情報処理論　第２回　情報の符号化　2004/10/8

Size: px

Start display at page:

Download "情報処理論　第２回　情報の符号化　2004/10/8"

あきひろじゅふく
5 years ago
Views:

1 数学第 5 回群の構造 : 正規部分群 009/10/8 数学 #5 009/10/8 いろいろなシンメトリーを考える話はまだ続くのですが今回は間を入れて群自体についての考察です 1. 部分群正三角形は三角形として最大にシンメトリックな図形ですこれに対して二等辺三角形は回転のシンメトリーは失われていますが鏡映のシンメトリーを残しています逆に考えると正三角形は二等辺三角形のシンメトリーを部分的に持つといえますまあしかし正三角形は二等辺三角形の一種だから当たりまえといえば当たりまえですねしかし例えば正六角形のシンメトリーを考えてみましょう図を見てわかるように正六角形は内部に正三角形を隠し持っていますから正三角形のシンメトリーを部分的に持っていることになります図形のシンメトリー群というのは図形の形を変えない操作の集まりでしたから正六角形のシンメトリー群は正三角形のシンメトリー群を含んでいるはずですこのような大きな群の中にある小さな群を部分群といいますある群のなかにまた群があるという意味は群がノッペラボーなものではなくある種の構造があることを示していますその構造を調べるのが群論の目的のひとつですさて群というのは端的にいうと何らかの操作の集まりのことであり特に操作を続けて行うことをある種の掛け算 ( 積 ) と考えるのでしたこれを抽象的に定義すると定義集合 G の任意のつの要素 x y に対して以下の 4 条件が成り立つときとき G を群といいます (1) 積 x yがあり積の結果はGの要素の一つ : 閉じた演算 ()(x y) z=x (y z) が成り立つ : 結合法則 (3)x 1=1 x=x を満たすGの要素 1 すなわち単位元( 何もしない操作 ) が存在する (4)x x -1 =x -1 x=1 をみたすGの要素 x -1 すなわちxの逆元( 逆操作 ) が存在する 1

2 数学 #5 009/10/8 となります群のなかの群すなわち部分群も群である以上はこの定義 ( 公理 ) を満足するものでなければなりません ( 例 1)3 次置換のシンメトリー群 (3 次の対称群 ) すこれはこれまで何度か登場した群ですが改めて述べておきましょう 3 次の置換操作は次の 6 つで 1= σ= 3 1 τ= 3 1 a= 1 b= 3 1 c= 3 この 6 つの置換の集まりが 3 次置換のシンメトリー群です G の乗積表は次の表 1 のようになります : 1 σ τ a b c 1 1 σ τ a b c σ σ τ 1 c a b τ τ 1 σ b c a a a b c 1 σ τ b b c a τ 1 σ c c a b σ τ 1 ( 左端の列 ) ( 上端の行 ) を計算した表です例 )σ b=a 表 1 3 次置換のシンメトリー群 G の乗積表乗積表 ( 表 1) を見ると表の左上隅の操作 1 σ τ の部分には 1 σ τ しか出てきていませんよね? つまり巡回置換操作 1 σ τ 同士で掛け算しても他の3つの互換操作 a b c は出てきません( 図形的には回転で鏡映像を作ることができないことを表しています ) 3つの操作 N={1 σ τ} は全部で6 個ある操作の集まりの中で閉じたグループ ( 巡回派閥?) を形成しているわけですなわちNはGの部分群なわけですところでこのような閉じたグループは巡回置換グループだけではありません例えば恒等置換 1と互換 a のつの置換操作はこのつ同士でいくら掛け算しても 1とa 以外の構成員は出てきませんから閉じた小グループになっています念のため 1とa の乗積表を書いておきましょう : 1 a 1 1 a a a 1

3 数学 #5 009/10/8 結局 H={1 と a} は G の部分群です同様に 1 と b 1 と c も G の部分群となりますもちろん Gからテキトーに要素を選んだだけでそれらが部分群になるとは限りません例えば 1とσ で乗積表をつくると 1 σ 1 1 σ σ σ τ となって仲間外れの τ が出てきてしまうから閉じていませんまた 1 σ a だと 1 a σ 1 1 a σ a a 1 b σ σ c τ となって全然閉じていないのでこれもだめですこうやって調べていくと G の部分群は N={1 σ τ} H={1 a} H'={1 b} H''={1 c} の4つしかないことがわかりますと言いたいところですがちょっと待ってください恒等置換( 単位元 ) のみ ={1} というのは一応群の公理を満たしていますからこれも部分群として扱うべきですまたいま考えているのはGの部分であって G 自体は全体なのですがしかし G 自身を部分群のひとつと数えておくと何かと便利ですそんなわけで Gの全部分群は G N={1 σ τ} H={1 a} H'={1 b} H''={1 c} 1 の 6 つとなりますどんな群でも群それ自体と単位元のみという部分群を必ず持ちますしかしこのつは部分群としてはあたりまえすぎてあまりおもしろいものではないので自明な部分群と呼びこのつ以外の部分群を真部分群と呼んで区別することがあります ( つまり G の真部分群は 4 つ ) さて今の例ではなんだかあっさりと全ての部分群を書き出しましたが実際は何か群が与えられたときその部分群を見つけるのは結構難しい作業となります直接的な方法としては群のすべての要素の組み合わせについてその乗積表を作って閉じているかどうかをチェックすればいいのですが 3

4 群の要素数がちょっとでも多くなるとこれは膨大な作業となってしまいます数学 #5 009/10/8 しかしいくらなんでもそこまではしなくてもよく次のようなありがたい定理がありますラグランジュの定理 : 部分群の要素数は親の群の要素数の約数になります ( ただし ( 残念ながら ) 約数の要素数の部分群がいつでもあるとは限りません ) ( 例 ) 正方形のシンメトリー群は全部で8 個の操作 ( 回転 4+ 鏡映 4) からなります 8の約数はですから部分群があるとすればその要素数はこのうちのどれかでなければなりませんこのうち要素数 1と8の部分群は自明な部分群です ( 例 ) 4 次置換のシンメトリー群は全部で 4!=4 個の置換からなります 4 の約数はですから部分群があるとすればその要素数はこのうちのどれかでなければなりません ( 例 ) 5 次置換のシンメトリー群は全部で5!=10 個の置換からなります 10の約数はですから部分群があるとすればその要素数はこのうちのどれかでなければなりません ( 実はの部分群は存在しません ). 巡回群巡回置換を思い出しておきましょう A B C D E さん 5 人がこの順で円テーブルに座っているとします各人がいっせいに左隣の人で置き換えるという操作を行いますと各人の席位置は B CDEA となります A B E B A C D C E D このような置換を巡回置換というのでした今の置換を σ という記号で表し置換操作による席位置の変化を σ( ABCDE )= BCDEA 4

5 数学 #5 009/10/8 という式で表すことにしましょうさて同じσ 操作をもう一度行うと席位置は CDEAB 式で書くと σ σ( ABCDE )=σ ( ABCDE )= CDEAB となりますが元の ABCDE からみるとこれはいっせいにつ左隣の人で置き換えるという操作になっていることがわかります席位置は変わったものの隣接する人の順番は変わっていませんから σ も巡回置換の1つですさらに σの置換を何度も続けて行うと σは隣接する人の順番を変えませんからいつか元の席位置 ABCDE に戻ります( つまり人がぐるぐる巡回するわけですこれは正 5 角形の回転操作と完全に対応します ) σ 3 ( ABCDE )= DEABC σ 4 ( ABCDE )= EABCD σ 5 ( ABCDE )= ABCDE こうして 1 つの巡回置換から 5 つの巡回置換が作り出されましたこれを全て集めたもの C={1 σ σ σ 3 σ 4 } (σ 5 =1= 恒等置換に注意!) は群の公理を満足しますこの群を (5 次の ) 巡回群 cyclic group といって C 5 などと表記します巡回群が大事なのは次のような性質を持つからです (1) 巡回群は ( 上の例のように )1つの要素から作られる () 巡回群では掛け算の順番は関係ない (3) 要素数が素数の群は必ず巡回群である (4) 巡回群の部分群は必ず巡回群 (5) 巡回群の要素数の約数には対応する部分群が必ずある ( 例 ) 正六角形の回転シンメトリー群 (6 次巡回群 ) 正六角形は60 度回したら同じ形に重なりますそこで 60 度回転操作をσとしましょうすると σ = 10 度回転 σ 3 = 180 度回転 σ 4 = 40 度回転 σ 5 = 300 度回転 σ 6 = 360 度回転 = 何もしないとなりますこれは結局 6 人が円テーブルに座っているのと同じことなのでは巡回群になります乗積表を作ってみると C6={1 σ σ σ 3 σ 4 σ 5 } 5

6 数学 #5 009/10/8 1 σ σ σ 3 σ 4 σ σ σ σ 3 σ 4 σ 5 σ σ σ σ σ σ 3 σ 3 σ 4 σ 4 σ 5 σ 5 空欄を埋めてね! 表 6 次の巡回群 C 6 この巡回群の要素数は6ですのでその約数,3の要素数の部分群があるはずですこれは回転を考えればすぐわかるように {1 σ 3 } {1 σ σ 4 } です 3. 群の分解と正規部分群 3 次の置換シンメトリー群 G は部分群 H H={1 a} ( 互換の 1 つ ) と N={1 σ τ} ( 巡回置換 ) というのを持っていましたこのつの部分群の違いは見た目まず要素数が違うというのがありますがそれ以上に重要な性質上の違いがありますまず H です H 以外の G の残りの要素は {σ τ b c} の4つで ( そもそも恒等置換がないから ) これらだけで群をつくることはできませんがただの余りではなく部分群 Hとそれなりに関係しています余りの要素の中から ( どれでもいいのですが ) 置換 bを取り出してこれをHの各要素に右から 6

7 掛け算してみます ( 乗積表をみて計算してね ) すると数学 #5 009/10/8 Hb={1 b a b}={b σ} となって余りのうちのつが H から出てきましたさらに H の各要素に右から c を掛け算してみると今度は Hc={1 c a c}={c τ} となりますつまり S 3 は H によって H+Hb+Hc と仲間わけされることがわかりました ( これを部分群 H による G の右分解といいます ) これはちょうど整数を偶数 + 奇数と仲間わけすることあるいは 3 で割った余りで 0 の数 +1 の数 + の数と仲間わけできるのと似た状況ですところで今は要素を右から掛け算しましたが普通の数とは違って群では掛け算の順番を変えると結果が異なることがありますそこで今度は左から要素をかけてみましょうすると bh=={b 1 b a}={b τ} ch={1 c c a}={c σ} となって先の右掛けと同様 G の仲間わけ H+bH+cH ( 部分群 H による G の左分解といいます ) ができましたしかしよく見るとその構成員は右分解の場合とは違ったものとなっていますねさて今と同じことを今度はもう一つの部分群 N={1 σ τ} に対しても行ってみましょう N を除いた G の残りは {a b c} ですそこで要素 a を N に右から掛けてみましょう : Na={1 a σ a τ a}={a c b} となって G は N と Na のつに仲間わけされました次に左掛けしてみると an={a 1 a σ a τ}={a b c} となって今度は H の場合と違って右分解と左分解が一致しましたこれがこの説の初めの方で述べた部分群の性質の違いです Nのように ( 親の群 )Gの要素を右掛け左掛けしたとき構成要素が一致するような部分群を正規部分群 Nomal subgroup といいます何が正規 =ノーマルなのかはこれだけではよくわかりませんがこの部分群はいろいろと ( 数学者にとって ) 良い性質を持っていてそんな良い性質のものは ( 数学者にとって ) ノーマルなわけです ( 説明になってませんが要するに左右を区別しなくてもよいので整数と似た性質を持 7

8 数学 #5 009/10/8 つというのがノーマルなのです ) 実はこの正規部分群こそ方程式が解けるか否かのカギなのですともかく多くの群が部分群を持ちますがその中には正規な部分群と非正規な部分群があるわけですいささかあたりまえの例としては自明な部分群すなわち群自分自身と単位元というのが正規部分群でこのつはどんな群でも持つ正規部分群です特にこのつしか正規部分群を持たない群は単純群と呼ばれます整数が素数の掛け算で書けるようにすべての群は単純群の合成で書くことができますつまり単純群は群の世界の素数の役割を持ちます練習問題 1 本文では 3 次置換のシンメトリー群の部分群 N={1 σ τ} が正規部分群であることを示すとき N に a を掛けただけでしたが b c をかけたらどうなるでしょうか? 1 次の巡回群 C 1 ={1 σ σ σ 11 } の部分群を列挙してください 8

数学２　第３回　３次方程式：１６世紀イタリア　2005/10/19

数学２　第３回　３次方程式：１６世紀イタリア　2005/10/19 数学第 9 回方程式とシンメトリ - 010/1/01 数学 #9 010/1/01 1 前回紹介した次方程式の解法はどちらかというとヒラメキ的なもので一般的と言えるものではありませんでしたというのは次方程式の解法を知っても 5 次方程式の問題に役立てることはできそうもないからですそこでより一般的な別解法はないものかと考えたのがラグランジュという人ですラグランジュの仕事によって

情報処理論 第２回 情報の符号化 2004/10/8

情報処理論　第２回　情報の符号化　2004/10/8