シリーズ 5 年下 第 0 回 基本問題 練習問題の 速さの問題は, 図をしっかり書きましょう 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります クロス形やピラミッド形をさがしましょう 影の問題の場合は, 頭から真横, 光線の最後から真横に補助線を引きます 等差数列の N 番目 = はじめ + 増える ( N - ) 等差数列の和 = ( はじめ + おわり ) 個数 2 階差数列 (5, 6, 8,, 5, など ) は,5 番目のときなどを式にして書くとわかりやすくなります から 0 までの和は 55, から 3 までの和は 9 三角数, 平方数に敏感になりましょう 分数の数列の場合は, 段にして書きましょう 目 次 基本 < 第 6 回 > () p. 基本 < 第 9 回 > () p.7 基本 < 第 6 回 > (2) p. 基本 < 第 9 回 > (2) p.8 基本 < 第 6 回 > (3) p.2 基本 < 第 9 回 > (3) p.8 基本 < 第 6 回 > 2 () p.3 基本 < 第 9 回 > 2 () p.9 基本 < 第 6 回 > 2 (2) p.3 基本 < 第 9 回 > 2 (2) p.9 基本 < 第 6 回 > 3 p.4 基本 < 第 9 回 > 3 () p.20 基本 < 第 7 回 > () p.5 基本 < 第 9 回 > 3 (2) p.2 基本 < 第 7 回 > (2) p.5 練習 () p.22 基本 < 第 7 回 > (3) p.6 練習 (2) p.23 基本 < 第 7 回 > 2 () p.7 練習 (3) p.24 基本 < 第 7 回 > 2 (2) p.7 練習 2 () p.25 基本 < 第 7 回 > 3 () p.8 練習 2 (2) p.26 基本 < 第 7 回 > 3 (2) p.9 練習 3 p.27 基本 < 第 8 回 > () p. 練習 4 () p.29 基本 < 第 8 回 > (2) p.2 練習 4 (2) p.30 基本 < 第 8 回 > (3) p.3 練習 5 () p.3 基本 < 第 8 回 > 2 () p.5 練習 5 (2) p.35 基本 < 第 8 回 > 2 (2) p.6 チャレンジ () p.36 チャレンジ (2) p.37 すぐる学習会
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 () 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります 時間は 60 分ですから,3 時間 30 分は,60 3 + 30 = 20( 分 ) です 2 時間は,60 2 = 20( 分 ) です よって, 上りと下りの時間の比は,20 : 20 = 7 : 4 です 速さの比は逆比になって,4 : 7 になります よって, 上りの速さを 4 とすると, 下りの速さは 7 になります この問題は, 上りの速さは下りの速さの何倍か, という問題です 4 7 = 4 ということですから, = 4 7 = ( 倍 ) になります 7 < 第 6 回 > 基本 (2) 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります 200 m を走るのに, 兄と弟のかかる時間の比は,28 : 32 = 7 : 8 です 速さの比は逆比になって,8 : 7 です スタート 200m ゴール 兄が 200 m を走ってゴールしたとき, 弟はおそいので, まだゴールしていません 兄が走った 200m を 8 とすると, 弟が走ったきょりは,7 にあたります 兄 弟 7 8 あたり,200 8 = 25(m) です 兄がゴールしたとき, 弟は, ゴールまであと 8-7= だけ手前にいました を求める問題ですから, 答えは 25 m になります スタート 兄 弟 200m 7 8 ゴール - -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 (3) 速さの差集め算として解く方法もありますが, 比で解説します 時速 4 kmと時速 3 kmの速さの比は,4 : 3 です よって, かかる時間の比は逆比になって,3 : 4 です 時速 4 kmのときのかかる時間を 3 にすると, 時速 3 kmのときのかかる時間は 4 です 時速 4 kmと時速 3 kmでは, かかる時間に 4-3= のちがいがあります ところで, 時速 4 kmのときは予定より 30 分早く着き, 時速 3 kmのときは予定より 40 分おくれたそうです 30 分早く着くのと 40 分おくれるのでは,30 + 40 = 70( 分 ) のちがいがあります よって,70 分が にあたります 時速 4 kmのときのかかる時間は 3 にあたりますから,70 3 = 20( 分 ) です 時間は 60 分ですから,20 分は,20 60 = 3.5( 時間 ) です 君が歩く道のりは, 時速 4 kmで 3.5 時間かかるような道のりであることがわかりました よって, 君が歩く道のりは,4 3.5 = 4( km ) になります - 2 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 2 () 同じ道のりを進むとき, 速さの比は, かかる時間の逆比になります 君が 分間 ( = 60 秒 ) で泳ぐ距離を, 君は 35 秒で泳ぎます かかった時間の比は,60 : 35 = 2 : 7 です よって, 君と 君の速さの比は逆比になって,7 : 2 です < 第 6 回 > 基本 2 (2) () がわかれば,(2) は簡単です () で, 君と 君の速さの比は 7 : 2 であることがわかりました 君が泳いだ距離を 7 とすると, 君が泳いだ距離は 2 になります 2 人が泳いだ距離の差は,2-7=5 にあたります よって,20m が 5 にあたるので, あたり,20 5 = 24(m) です 君が泳いだ距離は 7 にあたるので,24 7 = 68(m) になります - 3 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 6 回 > 基本 3 速さの比を求めるだけでなく, 道のりを決めることが大切です 町から 町まで行くのに, 徒歩なら 48 分, 自転車なら 6 分かかります 徒歩と自転車の, かかる時間の比は,48 : 6 = 3 : です よって, 速さの比は逆比になって, : 3 です ここで, 徒歩は分速 m, 自転車は分速 3 m であると決めます すると, 町から 町までの道のりは, 分速 m の徒歩で 48 分かかるような道のりですから, 48 = 48(m) になります あるいは, 分速 3 m の自転車で 6 分かかるのですから,3 6 = 48(m) としても OK です いま, 最初は分速 3 m の自転車で出発しましたが, 途中で自転車がパンクしたので, そこからは分速 m の徒歩で行き, 全部で 24 分で 48 m を進んだことになります この問題は, ( つえも入れて ) 足が 3 本あるおじいさんと, 足が 本のかかしが合わせて 24 人いて, 足の数の合計が 48 本になっている というような, つるかめ算になります 面積図で書くと, 右の図のようになります 点線部分の面積は,3 24-48 = 24 です 点線部分のたての長さは,3 - = 2 です 3 よって, 点線部分の横の長さは,24 2 = 2 です したがって, 分速 3 m の自転車に乗っていたのは, 24-2 = 2( 分間 ) になります 自転車がパンクしたのは, 町を出発してから 2 分後になります 48 24-4 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 () 図を書けば, 大変簡単に求められます 兄は 地を, 弟は 地を同時に出発して, 20 分後に兄と弟は出会ったそうです 兄 兄 20 分 弟 20 分 弟 出会ってから 2 分後に, 兄は 地に着いたそうです 出会った地点から 地までの道のりを, 兄が 2 分かかり, 弟は 20 分かかりました 兄 兄 20 分 兄 2 分弟 20 分弟 兄と弟の, かかった時間の比は,2 : 20 = 3 : 5 です よって, 兄と弟の速さの比は逆比になって,5 : 3 になります < 第 7 回 > 基本 (2) 図をしっかり書きましょう 妹が出発して 5 分後に, 姉が出発します 姉 妹 妹 5 分 姉が出発してから 25 分後に, 姉は妹に追いついたそうです 姉 姉 25 分 妹 妹 5 分 妹 25 分 姉が 25 分かかる道のりを, 妹は 5 + 25 = 40( 分 ) かかります かかった時間の比は,25 : 40 = 5 : 8 ですから, 速さの比は逆比になって,8 : 5 になります 姉 25 分姉 妹 5 分妹 25 分妹 妹 40 分 - 5 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 (3) 母は 2 人います 走る母と, 自転車の母です 光君が家を出発してから 3 分後に, 光 光 3 分 走る母が出発すると,6 分で追いつくそうです 走る母 光 3 分光 走る母 6 分 光 6 分 走る母が 6 分で進んだ道のりを, 光君は 3 + 6 = 9( 分 ) で進みます 走る母 走る母 6 分 かかった時間の比は 6 : 9 = 2 : 3 ですから, 速さの比は逆比になって,3 : 2 です 走る母と光君の速さの比は,3 : 2 であることがわかりました また, 自転車の母は, 光君に 2 分で追いつくそうです 光 光 3 分 光 6 分 光 9 分 自転車の母 2 分自転車の母 光 光 3 分 光 2 分 自転車の母が 2 分で進んだ道のりを, 光君は 3 + 2 = 5( 分 ) で進みます かかった時間の比は 2 : 5 ですから, 速さの比は逆比になって,5 : 2 です 自転車の母 光 自転車の母 2 分 光 3 分光 2 分 光 5 分 自転車の母と光君の速さの比は,5 : 2 であることがわかりました 走る母 と 自転車の母 と 光君 の速さの比は, 右のように 3 : 5 : 2 になりますから, 母の走る速さと自転車の速さの比は, 3 : 5 になります 走る母 自転車の母 光 3 : 2 3 : 5 : 2 5 : 2-6 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 2 () 速さの比を求めるだけでなく, 道のりを決めることが大切です 家から学校まで, 兄は 20 分, 弟は 28 分かかるのですから, かかる時間の比は, 20 : 28 = 5 : 7 です 兄と弟の速さの比は逆比になって,7 : 5 です ここで, 兄の速さを分速 7 m, 弟の速さを分速 5 m に決めます 家から学校までの道のりは, 分速 7 m の兄が 20 分かかるのですから,7 20 = 40(m) です 分速 5 m の弟が 28 分かかるので,5 28 = 40(m) としても OK です () は, 家から学校までの 40 mを, 兄は家から分速 7 mで, 弟は学校から分速 5 mで進んで, 何分後に出会うか, という問題です 40 2 40 ( 7 + 5 ) = 40 2 = = ( 分後 ) に, 2 3 兄と弟は出会うことになります 兄 7 家 40m 学校 弟 5 < 第 7 回 > 基本 2 (2) () で決めた速さを,(2) でも利用しましょう () で, 兄は分速 7 m, 弟は分速 5 m に決めました この速さを,(2) でも利用することにします 兄が出発するときは, 弟はすでに 4 分間進んでいます 弟は分速 5 m ですから,5 4 = 20(m) 先まで進んでいることになります 兄は弟よりも速いので, 弟に追いつくことができます 20 ( 7-5 ) = 0( 分後 ) に, 兄は弟に追いつきます 兄 7 弟 5 20m - 7 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 3 () 度目に出会うまでの図を書くと, 速さの比を求めることができます 君は P を, 君は Q を同時に出発します 2 人が 度目に出会ったところは,P から, PQ 間の距離を 7 つに分けたうちの, P 7 Q 4 つ目のところです P から Q までの距離を 7 にすると,2 人が出会った地点は,P から 4 のところです 君は 4 の距離を進んで, P 4 7 Q 君は 7-4=3 の距離を進んで,R 地点で出会いました よって, 君と 君の速さの比は,4 : 3 になります P 4 7 R 3 Q - 8 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 7 回 > 基本 3 (2) 度目に出会うまでの図と,2 度目に出会うまでの図をくらべます たとえば, 出発してから 0 分後に, 度目に出会ったとしましょう 度目に出会うまでに, 君と 君を合わせて, PQ 間の距離 本ぶんを進んでいます P Q 0 分後 そのとき, 出発してから 30 分後に,2 度目に出会うことになります 2 度目に出会うまでに, 君と 君を合わせて PQ 間の距離 3 本ぶんを進んでいるので, 時間も 3 倍になったのです P 30 分後 Q この問題の場合は, 出発してから 度目に出会うまでに, 君は 4, 君は 3 を進んでいます P 4 7 R Q R から Q までの距離は,3 です 3 出発してから 2 度目に出会うまでに 君は 4 の 3 倍の,4 3 = 2 を進みます P S 7 2 Q ( 次のページへ ) - 9 -
S から Q までの距離は,2-7=5 になります P S 7 5 Q S から Q までの距離は 5,R から Q までの距離は 3 ですから,R から S までの距離は,7-5=2 にあたります 問題に書いてある通り,R から S までの距離は 360 m です これが 2 にあたるのですから, あたり, 360 2 = 80(m) です 7 P S R 5 3 Q PQ 間の距離は 7 にあたりますから,80 7 = 260(m) になります - 0 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 () 相似図形をさがしましょう 右の図のように, 全体の三角形の, 直角でない角に, と を書くと, と 合わせて 90 度です 6 cm 2 cm 8 cm 白い直角三角形の, 直角でない角を, と? にすると, と? 合わせて 90 度です ところで, と 合わせて 90 度でしたから,? は と同じ角度です 6 cm? 2 cm 8 cm 右の図のようになり, 全体の三角形と, 白い三角形は, 相似です 6 cm 全体の三角形の底辺と高さの比は,8 : 2 = 2 : 3 ですから, 白い三角形の底辺と高さの比も,2 : 3 です よってアは,6 3 2=4(cm) になります 全体の三角形の面積は,8 2 2 = 48(cm 2 ) で, 白い三角形の面積は,4 6 2 = 2(cm 2 ) ですから, かげをつけた部分の面積は,48-2 = 36(cm 2 ) になります 8 cm ア 2 cm - -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 (2) 相似な三角形がいくつもあります どれを利用したら良いでしょう 正方形は, たてと横の長さが等しいので, 右の図のように長さを書きこむことができます の直角三角形は, 底辺と高さの比が,3 : ( 5-3 ) = 3 : 2 です と は相似ですから, の底辺と高さの比も,3 : 2 です 3cm 3cm 3cm 5cm 5cm 5cm 右の図のようになるので,3あたり 5 cmですから, 2 あたり,5 3 = (cm) です 3 2 2のところは, 2 = 3 (cm) です 3 3 よって,Cの長さは,3 + 5 = 8 (cm) になります 3 3-2 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 (3) 折る前と折った後の角度は同じです 角 は 48 度, 角 C は 56 度ですから, 角 は, 80 - ( 48 + 56 ) = 76( 度 ) です 76 48 56 C 折り目をつけて, D 76 E 48 56 C 右の図のようにおりました D 76 E 48 F 56 C 折る前と折った後の角度は同じなので, 右の図のように, 〇, を書きこむことができます 三角形 DE において, は 76 度ですから, 〇と の和は,80-76 = 04( 度 ) です D 76 E 48 F 56 C ( 次のページへ ) - 3 -
ところで問題には, 右の図のように角アと角イが 76 ありました D ア は 80 度, イ〇〇も 80 度です イ E 〇と の和が 04 度であることを利用するためア 56 に, ア とイ〇〇を合計して整理すると, 48 C F アイ〇 〇 が,80 2 = 360( 度 ) になります よってアとイの和は,360-04 2 = 52( 度 ) です また, 問題には, アとイの角度の比が 5 : 3 であることが書いてありました アは,52 ( 5 + 3 ) 5 = 95( 度 ) になるので, 右の図のようになります D 76 三角形 EFC の 3 つの角度の和は 80 度ですから, χ は,80 - ( 95 + 56 ) = 29( 度 ) になります 48 イ F E χ 95 56 C - 4 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 2 () 街灯の高さを求めるためには, 棒 は必要ありません この問題は, 右の図のようすだけで解くことができます 街灯 3.6m 6m 街灯 棒のてっぺんから横に補助線を引くと, 右の図の と は, 相似になります アの長さは 9 m ですから, と の底辺の比は, 9 : 6 = 3 : 2 です ア 3.6m 6m 高さの比も 3 : 2 になるので, 右の図のイの長さは,3.6 2 3 = 5.4(m) です 街灯 イ 3.6m 6m よって街灯の高さは,5.4 + 3.6 = 9(m) になります - 5 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 8 回 > 基本 2 (2) 棒 と棒 は同じ長さであることを忘れないようにしましょう () で, 街灯の高さは 9 m であることがわかりました 街灯 (2) は, 右の図の の部分の長さを求める問題です 3.6m 3.6m 6m 5m 建物 街灯 棒 のてっぺんから, ま横に補助線を引きます また, 光線の最後から, ま横に補助線を引きます 右の図の, アとイは相似になります アの底辺は,9 + 6 = 5(m) で, イの底辺は 5 m ですから, アとイの底辺の比は,5 : 5 = 3 : です ア 3.6m イ 3.6m 6m 5m 建物 アとイの高さの比も 3 : です 右の図のように, アとイの高さを 3 と にすると,9-3.6 = 5.4(m) が 3 にあたります あたり,5.4 3 =.8(m) です 街灯 3 ア 3.6m イ 3.6m 6m 5m 建物 よって の長さは,3.6 -.8 =.8(m) になります - 6 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 () 5 番目のときなどのサンプルを書いて考えると, わかりやすくなります この数列は, 右のように増えていっています 2, 3, 5, 8, 2, + +2 +3 +4 たとえば,5 番目の数である 2 を求めるときに, どのような計算で求めるのかを考えてみます 番目の数は 2 です この, 番目の数に, 2, 3, 5, 8, 2, + +2 +3 +4 2, 3, 5, 8, 2, + +2 +3 +4 をたして 2 をたして 3 をたして 4 をたせば,5 番目の数である 2 になります つまり, 番目の数である 2 に, から 4 までの数をたせば,5 番目の数になります 2, 3, 5, 8, 2, + +2 +3 +4 式で書けば,5 番目の数である 2 を求めるときには,2 + ( + 2 + 3 + 4 ) とすることになります 5 番目の数なのに, 式の ( ) の中は, から 5 までの和ではなく, から 4 までの和になっていることに注意しましょう 20 番目の場合は,2 + ( + 2 + 3 + + 9 ) という式になります ( ) の中は,( はじめ + おわり ) 個数 2 = ( + 9 ) 9 2 = 90 ですから, 答えは,2 + 90 = 92 になります - 7 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 (2) 平方数 であることに, 気づくようになりましょう 数列をはじめから見ていくと,64 = 8 8,8 = 9 9,00 = 0 0, 44 = 2 2,69 = 3 3 と, すべて平方数になっています ですから,4 番目の数は, = 2 で,7 番目の数は,4 4 = 96 になります < 第 9 回 > 基本 (3) 段にして書けば, 分数の並び方がわかりやすくなります 3 番目の をと考え,3 番目の はに, 3 5 6 番目の はのように考えて, 分母が同じ 5 分数は同じ段になるようにすると, 右のようになります + 2 + + 3 = 9 ですから, 段目から 3 段目までの分数が, 全部で 9 個あります よって 99 番目の分数は,4 段目の, 99-9 = 8( 番目 ) になります, 3 3,3, 3 5 5,5,5 3 5 7 7,7,7,7, 9, 個 2 個 3 個 4 個 5 個 ところで 段目の分数の分母は です 2 段目の分数の分母は 3 です このようにして, 段目,2 段目, の分母だけを書いていくと,,3,5,7, という, 等差数列になっています 4 段目ならば, はじめの数 + 増える数 ( N - ) = + 2 ( 4 - ) = 27 です したがって,4 段目の分数の分母は,27 であることがわかりました また, どの段も, 分子は,3,5,7, という等差数列になっています 8 番目ならば, はじめの数 + 増える数 ( N - ) = + 2 ( 8 - ) = 5 です 5 5 したがって,4 段目の 8 番目の分数は, = になります 27 9 5 3 約分しないでが正解と思うかもしれませんが, たとえばは約分して に 27 3 5 5 しているのですから, も約分してを答えにすべきです 27 9-8 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 2 () 段にして書けば, 分数の並び方がわかりやすくなります 分母が同じ分数は同じ段になるようにして, 右のように書きます すると, 分母が の分数が 個, 分母が 2 の分数が 2 個, と並んでいき, 分母が 8 の分数なら 8 個並んでいます 段目から 8 段目までで, + 2 + + 8= 36( 個 ) ありますから, 分母が 9 の分数は,36 + = 37( 番目 ) から,36 + 9 = 45( 番目 ) まで並んでいることになります, 2,2, 3,3,3 4,4,4,4, 5, 個 2 個 3 個 4 個 5 個 8, 8 個 9, 9 個 < 第 9 回 > 基本 2 (2) + 2 + + 0 = 55, + 2 + + 3 = 9 を, おぼえておきましょう から 0 までの和は 55 ですから, から までの和なら,55 + = 66 です つまり, 段目までで, 全部で 66 個の分数が並んでいることになります よって 70 番目の分数は,2 段目の,70-66 = 4 ( 番目 ) の分数になります ところで, 段目の分数は =,2 段目の分数の和は 2 =,3 段目の分数の和は 3 =, のように, 2 3 どの段の分数の和も, 必ず になっています したがって, 段目から 段目までで, が 個あるので になります 2 段目は, が 4 個だけあるので, 4 = です 2 2 3, 2,2, 3,3,3 4,4,4,4, 5, したがって,70 個すべての分数の和は, + = になります 3 3 個 2 個 3 個 4 個 5 個, 個,2,2,2 2 4 個 和 3-9 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 3 () 段目,2 段目,3 段目,4 段目の整数の和を求めてみましょう 段目は, です 2 段目の和は, + 2 + = 4 です この 4 という数は,2 2 = 4 となっています 3 段目の和は, + 2 + 3 + 2 + = 9 です この 9 という数は,3 3 = 9 となっています このように, 段目の和なら, となっているのです 段目 2 段目,2, 3 段目,2,3,2, 4 段目,2,3,4,3,2, なぜ, どの段も, このような平方数になっているかを,4 段目を例にして説明します 4 段目は, + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + となっています これをタイルにして表すと, 右の図のようになります タイルをくっつけて書くと, 右の図のようになります 左側の + 2 + 3( 個 ) のタイルをくるっと回転させて右側にもっていって, くっつけると, 右の図のように 4 4( 個 ) のタイルになります 他の段の場合も同じように考えると, 段目の数の和は になるのです () は 2 段目の数の和ですから,2 2 = 44 になります - 20 -
シリーズ 5 下第 0 回 < 第 9 回 > 基本 3 (2) () でわかったことを利用します () で, 段目の整数の和は, という, 平方数 になることがわかりました (2) は, が,000 をはじめてこえるような を求める問題です このような問題の場合は, いろいろ数をあてはめてみて求めるしか, 方法はありません たとえば に 30 をあてはめてみると,30 30 = 900 になり, まだ小さすぎます が 3 なら,3 3 = 96 になり, まだ少し小さいです が 32 なら,32 32 = 024 になり, はじめて 000 をこえます よって, はじめて 000 をこえるのは,32 段目になります - 2 -
シリーズ 5 下第 0 回 練習 () 5 : 2 : 3 の直角三角形に親しみましょう 右の図のアの長さは,36-0 = 26(cm) です 29cm 36cm ア 0cm 24cm アを折ったら右の図のイのところにきたので, イの長さも 26 cm です よって, 右の図の太い三角形の三つの辺の長さの比は, 0 : 24 : 26 = 5 : 2 : 3 です 36cm ア 0cm 29cm イ 24cm 29cm 右の図のように〇, を書きこむと, 〇と の和は 90 度です と? の和も 90 度なので,? は〇と同じ角度になります 36cm 26cm 0cm 26cm 24cm? 右の図のようになるので, 太線の三角形も, 三つの辺の長さの比は,5 : 2 : 3 です 29cm また, ウの長さは,29-24 = 5(cm) です 36cm 26cm 0cm 26cm ( 次のページへ ) 24cm ウ - 22 -
右の図のようになり, エは 2 cm, オは 3 cm になります 29cm 36cm 26cm 0cm 26cm 24cm オ 5cm エ 練習 (2) 5 : 2 : 3 の直角三角形は, まだまだあります ところで, 右の図の太線は, 折る前は辺 D だったのですから, 長さは 29 cm です よって右の図のカの長さは,29-3 = 6(cm) です 36cm 26cm 0cm 29cm 26cm 3cm 24cm 5cm D カ 2cm 右の図の太線の三角形も, これまでと同様に, 三つの辺の長さの比は,5 : 2 : 3 です 36cm 26cm 29cm D 6cm 26cm 3cm 2cm 0cm 24cm 5cm 右の図において,6 cmが2にあたるので, 4 あたり,6 2 = (cm) です 3 4 2 5の長さは, 5 = 6 (cm) です 3 3 4 3の長さは, 3 = 7 (cm) です 3 3-23 -
シリーズ 5 下第 0 回 練習 (3) 台形の上底, 下底, 高さはすでにわかっています 右の図の太線の台形の面積を求める問題です 2 台形の上底は 6 cm です 3 下底は 26 cm です 高さは 29 cm です よって台形の面積は, 2 ( 6 + 26 ) 29 2 3 2 = 32 29 2 3 98 29 = 3 2 42 = 3 2 36cm 26cm 0cm 29cm 26cm3cm 24cm 7 cm 3 5cm D 6 2 cm 3 6cm 2cm = 473 3 (cm 2 ) になります - 24 -
シリーズ 5 下第 0 回 練習 2 () から始まる奇数の和 は, 平方数になります 右の表のように, 分子 + 分母が 2 の分数が 個, 分子 + 分母が 4 の分数が 3 個, 分子 + 分母が 6 の分数が 5 個, のように, 分数が並んでいます たとえば, 分子 + 分母が 0 なら, 分数は 9 個並んでいます つまり, 分子 + 分母 の数から を引いた数が, 並んでいる個数になります 9 の 分子 + 分母 は,9 + = 20 ですか ら, 右の表のアは 20 です イは,20 - = 9 になります この問題は, 全部で何個の分数が並んでいるか, という問題でした 分子 + 分母 2 4 6 8 0 ア, 2 3 3,2,, 2 3 4 5 5,4,3, 2,, 2 3 4 7,6,5,4, 9, 9 個 3 個 5 個 7 個 9 個 イ個 つまり, + 3 + 5 + + 9 の計算をすればよいことになります この計算のような, から始まる奇数の和 を求めるときには, 大変簡単な計算方法があります それは, 個数の平方数 という方法です しかも個数を求めるには, はじめと最後の平均 を求めればよいのです たとえば, + 3 + 5 + 7 だったら, 全部で 4 個ありますから,4 4 の計算をすれば OK です たとえば, + 3 + 5 + 7 + 9 + だったら, 全部で 6 個ありますから,6 6 の計算をすれば OK です + 3 + 5 + + 9 の場合も, まず個数を, はじめと最後の平均 を利用して, ( + 9 ) 2 = 0( 個 ) と求め, さらに 0 の平方数にするのですから, 0 0 = 00 が答えになります - 25 -
シリーズ 5 下第 0 回 練習 2 (2) 分母が 6 の分数の分子は, 何から何までなのかを考えましょう 分母が 6 の分数は, 分母だけで 6 なのですから, 分子 + 分母 が 2,4,6 の段には, 分母が 6 の分数はありません 分子 + 分母 が 8 の段には,8-6 = 2ですから, 2 があります 6 分子 + 分母 が 0 の段には,0-6 = 4 ですから, 4 があります 6 いちばん下の段である 分子 + 分母 が 20 の段には, 4 20-6 = 4 ですから, があります 6 分子 + 分母 2 4 6 8 0, 2 3 3,2,, 2 3 4 5 5,4,3, 2,, 2 3 4 7,6,5,4, 9, 20 9 このように考えると, 分母が 6 の分数の分子の和は, 2 + 4 + + 4 = ( 2 + 4 ) 7 2 = 56 になります 56 よって, 分母が 6 の分数の和は, = 9 になります 6 3-26 -
シリーズ 5 下第 0 回 練習 3 グラフの中に, クロス形 を発見することができますか? 兄は,6 分のときに出発して, 30 分のときに往復してもどってきました 公園 ウ 兄は,30-6 = 24( 分 ) かかって往復しました よって, 兄は家から公園まで, 24 2 = 2( 分 ) かかりました 兄は 6 分のときに出発したのですから, 右のグラフのウは,6 + 2 = 8( 分 ) になります 兄弟家 0 6 アイ 30( 分 ) アの値を求めるには, 右のグラフの斜線をつけたクロス形に注目します エは 6 分, オは 30-8 = 2( 分 ) ですから, エ : オは,6 : 2 = : 2 です 公園 弟 兄 8 オ 家 0 エ 6 アイ 30( 分 ) 右のグラフのカ : キも : 2 です 弟は全部で 30 分かかったのですから, グラフのアの値は, 30 ( + 2 ) = 0( 分 ) になります 公園 カ 兄 8 キ 弟 家 0 6 アイ 30( 分 ) ( 次のページへ ) - 27 -
イの値を求めるには, 右のグラフの斜線をつけたクロス形に注目します クは 30-8 = 2( 分 ), ケは 30 分ですから, ク : ケは,2 : 30 = 2 : 5 です 公園 兄 8 ク 弟 家 0 6 アイケ 30( 分 ) 右のグラフのコ : サも 2 : 5 です 公園弟は全部で 30 分かかったのですから, グラフのイの値は, 3 30 ( 2 + 5 ) 5 = 2 ( 分 ) になります 7 弟 サ 兄 8 コ 家 0 6 アイ 30 ( 分 ) - 28 -
シリーズ 5 下第 0 回 練習 4 () 兄が弟を追いこした後のようすで, 速さの比がわかります 兄と弟の速さの比は, 兄が弟に追いついてから, 兄が 地にもどってくるまでのようすで, 求めることができます 兄弟 0 km 兄が弟に追いついたのは, 町まであと, 2.8 kmの地点です 追いつく 2.8 km 兄が 町にもどってきたとき, 弟は 町まであと 3.2 kmのところにいたそうです 兄 0 km 右の図において, 兄は 2.8 + 0 = 2.8( km ) を進みました 弟は兄よりも 3.2 kmおくれたので, 弟の進んだ道のりは,2.8-3.2 = 9.6( km ) です 弟 3.2 km 追いつく 2.8 km 兄が 2.8 km進む間に, 弟は 9.6 km進んだので, 兄と弟の速さの比は,2.8 : 9.6 = 4 : 3 になります - 29 -
シリーズ 5 下第 0 回 練習 4 (2) 兄が弟を追いこすまでのようすから, 兄と弟の速さがわかります 兄が出発したのは, 弟が出発してから 30 分後でした 兄弟 30 分 0 km 追いつく 2.8 km 兄は弟に追いつくまでに,0-2.8 = 7.2( km ) を進みました 右の図のアの部分です () で求めた通り, 兄と弟の速さの比は 4 : 3 です よって, 兄が 7.2 kmを進む間に, 弟は,7.2 4 3 = 5.4( km ) を進んでいます 右の図のイの部分です 兄弟 30 分 0kmアイ 追いつく 2.8 km よって, 弟が 30 分で進んだ道のりは,7.2-5.4 =.8( km ) になります 弟は 30 分で,.8 km = 800 m を進むのですから, 弟の分速は,800 30 = 60(m) です 兄と弟の速さの比は 4 : 3 ですから, 弟の分速が 60 m なら, 兄の分速は,60 3 4 =80(m) です この問題は, 兄が弟に追いついてから何分後に, 兄と弟が出会ったのか, という問題です 兄が弟に追いついてから出会うまでのようすは, 右の図のようになります 兄 弟 出会う 2.8 km 兄の折り返されている線をまっすぐにのばすと, 右の図のようになります 兄と弟が,2.8 2 = 5.6( km ), つまり 5600 m はなれていて, 兄は分速 80 m, 弟は分速 60 m の速さで, 何分後に出会うか, という問題ですから, 5600 ( 80 + 60 ) = 40( 分後 ) になります 弟 出会う 2.8 km 2.8 km 兄 - 30 -
シリーズ 5 下第 0 回 練習 5 () 右から見た図や, 正面から見た図を書いて, イメージしましょう 図 は, 右から見た図です 8m 図 3m 2m 図 2 のようにすると, アは 8-4 = 4(m), イは 3 + 2 = 5(m) です ア : イは 4 : 5 で,4 m: ウも 4 : 5 ですから, ウは 5 m です ウ 図 2 アイ 3m 2m 8m 図 3 は, 正面から見た図です 8m 図 4 のようにすると, エは 8-4 = 4(m), オは 5 + 4 = 9(m) です エ : オは 4 : 9 で,4 m: カも 4 : 9 ですから, カは 9 m です 5m 図 3 オ エ 8m カ 図 4 5m 右から見た図, 正面から見た図は, 次のようになります 右から見た図 正面から見た図 8m 8m 5m 3m 2m 5m ( 次のページへ ) - 3 -
では, 上から見た図を書いていきましょう 2m 3m 5m 右から見た図 では, 光線は直方体から 5 m はなれたところまでとどいています 右から見た図 8m 5m 3m 2m ですから, 上から見た図でも, 光線は直方体から 5 m はなれたところまで書きます 3m 5m 2m 5m 右から見た また, 正面から見た図 では, 光線は直方体から 9 m はなれたところまでとどいています 正面から見た図 8m 5m ですから, 上から見た図でも, 光線は直方体から 9 m はなれたところまで書きます 3m 5m 2m 正面から見た ( 次のページへ ) - 32 -
右から見た図 と 正面から見た図 から, 光線は右図のようにとどくことがわかりました 3m 5m 2m 5m また, 直方体の の部分を通る光線は, 2m 3m 5m 5m 右の図の部分までとどくこともわかります 2m 3m 5m 5m よって, 影になる部分は右の図の斜線部分のようになります 斜線部分を, アとイに分けます ア 2m 3m 5m イ 5m アの部分をふくめた太線の図形は, ピラミッド形になっています よって右の図の の長さは,3 2 = 6(m) です アの面積は,( 3 + 6 ) 9 2 = 40.5(m 2 ) です ア 3m 5m ( 次のページへ ) - 33 -
イの部分をふくめた太線の図形は, ピラミッド形になっています よって右の図の の長さは,5 2 = 0(m) です イの面積は,( 5 + 0 ) 5 2 = 37.5(m 2 ) 2m 3m 5m イ 5m 5m アは 40.5 m 2, イは 37.5 m 2 ですから, 影の面積は,40.5 + 37.5 = 78(m 2 ) になります ア 2m 3m 5m イ 5m - 34 -
シリーズ 5 下第 0 回 練習 5 (2) () の図を,(2) でも利用します () では, 右から見た図 や 正面から見た図 も書きましたが, 結局は 上から見た図 を書いて, 面積を求めました 6m ア 2m 3m 5m イ 5m 0m (2) では,4 m の部分が χm になり, それによって,9 m の部分も変わります 9 m の部分がなぜ変わるかというと, 5 + 4 = 9 として 9 m を求めたのですが, その式の 4 の部分が χ になるからです 6m ア 2m 3m 5m イ 5m 0m よって, 右のような図になります 影の面積は, 問題に書いてある通り 90 m 2 です イの面積は,() と変わらず 37.5 m 2 ですから, アの面積は,90-37.5 = 52.5(m 2 ) です よって, アの高さである ( 5 +χ)m のところをにすると,( 3 + 6 ) 2 = 52.5 となります 2 2 52.5 2 = 05 05 ( 3 + 6 ) = ですから, は (m) です 3 3 2 2 は ( 5 +χ) のことでしたから,χ は, - 5 = 6 (m) になります 3 3 6m (5+χ)m ア 0m イ 3m 5m 2m χm 5m - 35 -
シリーズ 5 下第 0 回 チャレンジ () わかることをもれなくきちんと図に書きこむことが大切です 太郎君は,Q 地点で折り返してから 3 分後に次郎君とすれちがいました 太 P 3 分 Q 次 すれちがったときから次郎君は速さを.5 倍にして, それから 3 分 20 秒後に Q 地点に着きました 太 次 P 3 分 3 分 3 Q 太郎君が 3 分で進む道のりを, 速くなった次郎君は 3 分 20 秒 = 3 分で進んだので 3 すから, かかった時間の比は,3 : 3 = 9 : 0 になり, 速さの比は逆比になって, 3 0 : 9 になります そこで, 太郎君の速さを 0, 速くなった次郎君の速さを 9 とすると, 次郎君は速さを.5 倍にしたのですから, はじめの次郎君の速さは,9.5 = 6 になります 以上まとめると, 太郎君の速さを 0 とすると, 次郎君のはじめの速さは 6 で, あとの速さは 9 よって, 太郎君と次郎君が出会うまでに, 太郎君が進んだ距離を 0 とすると, 次郎君が進んだ距離は, 6 にあたります 太郎君と次郎君の進んだ距離の合計は, 0 + 6 = 6 になりますが, これがPQ 間の距離の往復ぶんですから PQ 間の距離は, 6 2 = 8 になります 太 次 P 3 分 Q 6 0 ( 次のページへ ) - 36 -
よって, 右の図のようになります 太郎君が 3 分で進んだ距離は, 8-6 = 2 にあたります 太 P 8 3 分 Q 太郎君は, 2 にあたる距離を 3 分で進むことがわかりました 次 6 PQ 間の距離である 8 は 2 の 4 倍ですから,3 4 = 2( 分 ) かかります よって, 太郎君が PQ 間を往復して P に帰ってきたのは, 出発してから, 2 2 = 24( 分後 ) になります チャレンジ (2) () ができた人は, かならず (2) もできるようにしましょう 太郎君と次郎君が出会ったときからあとを考えます 太郎君は次郎君と出会ってから P にもどってくるまでに, 次郎君は Q を折り返して 765 m 進んでいたそうです ところで,() でわかった通り, 太郎君の速さを 0 とすると, 次郎君のあとの速さは 9 にあたります 太 次 P 出会う 8 6 2 765m Q 2 人が同じ時間で進む距離の比は 0 : 9 ですから, 太郎君が 6 進む間に, 次郎君は, 6 0 9 = 5.4 進みます 太 次 P 出会う 8 6 2 Q 765m 5.4 よって,765 m のところが, 5.4-2 = 3.4 にあたります 太 P 8 出会う Q あたり,765 3.4 = 225(m) になります 求めたいのは,PQ 間の距離である 8 ですから,225 8 = 800(m) になります 次 6 2 765m = 3.4-37 -