第1章　序論

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1 第 章 応力とその性質. 応力.. 垂直応力とせん断応力物体が外力 (external force) を受けているとき, 物体内部では断面に内力 (internal force) が働き, その断面で分離しないように抵抗している. つまり内力は断面を結合する力である. 断面に垂直な内力が働く場合, その単位面積当たりの値を垂直応力 (normal stress) という. 例えば図 -(a) に示すように, 引張外力 P を受けて静止して釣り合っている棒を考える. このとき棒の任意の一部分も静止しており, したがって釣合い状態にあるから, 図の中段のように横断面に垂直な引張内力 T = P が作用することで釣合っている. 横断面 ( 面積 S) に働く垂直応力 が一様とすれば, その値は T / S ( P / S) (-) となる. 断面を引張る方向ならば引張応力 (tensile stress), 断面を押す方向ならば圧縮応力 (compressive stress) という. また, 図 -(b) のように断面に平行な内力が働く場合, その単位面積当たりの値をせん断応力 (shearing stress) という. 仮に図 -(b) でせん断応力が一様とすれば, その値は次式で与えられる. T / S ( P / S) (-) 以上は断面内で応力が一様の場合であるが, 一般に応力は位置によって変化し座標の関数となるため, 厳密には次項で述べるように断面上の微小領域に対して定義する... 応力の定義と表面力図 -(a) に示すように外力を受けている物体のある断面に, 図 (b) のような内力が働いている. この断面の応力は以下のように定義する. 断面上に微小面積要素 S をとり, この要素内に作用する内力をベクトルT で表す ( 図 -(c)). まず単位面積当たりの内力ベクトルT /S の極限 (S 0) である t を応力ベクトル (stress vector) という

2 t lim T / S (-) S 0 次に図 -(c) に示すように内力を垂直成分 T n と平行成分 T t とに分解する. 垂直応力 は単位面積当たりの垂直成分 T n の極限として以下で定義される. lim T / S (-4) S 0 n 一方, せん断応力 は単位面積当たりの内力の平行成分 T t として次式で定義される. lim T / S (-5) S 0 t 内力の断面平行成分によって発生するのは図 -(d) 右のようなせん断応力であり, 同図左の断面に平行な垂直応力ではないことに注意されたい. 断面に平行な引張 圧縮応力は断面の内力とは無関係である. 断面に対して内力と応力を定義したのと同様に, 物体表面の外力 P に対しては, 単位面積当たりの値 p lim P / S (-6) S 0 を表面力 (traction) という. 外力の表面垂直成分 P n と平行成分 P t に対して, 垂直表面力 p n とせん断表面力 p t は次のようになる. p lim P / S, p lim P / S (-7) n n t t S0 S0 外力 ( 表面力 ) と内力 ( 応力 ) の間には次のような大きな違いがある. (i) 外力や表面に作用する表面力は, 物体全体の力 モーメントの釣合いに寄与し, 物体全体に対して仕事を成す. (ii) 断面に作用する内力や応力は, 物体全体の力 モーメントの釣合いに無関係で ( その断面で分けられた物体の一部の釣合いには寄与する ), 物体全体に対して仕事を成さない. (ii) は次のように説明される. 断面で物体を仮想的に切断して考えると, 両側の切断面に作用する内力は必ず等大逆向きとなる. また同一点に作用するため変位は等しいので, 内力による仕事は打ち消しあう... 応力成分とその表記 応力は位置によって変わるだけでなく, 同じ位置でも断面の向きによって異なる値となる. 物体内に, x x x 直交座標軸に垂直な断面からなり, 限りなく点に近く内部で応力が一様と考えられる微小な直方体要 素を考える. この各断面には図 - に示す応力成分が作用する. 応力成分 ij の添字は次の意味をもつ. 一つ目の添字 i は, その応力成分が x i 軸に垂直な面に作用することを示す. 二つ目の添字 j は, その応力成分の方向を示す. i j となる,, は垂直応力であり, それぞれ x,x,x 方向のものである. 一方, i j となる ij は断面に平行なせん断応力である. 相対する面には同じ応力成分が逆向きにかかることを確認して欲しい. せん断応力の共役性として ( 微小要素においてモーメントが釣合う条件に相当 ) ij ji (-8) が常に成り立つ. したがって, ある位置に作用する独立な応力成分は,,, =, = およ び = の計 6 個である. 以下では式 (-8) の共役関係を特に断りなく用いる

3 材料力学などでは通常 xyz 座標を考え, 応力の添字としても x,y,z を用いていた. この表記と図 - の 表記の対応は表 - にまとめられる通りである...4 応力成分と応力ベクトルの関係図 -4(a), (b) のように, 前項と同様にとても微小な四面体 OABC に作用する応力を考える. 前項の図 - によれば, 面 OAB,OBC および OCA には図 (a) に示したような応力成分が作用する. このとき, 傾いた面 ABC( 外向き単位法線ベクトルは n) に作用する図 (b) の応力ベクトル t (t, t, t ) は以下のように導かれる. 四つの面の面積をそれぞれ ABC, OAB, OBC および OCA で表す. まず, 傾いた面 ABC に作用する x 軸方向の力は, 応力ベクトルの x 方向成分 t に作用面面積を乗じた t ABC で与えられる. 同じ要領で各面に作用する x 軸方向の力を考えると,x 軸方向の力の釣合いとして次式が成り立つ. t ABC OBC OCA OAB 同様に x 軸方向と x 軸方向の力の釣合いはそれぞれ t ABC t ABC OBC OBC OCA OCA OAB OAB ここで面 ABC の単位法線ベクトル n (n, n, n ) の成分を用いて, 各面の面積比は次のように表される. n OBC / ABC, n OCA / ABC, n OAB / ABC 以上の式から次の結果が得られる. t n n t t n n あるいは t n n (-9) t n sym. n j ij i ij i i これをコーシー (Cauchy) の関係という. また, 図 -4(b),(c) に示すように t と n との成す角度をとすれば, 垂直応力 とせん断応力 について以下の関係が成り立つ. t cos (-0) t (-) ここで t は応力ベクトル t の大きさである. 式 (-9)~(-) から, 応力ベクトル, および垂直応力とせん断応力の値は断面の方向 n によって変化することが解る.. 応力の座標変換 応力成分 ij は二階のテンソルである. したがって, 前章の式 (-) の座標変換式が成立する. x x x 直交座標系と, これを原点中心に回転した別の直交座標系 x x x を考える.x x x 座標で表した応力成分を ij, x x x 座標で表した応力成分を ij とする.x x x x x x の座標変換が x Q Q Q x x Q Q Q x あるいは xi Qipxp Qipxp ( i ~ ) (-) p x Q Q Q x - 7 -

4 で表される場合, 応力成分の座標変換は次のように与えられる. ( Q Q ) Q Q Q Q Q Q Q Q ij ip jq pq i j i j i j i j pq QQ i Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q i j i j i j i j i j Q Q Q Q ( Q Q Q Q ) j i j i j i j i j ( Q Q Q Q ) ( Q Q Q Q ) i j i j i j i j ここで 行目の式変形には式 (-8) の ij ji を用いた. 図 -5 に示すように,x 軸を中心に x x 軸を 回転した x x x 座標系の場合 (-) x cos x sin x 0 sin cos 0 0 x 0 x x であるから, 式 (-) を計算すると次の 結果を得る.(,, は材料力学の 教科書と同じ結果を与える ). 主応力 cos sin sin cos sin cos sin cos, sin cos, cos sin ( )sin cos (cos sin ) (-4).. 項や..4 項で述べたように, 同じ位置でも断面の方向に応じて応力の値は変化する. 図 -6(b) のよ うに, ある方向の断面ではせん断応力が 0 となり, このせん断応力が 0 の断面に作用する垂直応力を主応 力 (principal stress) という. また, この主応力の作用方向を主方向 (principal direction), 作用面を主面 (principal plane) という. 主応力は断面方向を変化させたときの垂直応力の極大値あるいは極小値となる. 図 -4(c) から解るように, せん断応力 が 0 となる断面において, 応力ベクトル t は断面に垂直, つまり 単位法線ベクトル n に平行 (cos=) であり, 係数 を用いて t=n と表すことができるから, 式 (-9) より n n n t n n n 0 (-5) n sym. n sym. n 上式において非 0 の n (n, n, n ) と が存在 する条件は sym. 0 つまり に関する次の三次方程式となる. ここで I I I 0 (-6) I (-7a) I ( ) (-7b) I (-7c) sym. 式 (-6) における三つの根が主応力であり, それぞれ,, で表す ( 垂直応力,, とは異なる ことに注意 ). なお, 三つの主応力それぞれに対応する三つの主方向は互いに直交する ( すなわち図 -6(b) - 8 -

5 のように三つの主面も互いに直交する ). 以上の導出過程から解るように, 主応力とそれに対応する主方向 n は, それぞれその点における応力状態,,, =, =, = に対する固有値と固有 ベクトルを意味する. 式 (-6) の係数 I,I,I は座標系の選び方に依存しない値であり ( 固有値は座標系の回転によって変化しな いので式 (-6) も変化しない ), 順に一次, 二次および三次の応力不変量 (stress invariant) という. したがっ て, これらの値は x x x 座標, x x x 座標, あるいは主方向に一致する座標系 ( この座標系で表すとせん断応力は 0) のどれを選んでも等しいことから, 式 (-7) は次のようにも書ける. I (-7a) ( ) I ( ) (-7b) I (-7c) sym. sym. 特に,x 軸方向が主方向の一つ, すなわち x 軸に垂直な面のせん断応力が 0( = =0, = =0) の とき,x x 面内の二次元応力状態という. このとき, 主応力の一つ は x 軸方向の垂直応力 = である. 残る二つの主応力は図 -7 に示 すように x x 面内にあり, 面内の垂直応力, とせん断応力 か ら次式で求めることができる. ( ) (-8).4 主せん断応力断面方向を変化させたときのせん断応力の極大値あるいは極小値を主せん断応力 (principal shearing stress) といい, 主応力とは次の関係にある.,, (-9) 主せん断応力の作用面は, 三つある主面のうち二つと 45 の角度で交わる ( 図 -8 は と の主面に対して 45 傾いた面の例 )..5 平衡方程式 力の釣合いが保たれている物体では, その中の任意の微小部分に対しても常に力の釣合いが成り立って いる. この釣合い式を平衡方程式 (equilibrium equation) という

6 物体内部において図 -9 のように, 一つの頂点 A の座標が (x, x, x ) であり, かつ辺長が dx dx dx の微小直方体要素 ( ここでは位置の変化による応力の変化を一次の微小項まで考慮する必要がある程度の寸法 ) を考え,x 軸方向の力の釣合いを導いてみる. 図の見易さのために,x 軸方向の力 ( 応力 ) だけを図 (a)~(d) に分けて示してある. まず図 (a) の場合, 面積 dx dx の直方体左側面に応力 が作用する. このとき x 軸方向に dx 離れた右 側面の応力は ( / x )dx となる ( 式 (-4a) 参照 ). 図 (b) の, 図 (c) の についても同様に考える. さらに図 (d) に示すように, 重力や慣性力のように質量に比例する力として, 単位体積当たりf の物体力 ( は材料の密度 ) が作用すると考える. 以上を合わせると x 軸方向の力の釣合いは dx dxdx dxdx dx dxdx dxdx x x dx dxdx dxd x fdx dxdx 0 f dxdx dx 0 x x x x x 軸方向と x 軸方向についても同様に考えると, 次のような応力の平衡方程式が得られる. 0, 0, 0 x x x x x x x x x f f f まとめて f f 0 ( i ~ ) ji ji i j xj xj i (-0) ここでf およびf は, それぞれ x 軸方向および x 軸方向の単位体積当たりの物体力である. なお式 (-8) のせん断応力の共役性を考慮すれば, 上式は次のように書いても同じである. 0, 0, 0 x x x x x x x x x f f f (-0).6 円柱座標系における応力成分と平衡方程式 図 -0(a) のような円柱座標系 rz の場合, 図 (b) のように垂直応力成分 rr,, zz, およびせん断応力成分 z = z, zr = rz, r =r が存在する. 図 -0(c) は,r 面内の応力成分だけを示したものである. r,,z 方向の単位体積当たりの物体力をそれぞれf r,f,f z とすると, 円柱座標系の平衡方程式は次のようになる ( 導出省略 ). rr r r r zr r rr r zr f r 0 r r z r z f 0 (-) r r z zr z zz f 0 z r r z - 0 -

7 図 -(a) は,. 節 ( 直交座標系の応力の座標変換 ) において図 -5 で示した,x 軸を中心に x x 軸を 回転した座標系における xx 面内の応力状態である. 一方, 図 -(b) は円柱座標系の r 面内の応力成分である. 両者の比較から, 円柱座標系の応力成分は式 (-4) で与えられる x x x 座標系の応力成分と等価であり, 式 (-4) で rr,, r, z, zr, zz と置き換えることで円柱 座標系の応力成分を直交座標系 x x x の応力成分で表すことができる. rr cos sin sin cos sin cos sin cos zz z sin cos cos sin zr r ( )sin cos (cos sin ) (-) 円柱座標系における主応力は, 直交座標系における式 (-6)~(-8) において,,,,,, をそれぞれ rr,, zz,z, zr, r で置き換えれば求められる. 特に図 -0(c) のような r 平面における二次元応力状態の場合, 面内の主応力は次式となる. ( ) rr rr r (-) 付録 6 ページの式 (-5) の直後で述べている 断面に平行な引張 圧縮応力は断面の内力とは無関係である の部分を具体例を挙げて説明する. 図 - のように,x 軸に垂直な微小断面を考え, この断面に平行な内力 T t (x 軸方向 ) が作用しているとしよう. この場合,T t によって発生する応力はせん断応力 = だけである. 上記表現は, 断面に平行 - -

8 な垂直応力 ( ここでは および ) がこの内力によって発生しないことを意味している..... ただし, あくまでも図 - の内力 T t. が と を作らないというだけであり, 別の力によって や が発生することはあり得る. 演習問題. = = = 0 の二次元応力状態において, = 60 MPa, = 0 MPa, = 60 MPa のとき,x x 面内の主応力を求めなさい.. = = = 0 の二次元応力状態において, = p/, = p/, = p のとき,x x 面内の主応力を求めなさい.. 円柱座標系における zz = zr = z = 0 の二次元応力状態において, rr = 0 MPa, = 40 MPa, r = 40 MPa のとき,r 面内の主応力を求めなさい..4 = = = 0 の二次元応力状態において,x x 面内の応力分布が以下の式で表されるものとする. 6Acos ( x sin x cos ) Bsin, 6Asin ( x sin x cos ) Bcos 6Asin cos ( x sin x cos ) Bsin cos 点 (x, x ) = (h sin, h cos) における x x 面内の主応力を求めなさい. ただし,A,B,,h は定数である..5 図 - のように x x 平面上に置かれ, 外周に一定の圧力 p が作用している一様厚さの長方形板がある. この面内で x x 軸を任意の角度で回転した x x 座標に対して, 面内の応力成分が p, 0 となることを証明しなさい. ただし = = = 0 とする..6 問.5 において, 長方形板の代わりに内部に孔が無い任意形状の板 ( 一様厚さ ) が外周に一定の圧力 p を受けている 場合について, 同様に p, 0 となること を証明しなさい. - -