地磁気, および自己誘導は無視できるとして以下の問いに答えよ. Ⅰ リングの面に垂直な方向が磁束の方向 (x 軸 ) と一致するようにリングをおく. つぎ に, リングを y 軸のまわりで θ だけ回転させ, 図 3 に示す方位に傾けて落下させた. (1) リングがθ ( 90 より小さい ) だけ傾いた状態で,z 軸上を z 0 < z< 0 の範囲で落下 している. そのときの誘導電流の向きを, 説明を付して解答欄の図に書け. () 生じた誘導電流によって, 落下中のリングには y 軸のまわりで回転させようとする 力が働く. 回転する向きを解答欄の図に矢印で示せ. また, その理由を説明せよ. Ⅱ ちょうどθ= 0 で落下させたとき, リングはその向きを変えようとする力を受けず に落下できる. 以下ではθ= 0 の場合のみ考える. リングが z ( z0 < z < 0) にあるとき の落下速度を v( z) とする. (1) リングに生じる誘導電流の向きを図示し, その大きさを求めよ. () このとき,A,B,C,D で示すリングの各部分 ( 同じ長さ ) にはどのような向きの力が働くか. 解答欄の図の一方, 必要なら両方の各部分に矢印で記入し, 理由を説明せよ. 各部分に働く力の大きさの違いがわずかでもある場合は, 大小, あるいは大中小の字を矢印に付してその違いを示せ. (3) () の結果によると, リングは全体として重力以外に小さいながらも力を受ける. 受 ける力の向きとその大きさ F を求めよ. 9

30 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 (4) リングが z ( 0 < z < z0 ) にあるときの落下速度も v( z) で表すことにする. この場合, (1),(),(3) の解答には変更される部分と変更されない部分がある. 変更される部分 を文章で記せ. D A C リング拡大図 B z 0 0 z x y 図 1 θ B x B 0 z 0 0 z 0 z y 図 z 図 3 30

31 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv 参考 : 解答欄 Ⅰ(1) () 1 Ⅱ(1) () 31

32 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 3

33 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 10 回転子と電磁誘導 from 東京工業大学 011 前期 単位長さあたりの抵抗が R で太さが無視できる針金を使って, 図 1(i) のような回路を 作る. 図 1(i) の回路は半径 a の円と長さ a の線分からなっていて, 円の中心を O, 直 径の両端を P,Q とする. 点 O を座標の原点, また回路を含む平面を xy 平面とし, そ れに垂直な向きをz 軸とする. ここで, 磁束密度 B= ( 0, 0, B) ( B> 0) の外部磁場を y 0 の領域のみに加える. 回路は xy 平面内で点 O を中心に自由に回転できるとする. 以下では回路自身の自己インダクタンスは無視する. 次の問に答えよ. Ⅰ (1) 図 1(ii) のように時刻 t= 0 では回路上の点 P が座標 ( a, 0, 0) にあったとして, 時刻 π t= 0 からこの回路を反時計回りに角速度 ω で回転させる. 時刻 t 0 < t < ω に OQ 間に発生する誘導起電力の大きさ E を求めよ. ただし針金の抵抗による電圧降下は E には含めないこと. 以下の解答では, B を用いずに,(1) で求めた E を用いよ. () 時刻 t 0 < t < π ω に, 回路を角速度 ω で回転させ続けるのには外から仕事をする必 要がある. その仕事は単位時間あたりいくらか.E,R,a,ω のうち必要なものを 用いて答えよ. 33

34 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Ⅱ 次に図 のように, この回路の直径 PQ と直交する方向の直径にも長さ a の同じ針 金を渡して, 点 O および両端で回路と接続する. この針金の端点を図 のように R,S と 名づける. (1) 図 のように時刻 t= 0 では回路上の点 P が座標 ( a, 0, 0) にあったとして, 時刻 t= 0 からこの回路を反時計回りに角速度 ω で回転させる. 点 P,Q, R,S, O で π の電位をそれぞれV P,V Q, V R, V S, V O とおく. 時刻 t が 0< t< の範囲のとき, ω これらの電位を大きい順に並べ, 大小関係が分かるように >,= を用いて書け.( 解 答例 : V P > VQ= V R = V S > V O など.) π () 時刻 0< t< に針金 OQ を O Q の向きに流れる電流 I O Q はいくらか.E,R, ω a,ω のうち必要なものを用いて答えよ. 34

35 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv Ⅲ 今度は図 1(i) の回路で, 図 3(i) のようにこの回路の中心 O に小さなコイルを挿入する. コイルを挿入する前後で, 直径 PQ 間の抵抗は変化していないものとする. また, コイルと図 1 の回路全体の相互インダクタンスも無視する. 外部磁場中でコイルが運動することによる電磁誘導は無視できるものとする. 次の問に答えよ. (1) 図 3(i) のように時刻 t= 0 では回路が静止していて点 P が座標 ( a, 0, 0) にあったと して, 時刻 t= 0 からこの回路を反時計回りに角速度 ω で回転させる. すると, コイ ルを P Q の向きに流れる電流 I P Q は図 3(ii) のように変化して, 一定値 I 0 に近づく. t= 0 でのグラフの接線が, I P Q= I 0 と交わる点での t の値を T とおく. このときコイ ルの自己インダクタンス L を E, R, a,ω, T のうち必要なものを用いて答えよ. () (1) でほぼ一定値 I 0 になった後しばらくすると, 電流 I P Q の符号が変化した. この変 化のグラフとして最も適切なものを図 4( ア )-( エ ) の中から一つ選び, 図中の時刻 t1 お よび t を E, R, a,ω, T のうち必要なものを用いて答えよ. なお図 4( イ )-( エ ) で は, グラフの接線も点線で図中にかきこまれており,( イ ) では t= t1,( エ ) では t= t, ( ウ ) では I P Q = 0 となる時刻における接線である. またこのグラフは模式図であり, 横 軸のスケールは正確ではない. 35

36 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 36

37 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 11 ねじれの熱サイクル from 東北大学 000 後期 密閉された1モルの単原子分子理想気体に対して, 図に示すような熱サイクル A B C D E C A を考える. ここに, 区間 A B は定圧変化, 区間 B C および区間 C D は定積変化, 区間 D E は定圧変化, 区間 E C および区間 C A は断熱変化であり, 定積変化する区間 B C D の体積 V は, V 1 V V 3 の範囲で任意に設定できるものとする. 気体定数を R とし, 以下の問いに答えよ. (1) 定圧変化 A B における気体の状態変化について考える. (a) A 点の状態における気体の温度を, P 1, V 1, R を用いて表せ. (b) 区間 A B における気体の内部エネルギーの変化を, P 1, V 1, V を用いて表せ. (c) 区間 A B において外部から気体に与えられる熱量を, 問 (1)(b) の結果を利用し て求め, P 1, V 1, V を用いて表せ. () 熱サイクル A B C D E C A は, 気体が高温熱源から熱を受け取る区間 A B と低温熱源から熱を受け取る区間 D E の両方を含んでいる. すなわち, 熱サイクル全体でみると, 気体が高温熱源から受け取る熱の一部が仕事に変換され, 低温熱源から熱を取り出すために使われると考えてよい. (a) 熱サイクル A B C D E C A により気体が外部にする仕事の総和 W がW 0 となるV の範囲を, P 1, P 3, V 1, V 3 を用いて表せ. (b) 問 ()(a) で求めたV の範囲において, 高温熱源から受け取る熱量 QH に対する低 QL 温熱源から受け取る熱量 QL の比 Q が最大となるとき, 高温熱源から熱として受 H け取るエネルギーが低温熱源から熱を取り出すために最も効率的に使われるといえ る. このときのV および W を求めよ. 37

38 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 38

39 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv invitation card 1 ピストンに隔たれた 気体を封入したシリンダーの回転 from 東京工業大学 007 前期 図 1 に示すように, 断面積 S [m ] の円筒状シリンダー密閉容器が, 滑らかに動く質量 m [kg] のピストンにより A 室と B 室に仕切られている.A 室と B 室にはそれぞれ気体を封入することができる. 両室の気密性は高く, 気体の漏れは無視できる. ピストンおよびシリンダーの側面と底面は熱を通さない. 一方, シリンダーの上面は熱を通す. シリンダー各室内では温度と圧力は常に均一である. 重力加速度を g [m/s ], シリンダーに 封入される理想気体の定積モル比熱をC [J/(mol K)], 気体定数を R [J/(mol K)] V とし, 以下の問いに答えよ. ただし, シリンダーに封入される理想気体の質量はピストンの質量に対し十分に小さく無視できる. 39

40 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Ⅰ まず, A 室のみに 1 モルの理想気体を封入したシリンダーを水平な床に垂直に立て た. B 室は真空である. ピストンはシリンダー上面から糸によりつるされた状態で静止 しており, このときの A 室内の気体の体積, 温度, 圧力は, それぞれ V 0 [m 3 ], T 0 [K], p 0 [Pa] であった. B 室の体積はV 0 [m 3 ] であった. この状態を初期状態と呼ぶ. (1) ピストンをつるしている糸を切断したところ, ピストンは気体の体積が V 0 [m 3 ] にな るまで下方に移動し, その後は上方に向かう運動に転じた. ピストンが最下点に達し たときの気体の温度を T 1 [K] とする. このときの気体の内部エネルギーの初期状態に 対する変化量 U1 [J] を T 1 [K], T 0 [K], C V [J/(mol K)] を用いて表せ. () ピストンが最下点に達したときのピストンの位置エネルギーの初期状態に対する変 化量 U P [J] をV 0 [m 3 ], m [kg], S [m ], g [m/s ] を用いて表せ. (3) 前問 (1) と () の結果を用いて T 1 [K] を求めよ. 40

41 東大対策課題 : レッド ゲート演習 Lv Ⅱ 次に, B 室にも A 室と同じ理想気体を 1 モル封入した. このシリンダーを, 図 に 示すように, 水平面内で回転できる円盤上に固定した. シリンダーの中心軸は円盤の回 転軸に直交し,A 室が円盤の外側を向いている.B 室側のシリンダー端面には熱源を接 続し, B 室の気体が圧力を常に一定に保ちながら状態変化するように熱を供給する. 円 盤が静止しているときの A 室の気体の体積, 温度, 圧力は, それぞれ V 0 [m 3 ], T 0 [K], T p 0 [Pa] であり,B 室の気体の体積, 温度, 圧力は, それぞれV 0 [m 3 ], 0 [K], p 0 [Pa] であった. この状態を状態 1 と呼ぶ. 円盤を静かに回転させ始めたところ, ピストンは 静かに動き始め, その後, 円盤の回転角速度を徐々に増し, ある回転角速度に達した後 は等速回転させた. このとき, ピストンは A 室と B 室の気体の体積が, それぞれ V 0 [m 3 ], V 0 [m 3 ] となる位置で静止していた. これを状態 と呼ぶ. この A 室と B 室の気体の状 態変化をシリンダーとともに回転する観測者が見るとして, 以下の問いに答えよ. 41

42 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習 (1) A 室と B 室の気体の状態変化の概略を, それぞれ以下の p -V 図上に描け.A 室と B 室の状態 1, をそれぞれ A1,A,B1,B として図中に示し, 各状態における圧 力と体積を明記すること. ただし, A 室の気体の状態 における圧力としてp [Pa] T を用いてよい. なお, 以下の図には,1モルの理想気体の温度 T 0 [K], 0 [K] にお ける等温変化の曲線が記入されている. これらの曲線との関係も考慮して記入するこ と. さらに, 円盤の回転によりピストンにはたらく遠心力が A 室の気体にした仕事に 対応する領域を斜線で示せ. () ピストンにはたらく遠心力が A 室の気体にした仕事 W C [J] を求めよ. ただし,Ⅰ の結果を用いてもよい. 参考 :Ⅱ(1) の解答欄 p T0 T 0 O V 4

43 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv レッド ゲート 解答案 留意点 答えを追うだけでなく, 出題の現象の隅々まで晴れ渡るように, 最後まで考え切ること invitation card 01 円板の偏心回転モデルとピストンの安定 Botxfs! Ⅰ(1) 板からの垂直抗力の大きさを N とし, 物体の運動方程式は よって垂直抗力は ma= mg N N= m( g a) 物体が板から離れないから, 求める条件は N mg a () ア : 1 ma ω cos ω t mgasin ω t N 0 a g + イ : g ω ウ : m g ω + A ω 参考 z 軸正方向の物体の速度を v とすると, z = Asinωt v = dz dt = Aω cosωt よって, 物体の力学的エネルギーは 1 1 E= mv + mgz= ma ω cos ωt+ mgasinωt 設問はE の最大とそのときの z の値を問うている. そこで,E を z の関数として表すこ z とにしよう. cos ωt = 1 sin ωt = 1 A, E = m ( ) g g ω z + gz + A ω = ω z A ω + + ω ω g よって, z = のとき, E は最大値, E ω m g ω をとる. = + A ω Ⅱ(1) 点 O は点 P まわりの等速円運動をするから, z 軸方向への点 O の射影運動は単振 動である. また, 板 A と点 O の高低差は常に r であるから, 板 A の上下運動は単振 動である. () エ : g b オ : b ω g カ : g キ : v 1 gt ω 43

44 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 1 ク : z1+ v1t gt 参考 角速度 ω は板 A の角振動数に等しい. また, 板 A の単振動の振幅は, 点 O の円運動の 半径 b に等しいから, 単振動の最大加速度はbω. 一体として動く場合は, これがⅠ(1) で求めた条件を満たすから, bω g ω g b よって b や ω が大きい程, 物体は板 B を離れやすいことがわかる. 物体の位置 z は z= bsinωt と表せる. 速度 v, および加速度 a は dz d z v= = bω cosωt, a = = bω sinωt dt dt t= T のとき, 物体が板 B を離れるならば, このとき, a= a1= g. よって g bω sinωt = g sinωt = bω また, このとき v= v1 だから, g v b T b b b ω g ω 1= ω cosω = ω 1 4 = ω 物体が板 B を離れてからの時間を t とする ( 設問での設定通り ) と, このときの物体の 速度 v, および位置 z は, 1 v= v1 gt, z = z1 + v1t gt 難度 :7 44

45 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 0 回転するリングに通した物体 Botxfs! Ⅰ(1) 求める速さを v 1 とすると, 力学的エネルギー保存則より 1 mv1 + mgr 1 cosθ 1 1 = mv0 v1 = v0 gr 1 cosθ1 ( ) ( ) () 求める垂直抗力を N とすると, 物体にはたらく向心方向の力 のつり合いより, 1 N= mgcosθ1+ m R v θ 1 N v 1 m R v0 = m mg R ( 3cosθ1) (3) cosθ1の値域, 1 cosθ1 0 ( 上半円 ) の間に, N= 0 なる点が存在すれば良い. v0 v0 gr N = 0 = ( 3cosθ1) g cosθ1 = R 3 v0 gr 1 cosθ gr v0 5gR 3 Ⅱ(1) θ= θ で静止摩擦力が最大値 µ N となるから, このときの物体 にはたらく力のつり合いより, N mg cosθ µ N mg sinθ =, = θ mg N µn tanθ = µ () θ= θ3 で動摩擦力 µ N により, 物体には力のつり合いが成立す mg るから, 前問と同様であり, tanθ 3 = µ (3) 物体は放した直後, 滑り降りる方向に求める合力 f を受ける. このとき, まだ物 体は静止しているから, 遠心力は作用せず, 向心方向には力のつり合いが成立する. よって, 垂直抗力の大きさN は N mgcos( θ3 θ) = +. 以上より, ( θ3 θ ) µ ( ( θ3 θ ) µ ( θ3 θ) ) f = mgsin + N = mg sin + cos + (4) 加法定理より, 前問の結果は 近似式より, f = mg{ sinθ 3 cos θ + cosθ 3 sin θ µ ( cosθ 3 cos θ sinθ3 sin θ) } 45

46 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 f = mg{ sinθ 3 + cosθ 3 θ µ ( cosθ 3 sinθ 3 θ) } tanθ 3 = µ より µ を消去すれば, mg mg f= θ= R θ cosθ 3 R cosθ 3 mg よって f は変位 R θ に比例する復元力であり, 復元力の係数 k は k = R cosθ だか 3 ら, 求める単振動の周期 T は m T= π = π k R cosθ 3 g 難度 :5 46

47 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 03 水平レールに取り付けられた振り子の運動 Botxfs! (1) おもり A の力学的エネルギー保存則より, 1 M AV 0 M AgR V 0 gr = = () おもり A と台車 B の力学的エネルギー保存則と水平方向の運動量保存則より 1 1 M AV1 + M BV = M AgR, M A V 1 + M B V = 0 M BgR V1= M + M V gr = M M ( M + M ) A B, A B A B (3) 重心の位置は変わらないから, 初期状態での重心を求める. M A ( R) + M B 0 M A x= = R M + M M + M A B A B (4) 運動量保存則 : 0= M AV 3+ M BV 4+ M CV5 式 エネルギ- 保存則 : M AgR= M AV3 + M BV 4 + M CV5 (5) 前問で A,B,C 全体での保存則を立式したが, 衝突前後では, 棒を介した A B 間 の水平方向の相互作用はない. よって, 衝突する A,C のみで弾性衝突をするとみな せる. 衝突前後での水平方向の運動量保存則より, 弾性衝突であるから ここでV 3 = 0 ならば, この 式から, M V+ M 0= M V + M V A 1 C A 3 C 5 V 0= V V 式 M C = M A (6) 式 1, 式 において, M C = M A, V 3 = 0 とすれば, 衝突直後の台車 B の速度 V 4 は V M M M gr A A B 4= V1= M B M B M A+ M B また, おもり A と台車 B の水平方向の運動量保存則より ( ) M V = M + M V B 4 A B 6 M M M gr V = = B A B 6 V 4 M A + M B M A + M B M A + M B 47

48 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 (7) おもり A と物体 C の衝突直後 1 1 E1 = M A 0 + M BV 4 = M A gr M + M A B おもり A が最高点に達するとき 1 E = ( M + M ) V = M M gr A B A B 6 E = E E = ( M A+ M B) M gr 3 A 1 ( M A + M B) (8) E はこの間に重力がした仕事 M Agh に等しいから, M R A A E = M gh h = ( M A + M B) 難度 :6 48

49 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 04 アメリカン クラッカー Botxfs! (1) 求める力学的エネルギー E は 1 ( ) E= mv + mg y+ L () 力学的エネルギー保存則より 1 1 mv0 = mvc + mgl vc = v0 4gL (3) 点 C における小球の向心方向の運動方程式は, v C v 0 m = T + mg T = m 5g L L 糸がたるまないのなら, T 0. よって, v 0 5gL (4) 上昇において, 過程 A B の方が過程 B C より小球は速い. よって, 時刻 T 0.5T = 4 のとき, y> 0 である. y また A,C での衝突前後において, 変わらず小球の鉛直方向の速度は 0 であるから, =± L でグラフの傾きは 0 であり, なめらかである. よって, 適切なのはイ. (5) x 方向には初速度 evc で等速運動であり, y 方向には初速度 0, 加速度 g の等加速 度運動である. よって, 求める位置は 1 x= evct, y= L gt (6) ( x, y) = ( L, 0) なる時刻 t= tb が存在するから, 1 1 gl L= evctb, 0 = L gtb e = v C 難度 :3 49

50 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 50

51 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 05 斜面上の円錐振り子と軸における糸の巻取り Botxfs! (1) v 0 v max = のとき, 底板からの抗力が 0 である. このとき, 糸の張力の大きさを T と し, 向心方向の運動方程式は 鉛直方向の力のつり合いは vmax m T sinθ lsinθ = T cosθ= mg 以上より T を消去して, v max = gl tanθ sinθ ()(a) 垂直抗力 遠心力 張力 重力 (b) V 0 V max = のとき, 位置 X での底板からの抗力が 0 である. このとき, 糸の張力の 大きさを T とすると, 前問の立場での小球にはたらく力のつり合いは V max 傾斜方向 : m mgsinα T sinθ lsinθ + = 傾斜面法線方向 : T cosθ= mg cosα 以上より T を消去して, V max= glsinθ( cosα tanθ sinα) (c) 最高点で糸の張力は最小となるから, V 0 = V min のとき, 最高点で糸の張力が 0 と なる. このとき, 最高点での小球の速さを v min り, 1 1 mv + mglsinθ sinα = mv min min 遠心力を評価し, 最高点での傾斜方向の力のつり合いは, vmin m mgsinα lsinθ = 以上より, v min を消去すれば, V min= 5glsinθ sinα とすると力学的エネルギー保存則よ 51

52 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 (3) F Fmax = となる小球の位置は, 糸の張力が最大となる最下点である. 最下点での小 球の速さ v 1 は, 力学的エネルギー保存則より 1 mv + 1 mglsinθ sinα= 1 mv 糸の張力の大きさを T max 1 1 として, 小球に対する斜面方向の力のつり合いは v1 m + mgsinα= T l sinθ max sinθ 以上より, v 1 を消去すれば, V1 gsinα Tmax = m l sin θ sinθ このとき, 軸の中心まわりの, モーメントのつり合いより, dsinθ ( r + d) F = d T sinθ F = T r + d md V 1 Fmax = gsinα r + d lsinθ max max max max 難度 :8 5

53 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 06 二重惑星と探査機の運動 Botxfs! Ⅰ(1) アルゴンガス噴射後の探査機の質量を m とすると向心方向の運動方程式は v GM m GM m h h h = v1 = () 噴射後の探査機の質量 m は, 噴射したアルゴンガス の総質量 nm Ar を除いた m = m nm Ar で表せる. 噴射前後の運動量保存則より ( ) mv = m nm v + nm v n = 0 Ar 1 Ar m( v0 v1) M ( v v ) Ar 1 (3) アボガドロ定数をN A とすると, アルゴン分子の質量は m 別解 1 3 R 3RT mar v = T v = N M A Ar Ar M Ar = だから, N 1 モルあたりのアルゴン分子の運動エネルギーの総和は,1 モルあたりの内部エネルギ 1 3 3RT ーに等しいから, M Ar v = RT v = M Ar 前 後 m A v 0 m nm Ar v1 v nm Ar Ⅱ(1) 星 について : M GM M L l, 星 3 について : M ( L l ) ω = 3 ω = () 前問 (1) より, 星 と星 3 の遠心力は等しいから M 3 M l ω = M 3( L l ) ω l = L M + M GM M L (1) の星 についての力のつり合いの式に代入し M GM M G( M + M ) M Lω = ω = 3 M + M 3 L L (3) 探査機にはたらく遠心力 F ω は Fω = mxω GM 3m GM m 万有引力の合力 FG は FG= ( L l x) ( l + x) L 5GM 3 (4) M = 4M 3 ならば () より, l =, ω= 3. これらをもって,(3) の結 5 L 果を書き換えれば, 53

54 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 5GM 3 5GM 3m Fω = mx 3 = 3 x L L GM 3m G 4M 3m 5GM 3m( 5x 9L)( 15x 7L) FG = = L L ( 5x 4L) ( 5x + L) L x x よって合力 F は x 5( 5x 9L)( 15x 7L) F = Fω + FG = 5GM 3m L 3 ( 5 x 4 L ) ( 5 x L ) + x x ( )( ) 5GM m x これを変形すれば, L L F = L L x x とできる. ( 5 4) ( 5 + 1) L L x FL u= とおき, f ( u) = で定めれば, 無次元量 u を用いて,F と等しい増 L 5GM m 3 参考 減をもつ, 無次元の関数 を見いだせる. f ( u) = u 5( 5u 9)( 15u 7) ( 5u 4) ( 5u+ 1) これを無次元化という. 無次元化は, コンピュータで近似的予測をする場合など, 具 体的な数値を代入する際に, 単位に気を配らなくて良くなるので, 理論系の物理学研究 室で好んで用いられる方法である. F= 0 のとき, f ( u= ) 0 である. 題意は解の配置問題であるから, 境界, L 3 1 x= 0, x=, x= L, x= L u= 0, u=, u =, u= における f ( u) の符号を考える. 5 ( 9) ( 7) ( 8) ( 4) f (0) = 0 < 0, f ( ) = < 0 ( 4) ( 3) 5 ( 7) ( 1) ( 6) f ( ) = < 0, f ( ) = > ( ) ( 1) 4 したがって F= 0 の解 x は L x < 3 L に存在する. 選択肢は ( ウ ). 5 5 難度 :

55 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 07 弦を伝う波と連鎖小球の対応 x Ⅰ(1) ア : π λ t T イ : T λ Botxfs! 参考 λ 図 1 の波形は, 振幅 A, 周期 λ の正弦波だから, y= sin x のグラフを x 軸方向に倍, π y 軸方向に A 倍すればよい. したがって, 図 1 の t= 0 の波形を示す方程式は π y= Asin x λ λ 時間 t で, この波は vt= t だけ x 軸正の向きに平行移動するから, T π λ x t y = A sin x t A sin π λ = T λ T ウ : π T エ : π a λ 参考 間隔 λ で位相が π だけ変化するから, x 軸方向の単位長さあたりの位相変化は π λ. したがって, 間隔 a での位相差 θ は θ= π a λ () 右に図に示すように, 張力の成分分解より, S = S sinϕ. y また, 幾何条件より,tan ϕ=. 近似式より,sin ϕ tanϕ. a y S y S ϕ 以上より, S y = S y a ϕ a y Ⅱ(1) 向心力 F は図に示す つの張力 S の合力と θ して, F = S sin と表せる. また, 幾何条 θ l 件より, sin =. 以上より, A θ S S A θ l 55

56 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 S l F = A () 与えられた近似式 l A θ より, 前問の向心力 F は S l F = S θ A 小物体の向心方向の運動方程式より, 求める関係は MAω = S θ (3) オ : S l カ : S ρ 参考 対応関係より, S S l A θ Sy = Sy y = y S = S = S l a a a これを用いて () の結果は A θ MAω = S θ = S θ Maω = S( θ) a π π と書き換えられる. 対応関係 M= m より,M = ρa. またω=, θ= a,v= T λ より, さらに書き換えれば S v= ρ λ T 難度 :7 56

57 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 08 磁気双極子と永久磁石のモデル化 () N 極 ( + qm ),S 極 ( qm ) が P につくる磁場の強さH +,H はそれぞれ, kmqm H = kmqm +, H = l z l z + 求める磁場 H はこの合成磁場だから k q k q H = H+ H = l z l z + 与えられた近似式より, k m 3 4πµ 0z H k q m m m m z z z z 1 l kmq m m m 1 l + 1 = 3 1 M = であり, M= qml だから, H= 3 となる. πµ z v (3) 電子の円運動の回転数は π r 間あたりの通過電気量だから, M (5) H= 3 と, H πµ 0z B (6) V= π r t r I 0 l Botxfs!.1 つあたりの電気量の大きさは e. 電流とは単位時 v ev I = e = π r π r = 3 を比較し, M z = πµ 0r I (1) (4) (7) 磁束密度 N S (8) 磁束密度 S 点 O N 難度 :5 57

58 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 参考 電気量 : Q 磁気量 ( 磁極の強さ ): M Q M 電気力線の本数 : N E = 磁力線の本数 : N M = ε µ N E 1 Q 電場 : E = 4π r = 磁場 4πε r : N M 1 M H = 4π r = 4πµ r 電気力 ( 静電気力 ): f E = qe 磁気力 ( 磁力 ): f M = mh こんなにも対称的に物理量を定め, 理論を用意したのに, 電場の起源となる 電荷 (electric monopole) に対応する, 磁場の起源となる 磁荷 (magnetic monopole) は存 在しない. 58

59 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 09 一定力とローレンツ力の同時作用 Botxfs! Ⅰ(1) 説明 :x 軸負の向きから正の向きにリング面を貫く磁束が増大するため, レンツの法則より,x 軸負の向きの磁場を作る方向に電流が誘導される.( 図は後にまとめてある ) () (1) で誘導された電流が磁場から力を受ける. その力は, 図 1 の A 点ではz 軸正の向き,C 点ではz 軸負の向きであり, リングは図のように回転する.( 図は後にまとめてある ) Ⅱ(1) ファラデーの電磁誘導の法則より, リングに生じる誘導起電力 V ( z) は, db db dz B V z S a a v z 0 ( ) = = π = π ( ) d t dz d t z0 オームの法則より, 求める電流 I( z) は RI( z) = V ( z) I( z) = π a B0v z Rz 0 ( ) ( 図は後にまとめてある ) () 説明 : z 0 < z< 0 では, 図 より,z が大きい程 ( 下である程 ), 強磁場であるた め.( 図は後にまとめてある ) (3) () より, F の向きは z 軸の負の方向である. リングにおいて, 単位時間にこの力のした仕事 Fv( z) は, リングの力学的エネル ギーを Fv( z ) 奪い, リングに流れる誘導電流によってジュール熱 RI( z) として失わ れている. エネルギー収支より, ( ) ( ) RI z = Fv z F = π a B v( z) 4 0 Rz0 (4) 変更される部分は以下の通り. (1) において : 誘導電流の向きを示す矢印が逆向きになる. () において : 力の向きを示す矢印が逆になり, 大小関係も逆となる. 参考 したがって, 電流が磁場から受ける力によって, リングが下向きに加速されることはない. 電磁誘導は調和現象の 1 つであるから当然の結果である. 59

60 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 z0< z< 0 の区間で, リングの各位置に内側に向かって力が働くのも, 0< z< z0 の区 間で, リングの各位置に外側に向かって力が働くのも, リングを貫く磁束を保持しよう とする空間の性質と言って良いだろう. Ⅰ(1) () 1 誘導電流 回転の向き Ⅱ(1) () 誘導電流 小 中 中 大 難度 :7 60

61 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 10 回転子と電磁誘導 Botxfs! Ⅰ(1) ファラデーの電磁誘導の法則より ds 1 1 E= B = B a ω= Ba ω dt () 求める外力の仕事率は, 抵抗での消費電力に等しい. 等価回路は右 π 図. 合成抵抗値は + ar だから, 消費電力は E E = π ( 4 + π) ar + ar π ar E ar πar Ⅱ(1) 対称性より, 図のように RP 間とQ S 間には電流は流れない. よって, V R = V P, VQ = VS. 誘導起電力は OQ 間, OS 間に生じるから, V > V > V V > V > V. 以上より, Q R O, S P O V = V > V = V > V Q S R P O π () 回路 OQR の合成抵抗値は + ar. よって π E + ari O E I O Q = Q = ( 4 + π) ar π ar Q R ar ar E π ar π ar O E ar ar S P π ar π Ⅲ(1) 設問 Ⅰ() の考察から, 回路の抵抗を抵抗値 + ar の1つ の抵抗としてまとめて扱う. すると本問の等価回路は右図. t= 0 においての回路方程式より, di I 0 E= L = L d t T 十分に時間が経過し, 電流が安定した後の回路方程式は, π E + ari 0 = E I 0 = ( 4 + π) ar + E π ar L 以上より, I 0 を消去し, L= 4+ π art 61

62 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 () ( イ ), t 1 参考 π =, t ω π = + ω T t= t 1 において, 回路が180 回転するので,PQ 間の誘導起電力 E が逆向き E になる. コイルは自らを流れる電流を保持しようとして, 自己誘導起電力をつくる. π di di t= t 1 直後の回路方程式 : E = + ari 0 + L L = E d t d t したがって, t= t1 直前で 0 だった自己誘導起電力が, t= t1 直後, E に瞬間的に変化 する. コイルの自己誘導起電力は, 電流変化率に比例するので, グラフの傾きは瞬間的 に変化することになり, グラフは t= t1 で折れる. その後, コイルの自己誘導起電力は 次第に小さくなり, 電流変化もゆっくりと収まっていくので, t= t 付近ではなめらか に連続でなくてはならない. π 安定状態での回路方程式 : E = + ari I = I 0 t= t 1 直後の回路方程式と ( イ ) のグラフから, I 0 ( I 0) L = E t t1 = T t t 1 難度 :7 6

63 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 11 ねじれの熱サイクル P V (1)(a) 状態方程式より, P1V 1 = RTA TA = R (b) 単原子分子理想気体であるから, 求める内部エネルギーの変化 U = R T T ( ) AB B A 状態方程式より, P 1 V = RT B, P 1 V 1 = RT A だから, 3 U AB= P1( V V1) (c) 区間 A B で気体が外部にする仕事 則より, 気体が外部から与えられる熱 Q WAB は, WAB P1( V V1) AB は 5 Q = U + W = P V V U AB は Botxfs! =. 熱力学第 1 法 ( ) AB AB AB 1 1 ()(a) 1 サイクルで気体の温度は元に戻るので,1 サイクルにおいて内部エネルギーの 変化はない. また,E A 過程は断熱過程であるから Q EA = 0. 熱力学第 1 法則よ り, Q = U + W W = Q + Q + Q cycle cycle cycle cycle AB BD DE 区間 A B と D E は定圧過程なので, 前問より, 5 5 QAB P1( V V1) Q = P V V =, DE 3( 3 ) 区間 B D は定積過程なので, 内部エネルギー変化のみであり, 3 QBD= U BD= ( P3 P1) V 以上より W = Q + Q + Q = P V V + P P V + P V V 1 = ( 5P1V 1+ P1V P3V + 5P3V 3) ( ) ( ) ( ) cycle AB BD DE Wcycle 0 だから, 5P V + P V P V + 5P V 0 V QL (b) 題意にしたがって比 Q を求めると, H 5 ( P1V 1 P3V 3) ( P1 P3) 63

64 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 V のみを変数と見れば, この比 ( ) ( ) Q Q P V V = = Q Q P V V L DE 3 3 H AB 1 1 したがって前問の条件を満たすV ならば, V QL Q は V ( V 1 < V < V 3 ) の単調減少関数である. H = 5 Q L Q が最大のとき, H ( P1V 1 P3V 3) ( P1 P3) このときの 1 サイクルの仕事は W = W cycle = 0 である. 難度 :6 64

65 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 Lv invitation card 1 ピストンに隔たれた 気体を封入したシリンダーの回転 Botxfs! Ⅰ(1) U1= C V( T1 T0) V 0 () U P= mg S (3) ピストンと気体の成す系のエネルギー保存則より, V mgv U1 + U P = 0 CV( T1 T0) mg = 0 T1 = T0 + S C S 参考 0 0 最高点と最下点でピストンは静止しているから, ピストンの失う力学的エネルギーは位置エネルギーのみである. このエネルギーが気体にした仕事に相当し, 気体の内部エネルギーを増加させる. V Ⅱ(1) B 室は接触させた熱源により定圧に保たれている. したがって定圧膨張.A 室は 熱を通さない壁面で構成されており, 熱の出入りはない. したがって断熱圧縮であ る. p p T0 T 0 A p0 B1 A1 B O V 0 V 0 V 遠心力が A 室の気体にした仕事は,A 室の気体がされた全体の仕事から,B 室の気 体がした仕事を引いたものである. したがって, 斜線部の通り. () A 室の気体において, 体積 V 0, 圧力 p0 の状態から体積 V 0 までの断熱圧縮過程は, 65

66 Lv 東大対策課題 : レッド ゲート演習解答 外界の状況は違えど, 設問 Ⅰ の断熱圧縮過程と等しい. したがって, この過程で A 室の気体がされた全体の仕事は,Ⅰ() より mg である. また, B 室の気体がし S た仕事は p 0 V 0. 以上より, 遠心力が A 室の気体にした仕事 W は V 0 C W C= V 0 mg p0s = mg p V = V S S 難度 :7 66