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1 光通信工学. 復習. ポインティング ベクトル 3. 光強度 4. 強度反射 ( 透過 率 通常のレンズ フレネルレンズ 光通信工学 3-

2 光波とは : 式で書いた方が分かりやすいかも! 軸 偏光 : 電場 の振動方向偏波面 : 電場 ベクトルと波数ベクトルからなる平面 方向の直線偏光 軸 + 軸 : 磁場の強さ 平面波 & 進行波 : 簡単 便利 偏波面 :-z 平面右ねじ : 電場 (+ 磁場 (+ + 軸 (, co( ω + φ (, co( ω z + φ z z z η, η > 振幅一定赤 : 正実数 波動インピーダンス :5 磁場 ベクトル 電場 ベクトル 進行方向 :+z 軸 注意 : 電場 も磁場 も同じ位相速度の波 振動方向と振幅が異なる 振動ベクトルを記述するときのお約束 ( 平面波の場合 波数ベクトル (,, > 電場 ( 振動 ベクトル磁場 ( 振動 ベクトル (,, (,, 電場 ベクトルと磁場 ベクトルの向きは 右ねじ で設定 現実には 電場 と磁場 は振動しているから向きも変化する 詳細は省略するが 上記関係式は電場 と電束密度 D の向きが一致する 等方性質媒質 に限定される ( 例 : ガラス 参考文献 : 末田 光エレクトロニクス p.36( 昭晃堂 光通信工学 3-

3 前進波と後退波 : 光の場合 平面波 : 定数振幅 ( 波の拡がり無限大 非現実的だけど 電場 進行方向 : 電場 磁場 ( 右ねじ 磁場 : 電場 前進波 : 直線偏光 (, co( ω + φ ( z, ( η co( ω z + φ z z > 後退波 : 直線偏光赤 : 正実数 (, co( ω + + φ (, ( η co( ω + + φ z z z z 後退波 磁場 前進波 z 磁場 を - 方向 波動インピーダンス :5 電場 ベクトル表示をしましょう! (, ωµ ( ( ( 磁場 ( ( z,,,,, z,,,,, ±, > 係数 :5:μ: 透磁率磁場 : 電場 z 光通信工学 3-3

4 ベクトル表示 : 光波の場合 関係式 : 電場 と磁場 と波数ベクトル (, ωµ 電場 進行方向 : 電場 磁場 ( 右ねじ 磁場 : 電場 ( ( z,,,, ( z,, ( (,, ±, > 電場 磁場 前進波 z 一般化 (,, z (,, z (,, z 磁場 前進波 光通信工学 3-4

5 反射と透過を考える : 偏光成分 enech( 垂直 簡単のため電場 : 境界面内方向成分 (z 軸 のみ波数ベクトル : 紙面内方向成分のみ ( z (,,,,,, >, 磁場 :-9 ωµ ωµ ( ( z, z, 非磁性体 : ガラスなど真空中の透磁率 µ µ 入射波 : 平面波近似波数ベクトルの位置依存性無 (,, z (,, z 反射波 : 平面波近似 z 軸 : 奥から手前 等位相面 θ θ 反射前後 境界面 :z- 屈折率媒質 :n 屈折率媒質 :n θ 透過波 : 平面波近似 (,, z これから反射波と透過波の振幅を求めましょう! 但し 電場 のみ Ke wod: 振幅反射率 振幅透過率 光通信工学 3-5

6 電場 を複素数表示で記述 :z 成分のみ 入射電場 (z 成分のみ : 平面波近似 青 : 複素振幅 ( 定数 添え字 :ncden( 入射 Reflecon( 反射, Tanmon( 透過 z (, ep ( ω j ep j( ω (,, ( n n θ, n co θ, n > 反射電場 (z 成分のみ : 平面波近似 (, ep ( ω (,, ( n n θ, n co θ, j z 透過電場 (z 成分のみ : 平面波近似 (, ep ( ω (,, ( n n θ, nco θ, j z 参照 :- (,, z (,, z ( ( (,,,, z,,, z z z 注意 真空中の波数 媒質 :n 媒質 :n 波数ベクトル透過波 θ θ θ n 屈折率 > n ω c c, n, n c c c 光通信工学 3-6

7 境界条件 : 結論のみ 境界条件の導出 :5 磁場 は簡単!:- 電場 の境界条件 : 電場 の面内方向成分 (z 成分 が一致 媒質 側 : 入射波と反射波の合成波 ωµ (,,, (,, z, ( z, z, 媒質 側 : 透過波 波数ベクトル入射波 波数ベクトル反射波 ( ( (, +,,,@ z z z 磁場 の境界条件 : 磁場 の面内方向成分 ( 成分 が一致 ( ( ( (, + (, (,, +,,,@ z z z 入射電場 z 成分のみ 反射電場 z 成分のみ 透過電場 z 成分のみ (, ep ( ω (, ep ( ω (, ep j( ω j z j z z 注意 : 未知数が 個だから方程式が 個 媒質 :n 媒質 :n 波数ベクトル透過波 θ θ θ n > n 求めたい関係? 複素振幅反射率と複素振幅透過率, 光通信工学 3-7

8 フレネルの式 Fenel equaon 磁場 の境界条件 : 磁場 の面内方向成分 ( 成分 が一致 ( ( (, +,,,@ z z z 省略 :p 偏光成分 :paallel( 平行 参考文献 : 本宮 波動光学の風景 O plu, 9,, p.68 (7 O plu, 9,, p.86 ( n n coθ coθ 細かい計算手順は省略 ( 青 : 複素振幅 ( 定数 関係式 : 電場 の複素振幅 + 複素振幅反射率と複素振幅透過率 : 実数 フレネルの式 Fenel quaon: 偏光成分 coθ n n nco θ ncoθ n n/ n + nco θ + ncoθ coθ+ n n θ nco θ n n/ n coθ + n coθ + n coθ coθ + n n θ θ 光通信工学 3-8

9 反射光の位相変化 ( 偏光 実は p 偏光でも状況は同じであるが やや座標系が複雑になるためちょっと解釈が難しい 参考文献 : 河合 光学設計のための基礎知識 p.45 オプトロニクス社 屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は 境界面において位相は不変屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は 境界面において位相が π シフト 位相シフトがなければ 入射波と反射波は反射点で位相ずれ無し 山なら山 谷なら谷 位相シフトが π の場合 入射波と反射波は反射点で位相シフト 山なら谷 谷なら山 反射波 反射波 入射波 入射波 屈折率高い 屈折率低い 屈折率低い 透過波 屈折率高い これから光強度について考えましょう! なんとなく 明暗情報は振幅に比例しそうですが 光通信工学 3-9

10 ポインティング ベクトル (Ponng veco: 平面波の場合 光強度について考える : 簡単な例 Ε (,, (,, 平面波 : 振幅 波数ベクトルに位置依存性無 電場 ベクトル : 成分のみ磁場 ベクトル : 成分のみ赤 : 正実数 γ 線 X 線 紫外線可視光線 周波数 z 8 5 波長 m -9-6 co( ω φ ( η co( ω z φ z + + 進行方向 : 電場 磁場 ( 右ねじ 赤外線 マイクロ波 9-3 定義 : ポインティング ベクトル ( 平面波に限定されない S (,, Sz 向き : エネルギー流 短波 6 電磁波の種類光は電磁波 大きさ : 単位断面積 単位時間当たりのエネルギーの流量 S ω 5 π f z S z co z co z η + η + + { } ( ω φ ( ω φ 高速振動項 : 検出不可 注意 : ポインティング ベクトルは光強度ではありません 光通信工学 3-

11 光強度 ( 単位 :W: 平面波近似 ポインティング ベクトルの大きさから高速に振動する項を除くと単位断面積当たりの光強度 : 単位 :W/m ポインティング ベクトルとは. 単位断面積を通過する S S z (,, Sz + + η { co( ω z φ } S Sz η η 周期時間平均 : 零 平面波 : 振幅一定赤 : 正実数青 : 複素数. 単位時間当たりのエネルギー流量 3. ポインテイング ベクトルの向き 4. 高速に振動する項を周期時間平均して除去 5. 単位断面積当たり光強度が求められる 平面波と光強度の関係 : 暗い赤から明るい赤に注意 : 色は変化しない 色は角周波数で異なる ( 単位断面積当たりの光強度は電場 振幅の自乗に比例 復習 波数ベクトル : 電場 磁場 ( 右ねじ 波数ベクトルの向きは波の進行方向 波数ベクトルの大きさは位相速度と関係 位相速度 :-3 v p (,, ω z 軸進行方向 本講義では 波数ベクトルの向きとポイティング ベクトルの向きが必ず一致するような場合 等方性媒質 ( ガラスなど のみを扱う 異方性媒質では等位相面の進行方向とエネルギーの進行方向は一致しない : 参考 : 末田 光エレクトロニクス p.36 昭晃堂 ( 省略 電場 振幅の自乗に比例 : 直感的 光通信工学 3-

12 光強度 : 整理しましょう! 光エネルギーについては後日説明 :8 ポインティング ベクトル (Ponng veco 参考 : 光エネルギー ( 真空中 S 向き : エネルギー流 Uem ε + µ 大きさ : 単位断面積 単位時間当たりのエネルギー流量勘違いし易い : 光強度ではありません 真空中の誘電率 真空中の透磁率 ある時刻 ある空間に蓄積された単位体積当たりのエネルギー 周期時間平均 : 高速振動項の除去 単位断面積当たりの光強度 : 単位 :W/m 単位 :W VA 単位体積 S 電場 :V/m 磁場 :A/m U em 光ビーム 光強度 : 単位 :W D S 光ビーム S ベクトルの向き 光検出器 断面積 光強度 : 単位 :W 光通信工学 3-

13 強度反射 透過の考え方 ビーム的に扱う 平面波近似 n > n θ 断面積 光強度 D D S 青 : 複素振幅 D η 媒質 :n 媒質 :n D D D η n 後日説明 波動インピーダンスの屈折率依存 :5 反比例 θ D 光強度 : 電場 振幅の自乗 断面積に比例 波動インピーダンスに反比例注意 : 同じ光強度でも電場 振幅 断面積 波動インピーダンスが異なる場合もある 断面積光強度 : ビーム径を考慮 D D D D D coθ coθ ( D η ( D η ( D η 強度透過率 : 入射波と透過波のビーム径と屈折率の違いに注意! R T 強度反射 透過率 : フレネルの式を思い出しましょう! η D nd n ηd D 光通信工学 3-3

14 フレネルの式 Fenel equaon 複素振幅反射率と複素振幅透過率 : 実数 フレネルの式 Fenel quaon: 偏光成分 coθ n n nco θ ncoθ n n/ n + nco θ + ncoθ coθ+ n n θ nco θ n n/ n coθ + n coθ + n coθ coθ + n n θ θ 強度反射率 透過率 強度反射率 : 入射波と反射波で断面積は同じ強度透過率 : 入射波と透過波のビーム径と屈折率の違いに注意! nd n coθ R, T nd co n θ 断面積 :3-4 D D D co θ, D D coθ 強度透過率 : 媒質 と のビーム径と屈折率の違いに注意しましょう! 光通信工学 3-4

15 全反射 :Toal nenal eflecon 波数ベクトル入射波 媒質 :n 媒質 :n スネルの法則 Snell' law 全反射条件 θ θ π θ n > n nnθ nnθ θ π nθ n n nθ c 波数ベクトル反射波 波数ベクトル透過波仮想的な扱い 臨界角 Ccal angle θ > θc nθ > nθc nθ > n n n > n 複素振幅透過率 : 我々の直観とはマッチしない! フレネルの式 Fenel quaon coθ n n coθ + n n coθ n n n 臨界角 : 平方根が零 coθ nθ n n n, θ θ + n n 全反射 : 複素振幅反射率 %: あたりまえの結果複素振幅透過率 %: 非直観的! θ 透過率 %? 全反射条件 : フレネルの式では平方根が零か虚数虚数の意味 ( 説明省略 : エバネセント波参考文献 :M. ボルン. ウォルフ ( 著 草川 横田訳 光学の原理 p.73( 東海大学出版会 光通信工学 3-5

16 強度反射 透過率?: 全反射 光強度 : 断面積を考慮 青 : 複素振幅 n > n θ ( D η ( D η ( D η 媒質 :n 媒質 :n D D D 複素振幅反射率と複素振幅透過率 フレネルの式 断面積を考慮していない 直感と矛盾 全反射の場合 : 透過光の断面積は零 θ D θ π D D coθ D D D D coθ 強度反射 透過率 強度反射率は %( 直感と一致 透過光の断面積は零 : 強度透過率も零 ( 直感と一致 D n co R η θ, T ηd co n θ 光通信工学 3-6

17 直感的な理解 : 光のエネルギーは保存される 全反射の場合 強度反射率は %( 直感と一致 透過光の断面積は零 : 強度透過率も零 ( 直感と一致 D n co R η θ, T ηd co n θ 全反射でなくても R + T 反射率が 5% なら透過率も 5% だね と言えるのは 強度反射 透過率 振幅反射 透過率ではダメ +, + 重要. 振幅反射 透過率ではビーム断面積が考慮されていない. 強度反射 透過率ではビーム断面積が考慮されている 従ってビーム断面積が考慮されている強度反射 透過率の方が我々は馴染みやすいかもしれない 光通信工学 3-7

18 入射側屈折率が大 : 全反射あり 計算例 n > n n > n θ 参考資料 : 授業では割愛 光強度 n.5, n, n.5 ( D η ( D η ( D η 媒質 :n 媒質 :n D D 詳細省略 : 透過波の断面積は常に小さい θ D D.5 垂直入射 全反射 : 振幅透過率 %? ビーム径を考慮していない反射 透過率 n.5, n, n.5 我々の直感とマッチしている理由 : ビーム径を考慮しているから n, n.5, n.5 全反射透過側 : ビーム径が零 振幅反射 透過率.5.5 説明省略 :p 偏光成分 p 全反射 偏光成分 強度反射 透過率 R + T T p T Bewe R 3 4 θ p 3 4 θ R p 光通信工学 3-8

19 透過側屈折率が大 : 全反射なし 参考資料 : 授業では割愛 計算例 n < n n, n.5, n.5 媒質 :n θ D D 振幅反射 透過率 スネルの法則 : 屈折率の大小関係に注意 nnθ nnθ n < n θ > θ n < n D D < D 説明省略 :p 偏光成分 n, n.5, n.5 p 偏光成分 : 負 全反射無 : 透過率 < p 媒質 :n D θ 詳細省略 : 透過波の断面積は常に大きい 透過側 : ビーム径は非零 (θπ/ を除く 強度反射 透過率 我々の直感とマッチしている R Bewe D n, n.5, n.5 p, + Tp, T R R p T p 水平入射非現実的 θ θ 光通信工学 3-9