Taro-解答例NO3放物運動H16

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がんまさわまつ
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1 放物運動解答のポイント初速度, 水平との角度 θ で高さの所から投げあげるとき秒後の速度 =θ =θ - 秒後の位置 =θ 3 ( 水平飛行距離 ) =θ ( 高さ ) ~4 の導出は基本問題参照 ( 地上から投げた場合の図 : 教科書参照 ) 最高点の高さ最高点ではにおいて = 水平到達距離より最高点に到達する時刻を求め 4に代入すると最高点の高さH 地上では 4において = 地上につくときの時刻を求め 3に代入すると飛行距離 Rがでる ( のときは 4(の次方程式 ) を解の公式で解く ) 軌道の方程式は 3 4 から時刻を消去してとの関係式を求める 3 式からを求めそれを 4 式に代入する最高点飛行距離 ( 最高到達距離 ) 軌道の方程式は基本問題参照 - -

2 ( 基本問題 ) 質量 mのボールを高さのビルから初速度水平との角度 θの方向に投げ上げたこのとき水平方向鉛直方向の運動方程式をたて秒後の速度と位置を求めなさいただし水平方向に軸鉛直方向に軸を取り地上を原点とする ( 解答例 ) 図を書いて力を書き込み力の成分成分を求める働く力は F=( -m ) F= ( 力なし等速 ) F=-m ( 一定の力 ) 次元の直線運動ではないので方向それぞれについて運動方程式を立てる方向の加速度をa,aとして < 方向 > < 方向 > () 運動方程式 () 運動方程式 ma= ma=-m () 水平方向の加速度 () 鉛直方向の加速度 a = a=- ( 等加速度 ) 3 初速度水平との角度 θの方向に投げたときの秒後の速度を求める () 方向の初速度を求める図より方向の初速度方向の初速度 = θ = θ θ ()= o +aに前問 () および 3() を代入して秒後の速度を求める水平方向の速度鉛直方向 ( 上下方向 ) の速度 = +a = +a = θ = θ- 4 秒後の位置を求める高さの所から投げ上げたとすると = = よって秒後の水平距離はよって秒後の高さは ()=+ ()= + + / a = θ =+ θ - / - -

3 ( 基本問題 ) 高さのビルから初速度角度 θの方向に質量 mの物体を投げ上げた () 運動方程式 ma= a= ma=-m a=- () 物体の秒後の速度 () () および秒後の位置 () () ()= θ () ()= θ- () ()= θ (3) ()= + θ - / (4) (3) 物体の最高点の高さHとその時の時刻最高点では鉛直方向の速さがなので () より ()= θ-= = θ/ () その時の高さは秒後の高さを表す (4) に時刻の () 四季を大入して ()= + θ - / =+ θ/ - / ( θ/) =+ θ/ (4) 物体が地上に落下するときの時刻水平到達距離 R その時の速度 V V 地面に落ちるときは高さ= 解の公式よって (4) 式よりこの次方程式を解いて落下時間を求めるこの時解の公式を使う a +b+c= b b a 4 ( ) ( ) の解は 4ac 題意より > ( 平方根の前の符号が + のもの ) が解飛行距離 R は (3) にを代入して ( ) 速度は () () にを代入して V = ( )= θ 方向の力 =なので加速度つまり等速 ( 初速度を保つ ) - 3 -

4 V ( ) () 軌道の方程式は位置を表す (3) (4) 式より時刻を消去する (3) より ( ) これを (4) 式に代入してとの方程式にする an これは上に凸の放物線の方程式であり最高点は an an an よってこれは放物線 =- a( - b) +c の形をしているので最大値は =b のとき =c となるよって高さの最高点はのとき () 真上に投げるとき加速度 - の等加速度直線運動をするので ( ) ( ) () () ただし鉛直上向きを軸の正の向きとする - 4 -

5 (a) 自由落下なので = m/s かつはじめの高さ = を (),() に代入して秒後の速度および位置 ( 高さ ) は ( ) ( ) (3) (4) 地面に落ちたとき = なので (4) 式より.4( s) その時の速さは (3) 式より (.4).4 3.9( m / s) 着地時は下向きなので - 符号がつく (b) 下向きに m/s で投げるとき =- m/s を代入して ( ) ( ) 地上に落ちたとき = よりその速さは (.). 4.9( m / s).( s) (c) 真上に m/s で投げ上げるので = m/s ( ) ( ) 最高点では = よりこのときの高さは () に =/ を代入して地上に落ちたとき = より /.( s) ( / ).8. 3m ( s) その速さは (.).3 4.9( m / s) m/s で真下に投げる時と真上に投げあげる時とでは着地時の速度は同じ - -

6 () 高さの所から初速度角度 θ で投げ上げたとき秒後の速度は方向 ( ) 方向 ( ) 秒後の位置は方向 ( ) 3 方向 ( ) 4 () 題意より =,= = m/s θ= 3 よって秒後の速度は方向 () 3 3 方向 ( ) 秒後の位置は方向 ( ) 3 3 方向 ( ) 最高点では = より式を使って.( s) 最高点の高さはを 4 式に代入して ( m) 6 地上では=なので 4 式を使って 4.9.4( s) 飛行距離は 7 式を 3 に代入して ( ) ( m) 8 () 同じ速さで角度 6 で投げたとき秒後の速度は方向 ( ) 6 ( ) 方向 - 6 -

7 秒後の位置は方向 ( ) 3 方向 ( ) 最高点では = より式を使って最高点の高さはを 4 式に代入して 3.77( s) ( m ) 6 地上に着く時間は = より 4 式から ( ) / 4.9 ( 3 3.3( s) 4.9 ) 飛距離はこれを3 に代入して ( ) ( m) 角度 6 度で投げ上げたときの最高点の高さと飛距離は H=.3(m) R=3.3(m) 地上に着くまでの時間と最高点の高さは角度 3 で投げたときと異なるが飛距離は角度 3 の場合と 6 の場合は両方とも同じになる (3) 高さのある場所から投げ上げる問題 () 秒後の速度と位置の基礎式 ( ) ( ) ) ( ( ) に A B C 君の初期条件を入れていくはじめの高さは 3 つとも =. A 君 ( リンゴ ): 真下に落としたので初速度は o = これを代入してはじめの角度は θ=7 = 3 π/ ( ) ( ) ( 3 ( 3 / ) / ), - 7 -

8 ( ) ( ),. B 君 ( ボール ): 初速度は o =(m/s) これを代入して ( ) ( ) ( ) ( ) 水平に投げたので θ= 故に = =.().(),.., C 君 ( 石 ): 初速度は o =(m/s) 角度はθ=4 これを代入して ( ) ( / 4) 7. ( ) ( / 4) ( ) 7. ( ) / ()(a) はじめの高さをとすると秒後の高さは ( ) 地面に落ちるときは = よりこの次方程式を解いて落下時間を求めるこの時解の公式を使う解の公式 a +b+c= b b a の解は 4ac (a) 落下時間を求める地上に落ちた時の時間は = と置いて求めればよい A 君 : よって落下時間は A

9 B 君 : よって落下時間は B. C 君 : これはに対しての次方程式であるので解の公式を使う ( ) 4 ( ) C ( ) C >の解のみが適しているので C =.96(s) よって A,Bが. 秒後に同時に落ち Cは.96 秒後に落下する (b) 落下地点は () で求めたそれぞれの () に落下時間を代入して飛距離を求める代入して計算すると R R R A B C,.., よって C 君が一番遠くまで飛ぶ < 参考最高点までの時間と落下時間の関係について > C 君の投げた石が最高点に達するのは 4.7 一方落下するのに要する時間は C この両方を比べると =.96(s) 高さのある点から投げた時落下時間最高点までの時間つまり落下するまでの時間は最高点までの時間の倍とはならない次の図,はそれぞれ物体を地上から投げたときと高いところから投げたときの軌道の略図である図は地上から投げた場合で軌道は最高点で左右対称であり最高点までの時間の倍が落下時間になる図は高いところから投げた場合で左右非対称であり最高点までの時間の倍より落下時間が長くなる - 9 -

10 図地上からの投げ上げ (c= ) 図高所からの投げ上げ (c> ) (4) 弾丸の初速度をとする秒後の猿と弾丸の位置は猿 : = - () 弾丸 := α - () = α (3) 弾丸が水平距離だけ飛んだ時その時刻は (3) より = (4) α このとき猿と弾丸の高さの差は ()-() より Δ= - = - α α = - Δ= an α ここで an α= より = となり弾丸は猿に命中するまたその位置は (4) を () に代入して = - α - -

<4D F736F F D2089F082AF82E997CD8A7796E291E A282EB82A282EB82C8895E93AE2E646F63>

<4D F736F F D2089F082AF82E997CD8A7796E291E A282EB82A282EB82C8895E93AE2E646F63> いろいろな運動. 自由落下. 投げ上げ 3. 放物運動 4. 標的にボールを当てる 5. 斜面に向かって投げ上げる 6. ブレーキをかけた自動車 7. 摩擦のある斜面上を滑り落ちる物体 8. ばね振り子 ( 単振動 ) 9. 摩擦を受けるばね振り子. 補足 : 微分方程式の解き方自由落下質量の質点を高さ h の地点から初速で落とした. 鉛直上向きを軸正の向き, 地表を原点とし, 重力加速度の大きさを