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1 計算 磁石 脳 --- pn Glass --- 東大物性研究所川島直輝 現代物理学入門 005 年 4 月 5 日本郷

2 強磁性体 普通の磁石 磁石は小さなさな磁石 ( スピン ) の集まり 個々の磁石磁石の 極は上向上向きかきか下向下向き ( 簡単化 ) 個々のスピンスピンに番号番号をつけて, 第 番目の磁石磁石の 極が上向上向きであることをで下向下向きであることをで表そう 強磁性体ではではエネルギーエネルギーが以下以下のようにのように与えられる E ( j) j ( > 0) (Σ は全ての最隣接格子点ペアについての和 )

3 強磁性体の熱力学 平衡状態では F E T が最小になる つまり, 物質の平衡状態はエネルギーを小さくしようとする傾向と, エントロピーを大きくしようとする傾向のバランスした状態 低温になるほど, 後者の影響は弱まる 低温になるほどになるほど全てのてのスピンスピンが同じ向きにきに向いたいた状態状態が出現しやすくなる ( 秩序化したした状態 )

4 強磁性体のシミュレーション 状態 Σの出現確率出現確率は P ( ) ( ) Σ e E Σ / kbt 実際にこのにこの確率確率で状態状態を次々に発生発生させるのが, 磁性体のモンテカルロシミュレーション実際にやってみる

5 スピングラス物質 変わった磁石 磁場の下で冷却冷却ののちののち測定 磁性合金 CuMn 率磁帯 磁場なしでなしで冷却の後に測定温度 agata Keesom Harrson 979 履歴現象 同じ量を同じ条件で測っているのに, ある温度以下ではそれ以前に系が置かれた状況で結果が異なる

6 スピングラスモデル 相互作用 j がランダムランダムな値をもつをもつイジングモデル j E (j) j j は (,j ) ごとに統計的に独立なある確率変数 j たとえば + ( 強磁性的 ) ( 確率 ) j ( 反強磁性的 ) ( 確率 )

7 スピングラス問題 j j j j が与えられたときえられたときえられたときえられたとき, 温度温度温度温度が非常非常非常非常に低いときにいときにいときにいときにスピングラスモデルスピングラスモデルスピングラスモデルスピングラスモデルはどのようなはどのようなはどのようなはどのような振る舞いをするかいをするかいをするかいをするか? エネルギーエネルギーエネルギーエネルギーがもっともがもっともがもっともがもっとも小さくなるさくなるさくなるさくなる状態状態状態状態を求めるめるめるめる問題問題問題問題 最適化問題最適化問題最適化問題最適化問題

8 スピングラス問題の例 問題 : j が左のようにのように与えられたとき, エネルギーを最小最小にするような,,,,3 の組み合わせを求めよ

9 スピングラス問題の例 答え : または

10 スピングラス問題の例 問題 : j が左のようにのように与えられたとき, エネルギーを最小最小にするような,,,,3 の組み合わせを求めよ

11 スピングラス問題の例 答え : またはまたはまたはまたは またはまたはまたはまたは またはまたはまたはまたは またはまたはまたはまたは またはまたはまたはまたは

12 スピングラス問題の例 これだと? 3 3

13 スピングラス問題の例 これだと? コンピュータを使えばできるか?

14 スピングラス問題の困難 スピングラス問題問題にはには一般一般にはうまいにはうまい解き方は存在存在しない 普通の計算機を使って解くために必要な計算時間は, どんな方法を使ったとしても,L のべき乗では抑えられないことが ほぼ証明 されている ただし, 次元だとうまいだとうまい方法方法が存在存在する 系の 辺の長さを L として,L の 6 乗に比例する計算時間をかけると解ける

15 計算上の本質的困難 P 困難性 スピングラス問題問題は P 困難であることがであることが証明証明されている P 困難な問題について以下のことが証明されている P 困難な問題のどれか つについて, 問題のサイズある多項式で抑えられる計算時間 ( 多項式時間 ) で解けるアルゴリズムが存在するなら, 以下のようなおよそありえないことが可能だということになる 解の候補が提案されたとき, 多項式時間内にそれが本当に解であるかどうか確かめられるような任意の充足可能問題に対して, 多項式時間内に答え (yes か no か ) を見つける方法も存在する

16 もしスピングラス問題が解けるなら 巡回セールスマンセールスマン問題問題も解ける 与えられたえられた論理式論理式を真にできるか (AT 問題 ) も解ける 最大派閥問題も解ける 配線配線を最短最短にするにする回路設計回路設計の問題 ( グラフ 分割 ) も解ける Garey and ohnson "Computers and Intractablty" にはこのような問題が300 以上紹介されている しかし, これらの問題は多くの 賢い 人たちの試みにもかかわらず今のところつも解かれていない ( 多分本質的本質的に解けない )

17 では我々に何ができるか? () 問題を変える, または近似近似を考える () 計算不可能領域にぎりぎりまでにぎりぎりまで近づく (3) 計算不可能領域をはっきりをはっきり知る

18 問題を変える, または近似 もとの問題 K モデル ( 平均場モデル ) E (j) j j E, j ( < j ) j j

19 Quenched ( 急冷 ) Randomness 計算すべきすべき量 : [ Q ] F Tr lm Λ 0 lm Λ 0 ( E ) e ( E ( ) e ) Tr Λ Λ ( ) Q( ) [ ( ( ( ) ( ) ) )] E ΛQ k T log Tr e F ( Λ) ( Λ) [ k T log Z ( Λ) ] B B ([ ] は j に関する平均 )

20 レプリカ法 () 一般に uenched random 平均 [ ] log Z は計算計算しにくい これに対して,annealed random 平均 log[ Z ] なら簡単簡単に計算計算できる [ Z ] djp( j ) ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) e d e d j P ( ) j exp exp j j j ( ガウス分布分布の場合 ) j

21 レプリカ法 () そこで恒等式 Z [ ] [ Z ] n n log Z lm lm n 0 n を用いて, 一種の annealed 平均の形に変形変形する n n 0 [ ] n Z d P( ) j j exp ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) exp d j P K j ( ) j n exp j j n n j exp j K 4 ( K [ ]), j, j j j これでランダムネスランダムネスのないのないモデルモデルに帰着帰着できた

22 鞍点法 [ ] ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) + +,,,,,,,,, exp exp exp exp exp exp exp 4 exp g K d K K d K K d K K d K K Z j j j n { } ( ) ( ) 0, + g K つのレプリカがどのくらい近いかの尺度

23 レプリカ対称解 () ( ) { } ( ) { } n n K K,,,,,, exp exp L L ν µ ν µ µν ( ) ( ) ν µ ν µ µν 結局次結局次結局次結局次の自己無同着方程式自己無同着方程式自己無同着方程式自己無同着方程式を n 0 の極限極限極限極限で解けばよいことになったけばよいことになったけばよいことになったけばよいことになった このこのこのこの方程式方程式方程式方程式はレプリカインデックスレプリカインデックスレプリカインデックスレプリカインデックスの任意任意任意任意の入れ替えにえにえにえに関してしてしてして対象対象対象対象だからだからだからだから, 対称解対称解対称解対称解をまずをまずをまずをまず考えるえるえるえる

24 レプリカ対称解 () 対称性を課すとすと方程式方程式は比較的簡単に解けて, しかも,n 0 の極限が簡単簡単にとれる ある有限有限の温度以下温度以下で, 秩序変数が 0 でない値を持つようになる は実際実際に つの同じ をもつサンプル間の重なりともなりとも解釈解釈できるので, T C T 0 は, ( T ) 0 < T C を意味意味する ( ランダムな凍結 )

25 レプリカ非対称解 ( パリシ解 ) レプリカ対称解対称解は転移温度以上転移温度以上ではでは正しいが, 転移温度以下では, 非対称解が存在存在し, そちらの方が正しい ( 自由エネルギーエネルギーが低い ) では 3 であることは何を意味意味するのか? 3 互いにいに異なるなる熱力学的安定状態熱力学的安定状態が存在存在する ( しかも, パリシの議論議論によるとによると無数無数に存在存在する )

26 無数の熱力学的安定状態 無数の安定状態安定状態が存在し, 実際に実現実現される平衡分布はそれらの線形結合で表される F 位相空間のある軸

27 もう つのシナリオ F 状態 Aと状態 Bは互いに時間反転によってによって移りあう 多くのくの準安定状態準安定状態は存在するが, 熱力学的に安定安定な状態はこのはこの二つしかない A B

28 ドロップレット描像 ドロップレット描像 : 熱力学的熱力学的な安定状態安定状態は つ 秩序相におけるにおける熱揺熱揺らぎらぎ効果効果は全て安定状態安定状態からのからのドロップレットの励起励起によってによって説明説明できる ドロップレット励起励起エネルギー (E l ) の分布関数 P Υl ~ E Υl l ( E ) P l θ θ l

29 P() に関する異なる予言 P ( ) Tr exp {, } ( H ({ }) H ({ } ) δ Tr H ({ }) H ({ }) exp( ) {, } 有限系 有限系 平均場描像平均場描像 ドロップレットドロップレット描像描像

30 限界までやった例 Kawashma and Young 有限温度のモンテカルロシミュレーション 秩序変数の分布分布がガウスガウス分布になるかどうかを調べて, ある特定特定の温度温度で, 何らかのらかの秩序化秩序化がおきることがわかった しかし, 秩序相 ( スピングラス相 ) がどんな相なのかなのか, という本質的本質的なことがまだわかっていない g: 秩序変数の分布がどの程度ガウス関数からずれているかをあらわす無次元量

31 P() の数値計算 Palassn and Young x ( ) d P( )

32 閑話休題 脳と計算機 脳 : 0 個のニューロン,0 5 個のシナプス, 動作時間 0 スーパーコンピュータ : 0 3 個の CPU, 動作時間 処理速度において, まだ 6 桁の差がある しかし, 計算機の処理速度処理速度の進歩進歩スピードスピードは 0 年で 桁 (60 年で追いつくかもしれない ) また, つのシナプスシナプスより つの CPU の方が複雑複雑な処理処理が可能であることや, 脳は全てのての部分部分が働いているわけではないことを考えると, もっと短期間短期間に単純単純にハードウェアハードウェア的な処理速度は追いつくいつく可能性可能性がある

33 脳のモデル化 (Hopfeld model) 信号伝達則 σ + j ( t ) sgn σ ( t) j j σ j 信号の流れ σ ニューロン σ 学習則 シナプス j j µ ξ µ ξ µ j

34 Hopfeld モデルと K モデル Hopfeld モデルの信号伝達規則 σ + j ( t ) sgn σ ( t) j j は,K モデル E, j ( < j ) j σ σ j の絶対零度絶対零度におけるにおけるモンテカルロシミュレーションモンテカルロシミュレーションと同じ K モデルと同じ道具道具が使える

35 Hoppfeld モデルの 相図 j P ξ j µ µ ξ µ P ( 覚えさせるえさせるパターンパターンの数 ) P: 無秩序相 ( 何も想起想起しない ) G: 無意味なパターンパターンを想起想起する R: 覚えさせたえさせたパターンパターンを想起想起する ( 準安定 ) R: 覚えさせたえさせたパターンパターンを想起想起する ( 安定 )

36 組み合わせ最適化問題の 物理的 性質 Monasson et al, ature 400 p 33 (999) K-AT 問題 : ブール変数の集合 {b,b,,b } 上で定義される論理式に関して, 以下の問題を考える K 個のリテラルの論理和をK 節とよぶことにして,m 個のK 節の論理積として表せる論理式 F c c L c L m ( K c z z z ) が与えられたとする この論理式が真であるような, ブール変数への真理値の割り当て方は存在するか? Cook の定理 : AT 問題が解けるならけるなら任意任意の P 問題が解ける ( 系 )3-AT 問題が解けるならけるなら任意任意の P 問題が解ける ( なぜなら AT 問題は 3-AT 問題に還元還元できるから ) -AT 問題は P( 多項式時間で解ける )

37 スピングラス問題への変換 ( ) ( ) m E E E c c c F E z z z c b m k k m K k K k k k k k + + mn "satsfable", true, false L m L µ µ の K 次多項式次多項式次多項式次多項式

38 相転移 m/ が小さければ,unsatsfable である確率 (p) は当然低当然低く, 大きければ, 確率は高い を固定固定して, を大きくしていくと, p0 から p への変化変化が突然起突然起こるようになる ( 相転移 ) p 縦線はレプリカ法からから求められた転移点 ( 次転移ならなら厳密 )

39 P と P の 物理的 違い 3-AT R: 全てのての基底状態において同じ値をもつスピンの割合 R -AT -AT に対しては Rは連続的連続的に変化 3-AT に対してはしては不連続

40 まとめ 磁石 pn Glass の基底状態 計算の物理 Hopfeld / K model 計算 脳