Weibull分析を用いた信頼性寿命予測への提案 | 清水貴宏氏（パナソニック株式会社セミコンダクター社）

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しのぶおとじま
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1 Webull 分析を用いた信頼性寿命予測への提案 ~ サンプルサイズの影響が小さい高精度予測方法 ~ パナソニック株式会社生産本部セミコンダクター社グローバル生産統括センター技能教育研修所清水貴宏

2 ~ 目次 ~. はじめに 2. これまでの経緯第 9 回研究発表会関西支部 ( 品質管理学会 ) 2-. 現在のワイブル分析による寿命予測 2-2. サンプルサイズによる寿命予測への影響 2-3. 故障期による寿命予測への影響 3. 高精度な寿命予測方法の検討 3-. サンプルサイズが小さい場合のワイブル分析での問題点 3-2. 最尤推定法の検討 3-3. 新たに提案する寿命予測方法 4. 新たな寿命予測の検証 4-. 新たな方法の分析手順 4-2. 具体的な事例 4-3. シミュレーション結果 5. まとめ

3 . はじめにモノづくり企業の責任のつに自社製品への信頼性確保が挙げられる一般のお客様に信頼性といってもあまりピンとこないかもしれない信頼性を一般のお客様にわかりやすく説明するなら安心して使える, 長持ちするあるいは寿命かもしれない私たち企業は自ら製造する製品がお客様のご使用環境において一定の期間その製品が持ち得る特性を損なうことなく安心してお客様にご使用いただけることを保証しなければならないそこで多くの企業は製品の信頼性を確認するために次のような実験を一般的に行っている信頼性用語 (Glossary of Terms Used n Relablty) 出典 JIS-Z85 信頼性試験 ; 信頼性決定試験および信頼性適合試験の総称信頼性決定試験 ; アイテムの信頼性特性値を検定する試験統計的推定に対応信頼性適合試験 ; アイテムの信頼性特性値が規定の信頼性要求に ( 例えば故障率水準 ) に合致しているかどうかを判定する試験統計的検定に対応加速試験 ; 試験時間を短縮する目的で基準条件より厳しい条件で行う試験この試験では故障モード及びその原因が変わらないことが必要ここで得られた結果をワイブル分析という方法を使って寿命の予測をしている

4 2. これまでの経緯第 9 回研究発表会関西支部 ( 日本品質管理学会 ) 予稿集より 2. 現在のワイブル分析による寿命予測 No. n No. n2 No. n 結果 ; 実験内容 ; 高温保存試験温度条件 ;Ta=5,Ta2=25,Ta3= サンプルサイズ ;5 保証内容 ;Ta=35 故障発生率 % の寿命時間年以上年の時間換算 ;876h カテコリ名 n N m η γ MTT(B)F(μ) σ ハーセント点 n n n 実使用状態での寿命推定値 ;23632.h (26.94 年 ) 現在もこのように寿命を推定している B Lfe tme(h) y = 6E-7e x temp(/t)

5 この分析は正しいのだろうか? このデータは次の条件で仮想した無限母集団からのランダムサンプリングによるデータについて分析したものである形状パラメータ; m = 3. 尺度パラメータ ; η = 5h, η2 = 2h, η3 = 5h 実使用寿命 ; 5543.h (7.74 年 ) 先の事例では年となっているつまり真の寿命と大きく差があることがわかる ( 長寿命化 ) 別のサンプルによる寿命予測を行うと次の結果となるカテコリ名 n N m η γ MTT(B)F(μ) σ ハーセント点 n n n 実使用寿命予測 ; h 3.98 年非常に短い寿命となったなぜこのような結果になるのか?

6 2-2. サンプルサイズによる寿命予測への影響同一母集団であってもサンプルによって結果が異なるのは統計的な視点で考えれば当然のことである清水はサンプルサイズが寿命予測にどの程度影響するのかを調査し次のように報告した第 9 回研究発表会関西支部 ( 日本品質管理学会 ) 予稿集より発表時のシミュレーション条件 ; 形状パラメータ m = 2. 尺度パラメータ, η2 = 2 繰返し数 r = 3 実使用の条件 35 % 故障時間サンプルサイズ n = 3, 5,, 2, 5, % 故障時間のばらつきが大きいため対数変換している No. n データ n データ n データ n データ n データ n データ n データ η = 5, η3 = 5 この時は予測時間のばらつきが大きくすべてのデータを対数変換し正規分布に近似したこの時点で判明したこと寿命予測の結果はサンプルサイズの影響を大きく受ける 2 サンプルサイズが大きくなるにつれて真値に近づく 3 サンプルサイズは 3 以下の時予測ばらつきが大きく使用できない結論 ; サンプルサイズが小さいときに精度よく寿命予測が行える方法を検討理由 ; デバイス事業コスト, 時間の制約を緩和できるセット事業サンプルサイズ確保の難点が緩和できる

7 2-3. 故障期による寿命予測への影響サンプルサイズだけでなく故障期による寿命予測の影響も懸念されたため清水は故障期によって寿命予測にどの程度影響するのかを調査し次のように報告した第 9 回研究発表会関西支部 ( 日本品質管理学会 ) 予稿集より発表時のシミュレーション条件 ; 形状パラメータ m =. 25,. 5,., 2., 4. 繰返し数 r = 3 6 No. 種類変数 3 s 2 c2 実使用の条件 35 % 故障時間サンプルサイズ n = この時は予測時間のばらつきが大きくすべてのデータを対数変換し正規分布に近似した形状パラメータが異なるので % 故障時間は -2 異なるそのため予測のばらつき度合いも異な -4 るそこでばらつきを純粋に比較するためデー m タの標準化を行ったこの時点で判明したこと形状パラメータの大きさによって寿命予測のばらつきは変化する 2 形状パラメータm のとき寿命予測のばらつきは大きい 3 特に形状パラメータm<の場合サンプルサイズが大きくても寿命予測のばらつきは大きい log(% 故障寿命 ( 年 )) 結論 ; 磨耗故障期 ( 形状パラメータ m>) の時に精度よく寿命予測が行える方法を検討理由 ; 初期 (m<) 偶発期 (m=) の場合サンプルサイズに関係なく寿命予測のばらつきが大きい 2, The Insttute of JUSE. All Rghts Reserved.

8 3. 高精度な寿命予測方法の検討次のような実験内容を使って高精度な寿命予測方法の検討を行った実験内容次のような条件で仮想の無限母集団を生成するシミュレーションプログラムを作成形状パラメータ; m = 3. 尺度パラメータ; η = 5h, η2 = 2h, η3 = 5h 温度加速を想定しての実験とした尺度パラメータ温度は次のとおり Ta この無限母集団の実使用 35 の % 故障時間は次のとおり実使用寿命 ; 5543.h (7.74 年 ) サンプルサイズ; n = 5 ~ 5 = 5, Ta2 = 25, Ta3 = 検討した高精度な寿命予測方法の内容各水準実験の初点データ削除各水準実験の初点次点データ削除破壊時間の平均を中心に箱ひげ : 最尤推定法今回新たに提案する方法シミュレーションデータを使って作成した数多くのワイブル確率紙のプロットを眺めていて初点次点最終点のデータが直線からずれている傾向が見られその点を除くことで推定精度が向上するのでは??? と考えたが今回報告全て失敗思いつきでは太刀打ちできない

9 3-. サンプルサイズが小さい場合のワイブル分析での問題点サンプルサイズが小さい状態でワイブル分析を行った場合の寿命予測の状態を調べる一般的な寿命予測方法; 累積ハザード法で分析しアレニウス式で寿命を予測 5 回の繰返しによる実使用時の寿命予測値をサンプルサイズ毎にプロットした 25 寿命時間レンジ (h) y = 3E+6e -.925x サンプルサイズサンプルサイズが 5 個以下の状態において実使用時の寿命予測値のレンジはサンプルサイズが大きくなると減少する傾向にあるその理由サンプルサイズが小さくなればワイブルプロットから求める回帰直線のばらつきが大きくなるカテコリ名 n N m η γ MTT(B)F(μ) σ ハーセント点回目回目回目回目回目回目回目回目回目回目 , The 回帰直線で求める故障率 % の時間ばらつきが大きくなるそのため同じ水準であっても故障率 % の時間が異なる結果になる Insttute of JUSE. All Rghts Reserved.

10 3-2. 最尤推定法の検討最尤推定法は観測データから故障分布のパラメータを推定する方法で Statworks には次のような説明がある最尤推定法 (maxmum lkelhood estmate method) 尤度 ( もっともらしい度合い ) を手持ちの観測データのもとであるパラメータ値が得られる確率とみなして尤度を最大化するようなパラメータ値を探索する推定方法つまり確率論的モデルのパラメータを変えていって観測データに最もよくあてはまるところを探索していく方法最尤推定法には次のメリットとデメリットがあるメリット ; 従来の方法と違いワイブルプロットを使って最小二乗法で直線を求めるのでなく観測データへの当てはまりのよいモデルを見つけ分布パラメータを推定するデメリット ; 最もよく当てはまる期待値を設定しなければならない異常値の影響を受けやすいこのデメリットにある期待値とは分布の形状を決める形状パラメータ ;m を示す期待する m の値は誰も知らない ( 真の値は神のみぞ知る ) つまり分析に際しては推測値を入れるしか方法がないまた異常値の影響を受けやすいが信頼性試験の実施中にデータが異常かどうかを判断することはできないとは言うものの一度分析することにした

11 最尤推定法による実使用時の寿命予測と従来の方法 ( 累積ハザード法 ) による実使用時の寿命予測の結果を比較してみる最尤推定法による寿命予測ばらつき累積ハザード法による寿命予測ばらつき寿命時間レンジ (h) y = 3E+6x y = 8E+6x 従来方法最尤推定法分析結果からもわかるように累積ハザード法よりも最尤推定法の寿命予測の方が精度が高いことがわかるしかし累積ハザード法ほどではないがサンプルサイズの影響は否定できないサンプルサイズ新たな方法の検討

12 3-3. 新たに提案する寿命予測方法なぜ従来の方法で行うと寿命予測の値がばらつくのか? サンプルの影響が寿命予測のばらつきにどのような関係で影響するのか? という視点に立って要因分析を行うことにした従来の寿命推定法 ; アレニウスモデル % 故障時間 (h) 着想 ; /K 安定かつ母集団の形状パラメータに近似した m サンプルデータに影響を受けにくい代替値 = サンプルを代表する値この 2 つを満足させる方法はないだろうか? 2, The 課題 ; ばらつきが大きいのはなぜ? ここが実使用時の寿命予測ばらつき % 故障時間 (h) 原因 ; 各水準の時間がばらついている /K 課題 ; 各水準でばらつきが大きいのはなぜ? 原因 ; サンプルサイズによるmとサンプルデータによってばらつきが生じる Insttute of JUSE. All Rghts Reserved. 原因 ; 寿命算出方法ではなくワイブルに問題課題 ; 故障率 % の時間がなぜばらつくのか?

13 同水準で複数のワイブルプロットとその回帰直線を引いたものを眺めていて気がついたことがあったその内容を以下に示す累積ハザード法 ( 累積ハザード紙 ) メジアンランク法 ( ワイブル確率紙 ) 2 つのグラフともワイブルプロットによる複数の回帰直線が収束している部分があるのに気がついた累積ハザード紙 ; H ( t) = ln ワイブル確率紙 ; ワイブル確率紙における上記の不信頼度は次の値となる ( t). 632 F = lnln F () t =

14 ( t). 632 F = ワイブル分布関数 ; F() t の持つ意味を数理的に求める t γ = exp η このことからワイブルは指数関数の拡張されたものと理解できる = e λt 指数分布関数 ; ( ) F t m 指数分布を特徴づける母数は故障率 ;λ であり次のように表される t = = MTTF λ or MTBF t ; 時間 t は平均を意味しているこの時の不信頼度関数 ; F λt t ( t ) = e = e = e =. 632 t F ( ) t を求めると次のようになるワイブル分布関数における平均 ; t の値を次のように求めることが出来る F t η m ( t ) = exp = exp( ) = 632. t =η

15 は尺度パラメータのことであるつまりワイブルプロットから求める回帰式は尺度パラメータ ; で最も収束することがわかる η η サンプルデータに影響を受けにくい代替値 = サンプルを代表する値尺度パラメータ ; を活用する η ワイブルプロットによる回帰式を次のように考える () mlnη mlnt t F ln ln = 上記の式の構成を次のように考える () b mx y b mln, x lnt, y t F lnln + = = = = η これは単回帰式として扱える単回帰式であるならば母回帰式の区間推定式を同様の方法で考えることが出来る母回帰式の区間推定式 ; ( ) ( ) e xx e V S x x n, t x ˆ ˆ + ± α φ β β 2, The Insttute of JUSE. All Rghts Reserved.

16 母回帰式の区間推定式が最も収束するのは次の条件です x = x このことからも単回帰式は平均で収束することからワイブルプロットの回帰直線は尺度パラメータで収束するワイブルプロットの回帰直線が単回帰式と扱えるのであれば回帰係数に相当する形状パラメータも同様の性質を持つと考えられる回帰係数の分布は次の理由から正規分布に従うことがわかっている ˆ β = E = S S xy xx S ; 任意の定数 xx S xy ;y の一次関数 ( S ) = E[ ( x x)( y y) ] = ( x x) E( y y) xy = β S V = ( x x)( β + β x β β x) = β ( x x) xx ( ) [ ( )( )] ( ) 2 S = V x x y y = x x V ( y y) xy 2 = σ S ( ) 2 x x V ( y ) xx 2

17 E V S Sxx S xx Sxx ˆ S xy 2 σ β = V V S xy σ S 2 2 xx S = = = xx S S xx S xx ( ˆ ) xy β = E = E( Sxy ) = βsxx = β ( ) ( ) 以上の結果から回帰係数は次の正規分布に従うことがわかる 2 xx ˆ β ~ σ N β, 2 S xx ワイブルと通常の単回帰では元の分布が違うなので先の説明がそのままワイブルには摘要できないがワイブルプロットによる回帰直線の傾き ; m ( 形状パラメータ ) はプロットの平均的な意味を表し中心極限定理から考えると形状パラメータの漸近分布が正規分布になると考えれば各水準の形状パラメータが同等と仮定される時次の式で求められる形状パラメータの平均 ; m は母集団の形状パラメータに更に近似すると考え n られる m = = n m 安定かつ母集団の形状パラメータに近似した m 形状パラメータ平均 ; m を使う尺度パラメータと形状パラメータ平均を組み合わせた寿命予測を行うと精度が向上するのでは!?

18 4. 新たな寿命予測の検証 4-. 新たな方法の分析手順尺度パラメータと形状パラメータの平均を使った新たな寿命予測方法を検証する予測方法の手順は以下のとおり手順各水準の加速試験の結果をワイブル確率紙にプロットする手順 2 各水準の形状パラメータ ; と尺度パラメータ ; を求める手順 3 形状パラメータの平均 ; m を次式で求める m n = = n m m 手順 4 求めた形状パラメータの平均 ; m を使って尺度パラメータ ; を通る直線を求める手順 5 手順 6 寿命予測に用いる故障率時間を求める求めた故障率時間を使って故障に応じた寿命予測式により実使用の寿命を推定する η η 上記の手順に従って具体的な数値を入れた事例を紹介する

19 4-2. 具体的な事例温度加速試験の内容 ; sample sze Ta=5 Ta=25 Ta= n 29 n2 393 n3 8 2 n 49 n2 399 n n 25 n2 567 n n 33 n2 6 n n 334 n2 663 n n 429 n2 8 n n 468 n n n 495 n n n 797 n n3 64 n 825 n2 29 n3 625 手順各水準の加速試験の結果をワイブル確率紙にプロットする手順 2 各水準の形状パラメータ ; と尺度パラメータ ; を求める m カテコリ名 n N m η γ MTT(B)F(μ) σ ハーセント点 n n n , The Insttute of JUSE All Rghts Reserved η

20 手順 3 形状パラメータの平均 ; mを次式で求める m = = 手順 4 求めた形状パラメータの平均 ; m と使って尺度パラメータ ; を通る直線を求める b = ln( ) = 6. 2 y = mx + b nの場合 ; y = x 6. 2 = mx + b b = mx n2 の場合 ; n3 の場合 ; b = ln y y = x 2. 3 b = ln = x ( ) ( ) η = 2. 3 = 手順 5 寿命予測に用いる故障率時間を求める n の % 故障率時間 ; n2 の % 故障率時間 ; n3 の % 故障率時間 ; (. ) ln B = exp = (. ) ln B = exp = (. ) ln B = exp =

21 手順 6 求めた故障率時間を使って故障に応じた寿命予測式により実使用の寿命を推定する Ta /k % 故障率時間 (h) % 故障率時間 (h) h(6.8 年 ) y = 6E-6e 735.8x /K 従来の方法 ( 累積ハザード ) で行うと次のようになる実使用 (35 ) h(58.3 年 )

22 4-3. シミュレーション結果次の条件のシミュレーションデータを使って従来の方法 ( 累積ハザード法 ) と今回提案する方法の実使用時の寿命予測精度を比較する仮想母集団; 無限母集団加速試験 ; 温度加速試験試験条件 ;3 水準 (Ta=5,Ta2=25,Ta3= ) 故障期 ; 磨耗故障期形状パラメータ ;m=3. 尺度パラメータ ;η=5h,η2=2h,η3=5h 実使用想定;35 保証 ;35 使用時に% の故障が発生する時間母集団寿命;35 % 故障時間 ;5543.h(7.74 年 ) サンフルサイス ;n=5~5( ランダムサンプリング ) サンフリンク回数;5 回 25 2 y = 3E+6e -.925x 従来方法新方法寿命レンジ (h) 5 y = e -.227x サンプルサイズ寿命時間レンジ今回提案する方法の方がサンプルサイズの影響を受けにくくかつ真の寿命を推定していることがわかる

23 5. まとめ今回の報告で次のことを明らかにした尺度パラメータ; η と形状パラメータの平均 ; mを活用した新たな寿命予測方法を提案した今回提案する方法はサンプルサイズの影響を受けにくく従来の方法より精度が高く寿命を予測することが出来る課題 ; サンプルサイズの影響を全く受けないわけではないまた高精度と言ってもまだ寿命予測のばらつきは大きい Bartlett で有意 (n=5,,5,2,3,5) 今回の提案は磨耗故障期 (IFR) に限定しているつまり初期故障期 (DFR) や偶発故障期 (CFR) に摘要できるかは検証できていない今後継続して実験を行い成果については随時報告する

24 掲載されている著作物の著作権については, 制作した当事者に帰属します. 著作者の許可なく営利非営利イントラネットを問わず, 本著作物の複製転用販売等を禁止します. 所属および役職等は, 公開当時のものです. 公開資料ページ弊社ウェブページで各種資料をご覧いただけます jp/statstcs/jre/ お問い合わせ先 ( 株 ) 科技研数理事業部パッケージサポート係

加速試験の寿命予測精度に必要な実験水準の設定と破壊データ数に関する考察 | 清水貴宏氏（パナソニック株式会社デバイス社）

加速試験の寿命予測精度に必要な実験水準の設定と破壊データ数に関する考察 | 清水貴宏氏（パナソニック株式会社デバイス社）加速試験の寿命予測精度に必要な試験水準の設定と故障データに関する考察パナソニック株式会社デバイス社半導体事業グループ清水貴宏. はじめに近年, 製品の安全性に関わる事故によってお客様の生活に影響する事案が発生している. そのため企業はお客様から安心安全について強く要求されている. 企業は, 信頼性試験などにより製品の寿命予測を行なうことでお客様に対して安心安全を保証している. 企業が一般的に採用している信頼性試験は,

Weibull分析を用いた信頼性寿命予測への提案 | 清水 貴宏氏（パナソニック株式会社 セミコンダクター社）

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