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II(c) 1 October. 21, 2009 1 CS53 yamamoto@cs.kobe-u.ac.jp

3 1 7 1.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1.2 : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.2.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.2.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.2.3 : : : : : : : : : : : : : : 9 1.2.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.3.1 : : : 11 1.3.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 1.3.3 : : : : : : : : : : : : : : 15 1.4 : : : : : : : : : : : : 15 1.4.1 1 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 1.4.2 : : : : : : : : : : : : : : : : 17 1.4.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 2 21 2.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 2.1.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 2.1.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 2.1.3 : : : : : : : : : : : : 23 2.1.4 : : : : : : : : : 25 3-29 3.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 3.1.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 3.1.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 3.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 3.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 3.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33

4 4-35 4.1 - : : : : : : : : : : : : : : 35 4.1.1 - : : : : : : 35 4.1.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 4.2 - : : : : : : : : : : 37 4.2.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 4.2.2 : : : : : : : 39 4.2.3 - : : : : : : 40 4.2.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 4.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 5 43 5.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 5.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 5.2.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 5.2.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 5.2.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 5.2.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : 48 5.2.5 : : : : : : : : : : : : : : : : 51 5.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 5.3.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 5.3.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 5.3.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 5.4 - : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54 5.4.1 - : : : : : : : : : : : : : : 54 5.4.2 - : : : : : : : : : : 56 5.4.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56

5 1.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 1.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 1.5 : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 1.6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 1.7 1 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 1.8 1 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 1.9 1 2 : : : : : : : : : : : : : : : : 17 2.1 : : : : : : : : : : : : : : : : 22 2.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 2.3 : : : : : : : : : : 27 3.1 : : : : : : : : : : 30 3.2 =0:05 =0:2 : : : : : : : : 34 3.3 =0:2 =0:3 : : : : : : : : 34 4.1-42 5.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 5.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 5.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 5.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 5.5 (1) : : : : : 47 5.6 (2) : : : : : 48 5.7 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 5.8 : : : : : : : 54 5.9 - : : : : : : : : : : : : : : 55 5.10 - : : : : : : : : 57

7 1 1.1 IBM 2002 4 2004 4 2002 4 2004 4 2003 4 2004 4 Financial Times http://news.ft.com/markets/equities Yahoo! Finance http://nance.yahoo.com

8 1 http://www.asahi.com/business/exchange.html (1) $40 (2) $1=90 1.2 1.2.1 8 >< future forward >:

1.2. 9 1.2.2 2 (1) 1 $45 $45 (2) 3 1 90 1 90 8 >< S 0 $40 90 K $45 90 T 1 3 >: 1.2.3 t S t ( S T K =) =) 0 S T <K =) $45 =) K ; S T

10 1 S T K S 0 <S T S T ; S 0 0 S T <K max(k ; S T 0) (1.1) S T 1.1 1.1: ( S T >K =) 90 =) S T ; K S T K =) =) 0 max(s T ; K 0) (1.2) 1.2 1.2.4 (1.1) (1.2) 0 0

1.3. 11 1.2: t =0 =) =) 1.3 1.3.1 T - 0 t T K t 0 <t<t K T K 1.3 T

12 1 t K ; S t 1.3: 1.3.2 T S T S t 0 <t<t H 0 t T S t H 1.4 1 1 S t H H

1.3. 13 1.4: 2 0 t T 0 t T 1.5 3 max 0tT S t S T ; max 0tT S t (1.3) 0 t T 1.5: 2-3 oating strike lookback option xed strike lookback option

14 1 4 0 t T 0 t T 1.6 5! max S T ; 1 T Z T 0 S t dt 0 (1.4) 1.6: 4-5 oating strike Asian option average strike option xed strike Asian option

1.4. 15 1.3.3 Chicago Board Options Exchange CBOE IBM S 0 $93.04 K $45 $100 $5 T 2004 4 CBOE http://quote.cboe.com/quotetable.asp London International Futures and Options Exchange (LIFFE) http://www.lie-data.com/ 1.4 1.4.1 1 2 t =0 t = T t = T

16 1 1 2 t =0 S q u (> 1) 1 ; q d (0 <d<1) 1.7 1.7: 1 2 t =0 1 t = T 1+R (R >0) R 1.8 1.8: 1 2 t =0 C t = T 1.2.3 2 C u C d C u = max(us ; K 0) (1.5) C d = max(ds ; K 0) (1.6) 1.9

1.4. 17 1.9: 1 2 1.4.2 C 6 t = T t =0 A B t = T S A T ST B t =0 SA 0 SB 0 SA T = SB T SA 0 >SB 0 0 A S A 0 SB 0 B S A ; 0 SB 0 (> 0) T B ST B (= SA T ) A t =0 0 t = T S A ; 0 SB 0 S T A = SB T SA 0 S B 0 A B S A 0 S B 0 SA 0 = SB 0 t = T 6 2000.

18 1 7 t = T t =0 t =0 C x y t = T t = T : usx +(1+R)y = C u (1.7) t = T : dsx +(1+R)y = C d : (1.8) t =0 (1.7) (1.8) t =0 : Sx +1y = C (1.9) x = 1 S (1.9) C = xs + y C u ; C d u ; d y = ; 1 1+R = C u ; C d u ; d ; 1 = 1+R ; d u ; d 1+R C u 1+R dc u ; uc d : u ; d dc u ; uc d u ; d u ; (1 + R) + u ; d C d 1+R : (1.10) t =0 C 1.4.3 1 2 u d 1+R d<1+r<u (1.11) d>1+r t =0 S S 7 Portfolio

1.4. 19 t = T (1 + R)S u <1+R (1.10) P u = 1+R ; d u ; (1 + R) P d = u ; d u ; d (1.12) 0 <P u < 1 0 <P d < 1 P u +P d =1 P u P d E[] (1.10) C u C u C = P u 1+R + P d 1+R CT = E 1+R (1.13) C T C u C d 1=(1 + R) T 0 T 0 (1.13) t =0 1 2 -

21 2 2.1 2.1.1 B t (i) B 0 =0 (ii) (iii) t>0 B t N(0 t) (iv) - 2.1.2 s<t B t ; B s B t ; B s = B t;s ; B 0 = B t;s = N(0 t; s) (2.1) (ii) N(0 t; s)

22 2 u>t B u ; B t N(0 u; t) B t = x B u N(x u ; t) 2.1 E[B u jb t = x] = N(x u ; t) = x (2.2) B t B t B t = x N (x, u-t) O t u t 2.1: B t+h ; B t lim h!0 h (2.3) B t+h ; B t = B h = N(0 h) (2.4) B t+h ; B h p h B t+h ; B h p O( h) B t+h ; B t h = O(p h) h 1 = O ph!1 (h!1) (2.5) (2.3)

2.1. 23 2.1.3 [0 T] B t [0 T] n t 0 =0 t 1 = h t 2 =2h ::: t n = T (2.6) h = T=n i =1 2 ::: n B ti ; B ti;1 N(0 h) B t B 0 =0 N(0 h) r i N(0 1) p hr i N(0 h) B 0 =0 do i=1, n N(0 1) r i end B ti = B ti;1 do + p hr i N(0 1) r i (0 1) u C rand F (x) F (x) = p 1 Z x x2 e; 2 dx (2.7) 2 ;1 F (x) F ;1 (x) r = F ;1 (u) r P (r x) =P ; F ;1 (u) x = P (u F (x)) = F (x) (2.8) (0 1) u 0 <c<1 c P (u c) =c (2.9) F ;1 (x) F ;1 (x) Moro 1 1 B. Moro: The Full Monte, Risk, Vol. 8 (Feb.), pp. 57-58 (1995) P. Glasserman: Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer-Verlag, New York, 2004

24 2 2.2 T =1:0 n =1000 B t 2.2: t i;1 <t<t i B (n) t B (n) t n!1 2 B (n) t B (n) t h N(0 h) t t=h N(0 t h h) =N(0 t) (iii) B (n) t ; B s (n) N(0 h) (t ; s)=h N(0 t; s) t ; s B (n) t t 1 <t 2 < ::: <t m B (n) t 2 B (n) t m;1 B (n) t 2 ; B (n) t 1 ; B (n) t 1, B (n) t 3 ; B (n) t 2, :::, B (n) t m ; (t 2 ; t 1 )=h B (n) t 3 ; B (n) t 2 (t 3 ; t 2 )=h ::: B (n) t m ; B (n) t m;1 (t m ; t m;1)=h 2

2.1. 25 B (n) t 2 ; B (n) t 1, B (n) t 3 ; B (n) t 2, :::, B (n) t m ; B (n) t m;1 B (n) t t fb u (n) ju >tg B u (n) B (n) t N(0 h) B (n) t B (n) t B (n) t B (n) t = x u>t B u (n) B u (n) B (n) t = x N(0 h) (u;t)=h N(0 u;t) 0 E[ B u (n) jb (n) t = x] =x B (n) t B (n) t 2.1.4 dx t = a(t X t ) dt X 0 = x 0 (2.10) dt X t dx t = a(t X t )dt (2.11) dx t = a(t X t )dt + b(t X t )db t (2.12) db t dt N(0 dt) X t X t dt dx t dt = a(t X t )+b(t X t ) db t dt (2.13) 2.1.2 dbt dt db t dt

26 2 a(t X t ) b(t X t ) dx t = dt + db t (2.14) (2.14) dx t db t X t B t dt X t+dt ; X t = dt + (B t+dt ; B t ) (2.15) (2.15) t =0 dt 2dt ::: t; dt X dt ; X 0 = dt + (B dt ; B 0 ) X 2dt ; X dt = dt + (B 2dt ; B dt ). X t ; X t;dt = dt + (B t ; B t;dt) (2.16) B 0 =0 X t ; X 0 = t + B t (2.17) X t = X 0 + t + B t (2.18) X t B t (2.18) X t t B t X t 2.3

2.1. 27 2.3:

29 3 - - 3.1 3.1.1 1.4 1 R + n r n 1+ r n ; 1+ r n n 3.1 n!1 1+ r n! e r n (3.1) e r =1+R (3.2) r R r

30 3-1 1+ R 1 r r 1 + 1 + n n n 3.1: r 0 M 0 t M t dm t dt M t = M 0 e rt (3.3) = rm 0 e rt = rm t (3.4) dm t = rm t dt (3.5) dm t M t = rdt (3.6) (3.6) (3.6) dt rdt 3.1.2 t S t dt S t+dt ; S t S t = ds t S t (3.7) 8 < dt (3.8) : db t

3.2. 31 dt db t db t N(0 dt) N(0 2 dt) S t ds t S t = dt+ db t (3.9) ds t = S t dt + S t db t (3.10) - - 3.2 - (3.10) B t - dx t = a(t X t ) dt + b(t X t ) db t (3.11) X t f(t X t ) f a b dt f(t X t ) df df = @f @f dt + dx t + 1 @ 2 f (dx @t @X t 2 @Xt 2 t ) 2 + = @f @f dt + (adt+ bdb t ) @t @X t + 1 @ 2 f (a 2 dt 2 +2ab dt db 2 @Xt 2 t + b 2 dbt 2 )+ (3.12)

32 3 - O(dt) dt 2 db p t = O( dt) dt db t dbt 2 = O(p dt 2 )=O(dt) E (db 2 t ) = E (db 2 t ) ; (E [db t ]) 2 = V [db t ] = dt (3.13) (3.12) dbt 2 dt 1 (3.12) dt @f df = @t + @f a(t X t )+ 1 @ 2 f (b(t X @X t 2 @Xt 2 t )) 2 dt + @f b(t X t ) db t @X t (3.14) 3.3 (3.10) S t x t =logs t @(log St ) dx t = S t + 1 @ 2 (log S t ) dt + @(log S t) S @S t 2 @St 2 t db t @S t 1 = S S t + 1 ; 1 (S 2 St 2 t ) 2 dt + 1 S S t db t = ; 12 2 dt + db t (3.15) x t 2.1.4 x t = x 0 + ; 12 2 t + B t (3.16) S t = exp(x t ) S t = S 0 exp ; 12 2 t + B t (3.17) B t 1 df - Girsanov Black-Scholes 2001.

3.4. 33 3.4 (3.17) [0 T] n t 0 =0 t 1 = h t 2 =2h ::: t n = T (3.18) h = T=n S ti = S 0 exp ; 12 2 t i;1 + h + ; B + ; ti;1 B ti ; B ti;1 = S 0 exp ; 12 2 t i;1 + B ti;1 exp ; 12 2 h + ; B ti ; B ti;1 = S ti;1 exp ; 1 2 2 h + ; B ti ; B ti;1 (3.19) B ti ; B ti;1 N(0 h) B ti ; B ti;1 N(0 h) r i p hr i S 0 do i=1, n N(0 1) n r i ; S ti = S exp ti;1 ; 1 2 2 h + p o hr i end do =0:05 =0:2 3.2 [0 1] n = 1000 =0:2 =0:3 3.3 3.2

34 3-3.2: =0:05 =0:2 3.3: =0:2 =0:3

35 4 - - 1-4.1-4.1.1-1 T T 0 0 - dt S t t S t V (t S t ) 1 t t + dt V dv dv = @V @t + @V @S S + 1 @ 2 V 2 @S 2 2 S 2 dt + @V S db (4.1) @S 1 t fs sjs <tg

36 4 - S t B t ; dt (4.1) (3.10) @V d(v ; S) = @t + @V @S S + 1 @ 2 V 2 @S 2 2 S 2 ; S dt @V + @S ; S db (4.2) = @V @S db t @V d(v ; S) = @t + 1 @ 2 V 2 @S 2 2 S 2 dt (4.3) V ; S V ; S r r d(v ; S) =r(v ; S)dt (4.4) (4.3) @V @t + 1 @ 2 V 2 @S 2 2 S 2 dt = r V ; @V @S S dt (4.5) ) @V @t + @V @S rs + 1 @ 2 V 2 @S 2 2 S 2 ; rv =0 (4.6) - 4.1.2 - t 0 T 0 [0 T] [0 1) (4.7)

4.2. - 37 T t = T V (T S) = = max(s T ; K 0) (4.8) S =0 S!1 S =0 (3.17) 0! t t! T S T = S t exp ; 12 2 (T ; t)+(b T ; B t ) (4.9) S t =0) S T =0 (4.10) max(0 ; K 0) = 0 0 0 V (0 t)=0 (4.11) S =0 S!1 t S K T r max(se r(t;t) ; K 0) = Se r(t;t) ; K V (S t) V (S t) =e ;r(t;t) (Se r(t;t) ; K) =S ; Ke ;r(t;t) (4.12) S!1 S K V (S t) S (4.13) 4.2-4.2.1 - (4.6) (4.8) (4.9) (4.13)

38 4 - S S 2 log S = x @ 2 @S 2 = @ 1 @S S 0 = T ; t @ @x @S = @S @ = ; 1 @ @x S 2 @x + 1 S ; @V @0 + r ; 1 2 2 @V @ @x = 1 S @ @S @ @x @ @x = ; 1 @ S 2 @x + 1 @ 2 S 2 @x 2 (4.14) (4.15) @ @t = ; @0 @ (4.16) @x + 1 @2 V 2 2 ; rv =0 (4.17) @x2 V @V @x V = e x+ 0 U ; @0 @U + 1 @2 U 2 2 @x 2 + ; + + r ; 1 2 2 r ; 12 2 @U + 2 @x + 1 2 2 2 ; r U =0 (4.18) U @U @x r ; 12 2 8 >< >: + 2 =0 ; +( ; 1)r + 1 2 2 ( ; 1) = 0 (4.19) 8 >< >: = 1 2 ; r = 0 1 2 2 2 = ; 1 8 2 (2 +2r) 2 (4.20) ; @0 @U + 1 @2 U 2 2 =0 (4.21) @x2 @U @ = @2 U @x 2 (4.22) -

4.2. - 39 U 0 (x) = max e (1;)x ; Ke ;x 0 (4.23) 8 < : x!;1 ex+ 0 U! 0 x! +1 e x+ 0 U! e x (4.24) 4.2.2 U 1 ( x) U 2 ( x) (4.22) c 1 U 1 ( x)+c 2 U 2 ( x) (4.25) (4.22) fu ( x)g U ( x) c Z 1 (4.22) ;1 c U ( x) d (4.26) c Z 1 ;1 c U (0 x) d = U 0 (x) (4.27) (4.26) (x) Z 1 (x) =0 x 6= 0 (x) dx =1 (4.28) ;1 1 0 0 (x) Z 1 ;1 f (x 0)(x ; x 0 ) dx 0 = f (x) (4.29)

40 4 - f (x) U 0 (x) =(x ; x 0 ) (4.22) 2 U x0 ( x)= p 1 2 exp ; (x ; x 0) 2 (4.30) 4 U 0 (x) U x0 ( x) U ( x)= Z 1 ;1 U 0(x 0 ) U x0 ( x) dx 0 (4.31) (4.22) U (0 x) = = Z 1 ;1 U 0(x 0 ) U x0 (0 x) dx 0 Z 1 ;1 U 0(x 0 ) (x ; x 0 ) dx 0 = U 0 (x) (4.32) (4.31) 4.2.3-8 < U 0 (x) = : e(1;)x ; Ke ;x (x = log K) 0 (x <log K) (4.33) (4.33) (4.30) (4.31) Z 1 o U ( x)= ne (1;)x0 ; Ke ;x0 exp ; (x ; x 0) 2 1 dx 0 log K 4 p 2 Z 1 = p 1 exp ; 1 ;(x ; x0 ) 2 ; 4 (1 ; )x 0 dx 0 2 log K 4 Z 1 ; p 1 exp ; 1 ;(x ; x0 ) 2 +4x 0 dx 0 (4.34) 2 log K 4 exp x 0 Z 1 ; 1 U ( x)= 1 2 p ; 1 2 p exp log K Z 1 exp log K 4 fx 0 ; (x +2 (1 ; ))g 2 + x(1 ; ) + (1 ; ) 2 dx 0 ; 1 4 fx 0 ; (x ; 2)g 2 ; x + 2 dx 0 (4.35) 2! 0 (x ; x0)

4.2. - 41 (z) = R z ;1 e ;z2 =2 dz (z) (z) 1 U ( x)= p 2 f; log K + x +2 (1 ; )g exp x(1 ; ) + (1 ; ) 2 ; K ; 1 p 2 f; log K + x ; 2g exp ;x + 2 (4.36) 8 >< V = e x+ 0 U x =logs >: = 1 2 2 0 = 1 2 2 (T ; t) V (t S) =S(d 1 ) ; Ke ;r(t;t) (d 2 ) (4.37) 8 >< log; ; S d 1 = K + r + 1 2 (T ; t) 2 p T ; t >: log; ; S d 2 = K + r ; 1 2 (T ; t) 2 p T ; t (4.11) (4.13) (4.37) t S -

42 4-4.2.4-4.1 r =0:1 =0:3 S 0 =100 K T =0 T =1:0 Option Price 120 100 80 60 40 20 0 T = 0 T = 0.25 T = 0.5 T = 0.75 T = 1.0 100 200 K 4.1: - K T =0 max(s T ; K 0) T - 4.3 - (4.6)

43 5 5.1 - @V @V @t + @S rs + 1 @ 2 V 2 @S 2 2 S 2 ; rv =0 (5.1) = 1 2 2 0 = 1 2 2 (T ; t) (5.2) x = log S (5.3) V = e x+ 0 U (5.4) @U = @2 U @x 2 (5.5) - S T 5.1 - (5.2) (5.4) @U @ = @2 U @x 2 (5.6)

44 5 put call S T 5.1: U (0 x)=u 0 (x) (5.7) U ( x min ) = U min ( ) (5.8) U ( x max ) = U max ( ) (5.9) x (;1 1) x x x min x x max 5.2 x B.C. I.C. 0 B.C. 5.2:

5.2. 45 5.2 5.2.1 5.2 5.3 U (5.6) x x x B.C. I.C. 0 B.C. 5.3: U ( + ) U ( + )=U( )+ @U @ + 1 ( @2 U 2 )2 + (5.10) @2 @U @ = = U ( + ) ; U ( ) ; 1 @U 2 @ 2 + U ( + ) ; U ( ) + O( ) (5.11) @U @ O( ) U (x x) x U (x +x) = U (x) +x @U @x + 1 @U (x)2 2 @x 2 + 1 @3 U 3! (x)3 @x 3 + 1 @4 U 4! (x)4 @x 4 + U (x ; x) = U (x) ; x @U @x + 1 @2 U 2 (x)2 ; 1 @3 U x 2 3! (x)3 @x 3 + 1 @4 U 4! (x)4 @x 4 + U (x +x) +U (x ; x) =2U (x) +(x) 2 @2 U @x 2 + 1 12 (x)4 @4 U x 4 + (5.12)

46 5 @ 2 U @x 2 = = U (x +x) ; 2U (x) +U (x ; x) (x) 2 ; 1 12 (x)2 @4 U @x 4 U (x +x) ; 2U (x) +U (x ; x) (x) 2 + O((x) 2 ) (5.13) @2 U @x 2 O((x) 2 ) 5.2.2 (5.6) U ( + x) ; U ( x) U ( x +x) ; 2U ( x)+u( x ; x) = (x) 2 (5.14) (i j) ( i x j )=(i jx) U U ij U i+1 j ; U i j = U i j+1 ; 2U i j + U i j;1 (x) 2 (5.15) r = () 2 (5.16) i+1 i U i+1 j = ru i j+1 +(1; 2r)U i j + ru i j;1 (5.17) i U i j;1 U ij U i+1 j i+1 U i+1 j 5.4 1 2 ::: 5.2.3 5.5 r =0:1 =0:3 K =100 S 0 T =0 T =0:5 T =1:0 1 x max = ;x min =5:0 150 1 = 1 2 2 T x min x xmax U t =0 S0 V

5.2. 47 (i, j+1) (i, j) (i+1, j) (i, j-1) 5.4: x 200 = 1 2 2 1=150 = 3 10 ;4 x = x max =200 = 2:5 10 ;2 (5.18) Option Price 120 100 80 60 T = 0 T = 0.5 T = 1.0 40 20 0 100 200 S0 5.5: (1) T =1:0 S 0 =100 V =16:72971 - V =16:73411

48 5 210 5.6 Option Price 400000 = 3 10 ;4 x = x max =210 = 2:381 10 ;2 (5.19) 300000 200000 T = 1.0 100000 0-100000 -200000-300000 -400000 100 200 S0 5.6: (2) 5.6 5.2.4 x 5.6 (5.17) x max = j max x x min = j min x j = j min j min +1 ::: j max

5.2. 49 0 B @ = U i+1 jmin+1 U i+1 jmin+2. U i+1 jmax;2 U i+1 jmax;1 0 B @ 1 C A 1 ; 2r r r 1 ; 2r r... r 1 ; 2r r r 1 ; 2r 10 C A B @ U i jmin+1 U i jmin+2. U i jmax;2 U i jmax;1 1 C A + r 0 B @ U i jmin 0. 0 U i jmax 1 C A (5.20) U i jmin U i jmax U i+1 = AU i + b i (5.21) i U i U 0 b 0 b 1 ::: b i;1 U i = AU i;1 + b i;1 = A(AU i;2 + b i;2) +b i;1 = = A i U 0 +(A i;1 b 0 + A i;2 b 1 + + b i;1) (5.22) A l v l A fv l g U 0 fv l g X U 0 = cl v l (5.23) X A l U 0 = cl i l v l (5.24) 8l j l j < 1 (5.24) i U i 9l j l j > 1 U 0 v l i

50 5 8l j l j1 U 0 8l j l j1 (M ; 1) (M ; 1) A A = 0 B @ 1 ; 2r r r 1 ; 2r r... r 1 ; 2r r r 1 ; 2r 1 C A (5.25) A l = 1 ; 4r sin 2 l 2M (l =1 ::: M ; 1) (5.26) l v =(v 1 v 2 ::: v M;1) t t Av = l v fv j g M;1 j=1 2 (5.26) l < 1 l < ;1 l l = M ; 1 2 (M ; 1) M;1 =1; 4r sin ' 1 ; 4r (5.27) 2M, A, j M;1j 1, 1 ; 4r ;1 M;1 =1; 4r, r 1 2, 1 2 (x)2 1 2 (x)2 5.5 5.6 5.5 =0:48 (x) 2 (5.28) 2 2 2009

5.3. 51 5.6 ' 0:53 (x) 2 (5.29) 5.2.5 x x! 1 x (5.29) 2! ( 1 2 )2 2 4=8 x 5.3 5.3.1 U ( ; ) U ( ; )=U( ) ; @U @ + 1 ( @2 U 2 )2 + (5.30) @2 @U @ = = U ( ) ; U ( ; ) ; 1 @U 2 @ 2 + U ( ) ; U ( ; ) + O( ) (5.31) @U @ O( ) (i +1 j) (5.6) U i+1 j ; U i j = U i+1 j+1 ; 2U i+1 j + U i+1 j;1 (x) 2 (5.32) (5.16) r ;ru i+1 j +(1+2r)U i+1 j ; ru i+1 j;1 = U i j (5.33)

52 5 (5.17) i+1 U i+1 j;1 U i+1 j U i+1 j+1 i U ij 5.7 (5.33) j = j min +1 ::: j max ; 1 fu ij g fu i+1 j g x (i+1, j+1) (i, j) (i+1, j) (i+1, j-1) 5.7: 0 B @ = 1+2r ;r 0 0 B @ ;r 1+2r ;r U i jmin+1 U i jmin+2. U i jmax;2 U i jmax;1 1 C A + r... ;r 1+2r ;r 0 B @ ;r 1+2r U i+1 jmin 0. 0 U i+1 jmax 1 C A 10 C A B @ U i+1 jmin+1 U i+1 jmin+2. U i+1 jmax;2 U i+1 jmax;1 1 C A (5.34) BU i+1 = U i + b i+1 (5.35) B B O(M )

5.3. 53 B LU 3 5.3.2 (5.35) U i+1 = B ;1 (U i + b i+1 ) (5.36) U i = B ;1 (U i;1 + b i ) = B ;1 (B ;1 (U i;2 + b i;1) +b i ) = = B ;i U 0 +(B ;i b 1 + B ;i+1 b 2 + + B ;1 b i ) (5.37) B ;1 l 8l j l j1 B = ;A +2I (I : ) (5.38) l = (; l +2) ;1 = 1 1+4r sin 2 l 2M (l =1 M ; 1) (5.39) t (x) 2 0 < l < 1 r = 5.3.3 5.6 5.8 x max = ;x min =5:0 150 x 400 = 1 2 2 1=150 = 3 10 ;4 x = x max =400 = 1:25 10 ;2 (5.40) 3 FORTRAN77 1986 LU

54 5 =1:92 (x) 2 (5.41) 5.8 Option Price 120 100 80 60 T = 0 T = 0.5 T = 1.0 40 20 0 100 200 S0 5.8: 5.4-5.4.1 - O((x) 2 ) O( ) - - (i + 1 2 j) 4 (5.6) 4 (i j) (i +1 j)

5.4. - 55 U U + + 1 2 U + = U + 1 2 + @U @ U = U + 1 2 ; @U @ + 1 2 + 1 2 1 + 1 2 2 1 2 + 1 2 @ 2 U 1 @ 2 + 1 2 @ 2 U @ 2 + 1 2 1 2 2 + O ; (t) 3 2 2 + O ; (t) 3 (5.42) U + ; U = @U @ + 1 2 + O ; ( ) 2 (5.43) + 1 2 (5.13) (i j) (i +1 j) (i + 1 2 j) 5 5.9 x j+1 j j-1 i i+1 5.9: - - U i+1 j ; U i j = 1 2 Ui j+1 ; 2U i j + U i j;1 (x) 2 U i+1 j+1 ; 2U i+1 j + U i+1 j;1 + (x) 2 (5.44) 5 O(( ) 2 (x) 2 )

56 5 r = (x) 2 ; 1 2 ru i+1 j+1 +(1+r)U i+1 j ; 1 2 ru i+1 j;1 = 1 2 ru i j+1 +(1; r)u i j + 1 2 U i j;1 (5.45) U i+1 A 1 ; A 2 + 3 I U i+1 ; 1 1 2 2 b i+1 = A 2 + 1 I U i + 1 2 2 b i (5.46) - U i+1 5.4.2 - (5.46) - U i+1 {z } C U i+1 =(3I ; A) ;1 (I + A) U i +(b i + b i+1 )] (5.47) C l l = 1+ l 3 ; l = 1 ; 2r sin2 ( l 2M ) 1+2r sin 2 ( l 2M ) (l =1 M ; 1) (5.48) a b a ; b a + b < 1 (5.49) j l j < 1 (l =1 M ; 1) (5.50) - 5.4.3 5.5 S 0 =100 T =1:0 M x N

5.4. - 57-5.10 M 5 640 2 N =10M - 16.734108 ;1 - ;2 1 10 100 1000 1 M 10-1 10-2 10-3 Absolute Error 10-4 10-5 Implicit FDM Crank-Nicolson 10-6 5.10: -

59 1 r =0:1 =0:3 K =100 T =1:0 x max = ;x min =5:0 x 100 40 2 105 110 115 3 1 105 110 115