中学中間 期末試験問題集 ( 過去問 ): 数学 1 年 等式による表現 http://www.fdtext.com/dat/ [ 左辺 右辺 両辺 ] 次の1,2に当てはまる言葉や式を答えよ 等式 5 x + 3 = 23 において, 左辺は ( 1 ) で,23 は ( 2 ) である 1 2 [ 解答 ]1 5 x + 3 2 右辺 5 x + 3 = 23 のように, 等号 =を使って, 数量の関係を表わした式を等式という 等式で, 等 号の左側の式 5 x + 3を左辺, 右側の式 23を右辺, その両方をあわせて両辺という [ 問題 ]( 前期期末 ) 次の1~4にあてはまる言葉を答えよ 5 a = 3b + 8 のように, 等号 =を使って, 数量の関係を表わした式を ( 1 ) という (1) で, 等号の左側の式を ( 2 ), 右側の式を ( 3 ), その両方をあわせて ( 4 ) という 1 2 3 4 [ 解答 ]1 等式 2 左辺 3 右辺 4 両辺 [ 大小関係など ] A 君の得点 x 点は,B 君の得点 y 点より 8 点高い このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] x = y + 8 A は B より 8 大きい は機械的に A=B+8 と式にできる x 点は y 点より 8 点高いので, x = y + 8 1
次の数量の関係式を, 等式を使って表せ (1) 兄の身長 x cm は, 弟の身長 y cm の 2 倍より 4cm 高い (2) ある数 x の 2 倍に 3 を加えたら,9 になった (1) (2) [ 解答 ](1) x = 2 y + 4 (2) 2 x + 3 = 9 (1) A は B より 5 大きい は機械的に A=B+5 と式にできる 兄の身長 x cm は, 弟の身長 y cm の 2 倍より 4cm 高いので, ( 兄の身長 )=( 弟の身長 ) 2+4, よって, x = y 2 + 4, x = 2y + 4 (2) x 2 + 3 = 9, 2x + 3 = 9 兄は鉛筆を 28 本, 弟は 12 本持っている 兄が弟に鉛筆 x 本あげたら 2 人の数が同じになった このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] 28 x = 12 + x 兄が弟に鉛筆 x 本あげたので,( 兄の鉛筆 )= 28 x ( 本 ),( 弟の鉛筆 )=12 + x ( 本 ) ( 兄の鉛筆 )=( 弟の鉛筆 ) なので, 28 x = 12 + x ある整数 x を 5 でわると, 商は a, 余りは b である このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] x = 5 a + b 例えば, 17 5 = 3 2 のとき, 17 = 5 3 + 2 の関係が成り立つ ある整数 x を 5 でわると, 商は a, 余りは b である を式にすると, x 5 = a b なので, x = 5 a + b, x = 5a + b 2
[ 代金 ] 50 円のはがき a 枚と 60 円切手 1 枚の合計金額は 260 円である このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] 50 a + 60 = 260 ( はがきの代金 )=(1 枚の値段 ) ( 枚数 )= 50 a = 50a ( 円 ) ( はがきの代金 )+(60 円切手 1 枚の代金 )=( 合計代金 ) なので, 50 a + 60 = 260 [ 問題 ](2 学期期末 ) 1 本 a 円の鉛筆 3 本と 1 冊 b 円のノート 5 冊の代金を合わせると 700 円になった このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] 3a + 5 b = 700 ( 鉛筆の代金 )=(1 本の値段 ) ( 本数 )= a 3 = 3a ( 円 ) ( ノートの代金 )=(1 冊の値段 ) ( 冊数 )= b 5 = 5b ( 円 ) 代金の合計は 700 円なので, 3a + 5 b = 700 次の数量の関係を等式に表せ (1) 1 個 a 円の品物を 5 個と 1 個 b 円の品物を 2 個買ったら, 代金は 800 円であった (2) 1kg x 円の砂糖 4kg の代金が y 円である (3) 1000 円だして a 円の切符を買うとおつりがb 円である (1) (2) (3) [ 解答 ](1) 5 a + 2b = 800 (2) y = 4x (3) b =1000 a 3
(1) (1 個 a 円の品物 5 個の代金 )=(1 個の値段 ) ( 個数 )= a 5 = 5a ( 円 ) (1 個 b 円の品物 2 個の代金 )=(1 個の値段 ) ( 個数 )= b 2 = 2b ( 円 ) (1 個 a 円の品物 5 個の代金 )+(1 個 b 円の品物 2 個の代金 )=800 なので, 5 a + 2b = 800 (2) (4kg の代金 )=(1kg の値段 ) 4=なので, y = x 4, y = 4x (3) ( おつり )=( 出した金額 )-( 代金 ) なので, b = 1000 a [ 割合 ] 定価 a 円の品物を 5% 引きにすると 950 円になる このことを, 等式を使って表せ 5 [ 解答 ] a 1 = 950 100 5 5% はなので, 定価 a 円の品物を 5% 引きは, 5 a 1 100 100 5 よって, a 1 = 950 100 [ 問題 ]( 前期期末 ) 全校生徒 780 人の y % が男子で, その人数は 420 人である このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] 780 y = 420 100 y y y % はなので,780 人の y % は 780 である よって, 780 y = 420 100 100 100 4
[ 過不足 ] x 枚ある画用紙を 1 人 3 枚ずつ y 人に配ると 2 枚足りなかった このことを, 等式を使っ て表せ [ 解答 ] x = 3y 2 ( 配るのに必要な枚数 )= 3 y = 3y ( 枚 ) 2 枚足りなかったので,( 画用紙の枚数 )=( 配るのに必要な枚数 )-2 よって, x = 3y 2 a 個のあめを 1 人 3 個ずつb 人に配ったら,5 個余った このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] a = 3 b + 5 ( 配るのに必要な個数 )= 3 b = 3b ( 個 ) 配ると 5 個余るので,( あめの個数 )=( 配るのに必要な個数 )+5 よって, a = 3 b + 5 [ 問題 ](2 学期期末 ) 次の数量の関係式を, 等式を使って表せ (1) a 枚ある画用紙を,1 人に 3 枚ずつ b 人に配ろうとすると,5 枚たりない (2) a 個のみかんを, b 人の子どもに 2 個ずつ配ったら 7 個余る (1) (2) [ 解答 ](1) a = 3b 5 (2) a = 2 b + 7 (1) ( 配るのに必要な枚数 )= 3 b = 3b ( 枚 ) 配ろうとすると,5 枚たりないので,( 画用紙の枚数 )=( 配るのに必要な枚数 )-5 よって, a = 3b 5 5
(2) ( 配るのに必要な個数 )= 2 b = 2b ( 個 ) 配ると 7 個余るので,( みかんの個数 )=( 配るのに必要な個数 )+7 よって, a = 2 b + 7 ある品物を買うために,4 人で 1 人 x 円ずつ出しあうと 80 円たりなかったので, 1 人 y 円ずつ出しあったら 20 円余った このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] 4x + 80 = 4y 20 4 人で 1 人 x 円ずつ出しあうと 80 円たりなかったので,( 品物の代金 )= 4 x + 80( 円 ) 1 人 y 円ずつ出しあったら 20 円余ったので,( 品物の代金 )= 4y 20 ( 円 ) よって, 4x + 80 = 4y 20 長さ 100cm のリボンから x cm のリボンを 5 本切り取ったら,16cm 残った このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] 100 5x = 16 ( 切り取るリボンの長さ )=( 切り取る 1 本の長さ ) ( 本数 )= x 5 = 5x (cm) 100-( 切り取るリボンの長さ )=16 なので, 100 5x = 16 [ 速さ ] x km の道のりを時速 4km で歩いて行くと, y 時間かかった このことを, 等式を使って 表せ 6
[ 解答 ] x y = 4 x ( 時間 )=( 道のり ) ( 速さ ) なので, y = x 4, y = 4 A 地から峠まで x km の道のりを時速 3km で, 峠から B 地まで y km の道のりを時速 4km で歩くと,A 地から B 地まで,7 時間かかる このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] x + y = 7 3 4 x (A~ 峠の時間 )=( 道のり ) ( 速さ )= x 3 = ( 時間 ) 3 y ( 峠 ~B の時間 ) =( 道のり ) ( 速さ )= y 4 = ( 時間 ) 4 (A~ 峠の時間 )+( 峠 ~B の時間 )=7 なので, x + y = 7 3 4 x km の道のりを, 行きは毎時 a km, 帰りは毎時 b km の速さで往復すると,5 時間かかった このことを, 等式を使って表せ x x [ 解答 ] + = 5 a b x ( 行きの時間 )=( 道のり ) ( 速さ )= x a = ( 時間 ) a 7
x ( 帰りの時間 )=( 道のり ) ( 速さ )= x b = ( 時間 ) b 往復で 5 時間かかったので,( 行きの時間 )+( 帰りの時間 )=5 x x よって, + = 5 a b [ 図形 ] 縦 a cm, 横 b cm の長方形の周りの長さは l cm である このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] l = 2 a + 2b ( 長方形の周の長さ )=( 縦の長さ ) 2+( 横の長さ ) 2 なので, l = a 2 + b 2, l = 2a + 2b 長さ 40cm の針金を折り曲げて長方形をつくる 横の長さを x cm とするとき, たての長さは y cm である このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] 2 x + 2y = 40 ( 長方形の周の長さ )=( 縦の長さ ) 2+( 横の長さ ) 2 なので, y 2 + x 2 = 40, 2 x + 2y = 40 [ 問題 ](2 学期期末 ) 三角形の底辺が a cm, 高さが b cm のときの面積は 12cm 2 である このことを, 等式を使って表せ [ 解答 ] ab = 24 8
1 1 ( 三角形の面積 )= ( 底辺 ) ( 高さ ) なので, a b = 12 2 2 両辺を 2 倍すると, ab = 24 [ 全般 ] 次の数量の関係を等式で表せ (1) 3 にある数 x を加えると, もとの数 x の 2 倍になる (2) 80 円切手 x 枚と,50 円のはがきを 1 枚買うと合計が 370 円になる (3) 130 本のえんぴつを 35 人の生徒に a 本ずつ分けたら 25 本余った (1) (2) (3) [ 解答 ](1) 3 + x = 2x (2) 80 x + 50 = 370 (3) 35 a = 105 (1) 3 にある数 x を加えた数 3 + x は, もとの数 x の 2 倍の 2x に等しいので, 3 + x = 2x (2) ( 切手の代金 )=(1 枚の値段 ) ( 枚数 )=80 x = 80x ( はがきの代金 )=(1 枚の値段 ) ( 枚数 )= 50 1 = 50 ( 切手の代金 )+( はがきの代金 )=( 合計金額 ) なので, 80 x + 50 = 370 (3) ( 生徒に配る本数 )=130 25 = 105 ( 本 ) なので, a 35 = 105, 35 a = 105 [ 問題 ]( 後期中間 ) 次の数量の関係を等式に表せ (1) a 個のみかんを 2 個ずつ b 人に配ったら 3 個余った (2) 1 冊 a 円のノート 3 冊の代金は,1 冊 b 円のノート 5 冊の代金より c 円高い (3) x km の道のりを, 時速 60km で進んだときにかかった時間は y 時間であった (4) 整数 a を 5 でわると商が b, 余りが 4 である (1) (2) (3) (4) 9
[ 解答 ](1) a = 2 b + 3 (2) 3 a = 5b + c (3) x y = (4) a = 5 b + 4 60 (1) ( みかんの個数 )=( 配るのに必要な個数 )+( 余りの個数 ) なので, a = 2 b + 3, よって a = 2 b + 3 (2) 1 冊 a 円のノート 3 冊の代金は a 3 = 3a ( 円 ),1 冊 b 円のノート 5 冊の代金はb 5 = 5b ( 円 ) 1 冊 a 円のノート 3 冊の代金 3 a 円は,1 冊 b 円のノート 5 冊の代金 5 b 円より c 円高いので, 3 a = 5b + c x (3) ( 時間 )=( 道のり ) ( 速さ ) なので, y = x 60, y = 60 (4) 例えば,23 5=4 3 で,23=5 4+3 整数 a を 5 でわると商が b, 余りが 4 であるので, a 5 = b 4 よって, a = 5 b + 4, a = 5 b + 4 10
不等式による表現 [ 不等式 ] 次の文章にあてはまる不等号を書け (1) a は b 以下である a ( ) b (2) a は b より大きい a ( ) b (1) (2) [ 解答 ](1) (2) > 不等号を使って,2 つの数量の大小関係を表した式を不等式という 不等式で, 不等号の左側の式を左辺, 右側の式を右辺, その両方をあわせて両辺という 不等号には, 次のような種類がある a b : a はb 以上 a > b : a は b より大きい a b : a はb 以下 a < b : a は b より小さい ( a は b 未満 ) 次の文中の1~3に適語を入れよ 不等号を使って,2 つの数量の大小関係を表した式を不等式という 不等式で, 不等号の左側の式を ( 1 ), 右側の式を ( 2 ), その両方をあわせて ( 3 ) という 1 2 3 [ 解答 ]1 左辺 2 右辺 3 両辺 [ 数の大小 ] 次の数量の関係を不等式で表せ ある数 x から 4 をひいた数は,11 より小さい [ 解答 ] x 4 < 11 ( ある数 x から 4 をひいた数 )<11 なので, x 4 < 11 11
次の数量の関係を不等式で表せ (1) x の 3 倍に 5 をたした数は 10 より大きい (2) x を 3 倍して 8 を引いた数は 100 以上である (1) (2) [ 解答 ](1) 3 x + 5 > 10 (2) 3x 8 100 (1) ( x の 3 倍に 5 をたした数 ) は, x 3 + 5 =3 x + 5 ( x の 3 倍に 5 をたした数 )>10 なので, 3 x + 5 > 10 (2) ( x を 3 倍して 8 を引いた数 ) は, x 3 8 = 3x 8 ( x を 3 倍して 8 を引いた数 ) 100 なので, 3x 8 100 次の数量の関係を不等式で表せ x を 6 倍して 3 を加えた数は, x を 8 倍して 6 を引いた数より小さい [ 解答 ] 6x + 3 < 8x 6 ( x を 6 倍して 3 を加えた数 )= x 6 + 3 = 6 x + 3 ( x を 8 倍して 6 を引いた数 )= x 8 6 =8x 6 ( x を 6 倍して 3 を加えた数 )<( x を 8 倍して 6 を引いた数 ) なので, 6x + 3 < 8x 6 [ 代金 ] 次の数量の間の関係を不等式で表せ 1 個 70 円のりんご x 個の代金は 300 円より高い [ 解答 ] 70 x > 300 12
( 代金 )=70( 円 ) x ( 個 )= 70 x ( 円 ) 代金は 300 円より高いので,( 代金 )> 300 よって, 70 x > 300 次の数量の間の大小関係を不等式で表せ 1 個 x 円のケーキ 3 個と,1 個 y 円のプリン 1 個が 1000 円で買えた [ 解答 ] 3x + y 1000 ( 代金の合計 )= x ( 円 ) 3( 個 )+ y ( 円 ) 1( 個 )= 3 x + y ( 円 ) 1000 円で買えた とあるので, 代金の合計は 1000 円以下である よって,( 代金 ) 1000, 3x + y 1000 次の数量の関係を不等式で答えよ x 円の切手 7 枚と y 円の切手 1 枚を買い,2000 円出しておつりを受けとった [ 解答 ] 7 x + y < 2000 ( 代金 )= x ( 円 ) 7( 枚 )+ y ( 円 ) 1( 枚 )= 7 x + y ( 円 ) 2000 円出しておつりを受けとった ので, 代金は 2000 円より少ない よって,( 代金 )<2000, 7 x + y < 2000 次の数量の間の大小関係を不等式で表せ ある遊園地の入園料は, 大人 1 人が a 円, 中学生 1 人がb 円である 大人 2 人と中学生 1 人の入園料の合計は 2000 円より高い 13
[ 解答 ] 2 a + b > 2000 ( 入園料の合計 )=( 大人 2 人分 )+( 中学生 1 人分 )= a ( 円 ) 2( 人 )+ b ( 円 ) 1( 人 ) = 2 a + b ( 円 ) ( 入園料の合計 )>2000 円なので, 2 a + b > 2000 次の数量の関係を不等式で表せ x 円持って買い物に行ったところ, 持っていたお金で,2000 円の辞書を 1 冊と y 円の漫画を 2 冊買えなかった [ 解答 ] x < 2000 + 2y 2000 円の辞書を 1 冊と y 円の漫画を 2 冊買うのに必要な金額は, 2000( 円 ) 1( 冊 )+ y ( 円 ) 2( 冊 )= 2000 + 2y ( 円 ) 持っていたお金 ( x 円 ) は, 必要な金額より少なかったので, x < 2000 + 2y [ 問題 ](2 学期期末 ) 次の数量の関係を不等式で答えよ 兄は a 円, 弟は b 円それぞれ持っていた 2 人のお金を合わせたら,c 円の商品を買い, おつりをもらうことができた [ 解答 ] a + b > c 2 人のお金を合わせたら, c 円の商品を買い, おつりをもらうことができた ので, ( 兄のお金 )+( 弟のお金 )>( 商品の代金 ) よって, a + b > c 14
次の数量の関係を不等式で表せ 1 冊 a g のノート 2 冊と 1 本 b g の鉛筆 3 本の重さは 500g 未満である [ 解答 ] 2 a + 3b < 500 ( 重さの合計 )=( ノートの重さ )+( 鉛筆の重さ )= a (g) 2( 冊 )+ b (g) 3( 本 ) = 2 a + 3b (g) 重さの合計は 500g 未満なので,( 重さの合計 )<500 よって, 2 a + 3b < 500 [ 問題 ]( 後期中間 ) 次の数量の関係を不等式で表せ 定価 x 円の品物を 20% 引きで買ったところ, 代金は 1000 円以下であった [ 解答 ] 0.8x 1000 定価 x 円の品物を 20% 引きで買ったときの代金は, x ( 円 ) 0.8= 0.8x ( 代金 ) 1000 なので, 0.8x 1000 次の数量の関係を不等式で表せ 重さ a g の品物の 80% の重さは b g 以下である [ 解答 ] 0.8a b ( 重さ a g の品物の 80% の重さ )= a (g) 0.8= 0.8a ( 重さ a g の品物の 80% の重さ ) b (g) なので, 0.8a b 15
[ 速さ ] 分速 a m で 40 分歩くと 3km 以上進んだ [ 解答 ] 40a 3000 分速 a m で 40 分歩いたとき, ( 進んだ距離 )=( 速さ ) ( 時間 )= a (m/ 分 ) 40( 分 )= 40 a (m) 進んだ距離は 3km(3000m) 以上なので,( 進んだ距離 ) 3000, よって, 40a 3000 次の数量の関係を不等式で表せ a m の道のりを, 毎分 70m の速さで歩いたところ, b 分以上かかった a [ 解答 ] b 70 a ( かかった時間 )=( 道のり ) ( 速さ )= a (m) 70(m/ 分 )= ( 分 ) 70 かかった時間は b 分以上なので,( かかった時間 ) b ( 分 ) よって, a b 70 次の数量の関係を不等式で表せ x km の道のりを時速 60km の速さで走ると,90 分以上かかる [ 解答 ] x 3 60 2 16
( かかった時間 )=( 道のり ) ( 速さ )= x (km) 60(km/ 時 )= 60 x ( 時間 ) 90 3 3 かかった時間は 90 分 ( = 時間 ) 以上なので,( かかった時間 ) 60 2 2 よって, x 3 60 2 [ その他 ] [ 問題 ](2 学期期末 ) 次の数量の関係を不等式で答えよ x m のひもを 4 等分すると,1 本は 3m 以下になった [ 解答 ] x 3 4 (1 本の長さ )= x (m) 4= 4 x (m) 1 本の長さは 3m 以下なので,(1 本の長さ ) 3 よって, x 3 4 [ 問題 ]( 後期中間 ) 次の数量の関係を不等式で答えよ 15 l のジュースを y 人で等分すると,1 人あたりの量は 2 l 未満である [ 解答 ] 2 15 < y 17
15 (1 人あたりの量 )=15( l ) y ( 人 )= ( l ) y 1 人あたりの量は 2 l 未満なので,(1 人あたりの量 )<2 15 よって, < 2 y 次の数量の関係を不等式で表せ a 個のみかんを x 人の子どもに 1 人 5 個ずつ配ったら,10 個以上余った [ 解答 ] a 5x 10 ( 配った個数 )=(1 人あたりの個数 ) ( 人数 )=5( 個 ) x ( 人 )= 5 x ( 個 ) ( 余った個数 )= a ( 個 )-( 配った個数 )= a 5x ( 個 ) ( 余った個数 ) 10 なので, a 5x 10 18
関係を表す式の意味 [ 問題 ]( 前期期末 ) ある動物園の入園料は, 大人 1 人が a 円, 子ども 1 人が b 円である このとき, 次の式は どんなことを表しているか 1 2 a + 4b = 2800 2 3 a + 5b < 4000 1 2 [ 解答 ]1 大人 2 人の入園料と子ども 4 人の入園料の合計は 2800 円である 2 大人 3 人の入園料と子ども 5 人の入園料の合計は 4000 円より安い 1 2 a = a 2 =( 大人 1 人の入園料 ) 2 なので, 2a は大人 2 人の入園料を表している 4 b = b 4 =( 子ども 1 人の入園料 ) 4 なので, 4b は子ども 4 人の入園料を表している したがって, 2 a + 4b = 2800 は,( 大人 2 人の入園料 )+( 子ども 4 人の入園料 )=2800 で, 大 人 2 人の入園料と子ども 4 人の入園料の合計は 2800 円である ことを表している 2 3 a = a 3 =( 大人 1 人の入園料 ) 3 なので, 3a は大人 3 人の入園料を表している 5 b = b 5 =( 子ども 1 人の入園料 ) 5 なので, 5b は子ども 5 人の入園料を表している したがって, 3 a + 5b < 4000 は,( 大人 3 人の入園料 )+( 子ども 5 人の入園料 )<4000 で, 大 人 3 人の入園料と子ども 5 人の入園料の合計は 4000 円より安い ことを表している 1 個 a 円のみかんと 1 個 b 円のなしがあるとき, 次の式はどんなことを表しているか 1 a = b + 50 2 2a + 3b 1000 1 2 [ 解答 ]1 みかん 1 個の値段は, なし 1 個の値段より 50 円高い 2 みかん 2 個の代金となし 3 個の代金の合計は 1000 円以上である 1 a = b + 50 の式は, a ( みかん 1 個の値段 ) は,b ( なし 1 個の値段 ) より 50( 円 ) 大きい ( 高い ) ということを表している 19
2 2 a = a 2 =( みかん 1 個の値段 ) 2 なので, 2a はみかん 2 個の代金を表している 3 b = b 3=( なし 1 個の値段 ) 3 なので, 3b はなし 3 個の代金を表している したがって, 2a + 3b 1000 は,( みかん 2 個の代金 )+( なし 3 個の代金 ) 1000 で, みかん 2 個の代金となし 3 個の代金の合計は 1000 円以上である ということを表してい る 1 本 x 円の鉛筆と 1 冊 y 円のノートが売られている このとき, 次の等式や不等式はどん なことを表しているか 1 y x = 50 2 2x + 3y 500 3 8 x > 4y 1 2 3 [ 解答 ]1 ノート 1 冊の値段は鉛筆 1 本の値段より 50 円高い 2 鉛筆 2 本の代金とノート 3 冊の代金の合計は 500 円以下である 3 鉛筆 8 本の代金はノート 4 冊の代金より高い 1 y x = 50,( ノート 1 冊の値段 )-( 鉛筆 1 本の値段 )=50 なので, ( ノート 1 冊の値段 )=( 鉛筆 1 本の値段 )+50 2 2 x = x 2 =( 鉛筆 1 本の値段 ) 2 なので, 2x は鉛筆 2 本の代金を表している 3 y = y 3 =( ノート 1 冊の値段 ) 3 なので, 3y はノート 3 冊の代金を表している したがって, 2x + 3y 500 は,( 鉛筆 2 本の代金 )+( ノート 3 冊の代金 ) 500 で, 鉛筆 2 本の代金とノート 3 冊の代金の合計は 500 円以下である ことを表している 3 8 x = x 8=( 鉛筆 1 本の値段 ) 8 なので, 8x は鉛筆 8 本の代金を表している 4 y = y 4 =( ノート 1 冊の値段 ) 4 なので, 4y はノート 4 冊の代金を表している したがって, 8 x > 4y は,( 鉛筆 8 本の代金 )>( ノート 4 冊の代金 ) で, 鉛筆 8 本の代金はノート 4 冊の代金より高い ことを表している 20
[ 問題 ]( 前期期末 ) A さんは a 円,B さんは b 円持って買い物に行き,A さんは 200 円,B さんは 750 円使っ た このとき, 次の不等式はどのようなことを表しているか a 200 > 2 ( b 750) [ 解答 ]A さんの残金は,B さんの残金の 2 倍より多い a 200 は,(A さんの所持金 )-200 なので,A さんの残金を表している b 750 は,(B さんの所持金 )-750 なので,B さんの残金を表している a 200 > 2 b 750 は,(A さんの残金 )>(B さんの残金 ) 2 で, したがって, ( ) A さんの残金は,B さんの残金の 2 倍より多い ことを表している 21
文字式の応用 [ マグネット ( 碁石 ) で多角形をつくる ] [ 問題 ](1 学期期末 ) 下の図のように, マグネットを並べて正方形をつくる n 番目のときに必要な碁石は何個か ただし, n 2 とする [ 解答 ]4( n -1)( 個 ) (4 n -4( 個 )) 右図より 2 番目 :(2-1) 4 ( 個 ) 3 番目 :(3-1) 4 ( 個 ) 4 番目 :(4-1) 4 ( 個 ) 5 番目 :(5-1) 4 ( 個 ) n 番目ではの中に入っているマグネットの数は, n -1( 個 ) である よって n 番目では,( n -1) 4=4( n -1)( 個 ) [ 問題 ]( 前期期末 ) 右の図のようにマグネットを並べて, 正三角形の形に並べる このとき, 次の各問いに答えよ (1) 正三角形の 1 辺に並ぶ個数が 6 個のとき, マグネット全体の個数は何個か (2) 正三角形の 1 辺に並ぶ個数が n 個のとき, マグネット全体の個数は何個か ただし, n 2 とする (1) (2) [ 解答 ](1) 15 個 (2) 3( n -1)( 個 ) (3 n -3( 個 )) 22
(1) 1 辺に並ぶ個数が 6 個のとき, 右図のように, で囲って 3 つの部分に分けると,1 つのの中には, 6-1=5( 個 ) のマグネットが並ぶ したがって, マグネット全体の個数は, (6-1) 3=15( 個 ) である (2) 右図のように, で囲って 3 つの部分に分けると,1 つのの中には, n -1( 個 ) のマグネットが並ぶ したがって, マグネット全体の個数は,( n -1) 3=3( n -1)( 個 ) である 右の図のように 1 辺に同じ数の石を並べて, ひし形を作っていくとき, 次の各問いに答えよ (1) 1 辺に石を 5 個並べると, 石は全部で何個必要か (2) 1 辺に n 個並べると, 石は全部で何個必要か ただし,n 2 とする (1) (2) [ 解答 ](1) 16 個 (2) 4( n -1)( 個 ) (4 n -4( 個 )) 1 辺 3 個 :(3-1) 4 1 辺 4 個 :(4-1) 4 1 辺 5 個 :(5-1) 4 1 辺 n 個 :( n -1) 4=4( n -1) 23
[ 問題 ]( 前期期末 ) 右図のように, マグネットを正五角形の形に並べた 1 辺に並ぶマグネットの個数が n 個のとき, 全体の個数を, n を使った式で表すことを考える このとき, 次の各問いに答えよ (1) 次の図のア, イのように, 正五角形の中のマグネットを囲って考え方の違いを示した ア, イの図の考え方をもとに, それぞれの全体の個数を, n を使った式で表せ (2) ア, イ以外の考え方で全体の個数を求める式として,5( n -2)+5( 個 ) がある この考え方を, マグネットを囲って図示せよ (1) アイ (2) [ 解答 ](1) ア 5( n -1)( 個 ) イ 5 n -5( 個 ) (2) (1) アのように, で囲って 5 つの部分に分けると,1 つのの中には, n -1( 個 ) のマグネットが並ぶ したがって, マグネット全体の個数は, ( n -1) 5=5( n -1)( 個 ) である イのように, で囲って 5 つの部分に分けると,1 つのの中には, n 個のマグネットが並ぶ その合計は, n 5=5 n であるが, 頂点にある 5 つのマグネット ( 図の ) は二重に数えているので, マグネット全体の個数は,5 n -5( 個 ) となる 24
(2) 右図のように, で囲って 5 つの部分に分けると,1 つのの中には, n -2( 個 ) のマグネットが並ぶ その合計は,( n -2) 5 =5( n -2) である これに, 頂点にある 5 つのマグネット ( 図の ) を加えると,5( n -2)+5( 個 ) となる 次の図のように 1 辺に 4 個,5 個,6 個 と石を並べ, 正三角形と正方形を作る 1 辺に並べる石の個数が n 個のとき, 全部で石は何個必要か ただし, n 4 とする [ 解答 ]6 n -7( 個 ) 右図のように, で囲って 6 つの部分に分けると,1 つの の 中には, n -2( 個 ) の石が並ぶ その合計は,( n -2) 6=6( n -2) である これに, 頂点にある 5 つの石 ( 図の ) を加えると, 6( n -2)+5=6 n -12+5=6 n -7( 個 ) となる 25
[ 問題 ](2 学期期末 ) よ 正方形の白板を, 下の図のように黒板のまわりに並べていく このとき, 次の問いに答え (1) 10 段のときの黒板の枚数を求めよ (2) n 段のときの白板の枚数を, n を使った式で表せ ただし, n 2 とする (1) (2) [ 解答 ](1) 81 枚 (2) 3 n -1( 枚 ) (1) 2 段目の黒板は 1 枚,3 段目の黒板は 2 2=4 枚,4 段目の黒板は 3 3=9 枚である 同様に考えると,10 段目の黒板は 9 9=81 枚となる (2) 右図のように, で囲って 3 つの部分に分けて考える 3 段の場合,1 つのの中には 2 つの白板が並ぶので, の中の白板は,2 3( 枚 ) になる これに, 端の 2 枚を加えると,2 3+2=8( 枚 ) となる 4 段の場合,1 つのの中には 3 つの白板が並ぶので, 白板の枚数は,3 3+2=11( 枚 ) となる 同様に考えると,n 段の場合,1 つのの中には n -1 の白板が並ぶので, 白板の枚数は,( n -1) 3+2=3 n -3+2=3 n -1( 枚 ) となる [ 正多角形を並べる ] 右の図のようにマッチ棒を並べて正方形をつくる 次の問いに答えよ (1) 正方形を 5 個つくるのにマッチ棒は何本必要か (2) n 個の正方形をつくるのにマッチ棒は何本必要か (1) (2) [ 解答 ](1) 16 本 (2) 3 n + 1( 本 ) 26
右図より, 正方形 2 個 :4+3 (2-1) ( 本 ) 正方形 3 個 :4+3 (3-1) ( 本 ) 正方形 4 個 :4+3 (4-1) ( 本 ) 正方形 5 個 :4+3 (5-1) ( 本 ) 正方形 n 個 :4+3 ( n -1) ( 本 ) (1) 4+3 (5-1)=4+3 4=16( 本 ) (2) 4 + 3 ( 1) = 4 + 3n 3 = 3n + 1 n ( 本 ) 長さ 1cm の棒を, 右図のように並べる このとき, 次の各問いに答えよ (1) 正方形を 5 個並べるときは, 何本必要か (2) 正方形を x 個並べるとき, 棒は全部で何本必要か x を使った式で表せ (3) 49 本の捧では, 正方形は何個並べることができるか (1) (2) (3) [ 解答 ](1) 16 本 (2) 3 x + 1( 本 ) (3) 16 個 右図より, 正方形 2 個 :4+3 (2-1) ( 本 ) 正方形 3 個 :4+3 (3-1) ( 本 ) 正方形 4 個 :4+3 (4-1) ( 本 ) 正方形 5 個 :4+3 (5-1) ( 本 ) 正方形 x 個 :4+3 ( x -1) ( 本 ) (1) 正方形 5 個 :4+3 (5-1)=4+3 4=16( 本 ) (2) 4 + 3 ( x 1) = 4 + 3x 3 = 3x + 1 ( 本 ) (3) これは方程式 ( 後の単元で出てくる ) の問題である 3 x + 1 = 49 とすると, 3 x = 49 1, 3x = 48, x = 48 3 = 16 よって, 正方形は 16 個 27
右図は 1 辺 1cm の正方形を 4 個つなげて長方形をつくったもので ある 次の各問いに答えよ (1) n 個つなげたときの長方形の周の長さを n の式で表せ (2) 周の長さが 42cm のとき長方形の数はいくつか (1) (2) [ 解答 ](1) 2 n + 2 (cm) (2) 20 個 (1) 正方形 1 個 :4 (cm) 正方形 2 個 :4+2=4+2 1 (cm) 正方形 3 個 :4+2+2=4+2 2 (cm) 正方形 4 個 :4+2+2+2=4+2 3 (cm) 正方形 5 個 :4+2+2+2+2=4+2 4 (cm) 正方形 n 個 :4+2+2+2+ =4+2 ( n -1) (cm) 4 + 2 n 1 = 4 + 2n 2 = 2n + (cm) ( ) 2 (2) これは方程式 ( 後の単元で出てくる ) の問題である 2 n + 2 = 42 とおくと, 2 n = 42 2, 2n = 40, n = 40 2 = 20 ( 個 ) [ 問題 ](2 学期期末 ) 右の図のように, マッチ棒をならべて, 正六角形を 作っていく このとき, 次の各問いに答えよ (1) 正六角形を 5 個作るには, マッチ棒は何本必要か (2) 正六角形を n 個作るには, マッチ棒は何本必要か (1) (2) [ 解答 ](1) 26 本 (2) 5 n + 1 右図より, 正六角形 1 個 :6 ( 本 ) 正六角形 2 個 :6+5=6+5 1 ( 本 ) 正六角形 3 個 :6+5+5=6+5 2 ( 本 ) 正六角形 4 個 :6+5+5+5=6+5 3 ( 本 ) 正六角形 5 個 :6+5+5+5+5=6+5 4 ( 本 ) 28
正六角形 n 個 :6+5+5+5+5+5+ =6+5 ( n -1) ( 本 ) (1) 6+5 4=6+20=26( 本 ) (2) 6 + 5 ( 1) = 6 + 5n 5 = 5n + 1 n ( 本 ) 次の図の 1 番目,2 番目,3 番目 のように同じ長さのマッチ棒をならべて正三角形の模 様を作っていく このとき, 次の各問いに答えよ (1) 1 番目は 3 本,2 番目は 5 本のマッチ棒が使われている 7 番目に使われているマッチ棒の数は何本か (2) 30 番目のとき使われるマッチ棒の数は何本か (3) n 番目のとき使われるマッチ棒の数は何本か (1) (2) (3) [ 解答 ](1) 15 本 (2) 61 本 (3) 2 n + 1( 本 ) 右図より, 正三角形 1 個 :3 ( 本 ) 正三角形 2 個 :3+2 1 ( 本 ) 正三角形 3 個 :3+2 2 ( 本 ) 正三角形 4 個 :3+2 3 ( 本 ) 正三角形 n 個 :3+2 ( n -1) ( 本 ) (1) n = 7 とすると, 3+2 ( n -1)=3+2 (7-1)=3+2 6=15( 本 ) (2) n = 30 とすると,3+2 ( n -1)=3+2 (30-1)=3+2 29=61( 本 ) (3) 3 + 2 ( n 1) = 3 + 2n 2 = 2n + 1( 本 ) 29
[ その他 ] 次の図のように, 正方形のタイルを並べて,1 番目,2 番目,3 番目 と図形を作っていく このとき, 各問いに答えよ (1) 7 番目の図形には何枚のタイルが必要か (2) n 番目の図形には何枚のタイルが必要か n を使った式で表せ (1) (2) [ 解答 ](1) 23 枚 (2) 3n+2( 枚 ) 右図のように, それぞれの図形の中央の部分をで囲む の中にあるタイルの枚数は, 1 番目 :3 1,2 番目 :3 2,3 番目 :3 3,4 番目 :3 4 なので, タイルの合計の枚数は, これに 2 枚を加えて, 1 番目 :3 1+2,2 番目 :3 2+2,3 番目 :3 3+2,4 番目 :3 4+2 となる 同様にして,7 番目には,3 7+2=23( 枚 ) のタイルが必要である また,n 番目には,3 n+2=3n+2( 枚 ) のタイルが必要である 下の図のように, 横の長さ a cm の長方形の紙を 3cm ずつ重ねて横に並べるとき, 次の各 問いに答えよ (1) 4 枚横に並べたときの全体の横の長さは何 cm になるか (2) 20 枚並べたときの全体の横の長さは何 cm になるか (1) (2) [ 解答 ](1) 4a 9 (cm) (2) 20a 57 (cm) 30
(1) 4 枚横に並べたとき, 重なるのは図より 3 箇所なので, 全体の横の長さは, a 4 3 3 = 4a 9 (cm) (2) 20 枚横に並べたとき, 重なるのは 20-1=19 箇所なので, 全体の横の長さは, a 20 3 19 = 20a 57 (cm) 31
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